数列解答题专题训练1 班级_________姓名__________日期：
1. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=
（1）求数列{a n }通项公式a n ； （2）求证：当n ≥2时，
1a 2
2
2
23
，且满足2S n +1+2S n =3a n +1 (n ∈N *) 。
2
+
1a 3
2
+
1a 4
2
2
+L +
1a n
2
94
。
解：（1）n ≥1时， 2S n +1+2S n =3a n +1……………①
n ≥2时，2S n +2S n -1=3a n …………………②………………………1分
n ≥2时，①－②得：2a n +1+2a n =3(a n +1-a n ) ∵a n >0 ∴a n +a n +1>0，a n +1-a n =令n =2，2(+a 2) +2⨯
3
a n =
23
*
22
23
……………3分
43
n ≥2时，a n =
43
+(n -2) ⨯
23=23
n 又a 1=
223
=3a 2∵a 2>0∴a 2=
2
23
∴
n (n ∈N ) ………………………6分
9(1
2
（2）当n ≥2时，左边=
9[1
94
42
+
13
2
+
14
2
+L +94(1-
1n 12
2
) 1
-2
1+3
1111-+L +-) 34n -1n
41⨯2
+
12⨯3
1n )
+
94
13⨯4
+L +
1(n -1) n
] =
+
+
=(1-∴当n ≥2时，
13
1a 2
2
1a 3
+L +2
1a n
*
94
2. 在数列{a n }中，a 1=
b n =
1a n
*
，并且对于任意n ∈N
n
，且n >1，都有a n ⋅a n -1=a n -1-a n 成立，令
(n ∈N )．(Ⅰ) 求数列{b
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列⎨
⎧a n ⎫
⎬的前n 项和T n ，若对于任意的正整数n 都有T n ≥m 成立，试求常数m 的最大值． n ⎩⎭
解：（I ）当n =1时, b 1=
1a 11
=3, 当n ≥2时, b n -b n -1=
1a n
-
1a n -1
=
a n -1-a n a n ⋅a n -1
=1，
∴数列{b n }是首项为3，公差为1的等差数列，∴数列{b n }的通项公式为b n =n +2． （II ）
a n n =
1nb n +
=a 2
n (n +2) +a 3
=
111
(-) ， 2n n +2a n -1
+a n
∴T n =
a 1
123n -1n 1111111111=[(1-) +(-) +(-) +L +(-) +(-)] 232435n -1n +1n n +213111
+) ] 又 T n +1-T n = =[->0 ，
22n +1n +2(n +1)(n +3)
+ +
故 T n 的最小值为T 1=
13
，从而所求m 最大值为
13
．
1、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1, b 2(a 2-a 1) =b 1. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =
a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n 。
解：（1）：当n =1时, a 1=S 1=2;
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2n -2(n -1)
2
2
=4n -2,
故{a n }的通项公式为a n =4n -2, 即{a n }是a 1=2, 公差d =4的等差数列. 设{b n }的通项公式为q , 则b 1qd =b 1, d =4, ∴q =故b n =b 1q n -1-2⨯
b n
14
n -1
14
24
.
. ……………6分
, 即{b n }的通项公式为b n =
n -1
（2） c n =a n =4n -2=(2n -1) 4n -1,
24
n -1
∴T n =c 1+c 2+ +c n =[1+3⨯4+5⨯4+ +(2n -1) 44T n =[1⨯4+3⨯4+5⨯4+ +(2n -3) 4
1
2
3
12n -1
],
23n -1
+(2n -1) 4]
) +(2n -1) 4
n
n
[(6n -5) 4+5]
n
两式相减得
3T n =-1-2(4+4+4+ +4∴T n =
19
[(6n -5) 4+5].
n
n -1
=
13
2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 满足S n =2a n -2n (n ∈N +) ,
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）若数列{b n }满足b n =log 2(a n +2), T n 为数列{
b n a n +2
的前n 项和，求证：T n ≥
12
.
