极限思想在小学数学教材中的渗透
教育科学学院 小学教育专业 100401056 赵倩
指导教师 苏明强 副教授
【摘 要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。
【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知
[1]
识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了
[2]
“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。
一、极限思想在数与代数中的渗透
（一）数的认识中的蕴含的极限思想
商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85„„这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用
12
表示，其中的两份用表示„„44
随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个
“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。正数与负数有无数个，是数不完的。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与0都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时
让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。
《数学》四年级下册P5。教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。整数部分从个位开始，往左数位逐次增加；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。通过数位的变化来体现数值的变化。
《数学》四年级下册P69。教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333„与9.4÷11=0.85454„这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。
《数学》五年级上册P2。自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。教材以“像0、1、2、3„„这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3„„这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整数的概念。通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。
《数学》五年级上册P4。教材以表格的形式呈现出1—100这100个数字，让学生通过表格寻找2、3、5倍数的特征。借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2的倍数的特点是个位上的数字有0、2、4、6、8；5的倍数的特点是个位上通常是0或者5；3的倍数同样具有它独特的特点。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此有无数个数满足2、3、5的倍数特征。
《数学》五年级上册P5。能被2整除的数即为偶数。反之，不能被2整除的数即为奇数。由于数有无数个，因此2的倍数有无数个。进而推出偶数的个数有无数个。反之，奇数也有无数个，也是数不完的。
《数学》五年级上册P38。无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。教材仍然是以“像
11233359
、、、„„这样的分数叫做真分数”以及“像、、、„„这24342344
样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的概念。同样是利用省
略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。由于数的个数有无数个，数可以越来越大。因此在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。同理假分数也是这样。带分数是由一个整数和一个真分数构成，因为真分数与整数的个数有无数个，所以带分数的个数也有无数个。
《数学》五年级上册P51。教材以表格的形式列出50个数字，要求学生将4的倍数用三角形表示， 6的倍数用圆形表示。同时标有三角形和圆形的数表示公倍数，即为4和6的公倍数。在有限数字的情况下，我们只能找到有限个4与6的公倍数。但是数是有无限多的，在不限数字范围的情况下，有无数个4与6公倍数。公倍数可以无穷大，可以无限多。但有且只有一个确定的数为两数的最小公倍数。
《数学》五年级上册P71。分数有无限多个与其等值的分数。因此在小数与分数的互相
1
的比较，教材中对0.44
1585148
>=做了相应转化，即0.4＝。=，因为，所以0.4大于。但是0.[1**********]20
转化中，一个小数可以转化成无数个与其等值的分数。对于0.4与
可转化成的分数并不是只有这两个，而是无限多的。同样地，也可以把分数转化成无限多个
与其大小相等的小数。
《数学》五年级下册P64。百分数是一类特殊的分数。百分数具有这样的特征：分母为100，分子不一定都是整数。而满足此条件的数有无数个，因此百分数的个数也是无限多的。教材中对于百分数的定义是“像22%，28%，90%，117.5%„„这样的数叫做百分数。”教材同样利用省略号来说明百分数是写不完的。
（二）数的运算中蕴含的极限思想
表1-2：北师大版小学数学“数的运算”教学内容中蕴含极限思想统计表
