★ 线性代数基本内容、方法及要求
第一部分 行列式
【主要内容】
1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则
2、排列与逆序
3、方阵的行列式
T 4、几个重要公式：（1）A =A ； （2）A -1=1n ； （3）=k A ； A
（4）A *=A n -1； （5）AB =A B ； （6）A
*0B =A
0*B =A B ；
n ⎧A i =j ⎧A i =j （7）∑a ij A ij =⎨ ； （8）∑a ij A ij =⎨ 0，i ≠j 0，i ≠j i =1j =1⎩⎩n
（其中A , B 为n 阶方阵，k 为常数）
5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；
（2）利用行列式的展开定理降阶；
（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值
【要求】
1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵
【主要内容】
1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式
3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔A ≠0⇔A 为非奇异(非退化) 的矩阵。
⇔R (A ) =n ⇔A 为满秩矩阵。
⇔AX =0只有零解
⇔AX =b 有唯一解
⇔A 的行（列）向量组线性无关
⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】
1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对
称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。
3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。
4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。
5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。
第三部分 向量组的线性相关性
【主要内容】
1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：α1, α2, , αn ，向量组B ：
β1, β2, , βm ，则
（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔R (α1, α2, , αn ) =R (α1, α2, , αn , b )
（2）向量组B 可被向量组A 线性表示
⇔R (α1, α2, , αn ) =R (α1, α2, , αn , β1, β2, , βm )
（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：
R (α1, α2, , αn ) =R (β1, β2, , βm ) =R (α1, α2, , αn , β1, β2, , βm )
（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。
解法：以向量组A ：α1, α2, , αn 以及向量b 或向量组B :β1, β2, , βm 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。
2、向量组的线性相关性
判别向量组α1, α2, , αs 的线性相关、线性无关的常用方法：
方法一：（1）向量方程k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0只有零解⇔向量组α1, α2, , αs
线性无关；
（2）向量方程k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0有非零解⇔向量组α1, α2, , αs 线
性相关。
方法二：求向量组的秩R (α1, α2, , αs )
（1）秩R (α1, α2, , αs ) 小于个数s ⇔向量组α1, α2, , αs 线性相关
（2）秩R (α1, α2, , αs ) 等于个数s ⇔向量组α1, α2, , αs 线性无关。
（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，
则向量组线性无关⇔以向量组α1, α2, , αs 为列向量的矩阵的行列式非零；
向量组线性相关⇔以向量组α1, α2, , αs 为列向量的矩阵的行列式为零。
3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）
及其求法。
基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。
4、等价向量组的定义、性质、判定。
5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。
【要求】
1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。
2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。
3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。
4、了解向量空间及其基和维数的概念。
第四部分 线性方程组
【主要内容】
1、齐次线性方程组Ax =0只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；
2、齐次线性方程组Ax =0有非零解⇔系数矩阵A 的秩
3、非齐次线性方程组Ax =b 无解⇔增广矩阵B =(A , b ) 秩≠系数矩阵A 的秩；
4、非齐次线性方程组Ax =b 有解⇔增广矩阵B =(A , b ) 秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵B =(A , b ) 的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔
非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解；
2）增广矩阵B =(A , b ) 的秩=系数矩阵A 的秩
线性方程组Ax =b 有无穷多解。
【要求】
1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，
2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。
3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。
4、会求解非齐次线性方程组。
第五部分 相似矩阵及二次型
【主要内容】
1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。
2、向量的正交关系及正交向量组的含义。
3、施密特正交化方法。
4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（1）特征值求法：解特征方程A -λE =0；
（2）特征向量的求法：求方程组(A -λE )X =0的基础解系。
-15、相似矩阵的定义（P AP =B ）、性质(A , B 相似→R (A ) =R (B ) 、A =B 、A , B
有相同的特征值) 。
-16、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P 使得P AP 为对角矩
阵。
7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）
（1）写出二次型的矩阵A .