（1）解：当n ∈N +时, S n =2a n -2n , 则当n ≥2, n ∈N +时, S n -1=2a n -1-2(n -1)
①－②，得a n =2a n -2a n -1-2，即a n =2a n -1+2 ∴a n +2=2(a n -1+2) ，∴
a n +2a n -1+2
=2，当n =1时，S 1=2a 1-2，则a 1=2.
n -1n +1
∴{a n +2}是以a 1+2=4为首项, 2为公比的等比数列, ∴a n +2=4⋅2=2, n +1
∴a n =2-2………………………6分 n +1
（1） 证明:b n =log 2(a n +2) =log 22=n +1. ∴
b n a n +2
=
n +12
n +1
,
则T n =
12T n =
22
2
++
32
3
+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
n +12
n +1
,
+n +12
n +2
22
3
32121
4
n 2
n +1
…………………………④
1(1-1-
112
n
③－④，得
T n =
22
2
+
12
3
+
12
4
+⋅⋅⋅+
12
n +1
-
n +12
n +2
=
14
+) -
n +12
n +2
=
14
+
12
-
2
n +1
-
n +12
n +2
=
34
-
n +32
n +2
∴T n =
32
-
n +32
n +1
.
1n +3n +2n +1
当n ≥2时, T n -T n -1=-n +1+n =n +1>0, ∴{T n }为递增数列, ∴T n ≥T 1=
2
2
2
2
1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=
12
, a n +2S n S n -1=0(n ≥2)
⎧1⎫
（错误！未找到引用源。） 判断⎨⎬是否为等差数列？并证明你的结论；（错误！未找到引用源。） 求S n 和
S ⎩n ⎭
a n ；
（错误！未找到引用源。）求证：S 1+S 2+ +S n ≤解：(1)S 1=a 1=
222
12
-
14n
。
12
, ∴
1S 1
1
=2. 当n ≥2时，a n =S n -S n -1, 即S n -S n -1=-2S n S n -1，
⎧1
=2. 故⎨
⎩S n
⎫
⎬是以2为首项，以2为公差的等差数列。
S n S n -1
⎭
11
(2)由1）得=2+(n -1)⨯2=2n , S n =.
S n 2n
∴
1
-
当n ≥2时，a n =-2S n S n -1=-
1⎧
, n =1⎪⎪2 =⎨
1
, n ≥2⎪-
⎪⎩2n (n -1)
2
2
12n (n -1)
; 当n =1时, a 1=
12
.
∴a n
S 1+S 2+L +S n
2
=
14
+
14⨯21
2
+
14⨯3
2
+L +
14⨯n
2
=
14
(1+
12
2
+
13
2
+L +
1n
2
)
⎡11
≤⎢1+++L +
1⨯22⨯3⎣⎤1
⎥=
(n -1n )⎦4
11111⎫11⎛
+-+L +-- 1+1-⎪=223n -1n ⎭24n ⎝
2
2．已知等差数列{a n }满足：公差d >0. a n ⋅a n +1=4n -1(n=1,2,3,…)
①求通项公式a n ； ②求证:
2a 1a 2
+
2a 2a 3
+
2a 3a 4
+…+
2a n a n +1
2
解: ① ∵a n ⋅a n +1=4n -1 ∴a n =2n -1.
②∵
2a n a n +1
=(1-
1
=
24n -1
2
=
2(2n +1)(2n -1)
=
12n -1
-
12n +1
∴
2a 1a 2
1
+
2a 2a 3
+
2a 3a 4
+…+
2a n a n +1
11) +) L +33511
n 2-1n 2+1
) 1n +2
数列解答题专题训练4 班级_________姓名__________日期：
1．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+ +2n a n =4n -1。
（1）求{a n }的通项；（2）设b n =
1a 2n
，求{b n }的前项和。
解：（1） 2a 1+22a 2+23a 3+L +2n a n =4n -1
n ≥2，2a 1+2a 2+2a 3+L +2
2
3
n -1
a n -1=4
n -1
-1，
∴2n a n =4n -4n -1=3⋅4n -1∴当n ≥2时，a n =
b n =
34
⋅2，又n=1时 2a1 =4-1得a 1=3/2,∴a n =
n 1
34
⋅2 （2）
n
1a 2n
=
134⋅2
2n
4⎛1⎫
=⋅ ⎪3⎝2⎭
2n
4⎛1⎫
= ⎪ 3⎝4⎭
n
n
1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n 34⎝⎭441⎢⎥11⎛⎫⎣⎦
=- ⎪ 故{b n }是以为首项，为公比的等比数列，∴S n =
199⎝4⎭34
1-
4
2、已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x ) =6x -2. 数列{a n }的前n 项和为S n ，点
(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上. （I ）求数列{a n }的通项公式；
*
（II ）设b n =
3a n a n +1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n
m 20
对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .
解：（I ）设这二次函数f (x ) =ax 2+bx (a ≠0), 则f (x ) =2ax +b ，
由于f (x ) =bx -2，得a =3, b =-2, 所以f (x ) =3x 2-2x
*2
又因为点(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上，所以S n =3n -2n .
22
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=(3n -2n ) -[3(n -1) -2(n -1)]=6n -5.
（II ）由（I ）得知b n =
12
17
3a n a n +117-113
=
3
(6n -5)[6(n -1) -5]
16n -5
-
16n +1
=
1
26n -5
(
1
-
16n +1
).
故T n =
=12(1-
[(1-1
) +() + +()]
6n +112
).
16n +1
)
m 20
(n ∈N ) 成立的m ，必须且仅须满足
*
因此，要使(1-
12
≤
m 20
,
即m ≥10，
所以满足要求的最小正整数m 为10。
数列解答题专题训练5 班级_________姓名__________日期：
1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知对任意的n ∈N + ，点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且
b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 b n =
n +14a n
(n ∈N ) 求数列{b n }的前n 项和T n
+
解:因为对任意的n ∈N +, 点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上. 所以得
S n =b +r , 当n =1时, a 1=S 1=b +r ,
n
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r ) =b n -b n -1=(b -1) b n -1,
n -1
又因为{a n }为等比数列, 所以r =-1, 公比为b , 所以a n =(b -1) b
n -1n -1
（2）当b=2时，a n =(b -1) b =2, b n =
n +14a n 22
3
=
n +14⨯2+423
n -1
=
n +12
n +1
n +
n +
则T n =
22
2
+
32
3
+
42
4
+ +
n +12
n +1
；
12
T n =
+
4
+ +52
3
n
n +
2
+1
1
2
2
1
相减, 得
12
T n =
2212
n 2
+
12
3
+
12
4
+
12
5
+ +
12
n +1
-
n +12
n +2
=
12
+⨯(1-1-
1
1n -1
) -
n +12
n +2
=
34
-
12
n +1
-
n +12
n +2
2
所以T n =
32
--
n +12
n +1
=
32
-
n +32
n +1
2. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 1=1, S n +1=4a n +2
（I ）设b n =a n +1-2a n ，证明数列{b n }是等比数列（II ）求数列{a n }的通项公式。
解：（Ⅰ）由a 1=1, 及S n +1=4a n +2，
有a 1+a 2=4a 1+2, a 2=3a 1+2=5, ∴b 1=a 2-2a 1=3
由S n +1=4a n +2，．．．①
则当n ≥2时，有S n =4a n -1+2．．．．．②
②－①得a n +1=4a n -4a n -1, ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) 又 b n =a n +1-2a n ，∴b n =2b n -1
∴{b n }是首项b 1=3，公比为２的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n =a n +1-2a n =3⋅2
n -1
，∴
a n +12
n +1
-
a n 2
n
=
34
∴数列{a
2
n n
是首项为
12
，公差为
34
14
的等比数列．
∴
a n 2
n
=
12
+(n -1)
34
=
34
n -
，a n =(3n -1) ⋅2
n -2
数列解答题专题训练6 班级_________姓名__________日期：
1．已知各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，且S n , a n ,
2
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2
-b n
1
，设C n =
2
b n
成等差数列.
求数列{C n }的前项和T n .
