2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学(理工类) 第I卷(选择题共50分)
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、若集合Ai,i2,i3,i4 (i 是虚数单位),B1,1 ,则AA.1 B.1 C.1,1 D. 2、下列函数为奇函数的是
A.y
B 等于
B.ysinx C.ycosx D.yexex
x2y23、若双曲线E:1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF13,
916
则PF2 等于
A.11 B.9 C.5 D.3
4、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
户年收入为15万元家庭年支出为
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
x2y0,
5、若变量x,y 满足约束条件xy0, 则z2xy 的最小值等于
x2y20,
A.
53
B.2 C. D.2 22
6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1
7、若l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 ,则“lm ”是“l// ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若a,b 是函数fxxpxqp0,q0 的两个不同的零点,且a,b,2 这三
2
个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9
9、已知ABAC,AB,ACt ,若点P是ABC 所在平面内一点,且
1t
AP
ABAB
4ACAC
,则PBPC 的最大值等于
A.13 B.15 C.19 D.21
10、若定义在R 上的函数fx 满足f01 ,其导函数fx 满足fxk1 ,则下列结论中一定错误的是 A.f
11
B.kk11
C.f
kk11k11 D. ff
k1k1k1k1
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、x2 的展开式中,x2 的系数等于.
(用数字作答)
12、若锐角ABC 的面积为 ,且AB5,AC8 ,则BC 等于13、如图,点A 的坐标为1,0 ,点C 的坐标为2,4 ,函数fxx ,若在矩形
2
5
ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于. x6,x2,
14、若函数fx (a0 且a1 )的值域是
3logx,x2,a
4, ,则实数a 的取值范围是
15、一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2
xnnN* ,其中xkk1,2,
,n 称
为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)
已知某种二元码x1x2
x4x5x6x70,
x7 的码元满足如下校验方程组:x2x3x6x70,
xxxx0,
3571
其中运算 定义为:000,011,101,110 .
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于 .
16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.
17.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB^平面BEG,BE^EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(I)求证:GF平面ADE (II)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
x2y218. 已知椭圆E:2+2=1(a>b>
0)过点,且离心率为
.
ab(I)求椭圆E的方程; (II)设直线l:x=my-1,(m R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-,0) 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
9
4
19.(本小题满分13分)
已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到:先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移(I)求函数f(x)的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(II)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b (i)求实数m的取值范围;
p
个单位长度. 2
2m2
( ii)证明:cos(a-b)=-1.
5
20.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k R), (I)证明:当x>0时,f(x)
(II)证明:当k0,使得对任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x);
(III)确定k的所以可能取值,使得存在t>0,对任意的xÎ(0,t),恒有|f(x)-g(x)|
21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答.满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
2
骣骣2111
琪,B=. 已知矩阵A=琪琪琪430-1桫桫
(I)求A的逆矩阵A; (II)求矩阵C,使得AC=B.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
-1
在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为í
ìïx=1+3cost
(t为参数).在极坐标系(与
ïîy=-2+3sint
平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l
sin(q-
p
)=m,(m R). 4
(I)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (II)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
(3)(本小题7分)选修4-5:不等式选讲
已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x+b|+c的最小值为4. (I)求a+b+c的值; (II)求
12122
a+b+c的最小值为. 49
数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分。
1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分。
11. 80 12. 7 13.
5
14. (1,2] 15.5 12
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想,满分13分 解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=
5431
=p ´´
6542
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3
又P(X=1)=
151,P(X=2)=?6651542
,P(X=3)=1=. 6653
所以X的分布列为
所以.E(X)=1?
1125
2+3= 6632
17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.
解法一:(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD, 又G是BE的中点, 所以GH//AB,且GH=
1
AB 2
1
CD, 2
又F是CD中点,所以DF=
由四边形ABCD是矩形得,AB//CD,AB=CD, 所以GH//DF,且GH=DF,
从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF//DH. 又DH趟平面ADE,GF
平面ADE,所以GF//平面ADE.
(II)如图,在平面BEG内,过点B作BQ//EC,因为BE^CE,所以BQ^BE 又因为AB^平面BEC,所以AB^BE,AB^BQ
以B为原点,分别以BE,BQ,BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向 建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为AB^平面BEC,所以BA=(0,0,2)为平面BEC的法向量, 设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1)
ìnAE=0,ì2x-2z=0,镲
得由眄取z=2得n
=(2,-1,2).
2x+2y-z=0,镲înAF=0,î
从而cos狁n,BA=
nBA42
==,
|n|×|BA|3´23
2. 3
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二:(I)如图,取AB中点M,连接MG,MF, 又G是BE的中点,可知GM//AE, 又AE趟平面ADE,GM所以GM//平面ADE.
