2014年中考数学常德卷(答案和解析)

湖南省常德市2014年中考数学试卷

一、选择题(本大题8个小题, 每小题3分, 满分24分)

@选择题

1. |﹣2|等于( )

A. 2 B. ﹣

2 C.

【解析】根据绝对值的性质可知:|﹣2|=2.

【答案】A.

2. 如图的几何体的主视图是(

)

D. 【解析】从几何体的正面看可得

【答案】B.

3. 下列各数:,π, ,cos60°,0, , , 其中无理数的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【解析】据无理数定义得有, π和是无理数.

【答案】B.

4. 下列各式与是同类二次根式的是( )

【解析】A ､

=2, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

､=2, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

C ､=5, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

D ､

=2, 故, 与是同类二次根式, 故此选项正确;

【答案】D.

5. 如图, 已知AC ∥BD, ∠CAE=30°, ∠DBE=45°, 则∠AEB 等于(

)

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

【解析】过E 作EF ∥

AC,

∵AC ∥BD,

∴EF ∥BD,

∴∠B=∠2=45°,

∵AC ∥EF,

∴∠1=∠A=30°,

∴∠AEB=30°+45°=75°,

【答案】D.

6. 某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28,38,38,35,35,38,48, 这组数据的中位数和众数分别是( )

A. 35,38 B. 38,35 C. 38,38 D. 35,35

【解析】38出现的次数最多,38是众数.

排序后位于中间位置的数是38, 所以中位数为38.

【答案】C.

7. 下面分解因式正确的是( )

A. x2+2x+1=x(x+2)+1 B. (x2﹣4)x=x3﹣4x C. ax+bx=(a+b)x D. m2﹣2mn+n2=(m+n)2

【解析】A ､x 2+2x+1=x(x+2)+1,不是因式分解, 故此选项错误;

B ､(x2﹣4)x=x3﹣4x, 不是因式分解, 故此选项错误;

C ､ax+bx=(a+b)x,是因式分解, 故此选项正确;

D ､m 2﹣2mn+n2=(m﹣n) 2, 故此选项错误.

【答案】C.

8. 阅读理解：如图1, 在平面内选一定点O, 引一条有方向的射线Ox, 再选定一个单位长度, 那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定, 有序数对(θ,m) 称为M 点的“极坐标”, 这样建立的坐标系称为“极坐标系”.

应用:在图2的极坐标系下, 如果正六边形的边长为2, 有一边OA 在射线Ox 上, 则正六边形的顶点C 的极坐标应记为(

)

A. (60°,4) B. (45°,4) C. (60°,2) D. (50°

,2)

【解析】如图, 设正六边形的中心为D, 连接AD,

∵∠ADO=360°÷6=60°,OD=AD,

∴△AOD 是等边三角形,

∴OD=OA=2,∠AOD=60°,

∴OC=2OD=2×2=4,

∴正六边形的顶点C 的极坐标应记为(60°,4).

【答案】A.

二、填空题(本大题8个小题, 每小题3分, 满分24分)

@填空题

9. 要使式子在实数范围内有意义, 则x 的取值范围是_________.

【解析】由题意得,2x ﹣1≥0,

解得x ≥1/2.

【答案】:x≥1/2.

10. 古生物学家发现350 000 000年前, 地球上每年大约是400天, 用科学记数法表示__________.

【解析】将350 000 000用科学记数法表示为:3.5×108.

【答案】:3.5×108.

11. 下列关于反比例函数

y=的三个结论:

①它的图象经过点(7,3);

②它的图象在每一个象限内,y 随x 的增大而减小;

③它的图象在二､四象限内.

其中正确的是____________.

【解析】①∵7×3=21,

∴它的图象经过点(7,3),故①正确;

②∵k=21>0,

∴它的图象在每一个象限内,y 随x 的增大而减小, 故②正确;

③它的图象应在第一三象限, 故③错误;

【答案】①②.