12∴a 1=
12
a n
解：（1）由题意知2a n =S n +当n ≥2时，S n =2a n -
整理得：
a n a n -1
n -1
12
, a n >0; 当n=1时，2a 1=a 1+
12
12
, S n -1=2a n -1-两式相减得a n =2a n -2a n -1（n ≥2）
12
=2（n ≥2） ∴数列{an }是
=12⨯2
n -1
为首项，2为公比的等比数列.
a n =a 1⋅2
=2
n -2
b a a a
=4-2n 2
n -2
2
（2）a n =2
-b n
=2
2n -4
∴b n =4-2n C n =24-8n
n -1
=
16-8n 2
n
T n =12
82
+82
2
02
2
+02
3
-82
3
+... +
T n =
++... +
12
2
224-8n 212
2n
+
216-8n 212
n n +1
+
16-8n
n
①
②
①－②得T n =4-8(
2
1
+
3
+... +) -
16-8n 2
n +1
1
=4-8⋅2
(1-1-
1212
n -1
) -
16-8n 2
n +1
=4-4(1-
12
) -n -1
16-8n 2
n +1
=
4n 2
n
∴T n =
8n 2
n
2. 已知函数f (x ) =
x ax +b
(a , b 为常数且a ≠0) 满足f (2) =1且f (x ) =x 有唯一解。
（1）求f (x ) 的表达式；（2）记x n =f (x n -1)(n ∈N 且n >1) ，且x 1＝f (1) 求数列{x n }的通项公式。
，
（３）记 y n =x n ⋅x n +1，数列｛y n ｝的前ｎ项和为S n ，求证S n
12
∴f
x ax +b
=x 即
2
43
2ax +1
2
ax +(b -1)x =0 有唯一解∴b =1又f (2)=
=1
(x )=
x 12x +1
=
2x x +2
(2)由x n =f (x n -1)=
x n -112x n -1+1
∴
1x n
=
1x n -1
+
12
又x 1=f (1)=
23
∴
1x 1
=
32
⎧1⎫2131n +231
∴x n = ∴数列⎨⎬是以首项为，公差为的等差数列 ∴=+(n -1)⨯=
n +2x n 22222⎩x n ⎭
(3)由y n =x n ⋅x n +1=
2n +2
⨯
2n +3
=4(
1n +2
-
1n +3
)
∴S n =y 1+y 2+y 3+... +y n =x 1x 2+x 2x 3+ +x n x n +1 =4⎢
⎡⎛1⎣⎝3
-
1⎫⎛1
⎪+ -4⎭⎝4
111⎫⎛⎫⎤1⎫4⎛1 -
数列解答题专题训练1 班级_________姓名__________日期：
1. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=
（1）求数列{a n }通项公式a n ； （2）求证：当n ≥2时，
1a 2
2
2
23
，且满足2S n +1+2S n =3a n +1 (n ∈N *) 。
2
+
1a 3
2
+
1a 4
2
2
+L +
1a n
2
94
。
解：（1）n ≥1时， 2S n +1+2S n =3a n +1……………①
n ≥2时，2S n +2S n -1=3a n …………………②………………………1分
n ≥2时，①－②得：2a n +1+2a n =3(a n +1-a n ) ∵a n >0 ∴a n +a n +1>0，a n +1-a n =令n =2，2(+a 2) +2⨯
3
a n =
23
*
22
23
……………3分
43
n ≥2时，a n =
43
+(n -2) ⨯
23=23
n 又a 1=
223
=3a 2∵a 2>0∴a 2=
2
23
∴
n (n ∈N ) ………………………6分
9(1
2
（2）当n ≥2时，左边=
9[1
94
42
+
13
2
+
14
2
+L +94(1-
1n 12
2
) 1
-2
1+3
1111-+L +-) 34n -1n
41⨯2
+
12⨯3
1n )
+
94
13⨯4
+L +
1(n -1) n
] =
+
+
=(1-∴当n ≥2时，
13
1a 2
2
1a 3
+L +2
1a n
*
94
2. 在数列{a n }中，a 1=
b n =
1a n
*
，并且对于任意n ∈N
n
，且n >1，都有a n ⋅a n -1=a n -1-a n 成立，令
(n ∈N )．(Ⅰ) 求数列{b
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列⎨
⎧a n ⎫
⎬的前n 项和T n ，若对于任意的正整数n 都有T n ≥m 成立，试求常数m 的最大值． n ⎩⎭
解：（I ）当n =1时, b 1=
1a 11
=3, 当n ≥2时, b n -b n -1=
1a n
-
1a n -1
=
a n -1-a n a n ⋅a n -1
=1，
∴数列{b n }是首项为3，公差为1的等差数列，∴数列{b n }的通项公式为b n =n +2． （II ）
a n n =
1nb n +
=a 2
n (n +2) +a 3
=
111
(-) ， 2n n +2a n -1
+a n
∴T n =
a 1
123n -1n 1111111111=[(1-) +(-) +(-) +L +(-) +(-)] 232435n -1n +1n n +213111
+) ] 又 T n +1-T n = =[->0 ，
22n +1n +2(n +1)(n +3)
+ +
故 T n 的最小值为T 1=
13
，从而所求m 最大值为
13
．
1、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1, b 2(a 2-a 1) =b 1. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =
a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n 。
解：（1）：当n =1时, a 1=S 1=2;
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2n -2(n -1)
2
2
=4n -2,
故{a n }的通项公式为a n =4n -2, 即{a n }是a 1=2, 公差d =4的等差数列. 设{b n }的通项公式为q , 则b 1qd =b 1, d =4, ∴q =故b n =b 1q n -1-2⨯
b n
14
n -1
14
24
.