平面ADE,
在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点得MF//AD. 又ADÌ平面ADE,MFË平面ADE,所以MF//平面ADE. 又因为GMÇMF=M,GMÌ平面GMF,MFÌ平面GMF 所以平面GMF//平面ADE,
因为GFÌ平面GMF,所以
GF//平面ADE (II
)同解法一.
18.本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想
. 满分13分 解法一:(I)由已知得
ìbïìa=2ïï镲c
解得b= 眄=镲a222镲îc=a=b+cïî
x2y2所以椭圆E的方程为+=1.
42
(II)设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).
ìx=my-1ï
由íx2y2得(m2+2)y2-2my-3=0, ï+=1ïî42
所以y1+y2=
2m32
从而. ,yy=,y=1202
22
m+2m+2m+2
所以GH|2=(x0+)2+y02=(my0+)2+y02=(m2+1)y02+
9454525my0+. 216
|AB|2(x1-x2)2+(y1-y2)2(m2+1)(y1-y2)2
==
444
(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] ==(m2+1)(y02-y1y2),
4
故
|AB|25255m23(m2+1)2517m2+22
|GH|-=my0+(m+1)y1y2+=-+=>0 22242162(m+2)m+21616(m+2)
2
所以|GH|>
|AB|9
,故G(-,0)在以AB为直径的圆外. 24
9
4
94
解法二:(I)同解法一.
(II)设点A(x1y1),B(x2,y2),,则GA=(x1+,y1),GB=(x2+,y2).
ìx=my-1ï2m3由íx2y2 得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2,y1y2=2,
m+2m+2ï+=1
ïî42
从而GAGB=(x1+)(x2+)+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2
9
4945454
5255m23(m2+1)2517m2+2
=-+=>0 = =(m+1)y1y2+m(y1+y2)+222
4162(m+2)m+21616(m+2)
2
所以cos狁GA,GB>0,又GA,GB不共线,所以ÐAGB为锐角. 故点G(-,0)在以AB为直径的圆外.
19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分13分.
解法一:(I)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到再将y=2cosx的图像向右平移y=2cosx的图像,的图像,故f(x)=2sinx
从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为x=kp+
9
4
pp个单位长度后得到y=2cos(x-)22
p
(k Z). 2
(2)1) f(x)+g(x)=2sinx+cosx=xx) j=
=x+j)(其中sinj=
依题意,sin(x+j在区间[0,2p)内有两个不同的解a,b
当且仅当
取值范围是(-.
(ii)因为a,b
x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
所以sin(a+
jsin(b+j.
p
-j),即a-b=p-2(b+j);
23p
当-时, a+b=2(-j),即a-b=3p-2(b+j);
2
当1£a+b=2(
22m2
-1=-1. 所以cos(a-b)=-cos2(b+j)=2sin(b+j)-1=52
解法二:(I)同解法一. (II)(i) 同解法一.
(ii) 因为a,b
x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
所以sin(a+
jsin(b+j.
p
-j),即a+j=p-(b+j);
23p
当-时, a+b=2(-j),即a+j=3p-(b+j);
2
当1£a+b=2(所以cos(a+j)=-cos(b+j)
于是cos(
a-b)=cos[(a+j)-(b+j)]=cos(a+j)cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)
222m2
=-cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)=-[1-]+=-1.
52
20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合
思想.满分14分.
解法一:(I)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x?[0, ),则有F¢(x)=当x?[0, ), F¢(x)0时,F(x)0时,f(x)
1x
-1=-1+x1+x
1-kx+(1-k) -k=
1+x1+x
当k£0 G¢(x)>0,所以G(x)在[0,+ )上单调递增, G(x)>G(0)=0 故对任意正实数x0均满足题意. 当0
1-k1
=-1>0. kk
1
-1,对任意x?(0,x0),恒有G¢(x)0,所以G(x)在[0,x0)上单调递增, k
G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x).
综上,当k0,使得对任意的任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x). (III)当k>1时,由(1)知,对于
),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),
|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x),
令
M(x)=kx-ln(1+x)-x2,x违[0,+
)
,则有
21-2x+(k-2)x+k-1
M¢(x)=k--2x=,
1+x1+x
故
当
xÎ(0时,
M¢(x)>0
,M(x
)在
[0上单调递增,故M(x)>M(0)=0,即|f(x)-g(x)|>x2,所以
满足题意的t不存在.