800÷200=4，8000÷2000=4。这四个算式以一竖列的形式排列，引导学生分别“从上往下看”以及“从下往上看”观察算式的变化，探索发现商不变规律。被除数8和除数2同时乘以10，100，1000后，做除法计算所得到的结果始终不变。而数的个数是无限多的，在10，100，1000这三个数外，8和2还可以同时乘以或除以其他相同的数，它们做除法所得到的商也是不变的。
《数学》四年级下册P40。小数的大小随着小数点的移动，数值不断发生变化。数的个数是无限多，因此小数点左移的位数是无限多的，小数随着小数点无限左移而变得无穷小。同理，小数点右移的位数同样是无限多的，小数随着小数点无限右移而变得无穷大。
《数学》五年级上册P43。分数有无限多个与其等值的分数。教材以母同乘以2，同乘以4后所得到
3
为例，将分子分4
63
，其大小与是相等的。数的个数是无限多的，在2和4843
这两个数外，还存在其他的数。的分子3和分母4还可以同乘或同除其他的“数”（0除
4
3
外），所得到的新分数的大小与原分数是等值的。因此有无限多个与相等的分数。
4
《数学》五年级上册P54。把一组分数通分后可以得到无数组与原分数大小相等，并且分母一致的分数。教材以操场和教学楼引入，让学生比较它们谁的占地面积比较大，即比较
21891618与的大小。可以将这两个分数通分变成与进行比较，也可以通分成与；[1**********]429与„„进行比较。 108108
《数学》五年级下册P7页。教材首先呈现的是我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中截取木棍的说法，通过语言文字的形式为极限思想做铺垫。其次教材采用几何直观的手段，
1
，再截取剩余部分2
11
的，此时剩下的部分占这张纸条的几分之几？最后再截取剩余纸条的，那么此时余下22
111
的纸条占这张纸条的多少？可以得出算式：×=□→□×=□。如果将这张纸条一直
222111
剪下去，那么就会有这样一个算式：×ׄ„=□，其结果是一个趋于0的数，但是
222
将语言文字转换成数学符号。以一张长方形纸条为例，首先截取它的始终不为0。
二、极限思想在图形与几何中的渗透
（一）图形认识中蕴含的极限思想
表2-1：北师大版小学数学“图形认识”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》二年级下册P67。角的两条边是射线，具有无限延伸的性质。
《数学》四年级上册P16。教材以学生熟知的斑马线、聚光灯、铁轨引出对于线段、射线以及直线的认识。线段有两个端点；线段不能向两端无限延伸。射线有一个端点；射线可以向一端无限延伸。直线没有端点；直线可以向两端无限延伸。由线段到射线再到直线的认识，层层递进，符合学生的认知发展水平。同时，本节课也是学生从对有限的认识发展到对无限的感知，是学生第一次明确地接触“无限”这一数学名词。
《数学》四年级上册P18。构成平行线必须要满足三个条件：（1）同一平面；（2）两条直线；（3）两条直线不相交。直线具有向两端无限延伸的性质，因此平行线具有无限延伸后永不相交的特征。
《数学》四年级上册P24。这是对角的进一步认识。教材通过介绍五种常见的角，让学生感知角的特征。角的两条边是射线，感受角的边无限延伸的特征，感悟极限思想。
《数学》六年级上册P2。圆是圆周上无数个点的集合。圆有无数条半径、直径。教材呈现了多种画圆的方法，其中之一是以人手作为圆规，拇指顶住圆心，拇指到食指间的距离
为半径画圆，食指走过的每个点的痕迹最终构成了一个圆。以此让学生感知无数个点的集合构成了圆的一周这一特征。
（二）图形度量中蕴含的极限思想
《数学》四年级上册P27。角的两条边是射线，延长角的两边不会改变角的大小。因此，在测量角的大小时，可以适当延长角的两条边，再进行测量。通过延长角的两条边，感悟角两边无限延伸的性质，渗透极限的数学思想。
《数学》四年级上册P29。在画角的时候，每个学生画出的角的边长不一定一样长，但是所画出的角的大小是一样的。在教学过程中要让学生充分理解角的特点：角的大小只和角的开口有关，延长角的两边不会改变角的大小，并且角的两条边可以无限延长，适时让学生体会极限的数学思想。
《数学》五年级上册P24。由平行四边形的面积公式可知，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的平行四边形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P26。由三角形的面积公式S=
1
ah 可知，在确定底和高的情况下，2
可以画出无数个等底等高的三角形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P30。由梯形的面积公式可以看出，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的梯形，并且它们的面积都相等。
（三）图形计算中蕴含的极限思想
表2-3：北师大版小学数学“图形计算”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P12。教材首先呈现的是一个探究活动，让学生通过探究活动寻找与圆的周长有关因素。通过回顾正方形边长与周长的关系，类比圆的直径与周长关系。再分别测量几个大小不同的圆的周长与直径，将圆的周长与相应直径作商，观察结果的变化。通过计算、观察、比较可以发现圆的周长除以直径的商在一定数值范围内变化，但变化的幅度并不大，总体上趋于一定数值。圆周率π小数部分的位数有无数个，没有尽头，并且各数位上的数字不尽相同。圆周率是让学生感悟极限思想很好的教学内容。
《数学》六年级上册P17。在探究圆的面积时，先将圆形纸片平均分成8份，将每份剪下后再将它们拼接为近似的平行四边形。将圆形纸片继续等分，分为16份，采用同样的方法拼接。观察图形形状可以发现，相比等分为8份时, 拼出的图形形状更加接近平行四边形。当圆形纸片等分的份数逐步增加时，每个小扇形的曲边逐渐趋于直边，用它们拼出的图形形状越来越接近长方形。当圆均分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼出的图形形状趋于矩形。再根据矩形的面积公式推导出圆的面积公式。这个推导过程在使用的方法上体现了极限
的数学思想。
