解三角第一问快速入门
必备知识：① sin A ⇔sin(π-B -C ) ⇔sin(B +C )
sin B ⇔sin(π-A -C ) ⇔sin(A +C )
sin C ⇔sin(π-A -B ) ⇔sin(A +B )
在∆ABC 中，任何一个角的正弦值可以转化成另外两个角和的正弦值；反之，任意两个角和的正弦值可以转化成第三个角的正弦值（常用）
② cos A ⇔cos(π-B -C ) ⇔-cos(B +C )
cos B ⇔cos (π-A -C )⇔-cos(A +C )
cos C ⇔cos(π-A -B ) ⇔-cos(A +B )
在∆ABC 中，任何一个角的余弦值可以转化成另外两个角和的余弦值的相反数；反之，任意两个角和的余弦值可以转化成第三个角的余弦值的相反数
③ ⎛A ⎫⎛πB C ⎫⎛B +C ⎫sin ⎪⇔sin --⎪⇔cos ⎪ ⎝2⎭⎝222⎭⎝2⎭
⎛B ⎫⎛πA C ⎫⎛A +C ⎫⎪⇔sin --⎪⇔cos ⎪ 22222⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin
sin πA B A +B ⎛C ⎫⇔--) ⇔) ⎪2222⎝2⎭
在∆ABC 中，任何一个角的半角的正弦值可以转化成另外两个角和的一半的余弦值；反之，任意两个角和的一半的余弦值可以转化成第三个角的半角的正弦值
④ a b c ===2R （正弦定理） sin A sin B sin C
⑤ b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A = cos B = cos C = 2bc 2ac 2ab
（余弦定理）
思路：当等式左右两边出现边的同次时，可以用正弦定理转化成对应角的正弦值
举例：题目中若出现a cos B =b cos A ，用正弦定理可转化成sin A cos B =sin B cos A 解题步骤：1、边转化成角之后，若等式两边出现同类项，则直接抵消。例如见到
cos A sin B =11sin B 就化简成cos A = 22
2、当抵消不了时，观察等式中是否可以用到和差角公式的逆应用，例如见到 sin A cos B +sin B cos A 就化简成sin(A +B ) ，再进一步转化成sin C
3、当前两个步骤都实现不了时，且等式中含有A,B,C 三个未知角，就需要将 其中一个角的三角函数值进行转化，变成另外两个角的和对应的三角函数，例 如见到a sin B +b cos A =c 时，式子中的左右两边的边长是同次，则可以用把 边转化，变成sin A sin B +sin B cos A =sin C ，发现式子中不能完成步骤1和 步骤2，观察后把C 角转化，变成sin A sin B +sin B cos A =sin(A +B ) ，再展 开，变成sin A sin B +sin B cos A =sin A cos B +sin B cos A ，左右两边去掉相 同项后变成sin A sin B =sin A cos B ，再抵消化简成sin B =cos B ，得B =
步骤3的注意事项：具体是把哪个角转化，需要观察式子，以转化后的式子不复杂，计算 量小，且式子中每一项的次数相同这三点为标准
π4
思路：当等式左右两边出现同次的正弦值时，用正弦定理转化成边；等式中的余弦值直接用余弦定理转化，最后观察等式符合哪个角的余弦定理形式。
解题步骤：1、当等式中只有边长，且刚好符合某一个角的余弦定理形式时，转化求角，例 如见到b +c =a -，式子中三个边的平方都有出现，还出现了其中两个 222
b 2+c 2-a 2
边的乘积，则考虑用另外一边对应的余弦定理，即cos A =，把分 2bc
子替换，变成cos A =5-bc 3，则A =π =-62bc 2
2、当等式中只包含角的余弦值时，用余弦定理进行转化，再完成步骤1，例如
1a 2+b 2-c 21=a -c ，再化简得 见到b cos C =a -c ，用余弦定理得，b ∙22ab 2
a 2+c 2-b 2ac 1== a +c -b =ac ，用B 角的余弦，得cos B =2ac 2ac 2222
3、当等式中左右两边包含同次的正弦值，用正弦定理把正弦值转化成相应的边， 再完成步骤1。例如见到a sin A +b sin B -c sin C =b sin A ，用正弦定理转化
a 2+b 2-c 2ab 1== 成a +b -c =ba ，用C 角的余弦，得cos C =2ab 2ab 2222