. ……………6分
, 即{b n }的通项公式为b n =
n -1
（2） c n =a n =4n -2=(2n -1) 4n -1,
24
n -1
∴T n =c 1+c 2+ +c n =[1+3⨯4+5⨯4+ +(2n -1) 44T n =[1⨯4+3⨯4+5⨯4+ +(2n -3) 4
1
2
3
12n -1
],
23n -1
+(2n -1) 4]
) +(2n -1) 4
n
n
[(6n -5) 4+5]
n
两式相减得
3T n =-1-2(4+4+4+ +4∴T n =
19
[(6n -5) 4+5].
n
n -1
=
13
2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 满足S n =2a n -2n (n ∈N +) ,
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）若数列{b n }满足b n =log 2(a n +2), T n 为数列{
b n a n +2
的前n 项和，求证：T n ≥
12
.
（1）解：当n ∈N +时, S n =2a n -2n , 则当n ≥2, n ∈N +时, S n -1=2a n -1-2(n -1)
①－②，得a n =2a n -2a n -1-2，即a n =2a n -1+2 ∴a n +2=2(a n -1+2) ，∴
a n +2a n -1+2
=2，当n =1时，S 1=2a 1-2，则a 1=2.
n -1n +1
∴{a n +2}是以a 1+2=4为首项, 2为公比的等比数列, ∴a n +2=4⋅2=2, n +1
∴a n =2-2………………………6分 n +1
（1） 证明:b n =log 2(a n +2) =log 22=n +1. ∴
b n a n +2
=
n +12
n +1
,
则T n =
12T n =
22
2
++
32
3
+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
n +12
n +1
,
+n +12
n +2
22
3
32121
4
n 2
n +1
…………………………④
1(1-1-
112
n
③－④，得
T n =
22
2
+
12
3
+
12
4
+⋅⋅⋅+
12
n +1
-
n +12
n +2
=
14
+) -
n +12
n +2
=
14
+
12
-
2
n +1
-
n +12
n +2
=
34
-
n +32
n +2
∴T n =
32
-
n +32
n +1
.
1n +3n +2n +1
当n ≥2时, T n -T n -1=-n +1+n =n +1>0, ∴{T n }为递增数列, ∴T n ≥T 1=
2
2
2
2
1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=
12
, a n +2S n S n -1=0(n ≥2)
⎧1⎫
（错误！未找到引用源。） 判断⎨⎬是否为等差数列？并证明你的结论；（错误！未找到引用源。） 求S n 和
S ⎩n ⎭
a n ；
（错误！未找到引用源。）求证：S 1+S 2+ +S n ≤解：(1)S 1=a 1=
222
12
-
14n
。
12
, ∴
1S 1
1
=2. 当n ≥2时，a n =S n -S n -1, 即S n -S n -1=-2S n S n -1，
⎧1
=2. 故⎨
⎩S n
⎫
⎬是以2为首项，以2为公差的等差数列。
S n S n -1
⎭
11
(2)由1）得=2+(n -1)⨯2=2n , S n =.
S n 2n
∴
1
-
当n ≥2时，a n =-2S n S n -1=-
1⎧
, n =1⎪⎪2 =⎨
1
, n ≥2⎪-
⎪⎩2n (n -1)
2
2
12n (n -1)
; 当n =1时, a 1=
12
.