（2）求出A 的所有特征值λ1, λ2, , λn
（3）解方程组(λi E -A ) X =0（i =1, 2, , n ）求对应于特征值λ1, λ2, , λn 的特
征向量ξ1, ξ2, , ξn
（4）若特征向量组ξ1, ξ2, , ξn 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交
的向量组η1, η2, , ηn ，记P =(η1, η2, , ηn ) ，对二次型做正交变换x =Py , 即得二次型的标准形f =λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n
8、正定二次型的定义及其判定方法
常用判定二次型正定的方法：（1）定义法
（2）特征值全大于零
（3）顺序主子式全大于零
【要求】
1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。
2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，
3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。
4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。
5、知道正定二次型的概念及其判定方法。
222
★★线性代数练习题
一、单项选择题
120
1、行列式4-38中，元素a 22的代数余子式是0-12
（A ） 10
02 （B ） -10
0-2 （C ） -10
02 （D ） -1
2、二阶行列式a a 2
b b 2的值为
(A)a 3b 3 (B) ab (b -a ) (C)a 3-b 3 (D)a 2-b 2
k 21
3、设行列式2k 0=0，则k 的取值为（ ）
1-11
（A ）2 （B ）-2或3 （C ）0 （D ）-3或2
02
a 1
4、若行列式b 1a 2b 2
c 2a 3c 1c 2b 2a 2c 3b 3 a 3c 1b 3=1，则b 1c 3a 1
（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）-1
5、设a ，b ，c ，d 为常数，则下列等式成立的是
（A ）a
c b d =b a +b 1a b 11a =+ （ B ） c +d 1c d 122a +c 2b +d
（C ） 2a
2c 2b 2d =2a
c b d （D ） ab cd =a 1b 1
c 1d 1
6、设n 阶行列式D =a ij
正确的是
n n ，A i j 是D 中元素a i j 的代数余子式，则下列各式中
(A) ∑a
i =1ij A ij =0 (B) ∑a ij A ij =0 j =1n
(C) ∑a
j =1n ij A ij =D (D) ∑a i 1A i 2=D i =1n
7、设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（A ） (AB ) =B A (B)(AB ) T T T -1=A -1B -1
(C)AB =BA (D) A +B =A +B
8、设A 为3阶方阵，且行列式A =1，则-2A =
(A)-8 (B)-2 (C) 2 (D)8
9、设A , B 为n 阶方阵且满足AB =O ，则
(A) A =O 或B =O (B) A +B =O (C) A =0或B =0 (D) A +B =0
10、设A , B 为n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是（A ）(AB ) T =A T B T （B ）AB =A B
（C ）(A +B ) -1=A -1+B -1 （D ）A -1=A A *
⎛1⎫
11、设矩阵A =(123)，B = 0⎪⎪，则BA =
⎝2⎪⎭
⎛12⎛1⎫
(A) 3⎫
000⎪⎪ (B) (C)（1,0,6） 0⎪
⎪
⎝246⎪⎭⎝6⎪⎭
⎛12
12、设行矩阵A =(a T
1, a 2, a 3), B =(b 1, b 2, b 3)， 且A B = 0-1
⎝4-2
则AB T =
(D) 7 -1⎫-3⎪⎪ 2⎪⎭
（A ） 1 （B ） -1 （C ） 2 （D ） -2 13、下列命题正确的是 B .
