一、填空题 (共30分，每填对一个空得3分) 1、设z =(1+x 2) y ，则
∂z ∂z
=∂y ∂x (1,1)
=_______．
(1,1)
∂z ∂2z
2、设函数z =z (x , y ) 由方程x +y -z =ze 确定，则=，=
∂x ∂x ∂y
z
3、设函数z =z (x , y ) 的全微分d z =(x -1)d x +(y +1)d y ，z (0,0)=1．则
z (x , y ) =，z (x , y ) 的极值等于
4、设曲线L 的参数方程为x =t , y =t 2, z =t 3，则L 在t =1对应点处的切线方程 为_______________，法平面方程为___________________．
5、函数cos 2x 关于x 的幂级数为；收敛域为 二、单项选择题 (每题4分, 共20分)
1、以下四个函数中，在点O (0,0)处连续的是．
⎧x 2-y 2⎧x 2y 22
, x +y ≠0, x 2+y 2≠0⎪2⎪422
A ．f (x , y ) =⎨x +y ； B ．f (x , y ) =⎨x +y ；
⎪0, ⎪0, x 2+y 2=0x 2+y 2=0⎩⎩
22⎧22ln(1+x +y ) 22x +y ≠0, x +y ≠0⎪22
C
．f (x , y ) =； D ．f (x , y ) =⎨x +y ．
22⎪22
0, x +y =00, x +y =0⎩⎩
2、设∑a n (x -1) n 在x =-1处条件收敛，则该级数在x =2处 ．
n =1
∞
A ．条件收敛； B ．绝对收敛；
C ．发散； D ．由已知条件不能确定敛散性． 3、以下四个数项级数中，发散的是．
∞
ln n 1
A ．∑1.001； B ．∑(-1) n ln(1+) ；
n n =1n n =1∞
111
C ．∑(-sin ) ； D ．∑(1-) n ．
n n n =1n n =1
∞∞
x n
4、幂级数∑的收敛域为 ． n n
n ⋅(5+(-3) ) n =1
∞
A ．(-5,5) ； B ．[-5,5) ； C ．(-3,3) ； D ．[-3,3]． 5、以下命题中正确的是．
A ．若∑u n 收敛，则∑u 收敛． B ．若∑u n 收敛，则∑(u n +u n +1) 收敛．
2
n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
1
C ．若u n >0，且u n =o() (n →∞) ，则∑u n 收敛．
n n =1
∞
∞
∞
∞
∞
D ．若u n >
0，且lim u =1，则交错级数∑(-1) n u n 收敛．
n →∞
n =1
三、（10分）
⎧x +y +b =0
设直线 L :⎨在平面 ∏ 上，且 ∏ 与曲面S :z =x 2+y 2
⎩x +ay -z -3=0相切于点P (1,-2,5) ，求常数a 和b ．
四、（10分）求函数u =x +2y -2z 在V :x 2+y 2+z 2≤5上的最大值和最小值． 五、（10分）求幂级数∑
n n -1
x 的收敛域、和函数S (x ) ． n 2n =1
∞
六、（10分）设定义在[0,π]上的函数f (x ) =x ． （1）将f (x ) 展成余弦级数； （2）求数项级数∑
1
之和； （3）求f (x ) 的正弦级数的和函数S (x ) ． 2
n =1(2n -1)
∞
⎧
y arctan x 2+y 2≠0⎪
七、（10
分）设f (x , y ) =⎨，讨论f (x , y ) 在点(0,0)的 ⎪0, x 2+y 2=0⎩
连续性、可偏导性与可微性．
一、填空题 (共30分，每填对一个空得3分) 1、
∂z ∂z
=2xy (1+x 2) y -1=2,
(1, 1) ∂y ∂x (1, 1)
=(1+x 2) y ln(1+x 2)
(1, 1)
(1, 1)
=2ln 2
2、方程两边对x ，y 求导，有1-
∂z ∂z ∂z ∂z
=(1+z ) e z ，1-=(1+z ) e z ∂x ∂x ∂y ∂y
∂z z z ∂z e +(1+z ) e
∂2z (2+z ) e z ∂z 1∂z 1∂y ∂y
得，， =-=-==z 2z 3z z
∂x 1+(1+z ) e ∂y 1+(1+z ) e ∂x ∂y (1+(1+z ) e ) (1+(1+z ) e )
∂z x 2y 2∂z ∂z
=x -1，-x +ϕ(y ) ，+y +c =y +1，从而z ==ϕ'(y ) =y +1，故ϕ(y ) =3、∂x 22∂y ∂y
x 2y 2(x -1) 2(y +1) 2
-x ++y +c ，带入z (0, 0) =c =1，故z (x , y ) =+即z = 2222
驻点为(1, -1) ，带入上式，得极值为0
4、切向量=s
→t =1
=(1, 2t , 3t 2)
t =1
=(1, 2, 3) ，
故的切线方程为
x -1y -1z -1
==，法平面方程为(x -1) +2(y -1) +3(z -1) =0． 123
1∞(-1) n
5、函数cos x 关于x 的幂级数为1+∑(2x ) 2n ；收敛域为(-∞, +∞) ．
2n =1(2n )!
