关于两个重要极限的认识
陈乙德
（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）
摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用 中途分类号：O172 文献标志码：A
1x
在微积分的众多常用极限中之所以要把lim
sinxx
x→x0
=1, lim 1+x =e这两个极限称为重要极限是因为在
x→∞
由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。
1．两个重要极限在微分学中的重要性
微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x的导数f′（x），就是计算极限lim
f x+△x —f（x）
△x
x→x0
1），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限
制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看看正弦函数sinx的求导公式， (sinx)′=lim
f x+△x —f（x）
△x
2cos(x+)sin
△x△xsin
△x
2
x→x0
=lim
△x2
x→x0
=limcos(x+2)
△x→0
△x2
=cosx·1 =cosx
其中应用第一个重要极限lim
sinxx
x→x0
=1，即：lim
sin
△x→0
△x
2sinu
u→0u
2,△x→0时，u→0)。求得(sinx) ′
△x
=cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。
其次，对数函数logax的求导公式。由导数定义， （logax）′=lim
loga（x+△x）—logax
△x
△xx
1△x→0
=limloga（1+
△x→0
）
1xx =limloga （1+
△x→01
△xx△xx
） ）
x△x
=xlimloga（1+
△x→0
=xlogae
作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。E-mail:[email protected]
1
=
1xlna
1x
其中应用了第二重要极限lim 1+x =e，即
x→∞
△x→0
limloga（1+
△xx
）=limloga（1+）logae（u=
△x→0
u
1xlna
x1
u
x
△x
，△x→0时，u→∞）
求得了（logax）′=
可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式过程中，特别是涉及三角函数与对数函数的求导中起到了关键性作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。
2.两个重要极限的一般形式
2.1关于极限lim
在lim
sinxx
sinxx
x→x0
=1
x→x0
中，x只是一个符号，并没有具体意义。
sinf（x）f（x）
故将其变形为limlimlim
sinf（x）
x→x0
，该式成立的条件是：当x→x0时，f（x）→0。将其推广后便有=1∙lim
f（x）
x→x0g（x）x→x0g（x）
x→x0g（x）
f（x）
=lim
sinf（x）f（x）
x→x0
∙
f（x）
g（x）
=lim
f（x）
，该式成立的条件是当x→x0时，f（x)→0且
x→x0g（x）
可求。
sinxx
需要注意的是：应用lim
x→x0
模型解题时符号x必须统一，包括系数、正负符号等。
00
解题方法：凑出以下三点，①的未定式。②分母为关于x的幂指数。③sin函数内的式子要与分母的式子一致。
2.2关于极限lim 1+x =e
x→∞
1x
同样在lim 1+ =e中，x也只是一个符号，没有具体意义。令y=x→∞时，y→0，那么
xx
x→∞
y→0
1x
1
lim 1+y =e。
故将其变形为lim 1+g（x）
x→x0
1
g（x）
1=e，该式成立的条件是：x→x0时，g（x）→0。将其推广后便有
g（x）
x→x0
lim 1+g（x）
g（x）x→x0f（x）
1f（x）
=lim 1+g（x）
x→x0
g（x）1g（x）f（x）
=lime
x→x0
f（x）
=e
x→x0f（x）
lim
g（x）
，该式成立的条件是当x→x0时，g（x）
→0且lim可求。
需要注意的是：g（x）形式上一定要统一，括号内必须是“+”号，如果是“−”号，需要变形后放
到分母上去。
一般解题方法：凑出以下三点，①注意x的趋向，始终保证极限式的形式。②构造“1+” ③括号内除去“1+”之外部分与指数上的式子要一致，互为倒数。
特殊解题方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；则
x→x0
x→x0
x→x0
lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=eA
g（x）
证明：令lim 1+f（x）
x→x0
=B.利用初等函数的连续性及对数性质有：
