课题：函数的奇偶性
教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利
用函数的奇偶性解决问题．
教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．
（一） 主要知识： 1. 函数的奇偶性的定义：x ∈A ，设y =f (x ) ，如果对于任意x ∈A ，都有f (-x ) =-f (x ) ，则称函数y =f (x ) 为奇函数；如果对于任意x ∈A ，都有f (-x ) =f (x ) ，则称函数y =f (x ) 为偶函数； 2. 奇偶函数的性质：
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； (2)f (x ) 是偶函数⇔f (x ) 的图象关于y 轴对称； f (x ) 是奇函数⇔f (x ) 的图象关于原点对称；
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
3. f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (-x ) =f (|x |)． 4. 若奇函数f (x ) 的定义域包含0，则f (0)=0．
（二）主要方法：
1. 判断函数的奇偶性的方法：
(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断f (x ) =-f (x ) 或f (x ) =f (-x ) 是否定义域上的恒等式；
(2)图象法；
(3)性质法：①设
f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域
D =D 1 D 2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0，
f (x )
=±1． f (-x )
（三）典例分析：
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
lg(1-x 2)
； (2) f (x ) =； (1
) f (x ) =(x -|x -2|-2
2⎧x +x (x
) f (x ) =x ) ； (4) f (x ) =⎨2
-x +x (x >0) ⎪⎩
问题2．(1)已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞
) 时，f (x ) =x (1，
则f (x ) 的解析式为
(2)(04上海) 设奇函数f (x ) 的定义域为[-5, 5]若当
x ∈量的积累就是质的飞跃
f (x ) 的图象如右图, 则不等式f (x )
问题3．已知函数f (x ) 满足：f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) ⋅f (y ) 对任意的实数x 、y
总成立，且f (1)≠f (2). 求证：f (x ) 为偶函数.
问题4．(1)(06黄岗中学月考) 已知函数f (x ) =-x +log 2
求f (-
1-x
， 1+x
1111) +f (-) +f () +f () 的值； [**************]5ax 2+1
（a 、b 、c ∈Z ）为奇函数，又f (1)=2，f (2)
bx +c
求a 、b 、c 的值 .
问题5．(1)已知f (x ) 是偶函数，x ∈R ，当x >0时，f (x ) 为增函数，
若x 10，且|x 1|
A . f (-x 1) >f (-x 2) B . f (-x 1)
C . -f (x 1) >f (-x 2) D . -f (x 1)
(2)设定义在[-2,2]上的偶函数f (x ) 在区间[0,2]上单调递减，若f (1-m )
求实数m 的取值范围
（四）巩固练习：
1. 已知函数f (x ) =ax 2+bx +c , x ∈[-2a -3, 1]是偶函数, 则a +b =
2. 已知f (x ) =
1
+m 为奇函数，则f (-1) 的值为 2x +1
3. 已知f (x ) =ax 7+bx 5+cx 3+dx +5，其中a , b , c , d 为常数，若f (-7) =-7， 则f (7) =_______
4. 若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则函数F (x ) =f (x ) +f (x ) 的图象关于 A . x 轴对称 B . y 轴对称 C . 原点对称 D . 以上均不对
2
5. 函数F (x ) =(1+x ) f (x )(x ≠0) 是偶函数，且f (x ) 不恒等于零，则f (x )
2-1
A . 是奇函数 B . 是偶函数
C . 可能是奇函数也可能是偶函数 D . 不是奇函数也不是偶函数
量的积累就是质的飞跃
（五）课后作业：
1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)
f (x ) = (2)f (x ) =
f (x ) =
(1+2x )
2x
2
；
11x
+f (x ) =+log 3(1+3-x )； ； 4()x
2-122
1+x
f (x ) =log （其中a >0，a ≠1） 5()a
1-x
2. （03南昌模拟）给出下列函数①y =x cos x ②y =sin 2x ③y =x 2-x ④y =e x -e -x ，
(3)
其中是奇函数的是（ ） A . ①② B . ①④ C . ②④ D . ③④
3. 已知函数y =f (x ) 在R 是奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2-2x ，则x
f (x ) =x -x 4，则当x ∈(0, +∞)时，f (x ) =1⎛1⎫
5. 已知f (x ) 为R 上的奇函数，当x
2⎝3⎭
A
. B
. C
. D . 9
1
6. 若f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且f (x ) +g (x ) =，则f (x ) = ，
x -1
g (x ) =
x +m
7. 定义在(-1, 1) 上的函数f (x ) =2是奇函数，则常数m =____,n =_____
x +nx +1
（05北京西城模拟）已知函数f (x ) 对一切x , y ∈R ，都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ， (1)求证：f (x ) 为奇函数；(2)若f (-3) =a ，用a 表示f (12).