当k0,使得当任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x). 此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, 令
N(x)=ln(1+x)-kx-x2,x违[0,+
)
,则有
21-2x-(k+2)x-k+1M¢(x)=-k-2x=, 1+x1+x
故
当xÎ(0时,N¢(x)>0,N(x)
在
[0上单调递增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,记x1, x
0与则当x?(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2,故满足题意的t不存在.
当k=1,由(I)知,当x>0时,|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
21-2x-x(x)=1--2x=, ),则有H¢1+x1+x令H(x)=x-ln(1+x)-x,x违[0,+2
当x>0时,H¢上单调递减,故H(x)
故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|
综上,k=1.
解法二:(I)(II)同解法一.
(III)当k>1时,由(I)知,对于
故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k-1)x,
令(k-1)x>x,解得0
从而得到当k>1时,对于x?(0,k1)恒有|f(x)-g(x)|>x,所以满足题意的t不存在. 当k
由(II)知存在x0>0,使得xÎ(0,x0),f(x)>k1x>kx=g(x). 此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k1-k)x=
令1-kx, 21-k1-k2,此时 f(x)-g(x)>x, x>x2,解得0
1-k记x0与中较小的为x1,则当x?(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2, 2
故满足题意的t不存在.
当k=1,由(I)知,x>0|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
12x2x令M(x)xln(1x)x,x[0,+),则有M(x)12x, 1x1x2
当x>0时,M¢上单调递减,故M(x)
故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|
综上,k=1.
21.选修4-2:矩阵与变换
本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(I)因为|A|=2创3-14=2 2
321所以A42113222 2212
-1-1(II)由AC=B得(AA)C=AB, 133112 =2故CAB=220121231
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为x-1
sin(q-()2+(y+2)=9,
2p)=m,得rsinq-rcosq-m=0, 4
所以直线l的直角坐标方程为x-y-m=0.
(II)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即
=2,解得m=-3
(3)选修4-5:不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(I)因为f(x)
当且仅当-a#x b时,等号成立
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4
(II)由(I)知a+b+c=4,由柯西不等式得
骣12122a+b+c49桫
即骣ab4+9+1炒2+创3+c1)(23桫2=(a+b+c)=16, 2121228a+b+c . 497
11bac8182当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立 231777
118所以a2+b2+c2的最小值为. 497
2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学(理工类) 第I卷(选择题共50分)
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、若集合Ai,i2,i3,i4 (i 是虚数单位),B1,1 ,则AA.1 B.1 C.1,1 D. 2、下列函数为奇函数的是
A.y
B 等于
B.ysinx C.ycosx D.yexex
x2y23、若双曲线E:1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF13,
916
则PF2 等于
A.11 B.9 C.5 D.3
4、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
户年收入为15万元家庭年支出为
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元
x2y0,
5、若变量x,y 满足约束条件xy0, 则z2xy 的最小值等于
x2y20,
A.
53
B.2 C. D.2 22
6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D.1
7、若l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 ,则“lm ”是“l// ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若a,b 是函数fxxpxqp0,q0 的两个不同的零点,且a,b,2 这三
2
个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9
9、已知ABAC,AB,ACt ,若点P是ABC 所在平面内一点,且
1t
AP
ABAB
4ACAC
,则PBPC 的最大值等于
A.13 B.15 C.19 D.21
10、若定义在R 上的函数fx 满足f01 ,其导函数fx 满足fxk1 ,则下列结论中一定错误的是 A.f
11
B.kk11
C.f
kk11k11 D. ff
k1k1k1k1
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、x2 的展开式中,x2 的系数等于.
(用数字作答)
12、若锐角ABC 的面积为 ,且AB5,AC8 ,则BC 等于13、如图,点A 的坐标为1,0 ,点C 的坐标为2,4 ,函数fxx ,若在矩形
2
5
ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于. x6,x2,
14、若函数fx (a0 且a1 )的值域是
3logx,x2,a
4, ,则实数a 的取值范围是
15、一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2
xnnN* ,其中xkk1,2,
,n 称
为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)
已知某种二元码x1x2
x4x5x6x70,
x7 的码元满足如下校验方程组:x2x3x6x70,
xxxx0,
3571
其中运算 定义为:000,011,101,110 .
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于 .
16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.
17.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB^平面BEG,BE^EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(I)求证:GF平面ADE (II)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
x2y218. 已知椭圆E:2+2=1(a>b>
0)过点,且离心率为
.
ab(I)求椭圆E的方程; (II)设直线l:x=my-1,(m R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-,0) 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
9
4
19.(本小题满分13分)
已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到:先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移(I)求函数f(x)的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(II)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b (i)求实数m的取值范围;
p
个单位长度. 2
2m2
( ii)证明:cos(a-b)=-1.