12. 计算:﹣=____________.

﹣ 【解析】原式=

=. 【答案】:.

13. 一元二次方程2x 2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是_________. 根据题意得△=(﹣3) 2﹣4×2×k>0,

解得k

【答案】k

14. 如图,AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB, 若AB=10,CD=8,则圆心O 到弦CD 的距离为

___________.

【解析】连接

OC,

∵AB 为⊙O 的直径,AB=10,

∴OC=5,

∵CD ⊥AB,CD=8,

∴CE=4,

∴

OE===3.

【答案】3.

15. 如图, 已知△ABC 三个内角的平分线交于点O, 点D 在CA 的延长线上, 且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°, 则∠BCA 的度数为

_____________.

【解析】∵△ABC 三个内角的平分线交于点O,

∴∠ACO=∠BCO,

在△COD 和△COB 中

∴△COD ≌△COB,

∴∠D=∠CBO,

∵∠BAC=80°,

∴∠BAD=100°,

∴∠BAO=40°,

∴∠DAO=140°,

∵AD=AO,∴∠D=20°,

∴∠CBO=20°,

∴∠ABC=40°,

∴∠BCA=60°,

【答案】60°.

16. 已知:=1/3;=1/5;

计算:= ___________;

猜想:

_________. 【解析】已

=1/3;

=1/5;

=1/7;

…

分子为n 个1相加, 结果等于n;

分母为n 项相加:(4n+3)+(4n﹣1)+…

+11+7+3==n(2n+3)

∴猜想=

【答案】1/7;. =

三、解答题(本大题2个小题, 每小题5分, 满分10分)

@解答题

17.(5分) 计算:(﹣2) 2﹣2﹣1+(sin30°﹣1) 0﹣.

【解析】原式=4﹣(1/2)+1﹣4

=1/2.

18.(5分) 解方程

【解析】去分母得:x+2=2,

解得:x=0,

经检验x=0是分式方程的解.

四、解答题(本大题2个小题, 每小题6分, 满分12分)

19.(6分)

求不等式组

【解析】解不等式①，得x >-3 2

20.(6分) 小美周末来到公园, 发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏. 游戏设计者提供了一只兔子和一个有A ､B ､C ､D ､E 五个出入口的兔笼, 而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定:

①玩家只能将小兔从A ､B 两个出入口放入;

②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开, 则可获得一只价值5元小兔玩具, 否则应付费3元.

(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?

(2)假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?

【解析】（1）画树状图（或列表略）

21 = 105

1（2）100人次玩此游戏, 估计有100? 20人次会获得玩具, 花费20×5=100元, 5小美得到小兔玩具的概率=

估计将有100-20=80人次要付费，

估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元).

五、解答题(本大题2个小题, 每小题7分, 满分14分)

21.(7分)2014年5月12日, 国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》, 报告显示:我国农民工收入持续快速增长. 某地区农民工人均月收入增长率如图1, 并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图

根据以上统计图解答下列问题:

(1)2013年农民工人均月收入的增长率是多少?

(2)2011年农民工人均月收入是多少?

(3)小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了. ”你认为小明的说法正确吗? 请说明理由.

【解析】(1)由折线统计图可得出:

2013年农民工人均月收入的增长率是:10%;

(2)由条形统计图可得出:

2011年农民工人均月收入是:2205元;

(3)不正确,

理由:∵2012年农民工人均月收入是:2205×(1+20%)=2646(元)>2205元,

∴农民工2012年的人均月收入比2011年的少了, 是错误的.

22.(7分) 如图,A,B,C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB,BC 表示连接缆车站的钢缆. 已知A,B,C 所处位置的海拔AA 1,BB 1,CC 1分别为160米,400米,1000米, 钢缆AB,BC 分别与水平线AA 2,BB 2所成的夹角为30°,45°, 求钢缆AB 和BC 的总长度.(结果精确到1米)

【解析】BD=400﹣160=240米,

CB 2=1000﹣400=600米,

在Rt △ABD 中

,AB=

在Rt △BCB 2中,BC==480米, =600米,

AB+BC=480+600≈1328米.