∴a n
S 1+S 2+L +S n
2
=
14
+
14⨯21
2
+
14⨯3
2
+L +
14⨯n
2
=
14
(1+
12
2
+
13
2
+L +
1n
2
)
⎡11
≤⎢1+++L +
1⨯22⨯3⎣⎤1
⎥=
(n -1n )⎦4
11111⎫11⎛
+-+L +-- 1+1-⎪=223n -1n ⎭24n ⎝
2
2．已知等差数列{a n }满足：公差d >0. a n ⋅a n +1=4n -1(n=1,2,3,…)
①求通项公式a n ； ②求证:
2a 1a 2
+
2a 2a 3
+
2a 3a 4
+…+
2a n a n +1
2
解: ① ∵a n ⋅a n +1=4n -1 ∴a n =2n -1.
②∵
2a n a n +1
=(1-
1
=
24n -1
2
=
2(2n +1)(2n -1)
=
12n -1
-
12n +1
∴
2a 1a 2
1
+
2a 2a 3
+
2a 3a 4
+…+
2a n a n +1
11) +) L +33511
n 2-1n 2+1
) 1n +2
数列解答题专题训练4 班级_________姓名__________日期：
1．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+ +2n a n =4n -1。
（1）求{a n }的通项；（2）设b n =
1a 2n
，求{b n }的前项和。
解：（1） 2a 1+22a 2+23a 3+L +2n a n =4n -1
n ≥2，2a 1+2a 2+2a 3+L +2
2
3
n -1
a n -1=4
n -1
-1，
∴2n a n =4n -4n -1=3⋅4n -1∴当n ≥2时，a n =
b n =
34
⋅2，又n=1时 2a1 =4-1得a 1=3/2,∴a n =
n 1
34
⋅2 （2）
n
1a 2n
=
134⋅2
2n
4⎛1⎫
=⋅ ⎪3⎝2⎭
2n
4⎛1⎫
= ⎪ 3⎝4⎭
n
n
1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n 34⎝⎭441⎢⎥11⎛⎫⎣⎦
=- ⎪ 故{b n }是以为首项，为公比的等比数列，∴S n =
199⎝4⎭34
1-
4
2、已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x ) =6x -2. 数列{a n }的前n 项和为S n ，点
(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上. （I ）求数列{a n }的通项公式；
*
（II ）设b n =
3a n a n +1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n
m 20
对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .
解：（I ）设这二次函数f (x ) =ax 2+bx (a ≠0), 则f (x ) =2ax +b ，
由于f (x ) =bx -2，得a =3, b =-2, 所以f (x ) =3x 2-2x
*2
又因为点(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上，所以S n =3n -2n .
22
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=(3n -2n ) -[3(n -1) -2(n -1)]=6n -5.
（II ）由（I ）得知b n =
12
17
3a n a n +117-113
=
3
(6n -5)[6(n -1) -5]
16n -5
-
16n +1
=
1
26n -5
(
1
-
16n +1
).
故T n =
=12(1-
[(1-1
) +() + +()]
6n +112
).