5
20.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k R), (I)证明:当x>0时,f(x)
(II)证明:当k0,使得对任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x);
(III)确定k的所以可能取值,使得存在t>0,对任意的xÎ(0,t),恒有|f(x)-g(x)|
21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答.满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
2
骣骣2111
琪,B=. 已知矩阵A=琪琪琪430-1桫桫
(I)求A的逆矩阵A; (II)求矩阵C,使得AC=B.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
-1
在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为í
ìïx=1+3cost
(t为参数).在极坐标系(与
ïîy=-2+3sint
平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l
sin(q-
p
)=m,(m R). 4
(I)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (II)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
(3)(本小题7分)选修4-5:不等式选讲
已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x+b|+c的最小值为4. (I)求a+b+c的值; (II)求
12122
a+b+c的最小值为. 49
数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分。
1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分。
11. 80 12. 7 13.
5
14. (1,2] 15.5 12
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想,满分13分 解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=
5431
=p ´´
6542
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3
又P(X=1)=
151,P(X=2)=?6651542
,P(X=3)=1=. 6653
所以X的分布列为
所以.E(X)=1?
1125
2+3= 6632
17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.
解法一:(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD, 又G是BE的中点, 所以GH//AB,且GH=
1
AB 2
1
CD, 2
又F是CD中点,所以DF=
由四边形ABCD是矩形得,AB//CD,AB=CD, 所以GH//DF,且GH=DF,
从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF//DH. 又DH趟平面ADE,GF
平面ADE,所以GF//平面ADE.
(II)如图,在平面BEG内,过点B作BQ//EC,因为BE^CE,所以BQ^BE 又因为AB^平面BEC,所以AB^BE,AB^BQ
以B为原点,分别以BE,BQ,BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向 建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为AB^平面BEC,所以BA=(0,0,2)为平面BEC的法向量, 设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1)
ìnAE=0,ì2x-2z=0,镲
得由眄取z=2得n
=(2,-1,2).
2x+2y-z=0,镲înAF=0,î
从而cos狁n,BA=
nBA42
==,
|n|×|BA|3´23
2. 3
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二:(I)如图,取AB中点M,连接MG,MF, 又G是BE的中点,可知GM//AE, 又AE趟平面ADE,GM所以GM//平面ADE.
平面ADE,
在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点得MF//AD. 又ADÌ平面ADE,MFË平面ADE,所以MF//平面ADE. 又因为GMÇMF=M,GMÌ平面GMF,MFÌ平面GMF 所以平面GMF//平面ADE,
因为GFÌ平面GMF,所以
GF//平面ADE (II
)同解法一.
18.本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想
. 满分13分 解法一:(I)由已知得
ìbïìa=2ïï镲c
解得b= 眄=镲a222镲îc=a=b+cïî
x2y2所以椭圆E的方程为+=1.
42
(II)设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).
ìx=my-1ï
由íx2y2得(m2+2)y2-2my-3=0, ï+=1ïî42
所以y1+y2=
2m32
从而. ,yy=,y=1202
22
m+2m+2m+2
所以GH|2=(x0+)2+y02=(my0+)2+y02=(m2+1)y02+
9454525my0+. 216
|AB|2(x1-x2)2+(y1-y2)2(m2+1)(y1-y2)2
==
444
(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] ==(m2+1)(y02-y1y2),
4
故
|AB|25255m23(m2+1)2517m2+22
|GH|-=my0+(m+1)y1y2+=-+=>0 22242162(m+2)m+21616(m+2)
2
所以|GH|>
|AB|9
,故G(-,0)在以AB为直径的圆外. 24
9
4
94
解法二:(I)同解法一.
(II)设点A(x1y1),B(x2,y2),,则GA=(x1+,y1),GB=(x2+,y2).
ìx=my-1ï2m3由íx2y2 得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2,y1y2=2,
m+2m+2ï+=1
ïî42
从而GAGB=(x1+)(x2+)+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2
9
4945454
5255m23(m2+1)2517m2+2
=-+=>0 = =(m+1)y1y2+m(y1+y2)+222
4162(m+2)m+21616(m+2)
2
所以cos狁GA,GB>0,又GA,GB不共线,所以ÐAGB为锐角. 故点G(-,0)在以AB为直径的圆外.
19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分13分.