答:钢缆AB 和BC 的总长度大约是1328米.

六、解答题(本大题2个小题, 每小题8分, 满分16分)

23.(8分) 如图, 已知⊙O 的直径为AB,AC ⊥AB 于点A,BC 与⊙O 相交于点D, 在AC 上取一点E, 使得

ED=EA.

(1)求证:ED是⊙O 的切线.

(2)当OA=3,AE=4时, 求BC 的长度.

【解析】(1)证明:如图, 连接

OD.

∵AC ⊥AB,

∴∠BAC=90°, 即∠OAE=90°.

在△AOE 与△DOE 中

∴△AOE ≌△DOE(SSS),

∴∠OAE=∠ODE=90°, 即OD ⊥ED.

又∵OD 是⊙O 的半径,

∴ED 是⊙O 的切线;

(2)如图, 在△OAE 中, ∠OAE=90°,OA=3,AE=4,

∴由勾股定理易求OE=5.

∵AB 是直径,

∴∠ADB=90°, 即AD ⊥BC.

又∵由(1)知, △AOE ≌△DOE,

∴∠AEO=∠DEO,

又∵AE=DE,

∴OE ⊥AD,

∴OE ∥BC, ∴==.

BC=2OE=10,即BC 的长度是10.

24.(8分) 在体育局的策划下, 市体育馆将组织明星篮球赛, 为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x, 购票总价为y):

方案一:提供8000元赞助后, 每张票的票价为50元;

方案二:票价按图中的折线OAB 所表示的函数关系确定

(1)若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?

(2)求方案二中y 与x 的函数关系式;

(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算?

【解析】(1)若购买120张票时,

方案一购票总价:y=8000+50x=14000元,

方案二购票总价:y=13200元.

(2)当0

设y=kx,代入(100,12000)得

12000=100k,

解得k=120,

∴y=120x;

当x>100时,

设y=kx+b,代入(100,12000)､(120,13200)得

, 解得,

∴y=60x+6000.

(3)由(1)可知, 要选择方案一比较合算, 必须超过120张, 由此得

8000+50x≤60x+6000,

解得x ≥200,

所以至少买200张票时选择方案一比较合算.

七、解答题(本大题2个小题, 每小题10分, 满分20分)

@10

25.(10分) 如图, 已知二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,

﹣),M 是OA 的中点

(1)求此二次函数的解析式;

(2)设P 是抛物线上的一点, 过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q, 要使四边形PQAM 是菱形, 求P 点的坐标;

(3)将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折, 得曲线OB ′A(B′为B 关于x 轴的对称点), 在原抛物线x 轴的上方部分取一点C, 连接CM,CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D. 若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍, 这样的点C 是否存在? 若存在求出C 点的坐标, 若不存在, 请说明理由.

【解析】(1)∵抛物线过原点, ∴设其解析式为:y=ax2+bx.

∵抛物线经过点A(4,0),B(2,

﹣), ∴, 解得,

∴二次函数解析式为:y=

(2)∵

y=x 2﹣x=x 2﹣x. (x﹣2) 2﹣,

∴抛物线对称轴为直线:x=2.

∵四边形PQAM 是菱形,

∴PQ=MA=2,PQ∥x 轴.

∴点P ､Q 关于对称轴x=2对称,

∴点P 横坐标为1.

当x=1时

,y=∴P(1,﹣

﹣=﹣.

(3)依题意, 翻折之后的抛物线解析式为:y=

﹣x 2+x.

假设存在这样的点C,

∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍,

∴CD=2MD,∴CM=3MD.

如答图所示, 分别过点D ､C 作x 轴的垂线, 垂足分别为点E ､点F, 则有DE ∥

CF.