2
∞
(-1) n 2n 1+cos 2x 11∞(-1) n (-1) n 22n
由cos x =∑x ，而cos x ==+∑(2x ) =1+∑(2x ) 2n
222n =0(2n )! n =0(2n )! n =1(2n )!
∞
收敛域为(-∞, +∞)
二、单项选择题 (每题4分, 共20分)
1、A. 令y =kx ，则极限不存在，B 令y =kx 2，则极限不存在 C
(x , y ) →(0, 0)
lim
sin(xy ) x +y
2
2
=
(x , y ) →(0, 0)
lim
xy x +y
2
2
=
(x , y ) →(0, 0)
lim x
y x +y
2
2
=0
ln(1+x 2+y 2) ln(1+ρ) ρ
D lim =lim =lim =1 C 22(x , y ) →(0, 0) ρ→0ρ→0ρρx +y
2、由于∑a n (x -1) 在x =-1处条件收敛，所以∑a n x 在x =-2处条件收敛，故∑a n x n
n
∞
∞
n
∞
n =1n =1n =1
的收敛区间为(-2, 2) ，从而∑a n (x -1) n 的收敛区间为(-1, 3) ，故在x =2处绝对收敛. B
n =1
∞
ln n 1ln n
3、从而1. 001
n n n =1n
∞
11
B ．由于ln(1+) 单调减，且极限为0，从而∑(-1) n ln(1+) 收敛。
n n n =1
∞
111
-sin ~3，故收敛 n n 6n 11
D lim (1-) n =，有性质5，级数发散 D n →∞n e
C. 由于
4. 由于R =lim
(n +1)(5+(-3)
n →∞n (5n +(-3) n )
13
n (1+(-) n )
5
1
n +1n +1
)
(n +1)(1+(=lim 5
n →∞
-3n +1
) ) 5=5 -3n
n (1+() )
5
13
n (1+(-) n )
5
而R =5时，由于
∞
1
~，故级数∑n n =1
发散。
而R =-5时，由于lim
n →∞
3
(1+(-) n )
5
=1，故n 充分大后有，
1
1⎛3⎫1+ -⎪⎝5⎭
n
3 2
1
从而(-1) n
n
∞
13
n (1+(-) n
5
133
∞∞
n n n n =1n =1
∑(-1) n
n =1
13
n (1+(-) n
5
1
收敛 （B ）
故级数
∑
∞
3n =1
n (1+(-) n )
5
发散。
5、以下命题中正确的是
A ．若∑u n 收敛，则∑u 收敛． B ．若∑u n 收敛，则∑(u n +u n +1) 收敛．
2n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
1
C ．若u n >0，且u n =o() (n →∞) ，则∑u n 收敛．
n n =1
∞
∞
∞
∞
∞
D ．若u n >
0，且lim u =1，则交错级数∑(-1) n u n 收敛．
n →∞
n =1
A u n =(-1) 三、（10分）
n
1
1
,B 收敛级数的和扔收敛，C u n =，D u n =
n ln n n
n +(-1) n
n
⎧x +y +b =0
设直线 L :⎨在平面 ∏ 上，且 ∏ 与曲面S :z =x 2+y 2
⎩x +ay -z -3=0相切于点P (1,-2,5) ，求常数a 和b ．
解 方法一 S 在P 处的法向量n ={2x , 2y , -1}(1,-2,5) ={2,-4, -1}，
所以 ∏:2(x -1) -4(y +2) -(z -5) =0，即 ∏:2x -4y -z -5=0． ------4分
L 的参数方程：x =-y -b , y =y , z =x +ay -3=(a -1) y -b -3，
代入∏的方程，得 2(-y -b ) -4y -(a -1) y +b +3-5=0，即(a +5) y +b +2=0，
所以 a =-5，b =-2． -----10分 方法二 （利用过L 的平面束方程）∏的方程：x +ay -z -3+λ(x +y +b ) =0（λ待定）
) +a (+λy ) -z -3λ+b = 0即 (1+λx ------4分
S 在P 处的法向量n ={2x , 2y , -1}(1,-2,5) ={2,-4, -1}，由题意
1+λa +λ-1
==， 2-4-1
解得λ=1, a =-5；又因P 在∏上，所以2⨯1-4⨯(-2) -5-3+b =0，b =-2． ------10分 四、（10分）求函数u =x +2y -2z 在V :x 2+y 2+z 2≤5上的最大值和最小值．