解法一:(I)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到再将y=2cosx的图像向右平移y=2cosx的图像,的图像,故f(x)=2sinx
从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为x=kp+
9
4
pp个单位长度后得到y=2cos(x-)22
p
(k Z). 2
(2)1) f(x)+g(x)=2sinx+cosx=xx) j=
=x+j)(其中sinj=
依题意,sin(x+j在区间[0,2p)内有两个不同的解a,b
当且仅当
取值范围是(-.
(ii)因为a,b
x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
所以sin(a+
jsin(b+j.
p
-j),即a-b=p-2(b+j);
23p
当-时, a+b=2(-j),即a-b=3p-2(b+j);
2
当1£a+b=2(
22m2
-1=-1. 所以cos(a-b)=-cos2(b+j)=2sin(b+j)-1=52
解法二:(I)同解法一. (II)(i) 同解法一.
(ii) 因为a,b
x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解,
所以sin(a+
jsin(b+j.
p
-j),即a+j=p-(b+j);
23p
当-时, a+b=2(-j),即a+j=3p-(b+j);
2
当1£a+b=2(所以cos(a+j)=-cos(b+j)
于是cos(
a-b)=cos[(a+j)-(b+j)]=cos(a+j)cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)
222m2
=-cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)=-[1-]+=-1.
52
20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合
思想.满分14分.
解法一:(I)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x?[0, ),则有F¢(x)=当x?[0, ), F¢(x)0时,F(x)0时,f(x)
1x
-1=-1+x1+x
1-kx+(1-k) -k=
1+x1+x
当k£0 G¢(x)>0,所以G(x)在[0,+ )上单调递增, G(x)>G(0)=0 故对任意正实数x0均满足题意. 当0
1-k1
=-1>0. kk
1
-1,对任意x?(0,x0),恒有G¢(x)0,所以G(x)在[0,x0)上单调递增, k
G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x).
综上,当k0,使得对任意的任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x). (III)当k>1时,由(1)知,对于
),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),
|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x),
令
M(x)=kx-ln(1+x)-x2,x违[0,+
)
,则有
21-2x+(k-2)x+k-1
M¢(x)=k--2x=,
1+x1+x
故
当
xÎ(0时,
M¢(x)>0
,M(x
)在
[0上单调递增,故M(x)>M(0)=0,即|f(x)-g(x)|>x2,所以
满足题意的t不存在.
当k0,使得当任意xÎ(0,x0),恒有f(x)>g(x). 此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx, 令
N(x)=ln(1+x)-kx-x2,x违[0,+
)
,则有
21-2x-(k+2)x-k+1M¢(x)=-k-2x=, 1+x1+x
故
当xÎ(0时,N¢(x)>0,N(x)
在
[0上单调递增,故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x2,记x1, x
0与则当x?(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2,故满足题意的t不存在.
当k=1,由(I)知,当x>0时,|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
21-2x-x(x)=1--2x=, ),则有H¢1+x1+x令H(x)=x-ln(1+x)-x,x违[0,+2
当x>0时,H¢上单调递减,故H(x)
故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|
综上,k=1.
解法二:(I)(II)同解法一.
(III)当k>1时,由(I)知,对于
故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k-1)x,
令(k-1)x>x,解得0
从而得到当k>1时,对于x?(0,k1)恒有|f(x)-g(x)|>x,所以满足题意的t不存在. 当k
由(II)知存在x0>0,使得xÎ(0,x0),f(x)>k1x>kx=g(x). 此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k1-k)x=
令1-kx, 21-k1-k2,此时 f(x)-g(x)>x, x>x2,解得0
1-k记x0与中较小的为x1,则当x?(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2, 2
故满足题意的t不存在.
当k=1,由(I)知,x>0|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x),
12x2x令M(x)xln(1x)x,x[0,+),则有M(x)12x, 1x1x2
当x>0时,M¢上单调递减,故M(x)
故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|
综上,k=1.
21.选修4-2:矩阵与变换
本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(I)因为|A|=2创3-14=2 2
321所以A42113222 2212
-1-1(II)由AC=B得(AA)C=AB, 133112 =2故CAB=220121231
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为x-1
sin(q-()2+(y+2)=9,
2p)=m,得rsinq-rcosq-m=0, 4
所以直线l的直角坐标方程为x-y-m=0.
(II)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即
=2,解得m=-3
(3)选修4-5:不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力,考查化归与转化思想.满分7分.
解:(I)因为f(x)
当且仅当-a#x b时,等号成立
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4
(II)由(I)知a+b+c=4,由柯西不等式得
骣12122a+b+c49桫
即骣ab4+9+1炒2+创3+c1)(23桫2=(a+b+c)=16, 2121228a+b+c . 497
11bac8182当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立 231777
118所以a2+b2+c2的最小值为. 497