《数学》六年级下册P8。在学习圆柱体积公式时，将圆柱从底面开始沿着圆柱的高进行等分，再拼成一个近似的长方体，当圆柱等分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼成的图形形状无限逼近长方体。再根据已学的体积公式推导出圆柱的体积公式。在教学过程中，可以从方法上进行渗透，突出“无限逼近”的方法，感悟极限思想。
（四）图形运动中蕴含的极限思想
表2-4：北师大版小学数学“图形运动”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P6。圆有无数条对称轴。圆的直径从数量上看, 有无限多条。圆的对称轴是直径所在的直线，因此圆有无数条对称轴。
三、极限思想在问题解决中的渗透
（一）数的认识
表3-1：北师大版小学数学“数的认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
分位上的数，可以写出9个满足要求的小数。往百分位的右边继续增加数位，填上符合条件的数便可以写出更多的小数。小数的小数部分的位数有无数个，小数部分的位数增加所能写出的小数也随之增加。此外（3.5,3.6）是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的。
《数学》五年级上册P6。9的倍数是无限的。教材将1-100这个100个数字排列在一个表格内。通过观察表格可以发现，9的倍数在表格中呈一条斜线排列，并且9的倍数具有这样一个特征：将每一个数位上的数字相加，得出的结果正好能被9整除。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此9的倍数同样有无数个。
《数学》五年级上册P13。123，234，345，456，567，„„它们都是3的倍数。在这些数中，将每一个数位上的数字相加，得出的结果恰好能被3整除，因此它们都是3的倍数。数的个数有无数个，故满足上述条件的数也是无限多的。
《数学》五年级上册P36。从图中可知，“1”被等分的份数逐渐增加，所得的分数单位将逐步减小。分的份数逐渐增加，直到无数多份时，这便是一个无限的过程。在这无限的过程中，分的份数是无限多的，而所得的每份就是无穷小的分数单位。不论怎么分都不能达到最小值，因此也就不存在最小的分数单位。
《数学》五年级上册P72。题目中数轴上的
1
对应的小数可以是0.5，也可以是0.50、2
0.500„„小数的“形”发生了改变，但小数的数值不变。小数的小数部分的位数有无数个，在保证小数数值大小不变的情况下，改变小数的“形”，得到的小数的个数有无数个。。题目
中数轴上的1.2对应的分数可以是数个与其等值的分数。
61218，还可以是，„„数是有无限多的，分数有无51015
《数学》五年级上册P73转化成小数为0.6。寻找比0.6小的小数相当于在(-∞, 0. 6)中任取一个数。(-∞, 0. 6)是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的，故比
35
3
小的5
小数有无数个。
《数学》五年级上册P94。数的个数是无限多的，故3、6、8的倍数是无限的，两个数的公倍数也有无限多个。在没有限定数的范围时，教材要求学生掌握的是会找出一些数的最小公倍数。而在数量有限的范围中，则要求学生在有限数中找出两个数所有的公倍数。通过限定数的范围来让学生从数量上感悟极限思想。
（二）数的运算
表3-2：北师大版小学数学“数的运算”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》五年级上册P44。等值分数的个数有无限多个。
8
=12
()这一题让学生认识到分数值相同的分数有无限多个。这不仅让学生学会如何使用分数的基本性质，同时提高学生对“有限与无限”认识。
（三）图形认识
表3-3
：北师大版小学数学“图形认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P22。教材设计让学生尝试动手画螺旋线，将正方形作为辅助图形，以它的边长作为半径画弧线，依次旋转地画下去，并将每段弧连接。螺旋线的长度随着正方形边长的增加而增加。螺旋线间不相交，在纸张允许的情况下，可以无限延伸下去。画螺旋线不仅让学生积累了操作活动经验，而且渗透了极限的数学思想，让学生认识到螺旋线的无限延伸性。
（四）图形运动
故圆的直径有无数条。因此，圆的直径不会因为圆的旋转而改变。
四、启发与思考
笔者通过整理研究小学数学教材中的极限思想，发现小学阶段的极限思想主要集中在“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。极限思想在教材中的渗透主要以这三种形式呈现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。笔者在前文研究中了解到人们对于极限的认识离不开对无限的认识，认识无限则又是从有限开始的。教材的编排遵循了这一认识特点。教师在设计教学方案，进行课堂教学时，首先要让学生感知有限；其次在有限认识的基础之上帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限；最后在感受无限的过程中飞跃到感知极限，从而感悟极限思想。
在小学阶段的教学中怎样才能使学生感悟极限思想？笔者在上文研究分析的基础上，做出进一步思考，给出以下三点建议：
第一，研究教材，充分挖掘蕴涵的极限思想。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。极限思想主要集中在小学数学教材中“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。在小学数学教学中，要让学生能够很好地感悟极限思想，教师首先要分析教材的脉络，研究教学的内容。教师在进行教材分析时，既要关注一节课的基础知识、基本技能，也要带着“数学思想”的眼光，深入分析、挖掘出教材中蕴含的数学思想。在“数与代数”与“图形与几何”这两个知识领域，教材中关于极限思想的渗透比较全面，教师在进行教材分析时要着重关注并做好相应的记录。同时，认真琢磨应该怎样结合教材内容，利用学生已有的经验进行极限思想的渗透。