16n +1
)
m 20
(n ∈N ) 成立的m ，必须且仅须满足
*
因此，要使(1-
12
≤
m 20
,
即m ≥10，
所以满足要求的最小正整数m 为10。
数列解答题专题训练5 班级_________姓名__________日期：
1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知对任意的n ∈N + ，点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且
b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 b n =
n +14a n
(n ∈N ) 求数列{b n }的前n 项和T n
+
解:因为对任意的n ∈N +, 点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上. 所以得
S n =b +r , 当n =1时, a 1=S 1=b +r ,
n
当n ≥2时, a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r ) =b n -b n -1=(b -1) b n -1,
n -1
又因为{a n }为等比数列, 所以r =-1, 公比为b , 所以a n =(b -1) b
n -1n -1
（2）当b=2时，a n =(b -1) b =2, b n =
n +14a n 22
3
=
n +14⨯2+423
n -1
=
n +12
n +1
n +
n +
则T n =
22
2
+
32
3
+
42
4
+ +
n +12
n +1
；
12
T n =
+
4
+ +52
3
n
n +
2
+1
1
2
2
1
相减, 得
12
T n =
2212
n 2
+
12
3
+
12
4
+
12
5
+ +
12
n +1
-
n +12
n +2
=
12
+⨯(1-1-
1
1n -1
) -
n +12
n +2
=
34
-
12
n +1
-
n +12
n +2
2
所以T n =
32
--
n +12
n +1
=
32
-
n +32
n +1
2. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 1=1, S n +1=4a n +2
（I ）设b n =a n +1-2a n ，证明数列{b n }是等比数列（II ）求数列{a n }的通项公式。
解：（Ⅰ）由a 1=1, 及S n +1=4a n +2，
有a 1+a 2=4a 1+2, a 2=3a 1+2=5, ∴b 1=a 2-2a 1=3
由S n +1=4a n +2，．．．①
则当n ≥2时，有S n =4a n -1+2．．．．．②
②－①得a n +1=4a n -4a n -1, ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) 又 b n =a n +1-2a n ，∴b n =2b n -1
∴{b n }是首项b 1=3，公比为２的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n =a n +1-2a n =3⋅2
n -1
，∴
a n +12
n +1
-
a n 2
n
=
34
∴数列{a
2
n n
是首项为
12
，公差为
34
14
的等比数列．
∴
a n 2
n
=
12
+(n -1)
34
=
34
n -
，a n =(3n -1) ⋅2
n -2
数列解答题专题训练6 班级_________姓名__________日期：
1．已知各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，且S n , a n ,
2
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2
-b n
1
，设C n =
2
b n
成等差数列.
求数列{C n }的前项和T n .
12∴a 1=
12
a n
解：（1）由题意知2a n =S n +当n ≥2时，S n =2a n -
整理得：
a n a n -1
n -1
12
, a n >0; 当n=1时，2a 1=a 1+
12
12
, S n -1=2a n -1-两式相减得a n =2a n -2a n -1（n ≥2）
12
=2（n ≥2） ∴数列{an }是
=12⨯2
n -1
为首项，2为公比的等比数列.
a n =a 1⋅2
=2
n -2
b a a a
=4-2n 2
n -2
2
（2）a n =2
-b n
=2
2n -4
∴b n =4-2n C n =24-8n
n -1
=
16-8n 2
n
T n =12
82
+82
2
02
2
+02
3
-82
3
+... +
T n =
++... +
12
2
224-8n 212
2n
+
216-8n 212
n n +1
+
16-8n
n
①
②
①－②得T n =4-8(
2
1
+
3
+... +) -
16-8n 2
n +1
1
=4-8⋅2
(1-1-
1212
n -1
) -
16-8n 2
n +1
=4-4(1-
12
) -n -1
16-8n 2
n +1
=
4n 2
n
∴T n =
8n 2
n
2. 已知函数f (x ) =
x ax +b
(a , b 为常数且a ≠0) 满足f (2) =1且f (x ) =x 有唯一解。
（1）求f (x ) 的表达式；（2）记x n =f (x n -1)(n ∈N 且n >1) ，且x 1＝f (1) 求数列{x n }的通项公式。
，
（３）记 y n =x n ⋅x n +1，数列｛y n ｝的前ｎ项和为S n ，求证S n
12
∴f
x ax +b
=x 即
2
43
2ax +1
2
ax +(b -1)x =0 有唯一解∴b =1又f (2)=
=1
(x )=
x 12x +1
=
2x x +2
(2)由x n =f (x n -1)=
x n -112x n -1+1
∴
1x n
=
1x n -1
+
12
又x 1=f (1)=
23
∴
1x 1
=
32
⎧1⎫2131n +231
∴x n = ∴数列⎨⎬是以首项为，公差为的等差数列 ∴=+(n -1)⨯=
n +2x n 22222⎩x n ⎭
(3)由y n =x n ⋅x n +1=
2n +2
⨯
2n +3
=4(
1n +2
-
1n +3
)
∴S n =y 1+y 2+y 3+... +y n =x 1x 2+x 2x 3+ +x n x n +1 =4⎢
⎡⎛1⎣⎝3
-
1⎫⎛1
⎪+ -4⎭⎝4
111⎫⎛⎫⎤1⎫4⎛1 -