∴,

∴CF=3DE,MF=3ME.

设C(x,x 2﹣x),

则MF=x﹣2,ME=MF=(x﹣2),OE=ME+OM=x+

∴D(x+,﹣

∵CF=3DE, ∴x 2﹣x=3[﹣(x+)2+

. (x+)], (x+)2+(x+)). 整理得:x2﹣4x ﹣8=0, 解得:x1=2+2,x 2=2﹣2

∴y 1

=,y 2

∴存在满足条件的点C, 点C 的坐标为(2+2, ) 或(2﹣2, ).

26.(10分) 如图1､2, 已知四边形ABCD 为正方形, 在射线AC 上有一动点P, 作PE ⊥AD(或延长线) 于E, 作PF ⊥DC(或延长线) 于F, 作射线BP 交EF 于G

(1)在图1中, 设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y,AP=x,求y 关于x 的函数表达式;

(2)结论:GB⊥EF 对图1, 图2都是成立的, 请任选一图形给出证明;

(3)请根据图2证明:△FGC ∽△PFB.

【解析】(1)∵PE ⊥AD,PF ⊥DC,

∴四边形EPFD 是矩形,

∵AP=x,

∴

AE=EP=DF=

DE=PF=FC=2

﹣x, ,

∴S 四边形ABFE =4﹣ED •DF ﹣BC •FC

=4﹣×x(2﹣x) ﹣×2×(2﹣x)

=x2+2;

(2)证明:如图1, 延长FP 交AB 于

∵PF ⊥DC,PE ⊥AD,

∴PF ⊥PE,PH ⊥HB,

即∠BHP=90°,

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AC 平分∠DAB,

∴可得PF=FC=HB,EP=PH,

在△FPE 与△BHP 中

∴△FPE ≌△BHP(SAS),

∴∠PFE=∠PBH,

又∵∠FPG=∠BPH,

∴△FPG ∽△BPH,

∴∠FGP=∠BHP=90°,

即GB ⊥EF;

(3)证明:如图2, 连接PD, ∵GB ⊥EF,

∴∠BPF=∠CFG ①, 在△DPC 和△BPC 中

∴△DPC ≌△BPC(SAS), ∴PD=PB,

而PD=EF,∴EF=PB, 又∵GB ⊥EF,

∴PF 2=FG•EF,

∴PF 2=FG•PB,

而PF=FC,

∴PF •FC=FG•PB, ∴=②,

∴由①②得△FGC ∽△PFB.

湖南省常德市2014年中考数学试卷

一、选择题(本大题8个小题, 每小题3分, 满分24分)

@选择题

1. |﹣2|等于( )

A. 2 B. ﹣

2 C.

【解析】根据绝对值的性质可知:|﹣2|=2.

【答案】A.

2. 如图的几何体的主视图是(

)

D. 【解析】从几何体的正面看可得

【答案】B.

3. 下列各数:,π, ,cos60°,0, , , 其中无理数的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【解析】据无理数定义得有, π和是无理数.

【答案】B.

4. 下列各式与是同类二次根式的是( )

【解析】A ､

=2, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

､=2, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

C ､=5, 故不与是同类二次根式, 故此选项错误;

D ､

=2, 故, 与是同类二次根式, 故此选项正确;

【答案】D.

5. 如图, 已知AC ∥BD, ∠CAE=30°, ∠DBE=45°, 则∠AEB 等于(

)

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

【解析】过E 作EF ∥

AC,

∵AC ∥BD,

∴EF ∥BD,

∴∠B=∠2=45°,

∵AC ∥EF,

∴∠1=∠A=30°,

∴∠AEB=30°+45°=75°,

【答案】D.

6. 某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28,38,38,35,35,38,48, 这组数据的中位数和众数分别是( )

A. 35,38 B. 38,35 C. 38,38 D. 35,35

【解析】38出现的次数最多,38是众数.