第二，学情分析，为极限思想的渗透作铺垫。小学阶段的学生思维主要以具体形象思维为主，抽象思维逐步发展，但在理解抽象事物的时候仍要以具体形象做基础。小学生的认知特点使得他们更易理解具体形象的事物。思维发展停留在“有限”的认识阶段。而对于数量无限的、抽象的事物较难把握。因此教师在设计教学方案时，要充分把握学生的认知特点、知识基础和经验基础，为教学中极限思想的渗透奠定基础。对于极限思想的感悟，需要让学生经历这样一个过程：即先从认识“有限”开始，再建立对“无限”的认识，最后过渡到对“极限”的认识。教师的教学任务就是结合具体的教学内容让学生逐步经历这一认识过程，并且在其中逐步积累经验，逐步感悟极限思想。
第三，整体规划，系统分析极限思想的脉络。小学数学教材中蕴涵的极限思想主要以三种形式体现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。极限思想在“数与代数”知识领域中，主要以“数”的形式，体现数量上的无限多。通过认识常见的数，知道数的个数有无限多个，感悟极限思想。在“图形认识”与“图形度量”中，主要体现的是图形的无限延伸性。在“图形计算”中，运用无限逼近的方法推导出圆的面积公式、圆柱体积公式，进而从方法上感悟极限思想。教师在教学时要结合具体的教学内容，注重从“数量”、“图形”、“方法”的角度渗透极限思想。同时，教师还应注重帮助学生梳理极限思想的脉络，适当归纳总结，让学生更好地感悟极限思想。
参考文献：
[1] 教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社,2012:8. [2] 白淑珍. 对极限思想的辩证理解[J].中国校外教育,2008(2):40. [3] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第六册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[4][8][13][15] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第七册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[5][9][20] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第八册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[6][10][16][21][22] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第九册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[7][11] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第十册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[12] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第四册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[14][17][19][23][24] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第十一册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
[18] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第十二册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
The Permeation of Limitation in Mathematic Teaching Materials for Primary School
Education Science College Quanzhou Normal University
Primary Education 100401056 Zhao Qian Tutor: Su Mingqiang Associate Professor
【abstract 】Mathematic teaching should not only impart knowledge and skills but also should pay special attention to students ’ comprehension of mathematic ideas. As one of the most common mathematic ideas in math teaching at primary school, Limitation permeates varies kinds of mathematic teaching materials for primary school. This thesis would focus on the period of primary school and take mathematic teaching materials for primary school published by Beijing Normal University Press as an example. By preliminary exploration of the permeation of Limitation in teaching materials and exploration of Limitation involved in teaching materials, this thesis will provide teachers with analysis of teaching materials as well as references for designing teaching schemes.