f（x）g（x）
B=lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=lim 1+f（x）
x→x0
1f（x）
两边取对数有，
lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）
x→x0
1f（x）
=Alne =A
所以B=eA
即lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=eA
特例见例5
3. 两个重要极限在计算极限中的应用
经分析可得，limx→0
sinxx
=1为（0limx→∞ 1+x =e为（1∞）型未定式。在解题过程中也
1x
可以用罗比达法则或等价无穷小求解。这里我们主要介绍如何在求解极限中应用这两个重要极限。 例1：求limxsinx
x→+∞
2x
2
解：令t=，可知t→0， limxsinx=lim
x→+∞
2
sin
x2x
x→+∞
sintt
∙2
=lim
t→0
∙2
=2
例2：求lim
x→0
sinsinsinx
x
解：设sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0 lim
x→0
sinsinsinx
x
lim（
x→0
sinsinsinxsinsinx
∙∙
sinsinxsinxsinxx
∙
sinxx
）
=lim（
x→0
sinaa
∙
sinbb
）
=1∙1∙1 =1 例3：求lim（1−x）
x→∞x
2
−x
解：设-2=t，知t→∞，
lim（1−）=lim 1−
xx
x→∞
x→∞
2
−x
2−2
2
=lim 1+t
t→∞
2
1t
=e2 例4：求lim 3x−1
x→+∞
3x+22x−1
解：令
3x−13
=t，知t→+∞，
3x+22x−1
lim 3x−1
x→+∞
=lim 1+ 3x−1
x→+∞lim
3（2x−1）
x→+∞3x−1
3
3x−13
2x−1
= e
2−x
=e2 例5：求lim 1−
x
x→∞
解：法一［普通法］
原式=lim 1−x =lim 1−x =e2 2
x→∞
−0
2−x
2
2−x
2
法二［特殊法］
因为lim（−x）（-x）=2，所以lim 1−xx→∞
x→∞
2
2−x
=e2
参考文献
1 彭英.浅谈两个重要极限的应用[J].山西科技，2008 2 郎宏志.对两个重要极限的讨论[J].中国科技信息，2006 3 吕楠.关于两个重要极限的理解[J].科教文汇，2007
4 王达开.两个重要极限应用探讨[J].辽宁教育行政学院学报，2004
关于两个重要极限的认识
陈乙德
（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）
摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用 中途分类号：O172 文献标志码：A
1x
在微积分的众多常用极限中之所以要把lim
sinxx
x→x0
=1, lim 1+x =e这两个极限称为重要极限是因为在
x→∞
由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。
1．两个重要极限在微分学中的重要性
微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x的导数f′（x），就是计算极限lim
f x+△x —f（x）
△x
x→x0
1），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限
制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看看正弦函数sinx的求导公式， (sinx)′=lim
f x+△x —f（x）
△x
2cos(x+)sin
△x△xsin
△x
2
x→x0
=lim
△x2
x→x0
=limcos(x+2)
△x→0
△x2
=cosx·1 =cosx
其中应用第一个重要极限lim
sinxx
x→x0
=1，即：lim
sin
△x→0
△x
2sinu
u→0u
2,△x→0时，u→0)。求得(sinx) ′
△x
=cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。
其次，对数函数logax的求导公式。由导数定义， （logax）′=lim
loga（x+△x）—logax
△x
△xx
1△x→0
=limloga（1+
△x→0
）
1xx =limloga （1+
△x→01
△xx△xx
） ）
x△x
=xlimloga（1+
△x→0
=xlogae
作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。E-mail:[email protected]
1
=
1xlna
1x
其中应用了第二重要极限lim 1+x =e，即
x→∞
△x→0
limloga（1+
△xx
）=limloga（1+）logae（u=
△x→0
u
1xlna
x1
u
x
△x