排序后位于中间位置的数是38, 所以中位数为38.

【答案】C.

7. 下面分解因式正确的是( )

A. x2+2x+1=x(x+2)+1 B. (x2﹣4)x=x3﹣4x C. ax+bx=(a+b)x D. m2﹣2mn+n2=(m+n)2

【解析】A ､x 2+2x+1=x(x+2)+1,不是因式分解, 故此选项错误;

B ､(x2﹣4)x=x3﹣4x, 不是因式分解, 故此选项错误;

C ､ax+bx=(a+b)x,是因式分解, 故此选项正确;

D ､m 2﹣2mn+n2=(m﹣n) 2, 故此选项错误.

【答案】C.

应用:在图2的极坐标系下, 如果正六边形的边长为2, 有一边OA 在射线Ox 上, 则正六边形的顶点C 的极坐标应记为(

)

A. (60°,4) B. (45°,4) C. (60°,2) D. (50°

,2)

【解析】如图, 设正六边形的中心为D, 连接AD,

∵∠ADO=360°÷6=60°,OD=AD,

∴△AOD 是等边三角形,

∴OD=OA=2,∠AOD=60°,

∴OC=2OD=2×2=4,

∴正六边形的顶点C 的极坐标应记为(60°,4).

【答案】A.

二、填空题(本大题8个小题, 每小题3分, 满分24分)

@填空题

9. 要使式子在实数范围内有意义, 则x 的取值范围是_________.

【解析】由题意得,2x ﹣1≥0,

解得x ≥1/2.

【答案】:x≥1/2.

10. 古生物学家发现350 000 000年前, 地球上每年大约是400天, 用科学记数法表示__________.

【解析】将350 000 000用科学记数法表示为:3.5×108.

【答案】:3.5×108.

11. 下列关于反比例函数

y=的三个结论:

①它的图象经过点(7,3);

②它的图象在每一个象限内,y 随x 的增大而减小;

③它的图象在二､四象限内.

其中正确的是____________.

【解析】①∵7×3=21,

∴它的图象经过点(7,3),故①正确;

②∵k=21>0,

∴它的图象在每一个象限内,y 随x 的增大而减小, 故②正确;

③它的图象应在第一三象限, 故③错误;

【答案】①②.

12. 计算:﹣=____________.

﹣ 【解析】原式=

=. 【答案】:.

13. 一元二次方程2x 2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是_________. 根据题意得△=(﹣3) 2﹣4×2×k>0,

解得k

【答案】k

14. 如图,AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB, 若AB=10,CD=8,则圆心O 到弦CD 的距离为

___________.

【解析】连接

OC,

∵AB 为⊙O 的直径,AB=10,

∴OC=5,

∵CD ⊥AB,CD=8,

∴CE=4,

∴

OE===3.

【答案】3.

15. 如图, 已知△ABC 三个内角的平分线交于点O, 点D 在CA 的延长线上, 且DC=BC,AD=AO,若∠BAC=80°, 则∠BCA 的度数为

_____________.

【解析】∵△ABC 三个内角的平分线交于点O,

∴∠ACO=∠BCO,

在△COD 和△COB 中

∴△COD ≌△COB,

∴∠D=∠CBO,

∵∠BAC=80°,

∴∠BAD=100°,

∴∠BAO=40°,

∴∠DAO=140°,

∵AD=AO,∴∠D=20°,

∴∠CBO=20°,

∴∠ABC=40°,

∴∠BCA=60°,

【答案】60°.

16. 已知:=1/3;=1/5;

计算:= ___________;

猜想:

_________. 【解析】已

=1/3;

=1/5;

=1/7;

…

分子为n 个1相加, 结果等于n;

分母为n 项相加:(4n+3)+(4n﹣1)+…

+11+7+3==n(2n+3)

∴猜想=

【答案】1/7;. =

三、解答题(本大题2个小题, 每小题5分, 满分10分)

@解答题

17.(5分) 计算:(﹣2) 2﹣2﹣1+(sin30°﹣1) 0﹣.