【key words 】Limitation; primary mathematics; teaching material; Beijing Normal University Press
极限思想在小学数学教材中的渗透
教育科学学院 小学教育专业 100401056 赵倩
指导教师 苏明强 副教授
【摘 要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。
【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知
[1]
识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了
[2]
“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。
一、极限思想在数与代数中的渗透
（一）数的认识中的蕴含的极限思想
商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85„„这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用
12
表示，其中的两份用表示„„44
随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个
“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。正数与负数有无数个，是数不完的。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与0都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正数和最小的负数，在教学中，可以适时
让学生体会正数、负数的个数有无数个，让学生感悟极限的数学思想。
《数学》四年级下册P5。教材以数位顺序表的形式呈现出小数的特点。在数位顺序表中可以看出，整数部分与小数部分以小数点为分界点，数位分别向小数点左右两端无限增加。整数部分从个位开始，往左数位逐次增加；小数部分则从十分位开始，往右数位逐次增加。通过数位的变化来体现数值的变化。
《数学》四年级下册P69。教材围绕“蜘蛛与蜗牛平均每分钟谁爬得快？”这个问题列出73÷3=24.3333„与9.4÷11=0.85454„这两个算式，并追问学生“你们为什么不往下除了？发现了什么？”引出循环小数。通过除法计算，让学生感知循环小数循环节中的数字反复出现，是写不完的，是无限多的，体会循环小数小数部分的位数有无数个。
《数学》五年级上册P2。自然数、整数有无限多个；一个数的倍数有无限多个。教材以“像0、1、2、3„„这样的数是自然数”以及“像-3、-2、-1、0、1、2、3„„这样的数是整数”利用描述式定义法来界定自然数、整数的概念。通过省略号来说明自然数、整数的个数有无数个，是数不完的。关于倍数，教材以7为例，14是7的倍数；77是7的倍数，以此追问学生：“你还能找到7的其他倍数吗？”让学生从数量上感知一个数的倍数的个数，体会极限思想。
《数学》五年级上册P4。教材以表格的形式呈现出1—100这100个数字，让学生通过表格寻找2、3、5倍数的特征。借助表格可以让学生直观地感知，发现数的特征：2的倍数的特点是个位上的数字有0、2、4、6、8；5的倍数的特点是个位上通常是0或者5；3的倍数同样具有它独特的特点。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此有无数个数满足2、3、5的倍数特征。
《数学》五年级上册P5。能被2整除的数即为偶数。反之，不能被2整除的数即为奇数。由于数有无数个，因此2的倍数有无数个。进而推出偶数的个数有无数个。反之，奇数也有无数个，也是数不完的。
《数学》五年级上册P38。无论是真分数、假分数还是带分数，它们都无数个。教材仍然是以“像
11233359
、、、„„这样的分数叫做真分数”以及“像、、、„„这24342344
样的分数叫做假分数”同样是运用了描述式定义法来界定这两种分数的概念。同样是利用省
略号来说明了假分数与真分数的个数是无限多的，是数不完的。由于数的个数有无数个，数可以越来越大。因此在真分数中，用于表示分母的数可以无限多也可以无限大，那么用于表示分子的数也会变得无限多。在保证是真分数的条件下，使得真分数的个数有无数个。同理假分数也是这样。带分数是由一个整数和一个真分数构成，因为真分数与整数的个数有无数个，所以带分数的个数也有无数个。
《数学》五年级上册P51。教材以表格的形式列出50个数字，要求学生将4的倍数用三角形表示， 6的倍数用圆形表示。同时标有三角形和圆形的数表示公倍数，即为4和6的公倍数。在有限数字的情况下，我们只能找到有限个4与6的公倍数。但是数是有无限多的，在不限数字范围的情况下，有无数个4与6公倍数。公倍数可以无穷大，可以无限多。但有且只有一个确定的数为两数的最小公倍数。
《数学》五年级上册P71。分数有无限多个与其等值的分数。因此在小数与分数的互相
1
的比较，教材中对0.44
1585148
>=做了相应转化，即0.4＝。=，因为，所以0.4大于。但是0.[1**********]20
转化中，一个小数可以转化成无数个与其等值的分数。对于0.4与
可转化成的分数并不是只有这两个，而是无限多的。同样地，也可以把分数转化成无限多个
与其大小相等的小数。