4、当等式中左右两边包含次的正弦值，还包含余弦值时，先用正弦定理把正弦 值转化成相应的边，再完成步骤2。例如见到2sin B cos C +sin C =2sin A ， 先用正弦定理变成2b cos C +c =2a , 再按照步骤2中的形式化简（同练习）
一、等式中全部转化成边后，经过化简必须要满足某一个角的余弦形式，如果不能转化，说 明不是求未知角对应的三角函数值（三角形形状判断、求边长都会用到角化边）
二、在步骤4中，等式左右两边一定要出现同次的正弦值，否则也不能用角化边的方法。 例如见到a cos C +sin c =b +c 类似的式子，只有等式左边有正弦值，等式右边没 有，就不能用角化边的方法。
三、若条件中的等式左右两边既有同次的正弦值或边或都包含，又包含余弦值时，用角化边
或者是边化角的方法都行的通。
四、形如a sin A +b sin B -c sin C =b sin A ，
或者是变形式sin A +sin B -sin C =sin A sin B ，只能用角化边的方法，不能用边 222
化角的方法
基本题型三：用角化边求边长或判断三角形形状
思路：当题目未知是要求解边长值时，将已知的等式用正弦或余弦定理全部转化成与边长有关的等式，再化简求解。
22例1：已知sin A cos B =3sin B cos A ，且a -b =2c ，求c 边
步骤一：先用正弦定理将角转化成边，得a cos B =3b cos A a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2
=3b ∙步骤二：再用余弦定理，得a ∙ 2ac 2bc
步骤三：化简得2a -2b =c
步骤四：将a -b =2c 代入得c =4c ，即c =4 222222
例2：在∆ABC 中，b cos A =a cos B ，判断∆ABC 的形状 b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2
=a ∙步骤一：用余弦定理，得b ∙ 2bc 2ac
22步骤二：化简得a =b ，及a =b
所以∆ABC 是等腰三角形
特殊题型：已知b cos A =3a cos B ，且cos C = ，求A 角 5
解三角第一问快速入门
必备知识：① sin A ⇔sin(π-B -C ) ⇔sin(B +C )
sin B ⇔sin(π-A -C ) ⇔sin(A +C )
sin C ⇔sin(π-A -B ) ⇔sin(A +B )
在∆ABC 中，任何一个角的正弦值可以转化成另外两个角和的正弦值；反之，任意两个角和的正弦值可以转化成第三个角的正弦值（常用）
② cos A ⇔cos(π-B -C ) ⇔-cos(B +C )
cos B ⇔cos (π-A -C )⇔-cos(A +C )
cos C ⇔cos(π-A -B ) ⇔-cos(A +B )
在∆ABC 中，任何一个角的余弦值可以转化成另外两个角和的余弦值的相反数；反之，任意两个角和的余弦值可以转化成第三个角的余弦值的相反数
③ ⎛A ⎫⎛πB C ⎫⎛B +C ⎫sin ⎪⇔sin --⎪⇔cos ⎪ ⎝2⎭⎝222⎭⎝2⎭
⎛B ⎫⎛πA C ⎫⎛A +C ⎫⎪⇔sin --⎪⇔cos ⎪ 22222⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin
sin πA B A +B ⎛C ⎫⇔--) ⇔) ⎪2222⎝2⎭
在∆ABC 中，任何一个角的半角的正弦值可以转化成另外两个角和的一半的余弦值；反之，任意两个角和的一半的余弦值可以转化成第三个角的半角的正弦值
④ a b c ===2R （正弦定理） sin A sin B sin C
⑤ b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A = cos B = cos C = 2bc 2ac 2ab
（余弦定理）
思路：当等式左右两边出现边的同次时，可以用正弦定理转化成对应角的正弦值
举例：题目中若出现a cos B =b cos A ，用正弦定理可转化成sin A cos B =sin B cos A 解题步骤：1、边转化成角之后，若等式两边出现同类项，则直接抵消。例如见到
cos A sin B =11sin B 就化简成cos A = 22
2、当抵消不了时，观察等式中是否可以用到和差角公式的逆应用，例如见到 sin A cos B +sin B cos A 就化简成sin(A +B ) ，再进一步转化成sin C