量的积累就是质的飞跃
x
-2x +b
9. （ 06重庆文）已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数。
2+a
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
10. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x +2) =-f (x ) ，又当-1≤x ≤1时，f (x ) =x 3，(1)证明：直线x =1是函数f (x ) 图象的一条对称轴；
(2)当x ∈[1, 5]时，求f (x ) 的解析式
1. （04全国）已知函数f (x ) =lg
1-x
，若f (a ) =b ，则f (-a ) = 1+x
11
A . b B . -b C . D . -
b b 1
2. (06全国Ⅰ文）已知函数f (x )=a -x , ，若f (x )为奇函数，则a =
2+1
3. （06江苏）已知a ∈R ，函数f (x ) =sin x -|a |,x ∈R 为奇函数，则a =
A . 0 B . 1 C . -1 D . ±1
4. （06辽宁）设f (x ) 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A . f (x ) ⋅f (-x ) 是奇函数
B . f (x ) ⋅f (-x ) 是奇函数
C . f (x ) +f (-x ) 是偶函数 D . f (x ) -f (-x ) 是偶函数
5. （07辽宁文）已知y =f (x ) 为奇函数，若f (3)-f (2)=1，则f (-2) -f (-3) =1
6. （07广东）若函数f (x ) =sin 2x -(x ∈R )，则f (x ) 是（ ）
2
π
A . 最小正周期为的奇函数 B . 最小正周期为π的奇函数
2
C . 最小正周期为2π的偶函数 D . 最小正周期为π的偶函数
(x +1)(x +a )
7. （07海南）设函数f (x ) =为奇函数，则a =x
8. （07海南文）设函数f (x ) =(x +1)(x +a ) 为偶函数，则a =
⎛2⎫
9. (07江苏) 设f (x ) =lg +a ⎪是奇函数，则使f (x )
⎝1-x ⎭
A . (-1，B . (0，D . (-∞，1) C . (-∞，0) 0) 0) (1，+∞)
10. （07江西）设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y =f (x )
在x =5处的切线的斜率为 A . -
1
B . 0 5
C .
1
5
D . 5
量的积累就是质的飞跃
11. 设a 为实数，函数f (x ) =x 2+|x -a |+1，x ∈R ．
(1)讨论f (x ) 的奇偶性； (2)求 f (x ) 的最小值．
12. （07上海，本题满分14分）已知函数f (x ) =x 2+
a
(x ≠0，常数a ∈R ) . x
(1)讨论函数f (x ) 的奇偶性，并说明理由
(2)若f (x ) 在x ∈[2, +∞)上是增函数，求a 的取值范围.
量的积累就是质的飞跃
课题：函数的奇偶性
教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利
用函数的奇偶性解决问题．
教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．
（一） 主要知识： 1. 函数的奇偶性的定义：x ∈A ，设y =f (x ) ，如果对于任意x ∈A ，都有f (-x ) =-f (x ) ，则称函数y =f (x ) 为奇函数；如果对于任意x ∈A ，都有f (-x ) =f (x ) ，则称函数y =f (x ) 为偶函数； 2. 奇偶函数的性质：
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； (2)f (x ) 是偶函数⇔f (x ) 的图象关于y 轴对称； f (x ) 是奇函数⇔f (x ) 的图象关于原点对称；
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
3. f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (-x ) =f (|x |)． 4. 若奇函数f (x ) 的定义域包含0，则f (0)=0．
（二）主要方法：
1. 判断函数的奇偶性的方法：
(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断f (x ) =-f (x ) 或f (x ) =f (-x ) 是否定义域上的恒等式；
(2)图象法；
(3)性质法：①设
f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域
D =D 1 D 2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0，
f (x )
=±1． f (-x )
（三）典例分析：
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
lg(1-x 2)
； (2) f (x ) =； (1
) f (x ) =(x -|x -2|-2
2⎧x +x (x
) f (x ) =x ) ； (4) f (x ) =⎨2
-x +x (x >0) ⎪⎩
问题2．(1)已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞
) 时，f (x ) =x (1，
则f (x ) 的解析式为
(2)(04上海) 设奇函数f (x ) 的定义域为[-5, 5]若当
x ∈量的积累就是质的飞跃
f (x ) 的图象如右图, 则不等式f (x )
问题3．已知函数f (x ) 满足：f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) ⋅f (y ) 对任意的实数x 、y
总成立，且f (1)≠f (2). 求证：f (x ) 为偶函数.
问题4．(1)(06黄岗中学月考) 已知函数f (x ) =-x +log 2
求f (-
1-x
， 1+x
1111) +f (-) +f () +f () 的值； [**************]5ax 2+1
（a 、b 、c ∈Z ）为奇函数，又f (1)=2，f (2)
bx +c
求a 、b 、c 的值 .