【解析】原式=4﹣(1/2)+1﹣4

=1/2.

18.(5分) 解方程

【解析】去分母得:x+2=2,

解得:x=0,

经检验x=0是分式方程的解.

四、解答题(本大题2个小题, 每小题6分, 满分12分)

19.(6分)

求不等式组

【解析】解不等式①，得x >-3 2

①玩家只能将小兔从A ､B 两个出入口放入;

②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开, 则可获得一只价值5元小兔玩具, 否则应付费3元.

(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?

(2)假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?

【解析】（1）画树状图（或列表略）

21 = 105

1（2）100人次玩此游戏, 估计有100? 20人次会获得玩具, 花费20×5=100元, 5小美得到小兔玩具的概率=

估计将有100-20=80人次要付费，

估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元).

五、解答题(本大题2个小题, 每小题7分, 满分14分)

根据以上统计图解答下列问题:

(1)2013年农民工人均月收入的增长率是多少?

(2)2011年农民工人均月收入是多少?

(3)小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了. ”你认为小明的说法正确吗? 请说明理由.

【解析】(1)由折线统计图可得出:

2013年农民工人均月收入的增长率是:10%;

(2)由条形统计图可得出:

2011年农民工人均月收入是:2205元;

(3)不正确,

理由:∵2012年农民工人均月收入是:2205×(1+20%)=2646(元)>2205元,

∴农民工2012年的人均月收入比2011年的少了, 是错误的.

【解析】BD=400﹣160=240米,

CB 2=1000﹣400=600米,

在Rt △ABD 中

,AB=

在Rt △BCB 2中,BC==480米, =600米,

AB+BC=480+600≈1328米.

答:钢缆AB 和BC 的总长度大约是1328米.

六、解答题(本大题2个小题, 每小题8分, 满分16分)

23.(8分) 如图, 已知⊙O 的直径为AB,AC ⊥AB 于点A,BC 与⊙O 相交于点D, 在AC 上取一点E, 使得

ED=EA.

(1)求证:ED是⊙O 的切线.

(2)当OA=3,AE=4时, 求BC 的长度.

【解析】(1)证明:如图, 连接

OD.

∵AC ⊥AB,

∴∠BAC=90°, 即∠OAE=90°.

在△AOE 与△DOE 中

∴△AOE ≌△DOE(SSS),

∴∠OAE=∠ODE=90°, 即OD ⊥ED.

又∵OD 是⊙O 的半径,

∴ED 是⊙O 的切线;

(2)如图, 在△OAE 中, ∠OAE=90°,OA=3,AE=4,

∴由勾股定理易求OE=5.

∵AB 是直径,

∴∠ADB=90°, 即AD ⊥BC.

又∵由(1)知, △AOE ≌△DOE,

∴∠AEO=∠DEO,

又∵AE=DE,

∴OE ⊥AD,

∴OE ∥BC, ∴==.

BC=2OE=10,即BC 的长度是10.

24.(8分) 在体育局的策划下, 市体育馆将组织明星篮球赛, 为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x, 购票总价为y):

方案一:提供8000元赞助后, 每张票的票价为50元;

方案二:票价按图中的折线OAB 所表示的函数关系确定

(1)若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?

(2)求方案二中y 与x 的函数关系式;

(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算?

【解析】(1)若购买120张票时,

方案一购票总价:y=8000+50x=14000元,

方案二购票总价:y=13200元.

(2)当0

设y=kx,代入(100,12000)得

12000=100k,

解得k=120,

∴y=120x;

当x>100时,

设y=kx+b,代入(100,12000)､(120,13200)得

, 解得,

∴y=60x+6000.