解 u 在V 的内部没有驻点，因此，最大值和最小值都在V 的边界上取得． ----------2分 设 L (x , y , z , λ) =x +2y -2z +λ(x 2+y 2+z 2-5) ， ----------4分
'=1+2λx =0⎧L x
⎪L '=2+2λy =0⎪x 令 ⎨， 由前三个方程得 2x =y =-z ， ----------8分
'L =-2+2λz =0⎪x ⎪'=x 2+y 2+z 2-5=0⎩L λ
代入最后一个方程，得可疑点P 1-
-和P 2(，
333333
z -, =- ---------10分 =
z (333n n -1
x 的收敛域、和函数S (x ) ． n
n =12
∞
五、（10分）求幂级数∑
a n n 2n +1解 收敛半径R =lim =lim(n ⋅) =2，收敛区间(-2, 2) ； ---------3分
n →∞a n →∞2n +1n +1
n ⎫⎧n ⎫⎧
x =±2时，对应的数列⎨⎬和⎨(-1) n -1⎬都不以零为极限，所以x =±2都是发散点；
2⎭⎩2⎭⎩
所以收敛域为(-2, 2) ． ---------5分 又由
∑nt
n =1
∞
n -1
t 1
=∑(t ) '=(∑t n ) '=() '=
1-t (1-t ) 2n =1n =1
n
∞∞
(t ∈(-1,1)) ，
n n -11∞x n -1112
=得 S (x ) =∑n x =∑n () =⋅，x ∈(-2,2) ． ---------10分 2x 2n =122(1-) 2(2-x ) n =12
2
∞
六、（10分）设定义在[0,π]上的函数f (x ) =x ． （1）将f (x ) 展成余弦级数； （2）求数项级数∑
1
之和； （3）求f (x ) 的正弦级数的和函数S (x ) ． 2
n =1(2n -1)
∞
解 （1）a 0=
π⎰2
2
π
x d x =π，
n ≥1时，a n =
π
⎰
π
n 偶⎧0,
2⎪
， x cos nx d x =2((-1) n -1) =⎨-4
n π, n 奇⎪⎩n 2π
经过偶延拓、周期延拓之后所得的函数在[-π, π]上连续、有有限个单调区间，因此由 Dirichlet 定理知余弦级数在[0,π]上处处收敛于f (x ) ，即
f (x ) =
π
2
-
1
cos(2n -1) x (x ∈[0,π]) ---------6分 ∑2
πn =1(2n -1)
4
∞
∞
1π21
（2）在上式两端令x =0，得0=-∑，∑． ---------8分 =22
2πn =1(2n -1) 8n =1(2n -1)
π4
∞
（3）对经过奇延拓和周期延拓的函数验证Dirichlet 定理的条件，知正弦级数的和函数
⎧x , 0≤x
---------10分 S (x ) =⎨
x =π⎩0,
⎧y arctan x 2+y 2≠0⎪
七、（10
分）设f (x , y ) =⎨，讨论f (x , y ) 在点(0,0)的 ⎪0, x 2+y 2=0⎩
连续性、可偏导性与可微性． 解 （1）
(x , y ) →(0,0)
lim f (x , y ) =0=f (0,0)，f (x , y ) 在点(0,0)连续． ---------2分 f (x ,0) -f (0,0)0
=lim =0， x →0x x
（2）f x '(0,0)=lim
x →0
f y '(0,0)=lim
y →0
f (0,y ) -f (0,0)1π
=limarctan =， ---------4分 y →0y y 2
f (x , y ) 在点(0,0)可偏导．
（3
）
(x , y ) →lim
f (x , y ) -f (0,0)-f '(0,0)x -f '(0,0)y
=
(x , y ) →lim
) =0，f (x , y ) 在点(0,0)可微． -------------10分 2π
一、填空题 (共30分，每填对一个空得3分) 1、设z =(1+x 2) y ，则
∂z ∂z
=∂y ∂x (1,1)
=_______．
(1,1)
∂z ∂2z
2、设函数z =z (x , y ) 由方程x +y -z =ze 确定，则=，=
∂x ∂x ∂y
z
3、设函数z =z (x , y ) 的全微分d z =(x -1)d x +(y +1)d y ，z (0,0)=1．则
z (x , y ) =，z (x , y ) 的极值等于