问题5．(1)已知f (x ) 是偶函数，x ∈R ，当x >0时，f (x ) 为增函数，
若x 10，且|x 1|
A . f (-x 1) >f (-x 2) B . f (-x 1)
C . -f (x 1) >f (-x 2) D . -f (x 1)
(2)设定义在[-2,2]上的偶函数f (x ) 在区间[0,2]上单调递减，若f (1-m )
求实数m 的取值范围
（四）巩固练习：
1. 已知函数f (x ) =ax 2+bx +c , x ∈[-2a -3, 1]是偶函数, 则a +b =
2. 已知f (x ) =
1
+m 为奇函数，则f (-1) 的值为 2x +1
3. 已知f (x ) =ax 7+bx 5+cx 3+dx +5，其中a , b , c , d 为常数，若f (-7) =-7， 则f (7) =_______
4. 若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则函数F (x ) =f (x ) +f (x ) 的图象关于 A . x 轴对称 B . y 轴对称 C . 原点对称 D . 以上均不对
2
5. 函数F (x ) =(1+x ) f (x )(x ≠0) 是偶函数，且f (x ) 不恒等于零，则f (x )
2-1
A . 是奇函数 B . 是偶函数
C . 可能是奇函数也可能是偶函数 D . 不是奇函数也不是偶函数
量的积累就是质的飞跃
（五）课后作业：
1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)
f (x ) = (2)f (x ) =
f (x ) =
(1+2x )
2x
2
；
11x
+f (x ) =+log 3(1+3-x )； ； 4()x
2-122
1+x
f (x ) =log （其中a >0，a ≠1） 5()a
1-x
2. （03南昌模拟）给出下列函数①y =x cos x ②y =sin 2x ③y =x 2-x ④y =e x -e -x ，
(3)
其中是奇函数的是（ ） A . ①② B . ①④ C . ②④ D . ③④
3. 已知函数y =f (x ) 在R 是奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2-2x ，则x
f (x ) =x -x 4，则当x ∈(0, +∞)时，f (x ) =1⎛1⎫
5. 已知f (x ) 为R 上的奇函数，当x
2⎝3⎭
A
. B
. C
. D . 9
1
6. 若f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且f (x ) +g (x ) =，则f (x ) = ，
x -1
g (x ) =
x +m
7. 定义在(-1, 1) 上的函数f (x ) =2是奇函数，则常数m =____,n =_____
x +nx +1
（05北京西城模拟）已知函数f (x ) 对一切x , y ∈R ，都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ， (1)求证：f (x ) 为奇函数；(2)若f (-3) =a ，用a 表示f (12).
量的积累就是质的飞跃
x
-2x +b
9. （ 06重庆文）已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数。
2+a
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
10. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x +2) =-f (x ) ，又当-1≤x ≤1时，f (x ) =x 3，(1)证明：直线x =1是函数f (x ) 图象的一条对称轴；
(2)当x ∈[1, 5]时，求f (x ) 的解析式
1. （04全国）已知函数f (x ) =lg
1-x
，若f (a ) =b ，则f (-a ) = 1+x
11
A . b B . -b C . D . -
b b 1
2. (06全国Ⅰ文）已知函数f (x )=a -x , ，若f (x )为奇函数，则a =
2+1
3. （06江苏）已知a ∈R ，函数f (x ) =sin x -|a |,x ∈R 为奇函数，则a =
A . 0 B . 1 C . -1 D . ±1
4. （06辽宁）设f (x ) 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A . f (x ) ⋅f (-x ) 是奇函数
B . f (x ) ⋅f (-x ) 是奇函数
C . f (x ) +f (-x ) 是偶函数 D . f (x ) -f (-x ) 是偶函数
5. （07辽宁文）已知y =f (x ) 为奇函数，若f (3)-f (2)=1，则f (-2) -f (-3) =1
6. （07广东）若函数f (x ) =sin 2x -(x ∈R )，则f (x ) 是（ ）
2
π
A . 最小正周期为的奇函数 B . 最小正周期为π的奇函数
2
C . 最小正周期为2π的偶函数 D . 最小正周期为π的偶函数
(x +1)(x +a )
7. （07海南）设函数f (x ) =为奇函数，则a =x
8. （07海南文）设函数f (x ) =(x +1)(x +a ) 为偶函数，则a =
⎛2⎫
9. (07江苏) 设f (x ) =lg +a ⎪是奇函数，则使f (x )
⎝1-x ⎭
A . (-1，B . (0，D . (-∞，1) C . (-∞，0) 0) 0) (1，+∞)
10. （07江西）设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y =f (x )
在x =5处的切线的斜率为 A . -
1
B . 0 5
C .
1
5
D . 5
量的积累就是质的飞跃
11. 设a 为实数，函数f (x ) =x 2+|x -a |+1，x ∈R ．
(1)讨论f (x ) 的奇偶性； (2)求 f (x ) 的最小值．
12. （07上海，本题满分14分）已知函数f (x ) =x 2+
a
(x ≠0，常数a ∈R ) . x
(1)讨论函数f (x ) 的奇偶性，并说明理由
(2)若f (x ) 在x ∈[2, +∞)上是增函数，求a 的取值范围.
量的积累就是质的飞跃