《数学》五年级下册P64。百分数是一类特殊的分数。百分数具有这样的特征：分母为100，分子不一定都是整数。而满足此条件的数有无数个，因此百分数的个数也是无限多的。教材中对于百分数的定义是“像22%，28%，90%，117.5%„„这样的数叫做百分数。”教材同样利用省略号来说明百分数是写不完的。
（二）数的运算中蕴含的极限思想
表1-2：北师大版小学数学“数的运算”教学内容中蕴含极限思想统计表
800÷200=4，8000÷2000=4。这四个算式以一竖列的形式排列，引导学生分别“从上往下看”以及“从下往上看”观察算式的变化，探索发现商不变规律。被除数8和除数2同时乘以10，100，1000后，做除法计算所得到的结果始终不变。而数的个数是无限多的，在10，100，1000这三个数外，8和2还可以同时乘以或除以其他相同的数，它们做除法所得到的商也是不变的。
《数学》四年级下册P40。小数的大小随着小数点的移动，数值不断发生变化。数的个数是无限多，因此小数点左移的位数是无限多的，小数随着小数点无限左移而变得无穷小。同理，小数点右移的位数同样是无限多的，小数随着小数点无限右移而变得无穷大。
《数学》五年级上册P43。分数有无限多个与其等值的分数。教材以母同乘以2，同乘以4后所得到
3
为例，将分子分4
63
，其大小与是相等的。数的个数是无限多的，在2和4843
这两个数外，还存在其他的数。的分子3和分母4还可以同乘或同除其他的“数”（0除
4
3
外），所得到的新分数的大小与原分数是等值的。因此有无限多个与相等的分数。
4
《数学》五年级上册P54。把一组分数通分后可以得到无数组与原分数大小相等，并且分母一致的分数。教材以操场和教学楼引入，让学生比较它们谁的占地面积比较大，即比较
21891618与的大小。可以将这两个分数通分变成与进行比较，也可以通分成与；[1**********]429与„„进行比较。 108108
《数学》五年级下册P7页。教材首先呈现的是我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中截取木棍的说法，通过语言文字的形式为极限思想做铺垫。其次教材采用几何直观的手段，
1
，再截取剩余部分2
11
的，此时剩下的部分占这张纸条的几分之几？最后再截取剩余纸条的，那么此时余下22
111
的纸条占这张纸条的多少？可以得出算式：×=□→□×=□。如果将这张纸条一直
222111
剪下去，那么就会有这样一个算式：×ׄ„=□，其结果是一个趋于0的数，但是
222
将语言文字转换成数学符号。以一张长方形纸条为例，首先截取它的始终不为0。
二、极限思想在图形与几何中的渗透
（一）图形认识中蕴含的极限思想
表2-1：北师大版小学数学“图形认识”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》二年级下册P67。角的两条边是射线，具有无限延伸的性质。
《数学》四年级上册P16。教材以学生熟知的斑马线、聚光灯、铁轨引出对于线段、射线以及直线的认识。线段有两个端点；线段不能向两端无限延伸。射线有一个端点；射线可以向一端无限延伸。直线没有端点；直线可以向两端无限延伸。由线段到射线再到直线的认识，层层递进，符合学生的认知发展水平。同时，本节课也是学生从对有限的认识发展到对无限的感知，是学生第一次明确地接触“无限”这一数学名词。
《数学》四年级上册P18。构成平行线必须要满足三个条件：（1）同一平面；（2）两条直线；（3）两条直线不相交。直线具有向两端无限延伸的性质，因此平行线具有无限延伸后永不相交的特征。
《数学》四年级上册P24。这是对角的进一步认识。教材通过介绍五种常见的角，让学生感知角的特征。角的两条边是射线，感受角的边无限延伸的特征，感悟极限思想。
《数学》六年级上册P2。圆是圆周上无数个点的集合。圆有无数条半径、直径。教材呈现了多种画圆的方法，其中之一是以人手作为圆规，拇指顶住圆心，拇指到食指间的距离
为半径画圆，食指走过的每个点的痕迹最终构成了一个圆。以此让学生感知无数个点的集合构成了圆的一周这一特征。
（二）图形度量中蕴含的极限思想
《数学》四年级上册P27。角的两条边是射线，延长角的两边不会改变角的大小。因此，在测量角的大小时，可以适当延长角的两条边，再进行测量。通过延长角的两条边，感悟角两边无限延伸的性质，渗透极限的数学思想。
《数学》四年级上册P29。在画角的时候，每个学生画出的角的边长不一定一样长，但是所画出的角的大小是一样的。在教学过程中要让学生充分理解角的特点：角的大小只和角的开口有关，延长角的两边不会改变角的大小，并且角的两条边可以无限延长，适时让学生体会极限的数学思想。
《数学》五年级上册P24。由平行四边形的面积公式可知，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的平行四边形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P26。由三角形的面积公式S=
1
ah 可知，在确定底和高的情况下，2
可以画出无数个等底等高的三角形，并且它们的面积都相等。
《数学》五年级上册P30。由梯形的面积公式可以看出，在确定底和高的情况下，可以画出无数个等底等高的梯形，并且它们的面积都相等。
（三）图形计算中蕴含的极限思想
表2-3：北师大版小学数学“图形计算”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P12。教材首先呈现的是一个探究活动，让学生通过探究活动寻找与圆的周长有关因素。通过回顾正方形边长与周长的关系，类比圆的直径与周长关系。再分别测量几个大小不同的圆的周长与直径，将圆的周长与相应直径作商，观察结果的变化。通过计算、观察、比较可以发现圆的周长除以直径的商在一定数值范围内变化，但变化的幅度并不大，总体上趋于一定数值。圆周率π小数部分的位数有无数个，没有尽头，并且各数位上的数字不尽相同。圆周率是让学生感悟极限思想很好的教学内容。