，△x→0时，u→∞）
求得了（logax）′=
可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式过程中，特别是涉及三角函数与对数函数的求导中起到了关键性作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。
2.两个重要极限的一般形式
2.1关于极限lim
在lim
sinxx
sinxx
x→x0
=1
x→x0
中，x只是一个符号，并没有具体意义。
sinf（x）f（x）
故将其变形为limlimlim
sinf（x）
x→x0
，该式成立的条件是：当x→x0时，f（x）→0。将其推广后便有=1∙lim
f（x）
x→x0g（x）x→x0g（x）
x→x0g（x）
f（x）
=lim
sinf（x）f（x）
x→x0
∙
f（x）
g（x）
=lim
f（x）
，该式成立的条件是当x→x0时，f（x)→0且
x→x0g（x）
可求。
sinxx
需要注意的是：应用lim
x→x0
模型解题时符号x必须统一，包括系数、正负符号等。
00
解题方法：凑出以下三点，①的未定式。②分母为关于x的幂指数。③sin函数内的式子要与分母的式子一致。
2.2关于极限lim 1+x =e
x→∞
1x
同样在lim 1+ =e中，x也只是一个符号，没有具体意义。令y=x→∞时，y→0，那么
xx
x→∞
y→0
1x
1
lim 1+y =e。
故将其变形为lim 1+g（x）
x→x0
1
g（x）
1=e，该式成立的条件是：x→x0时，g（x）→0。将其推广后便有
g（x）
x→x0
lim 1+g（x）
g（x）x→x0f（x）
1f（x）
=lim 1+g（x）
x→x0
g（x）1g（x）f（x）
=lime
x→x0
f（x）
=e
x→x0f（x）
lim
g（x）
，该式成立的条件是当x→x0时，g（x）
→0且lim可求。
需要注意的是：g（x）形式上一定要统一，括号内必须是“+”号，如果是“−”号，需要变形后放
到分母上去。
一般解题方法：凑出以下三点，①注意x的趋向，始终保证极限式的形式。②构造“1+” ③括号内除去“1+”之外部分与指数上的式子要一致，互为倒数。
特殊解题方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；则
x→x0
x→x0
x→x0
lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=eA
g（x）
证明：令lim 1+f（x）
x→x0
=B.利用初等函数的连续性及对数性质有：
f（x）g（x）
B=lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=lim 1+f（x）
x→x0
1f（x）
两边取对数有，
lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）
x→x0
1f（x）
=Alne =A
所以B=eA
即lim 1+f（x）
x→x0
g（x）
=eA
特例见例5
3. 两个重要极限在计算极限中的应用
经分析可得，limx→0
sinxx
=1为（0limx→∞ 1+x =e为（1∞）型未定式。在解题过程中也
1x
可以用罗比达法则或等价无穷小求解。这里我们主要介绍如何在求解极限中应用这两个重要极限。 例1：求limxsinx
x→+∞
2x
2
解：令t=，可知t→0， limxsinx=lim
x→+∞
2
sin
x2x
x→+∞
sintt
∙2
=lim
t→0
∙2
=2
例2：求lim
x→0
sinsinsinx
x
解：设sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0 lim
x→0
sinsinsinx
x
lim（
x→0
sinsinsinxsinsinx
∙∙
sinsinxsinxsinxx
∙
sinxx
）
=lim（
x→0
sinaa
∙
sinbb
）
=1∙1∙1 =1 例3：求lim（1−x）
x→∞x
2
−x
解：设-2=t，知t→∞，
lim（1−）=lim 1−
xx
x→∞
x→∞
2
−x
2−2
2
=lim 1+t
t→∞
2
1t
=e2 例4：求lim 3x−1
x→+∞
3x+22x−1
解：令
3x−13
=t，知t→+∞，
3x+22x−1
lim 3x−1
x→+∞
=lim 1+ 3x−1
x→+∞lim
3（2x−1）
x→+∞3x−1
3
3x−13
2x−1
= e
2−x
=e2 例5：求lim 1−
x
x→∞
解：法一［普通法］
原式=lim 1−x =lim 1−x =e2 2
x→∞
−0
2−x
2
2−x
2
法二［特殊法］
因为lim（−x）（-x）=2，所以lim 1−xx→∞
x→∞
2
2−x
=e2
参考文献
1 彭英.浅谈两个重要极限的应用[J].山西科技，2008 2 郎宏志.对两个重要极限的讨论[J].中国科技信息，2006 3 吕楠.关于两个重要极限的理解[J].科教文汇，2007
4 王达开.两个重要极限应用探讨[J].辽宁教育行政学院学报，2004