4、设曲线L 的参数方程为x =t , y =t 2, z =t 3，则L 在t =1对应点处的切线方程 为_______________，法平面方程为___________________．
5、函数cos 2x 关于x 的幂级数为；收敛域为 二、单项选择题 (每题4分, 共20分)
1、以下四个函数中，在点O (0,0)处连续的是．
⎧x 2-y 2⎧x 2y 22
, x +y ≠0, x 2+y 2≠0⎪2⎪422
A ．f (x , y ) =⎨x +y ； B ．f (x , y ) =⎨x +y ；
⎪0, ⎪0, x 2+y 2=0x 2+y 2=0⎩⎩
22⎧22ln(1+x +y ) 22x +y ≠0, x +y ≠0⎪22
C
．f (x , y ) =； D ．f (x , y ) =⎨x +y ．
22⎪22
0, x +y =00, x +y =0⎩⎩
2、设∑a n (x -1) n 在x =-1处条件收敛，则该级数在x =2处 ．
n =1
∞
A ．条件收敛； B ．绝对收敛；
C ．发散； D ．由已知条件不能确定敛散性． 3、以下四个数项级数中，发散的是．
∞
ln n 1
A ．∑1.001； B ．∑(-1) n ln(1+) ；
n n =1n n =1∞
111
C ．∑(-sin ) ； D ．∑(1-) n ．
n n n =1n n =1
∞∞
x n
4、幂级数∑的收敛域为 ． n n
n ⋅(5+(-3) ) n =1
∞
A ．(-5,5) ； B ．[-5,5) ； C ．(-3,3) ； D ．[-3,3]． 5、以下命题中正确的是．
A ．若∑u n 收敛，则∑u 收敛． B ．若∑u n 收敛，则∑(u n +u n +1) 收敛．
2
n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
1
C ．若u n >0，且u n =o() (n →∞) ，则∑u n 收敛．
n n =1
∞
∞
∞
∞
∞
D ．若u n >
0，且lim u =1，则交错级数∑(-1) n u n 收敛．
n →∞
n =1
三、（10分）
⎧x +y +b =0
设直线 L :⎨在平面 ∏ 上，且 ∏ 与曲面S :z =x 2+y 2
⎩x +ay -z -3=0相切于点P (1,-2,5) ，求常数a 和b ．
四、（10分）求函数u =x +2y -2z 在V :x 2+y 2+z 2≤5上的最大值和最小值． 五、（10分）求幂级数∑
n n -1
x 的收敛域、和函数S (x ) ． n 2n =1
∞
六、（10分）设定义在[0,π]上的函数f (x ) =x ． （1）将f (x ) 展成余弦级数； （2）求数项级数∑
1
之和； （3）求f (x ) 的正弦级数的和函数S (x ) ． 2
n =1(2n -1)
∞
⎧
y arctan x 2+y 2≠0⎪
七、（10
分）设f (x , y ) =⎨，讨论f (x , y ) 在点(0,0)的 ⎪0, x 2+y 2=0⎩
连续性、可偏导性与可微性．
一、填空题 (共30分，每填对一个空得3分) 1、
∂z ∂z
=2xy (1+x 2) y -1=2,
(1, 1) ∂y ∂x (1, 1)
=(1+x 2) y ln(1+x 2)
(1, 1)
(1, 1)
=2ln 2
2、方程两边对x ，y 求导，有1-
∂z ∂z ∂z ∂z
=(1+z ) e z ，1-=(1+z ) e z ∂x ∂x ∂y ∂y
∂z z z ∂z e +(1+z ) e
∂2z (2+z ) e z ∂z 1∂z 1∂y ∂y
得，， =-=-==z 2z 3z z
∂x 1+(1+z ) e ∂y 1+(1+z ) e ∂x ∂y (1+(1+z ) e ) (1+(1+z ) e )
∂z x 2y 2∂z ∂z
=x -1，-x +ϕ(y ) ，+y +c =y +1，从而z ==ϕ'(y ) =y +1，故ϕ(y ) =3、∂x 22∂y ∂y
x 2y 2(x -1) 2(y +1) 2
-x ++y +c ，带入z (0, 0) =c =1，故z (x , y ) =+即z = 2222
驻点为(1, -1) ，带入上式，得极值为0
4、切向量=s
→t =1
=(1, 2t , 3t 2)
t =1
=(1, 2, 3) ，
故的切线方程为
x -1y -1z -1
==，法平面方程为(x -1) +2(y -1) +3(z -1) =0． 123
1∞(-1) n
5、函数cos x 关于x 的幂级数为1+∑(2x ) 2n ；收敛域为(-∞, +∞) ．
2n =1(2n )!