《数学》六年级上册P17。在探究圆的面积时，先将圆形纸片平均分成8份，将每份剪下后再将它们拼接为近似的平行四边形。将圆形纸片继续等分，分为16份，采用同样的方法拼接。观察图形形状可以发现，相比等分为8份时, 拼出的图形形状更加接近平行四边形。当圆形纸片等分的份数逐步增加时，每个小扇形的曲边逐渐趋于直边，用它们拼出的图形形状越来越接近长方形。当圆均分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼出的图形形状趋于矩形。再根据矩形的面积公式推导出圆的面积公式。这个推导过程在使用的方法上体现了极限
的数学思想。
《数学》六年级下册P8。在学习圆柱体积公式时，将圆柱从底面开始沿着圆柱的高进行等分，再拼成一个近似的长方体，当圆柱等分的份数逐步增加，直至无限多时，所拼成的图形形状无限逼近长方体。再根据已学的体积公式推导出圆柱的体积公式。在教学过程中，可以从方法上进行渗透，突出“无限逼近”的方法，感悟极限思想。
（四）图形运动中蕴含的极限思想
表2-4：北师大版小学数学“图形运动”教学内容中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P6。圆有无数条对称轴。圆的直径从数量上看, 有无限多条。圆的对称轴是直径所在的直线，因此圆有无数条对称轴。
三、极限思想在问题解决中的渗透
（一）数的认识
表3-1：北师大版小学数学“数的认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
分位上的数，可以写出9个满足要求的小数。往百分位的右边继续增加数位，填上符合条件的数便可以写出更多的小数。小数的小数部分的位数有无数个，小数部分的位数增加所能写出的小数也随之增加。此外（3.5,3.6）是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的。
《数学》五年级上册P6。9的倍数是无限的。教材将1-100这个100个数字排列在一个表格内。通过观察表格可以发现，9的倍数在表格中呈一条斜线排列，并且9的倍数具有这样一个特征：将每一个数位上的数字相加，得出的结果正好能被9整除。通过推理发现这些规律并不只局限于100以内的数字，对于更大的数依然成立。数有无数个，因此9的倍数同样有无数个。
《数学》五年级上册P13。123，234，345，456，567，„„它们都是3的倍数。在这些数中，将每一个数位上的数字相加，得出的结果恰好能被3整除，因此它们都是3的倍数。数的个数有无数个，故满足上述条件的数也是无限多的。
《数学》五年级上册P36。从图中可知，“1”被等分的份数逐渐增加，所得的分数单位将逐步减小。分的份数逐渐增加，直到无数多份时，这便是一个无限的过程。在这无限的过程中，分的份数是无限多的，而所得的每份就是无穷小的分数单位。不论怎么分都不能达到最小值，因此也就不存在最小的分数单位。
《数学》五年级上册P72。题目中数轴上的
1
对应的小数可以是0.5，也可以是0.50、2
0.500„„小数的“形”发生了改变，但小数的数值不变。小数的小数部分的位数有无数个，在保证小数数值大小不变的情况下，改变小数的“形”，得到的小数的个数有无数个。。题目
中数轴上的1.2对应的分数可以是数个与其等值的分数。
61218，还可以是，„„数是有无限多的，分数有无51015
《数学》五年级上册P73转化成小数为0.6。寻找比0.6小的小数相当于在(-∞, 0. 6)中任取一个数。(-∞, 0. 6)是一个不可数数集，因此其中元素的个数是无限的，故比
35
3
小的5
小数有无数个。
《数学》五年级上册P94。数的个数是无限多的，故3、6、8的倍数是无限的，两个数的公倍数也有无限多个。在没有限定数的范围时，教材要求学生掌握的是会找出一些数的最小公倍数。而在数量有限的范围中，则要求学生在有限数中找出两个数所有的公倍数。通过限定数的范围来让学生从数量上感悟极限思想。
（二）数的运算
表3-2：北师大版小学数学“数的运算”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》五年级上册P44。等值分数的个数有无限多个。
8
=12
()这一题让学生认识到分数值相同的分数有无限多个。这不仅让学生学会如何使用分数的基本性质，同时提高学生对“有限与无限”认识。
（三）图形认识
表3-3
：北师大版小学数学“图形认识”问题解决中蕴含极限思想统计表
《数学》六年级上册P22。教材设计让学生尝试动手画螺旋线，将正方形作为辅助图形，以它的边长作为半径画弧线，依次旋转地画下去，并将每段弧连接。螺旋线的长度随着正方形边长的增加而增加。螺旋线间不相交，在纸张允许的情况下，可以无限延伸下去。画螺旋线不仅让学生积累了操作活动经验，而且渗透了极限的数学思想，让学生认识到螺旋线的无限延伸性。
（四）图形运动
故圆的直径有无数条。因此，圆的直径不会因为圆的旋转而改变。
四、启发与思考