3、当前两个步骤都实现不了时，且等式中含有A,B,C 三个未知角，就需要将 其中一个角的三角函数值进行转化，变成另外两个角的和对应的三角函数，例 如见到a sin B +b cos A =c 时，式子中的左右两边的边长是同次，则可以用把 边转化，变成sin A sin B +sin B cos A =sin C ，发现式子中不能完成步骤1和 步骤2，观察后把C 角转化，变成sin A sin B +sin B cos A =sin(A +B ) ，再展 开，变成sin A sin B +sin B cos A =sin A cos B +sin B cos A ，左右两边去掉相 同项后变成sin A sin B =sin A cos B ，再抵消化简成sin B =cos B ，得B =
步骤3的注意事项：具体是把哪个角转化，需要观察式子，以转化后的式子不复杂，计算 量小，且式子中每一项的次数相同这三点为标准
π4
思路：当等式左右两边出现同次的正弦值时，用正弦定理转化成边；等式中的余弦值直接用余弦定理转化，最后观察等式符合哪个角的余弦定理形式。
解题步骤：1、当等式中只有边长，且刚好符合某一个角的余弦定理形式时，转化求角，例 如见到b +c =a -，式子中三个边的平方都有出现，还出现了其中两个 222
b 2+c 2-a 2
边的乘积，则考虑用另外一边对应的余弦定理，即cos A =，把分 2bc
子替换，变成cos A =5-bc 3，则A =π =-62bc 2
2、当等式中只包含角的余弦值时，用余弦定理进行转化，再完成步骤1，例如
1a 2+b 2-c 21=a -c ，再化简得 见到b cos C =a -c ，用余弦定理得，b ∙22ab 2
a 2+c 2-b 2ac 1== a +c -b =ac ，用B 角的余弦，得cos B =2ac 2ac 2222
3、当等式中左右两边包含同次的正弦值，用正弦定理把正弦值转化成相应的边， 再完成步骤1。例如见到a sin A +b sin B -c sin C =b sin A ，用正弦定理转化
a 2+b 2-c 2ab 1== 成a +b -c =ba ，用C 角的余弦，得cos C =2ab 2ab 2222
4、当等式中左右两边包含次的正弦值，还包含余弦值时，先用正弦定理把正弦 值转化成相应的边，再完成步骤2。例如见到2sin B cos C +sin C =2sin A ， 先用正弦定理变成2b cos C +c =2a , 再按照步骤2中的形式化简（同练习）
一、等式中全部转化成边后，经过化简必须要满足某一个角的余弦形式，如果不能转化，说 明不是求未知角对应的三角函数值（三角形形状判断、求边长都会用到角化边）
二、在步骤4中，等式左右两边一定要出现同次的正弦值，否则也不能用角化边的方法。 例如见到a cos C +sin c =b +c 类似的式子，只有等式左边有正弦值，等式右边没 有，就不能用角化边的方法。
三、若条件中的等式左右两边既有同次的正弦值或边或都包含，又包含余弦值时，用角化边
或者是边化角的方法都行的通。
四、形如a sin A +b sin B -c sin C =b sin A ，
或者是变形式sin A +sin B -sin C =sin A sin B ，只能用角化边的方法，不能用边 222
化角的方法
基本题型三：用角化边求边长或判断三角形形状
思路：当题目未知是要求解边长值时，将已知的等式用正弦或余弦定理全部转化成与边长有关的等式，再化简求解。
22例1：已知sin A cos B =3sin B cos A ，且a -b =2c ，求c 边
步骤一：先用正弦定理将角转化成边，得a cos B =3b cos A a 2+c 2-b 2b 2+c 2-a 2
=3b ∙步骤二：再用余弦定理，得a ∙ 2ac 2bc
步骤三：化简得2a -2b =c
步骤四：将a -b =2c 代入得c =4c ，即c =4 222222
例2：在∆ABC 中，b cos A =a cos B ，判断∆ABC 的形状 b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2
=a ∙步骤一：用余弦定理，得b ∙ 2bc 2ac
22步骤二：化简得a =b ，及a =b
所以∆ABC 是等腰三角形
特殊题型：已知b cos A =3a cos B ，且cos C = ，求A 角 5