(3)由(1)可知, 要选择方案一比较合算, 必须超过120张, 由此得

8000+50x≤60x+6000,

解得x ≥200,

所以至少买200张票时选择方案一比较合算.

七、解答题(本大题2个小题, 每小题10分, 满分20分)

@10

25.(10分) 如图, 已知二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,

﹣),M 是OA 的中点

(1)求此二次函数的解析式;

(2)设P 是抛物线上的一点, 过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q, 要使四边形PQAM 是菱形, 求P 点的坐标;

【解析】(1)∵抛物线过原点, ∴设其解析式为:y=ax2+bx.

∵抛物线经过点A(4,0),B(2,

﹣), ∴, 解得,

∴二次函数解析式为:y=

(2)∵

y=x 2﹣x=x 2﹣x. (x﹣2) 2﹣,

∴抛物线对称轴为直线:x=2.

∵四边形PQAM 是菱形,

∴PQ=MA=2,PQ∥x 轴.

∴点P ､Q 关于对称轴x=2对称,

∴点P 横坐标为1.

当x=1时

,y=∴P(1,﹣

﹣=﹣.

(3)依题意, 翻折之后的抛物线解析式为:y=

﹣x 2+x.

假设存在这样的点C,

∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍,

∴CD=2MD,∴CM=3MD.

如答图所示, 分别过点D ､C 作x 轴的垂线, 垂足分别为点E ､点F, 则有DE ∥

CF.

∴,

∴CF=3DE,MF=3ME.

设C(x,x 2﹣x),

则MF=x﹣2,ME=MF=(x﹣2),OE=ME+OM=x+

∴D(x+,﹣

∵CF=3DE, ∴x 2﹣x=3[﹣(x+)2+

. (x+)], (x+)2+(x+)). 整理得:x2﹣4x ﹣8=0, 解得:x1=2+2,x 2=2﹣2

∴y 1

=,y 2

∴存在满足条件的点C, 点C 的坐标为(2+2, ) 或(2﹣2, ).

26.(10分) 如图1､2, 已知四边形ABCD 为正方形, 在射线AC 上有一动点P, 作PE ⊥AD(或延长线) 于E, 作PF ⊥DC(或延长线) 于F, 作射线BP 交EF 于G

(1)在图1中, 设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y,AP=x,求y 关于x 的函数表达式;

(2)结论:GB⊥EF 对图1, 图2都是成立的, 请任选一图形给出证明;

(3)请根据图2证明:△FGC ∽△PFB.

【解析】(1)∵PE ⊥AD,PF ⊥DC,

∴四边形EPFD 是矩形,

∵AP=x,

∴

AE=EP=DF=

DE=PF=FC=2

﹣x, ,

∴S 四边形ABFE =4﹣ED •DF ﹣BC •FC

=4﹣×x(2﹣x) ﹣×2×(2﹣x)

=x2+2;

(2)证明:如图1, 延长FP 交AB 于

∵PF ⊥DC,PE ⊥AD,

∴PF ⊥PE,PH ⊥HB,

即∠BHP=90°,

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AC 平分∠DAB,

∴可得PF=FC=HB,EP=PH,

在△FPE 与△BHP 中

∴△FPE ≌△BHP(SAS),

∴∠PFE=∠PBH,

又∵∠FPG=∠BPH,

∴△FPG ∽△BPH,

∴∠FGP=∠BHP=90°,

即GB ⊥EF;

(3)证明:如图2, 连接PD, ∵GB ⊥EF,

∴∠BPF=∠CFG ①, 在△DPC 和△BPC 中

∴△DPC ≌△BPC(SAS), ∴PD=PB,

而PD=EF,∴EF=PB, 又∵GB ⊥EF,

∴PF 2=FG•EF,

∴PF 2=FG•PB,

而PF=FC,

∴PF •FC=FG•PB, ∴=②,

∴由①②得△FGC ∽△PFB.

2014年中考数学常德卷(答案和解析)

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