笔者通过整理研究小学数学教材中的极限思想，发现小学阶段的极限思想主要集中在“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。极限思想在教材中的渗透主要以这三种形式呈现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。笔者在前文研究中了解到人们对于极限的认识离不开对无限的认识，认识无限则又是从有限开始的。教材的编排遵循了这一认识特点。教师在设计教学方案，进行课堂教学时，首先要让学生感知有限；其次在有限认识的基础之上帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限；最后在感受无限的过程中飞跃到感知极限，从而感悟极限思想。
在小学阶段的教学中怎样才能使学生感悟极限思想？笔者在上文研究分析的基础上，做出进一步思考，给出以下三点建议：
第一，研究教材，充分挖掘蕴涵的极限思想。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。极限思想主要集中在小学数学教材中“数与代数”以及“图形与几何”这两大知识领域。在小学数学教学中，要让学生能够很好地感悟极限思想，教师首先要分析教材的脉络，研究教学的内容。教师在进行教材分析时，既要关注一节课的基础知识、基本技能，也要带着“数学思想”的眼光，深入分析、挖掘出教材中蕴含的数学思想。在“数与代数”与“图形与几何”这两个知识领域，教材中关于极限思想的渗透比较全面，教师在进行教材分析时要着重关注并做好相应的记录。同时，认真琢磨应该怎样结合教材内容，利用学生已有的经验进行极限思想的渗透。
第二，学情分析，为极限思想的渗透作铺垫。小学阶段的学生思维主要以具体形象思维为主，抽象思维逐步发展，但在理解抽象事物的时候仍要以具体形象做基础。小学生的认知特点使得他们更易理解具体形象的事物。思维发展停留在“有限”的认识阶段。而对于数量无限的、抽象的事物较难把握。因此教师在设计教学方案时，要充分把握学生的认知特点、知识基础和经验基础，为教学中极限思想的渗透奠定基础。对于极限思想的感悟，需要让学生经历这样一个过程：即先从认识“有限”开始，再建立对“无限”的认识，最后过渡到对“极限”的认识。教师的教学任务就是结合具体的教学内容让学生逐步经历这一认识过程，并且在其中逐步积累经验，逐步感悟极限思想。
第三，整体规划，系统分析极限思想的脉络。小学数学教材中蕴涵的极限思想主要以三种形式体现：（1）从“数量”上看“无限多”；（2）从“图形”上看“无限延伸”；（3）从“方法”上看“无限逼近”。极限思想在“数与代数”知识领域中，主要以“数”的形式，体现数量上的无限多。通过认识常见的数，知道数的个数有无限多个，感悟极限思想。在“图形认识”与“图形度量”中，主要体现的是图形的无限延伸性。在“图形计算”中，运用无限逼近的方法推导出圆的面积公式、圆柱体积公式，进而从方法上感悟极限思想。教师在教学时要结合具体的教学内容，注重从“数量”、“图形”、“方法”的角度渗透极限思想。同时，教师还应注重帮助学生梳理极限思想的脉络，适当归纳总结，让学生更好地感悟极限思想。
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[18] 义务教育数学课程标准研制组. 义务教育课程标准实验教科书数学（第十二册）[M].北京:北京师范大学出版社，2006.
The Permeation of Limitation in Mathematic Teaching Materials for Primary School
Education Science College Quanzhou Normal University
Primary Education 100401056 Zhao Qian Tutor: Su Mingqiang Associate Professor
【abstract 】Mathematic teaching should not only impart knowledge and skills but also should pay special attention to students ’ comprehension of mathematic ideas. As one of the most common mathematic ideas in math teaching at primary school, Limitation permeates varies kinds of mathematic teaching materials for primary school. This thesis would focus on the period of primary school and take mathematic teaching materials for primary school published by Beijing Normal University Press as an example. By preliminary exploration of the permeation of Limitation in teaching materials and exploration of Limitation involved in teaching materials, this thesis will provide teachers with analysis of teaching materials as well as references for designing teaching schemes.
【key words 】Limitation; primary mathematics; teaching material; Beijing Normal University Press