2
∞
(-1) n 2n 1+cos 2x 11∞(-1) n (-1) n 22n
由cos x =∑x ，而cos x ==+∑(2x ) =1+∑(2x ) 2n
222n =0(2n )! n =0(2n )! n =1(2n )!
∞
收敛域为(-∞, +∞)
二、单项选择题 (每题4分, 共20分)
1、A. 令y =kx ，则极限不存在，B 令y =kx 2，则极限不存在 C
(x , y ) →(0, 0)
lim
sin(xy ) x +y
2
2
=
(x , y ) →(0, 0)
lim
xy x +y
2
2
=
(x , y ) →(0, 0)
lim x
y x +y
2
2
=0
ln(1+x 2+y 2) ln(1+ρ) ρ
D lim =lim =lim =1 C 22(x , y ) →(0, 0) ρ→0ρ→0ρρx +y
2、由于∑a n (x -1) 在x =-1处条件收敛，所以∑a n x 在x =-2处条件收敛，故∑a n x n
n
∞
∞
n
∞
n =1n =1n =1
的收敛区间为(-2, 2) ，从而∑a n (x -1) n 的收敛区间为(-1, 3) ，故在x =2处绝对收敛. B
n =1
∞
ln n 1ln n
3、从而1. 001
n n n =1n
∞
11
B ．由于ln(1+) 单调减，且极限为0，从而∑(-1) n ln(1+) 收敛。
n n n =1
∞
111
-sin ~3，故收敛 n n 6n 11
D lim (1-) n =，有性质5，级数发散 D n →∞n e
C. 由于
4. 由于R =lim
(n +1)(5+(-3)
n →∞n (5n +(-3) n )
13
n (1+(-) n )
5
1
n +1n +1
)
(n +1)(1+(=lim 5
n →∞
-3n +1
) ) 5=5 -3n
n (1+() )
5
13
n (1+(-) n )
5
而R =5时，由于
∞
1
~，故级数∑n n =1
发散。
而R =-5时，由于lim
n →∞
3
(1+(-) n )
5
=1，故n 充分大后有，
1
1⎛3⎫1+ -⎪⎝5⎭
n
3 2
1
从而(-1) n
n
∞
13
n (1+(-) n
5
133
∞∞
n n n n =1n =1
∑(-1) n
n =1
13
n (1+(-) n
5
1
收敛 （B ）
故级数
∑
∞
3n =1
n (1+(-) n )
5
发散。
5、以下命题中正确的是
A ．若∑u n 收敛，则∑u 收敛． B ．若∑u n 收敛，则∑(u n +u n +1) 收敛．
2n
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
1
C ．若u n >0，且u n =o() (n →∞) ，则∑u n 收敛．
n n =1
∞
∞
∞
∞
∞
D ．若u n >
0，且lim u =1，则交错级数∑(-1) n u n 收敛．
n →∞
n =1
A u n =(-1) 三、（10分）
n
1
1
,B 收敛级数的和扔收敛，C u n =，D u n =
n ln n n
n +(-1) n
n
⎧x +y +b =0
设直线 L :⎨在平面 ∏ 上，且 ∏ 与曲面S :z =x 2+y 2
⎩x +ay -z -3=0相切于点P (1,-2,5) ，求常数a 和b ．
解 方法一 S 在P 处的法向量n ={2x , 2y , -1}(1,-2,5) ={2,-4, -1}，
所以 ∏:2(x -1) -4(y +2) -(z -5) =0，即 ∏:2x -4y -z -5=0． ------4分
L 的参数方程：x =-y -b , y =y , z =x +ay -3=(a -1) y -b -3，
代入∏的方程，得 2(-y -b ) -4y -(a -1) y +b +3-5=0，即(a +5) y +b +2=0，
所以 a =-5，b =-2． -----10分 方法二 （利用过L 的平面束方程）∏的方程：x +ay -z -3+λ(x +y +b ) =0（λ待定）
) +a (+λy ) -z -3λ+b = 0即 (1+λx ------4分
S 在P 处的法向量n ={2x , 2y , -1}(1,-2,5) ={2,-4, -1}，由题意
1+λa +λ-1
==， 2-4-1
解得λ=1, a =-5；又因P 在∏上，所以2⨯1-4⨯(-2) -5-3+b =0，b =-2． ------10分 四、（10分）求函数u =x +2y -2z 在V :x 2+y 2+z 2≤5上的最大值和最小值．
解 u 在V 的内部没有驻点，因此，最大值和最小值都在V 的边界上取得． ----------2分 设 L (x , y , z , λ) =x +2y -2z +λ(x 2+y 2+z 2-5) ， ----------4分
'=1+2λx =0⎧L x
⎪L '=2+2λy =0⎪x 令 ⎨， 由前三个方程得 2x =y =-z ， ----------8分
'L =-2+2λz =0⎪x ⎪'=x 2+y 2+z 2-5=0⎩L λ
代入最后一个方程，得可疑点P 1-
-和P 2(，
333333
z -, =- ---------10分 =
z (333n n -1
x 的收敛域、和函数S (x ) ． n
n =12
∞
五、（10分）求幂级数∑
a n n 2n +1解 收敛半径R =lim =lim(n ⋅) =2，收敛区间(-2, 2) ； ---------3分
n →∞a n →∞2n +1n +1
n ⎫⎧n ⎫⎧
x =±2时，对应的数列⎨⎬和⎨(-1) n -1⎬都不以零为极限，所以x =±2都是发散点；
2⎭⎩2⎭⎩
所以收敛域为(-2, 2) ． ---------5分 又由
∑nt
n =1
∞
n -1
t 1
=∑(t ) '=(∑t n ) '=() '=
1-t (1-t ) 2n =1n =1
n
∞∞
(t ∈(-1,1)) ，
n n -11∞x n -1112
=得 S (x ) =∑n x =∑n () =⋅，x ∈(-2,2) ． ---------10分 2x 2n =122(1-) 2(2-x ) n =12
2
∞
六、（10分）设定义在[0,π]上的函数f (x ) =x ． （1）将f (x ) 展成余弦级数； （2）求数项级数∑
1
之和； （3）求f (x ) 的正弦级数的和函数S (x ) ． 2
n =1(2n -1)
∞
解 （1）a 0=
π⎰2
2
π
x d x =π，
n ≥1时，a n =
π
⎰
π
n 偶⎧0,
2⎪
， x cos nx d x =2((-1) n -1) =⎨-4
n π, n 奇⎪⎩n 2π
经过偶延拓、周期延拓之后所得的函数在[-π, π]上连续、有有限个单调区间，因此由 Dirichlet 定理知余弦级数在[0,π]上处处收敛于f (x ) ，即
f (x ) =
π
2
-
1
cos(2n -1) x (x ∈[0,π]) ---------6分 ∑2
πn =1(2n -1)
4
∞
∞
1π21
（2）在上式两端令x =0，得0=-∑，∑． ---------8分 =22
2πn =1(2n -1) 8n =1(2n -1)
π4
∞
（3）对经过奇延拓和周期延拓的函数验证Dirichlet 定理的条件，知正弦级数的和函数
⎧x , 0≤x
---------10分 S (x ) =⎨
x =π⎩0,
⎧y arctan x 2+y 2≠0⎪
七、（10
分）设f (x , y ) =⎨，讨论f (x , y ) 在点(0,0)的 ⎪0, x 2+y 2=0⎩
连续性、可偏导性与可微性． 解 （1）
(x , y ) →(0,0)
lim f (x , y ) =0=f (0,0)，f (x , y ) 在点(0,0)连续． ---------2分 f (x ,0) -f (0,0)0
=lim =0， x →0x x
（2）f x '(0,0)=lim
x →0
f y '(0,0)=lim
y →0
f (0,y ) -f (0,0)1π
=limarctan =， ---------4分 y →0y y 2
f (x , y ) 在点(0,0)可偏导．
（3
）
(x , y ) →lim
f (x , y ) -f (0,0)-f '(0,0)x -f '(0,0)y
=
(x , y ) →lim
) =0，f (x , y ) 在点(0,0)可微． -------------10分 2π