（A ）若矩阵A , B 满足AB =O ，则有A =O 或B =O
（B ）若矩阵A , B 满足AB =E ，则矩阵A , B 都可逆。
（C ）若A *是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则A =A
*
n
（D ）若A ≠O ，则A ≠0
14、设A , B 为三阶矩阵, A =2, B =
1-1
, 则2(BA ) 4
1 2
(A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 15、下列说法不正确的是
(A）相似矩阵有相同的特征值。
(B）n 阶矩阵可对角化的充要条件是它有n 个不同的特征值。 (C）n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充要条件是R (A )
16、n 维向量组α1, α2, αs (3≤s ≤n ) 线性无关的充要条件是
(A) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, k s 使k 1α1+k 2α2+ k s αs ≠0
(B) α1, α2, αs 中任意两个向量线性无关
(C) α1, α2, αs 中存在一个向量可由其它向量线性表出
(D) α1, α2, αs 中任何一个都不能由其它向量线性表出
⎛1⎫⎛-1⎫⎛3⎫⎛-2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1-32 ⎪ ⎪ ⎪ -6⎪
α=α=17、向量组α1= ⎪，α2= ，，的秩为34⎪ ⎪ ⎪15-110
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 1⎪ 4⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
18、设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则分块矩阵
⎛0
⎝B A ⎫⎪的逆矩阵是 . ⎪0⎭0⎫
⎪ -1⎪A ⎭0⎫⎪ -1⎪B ⎭
⎛0
（A ） B -1
⎝⎛0 （C ） A -1
⎝
⎛B -1A -1⎫
⎪ （B ）
00⎪⎭⎝⎛A -1B -1⎫
⎪ （D ）
00⎪⎭⎝
⎛1b ⎫
⎪1a -1⎛⎫T
⎪19、设A = ，B = 30⎪，且A =B ，则⎪⎝201⎭ -11⎪
⎝⎭
(A) a =1, b =2 (B) a =3, b =0
(C) a =3, b =2 (D) a =-1, b =0 20、设A 可逆，则XA =B 的解是
(A) AB (B) BA (C) A B (D) BA 21、下列说法正确的是( ) 。
(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。
(B) 设方阵A 是非奇异性的，A 经过初等行变换得到阶梯阵B ，则方阵B 为奇异的。 (C) 初等矩阵都是可逆的。
(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。 22、设A ，B 都是可逆矩阵，则AB 的逆是
-1
-1
-1
-1-1
（A ） AB （B ） BA （C ） A B （D ） B
A -1
⎡100⎤
⎢⎥23、设A =010，则r (A ) = ⎢⎥⎢⎣000⎥⎦
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
24、设A 是n 阶方阵, 若R (A ) =n -2, 则AX =0的基础解系所含向量的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) n 25、二次型f =x 1-2x 1x 2+x 2 的矩阵是2
2
⎛1-2⎫(A) 01⎪⎪ (B)
⎝⎭⎛1-1⎫
-11⎪⎪ (C) ⎝⎭
⎛1-20⎫
⎪
010⎪ (D) 000⎪⎝⎭⎛1-10⎫
⎪-110 ⎪ 000⎪⎝⎭
二、填空题
1. 五阶行列式的展开式共有 项.
1
2. 行列式5
-1241
0中元素a 32的余子式M 32=__________ 3
-7
0001
3. 四阶行列式 0020 的值是03004000
4. 矩阵⎢
⎡23⎤⎡-1⎤
⎥⎢3⎥中的元素c 21=__________ -10⎣⎦⎣⎦
5. 若A ，B 为n 阶矩阵，则(A +B )(A -B ) =__________
6. 设A , B 为3阶方阵，且A =4, B =2，则 2(B *A -1) =
⎛111⎫
⎪T
7. 设矩阵A = 022⎪，则A A = 003⎪⎝⎭⎛a 00⎫ ⎪n
8. 设A = 0b 0⎪，则A =
00c ⎪⎝⎭
9. 若A 是可逆矩阵，则(A ') =__________
-1
⎛1
10. 设矩阵A =
0 0⎝200⎫
⎪
100⎪-1
，则A =
033⎪
⎪
021⎪⎭
⎛A 0⎫
11．设A ，B 是两个可逆矩阵，则分块矩阵 0B ⎪⎪
⎝⎭
-1
=
⎛k
1
12．设矩阵A =
1 1⎝111⎫
⎪
k 11⎪
的秩R (A ) =3，则k = ⎪1k 1⎪
11k ⎪⎭
13．若向量组α1, α2, α3线性无关，且k 1α1+k 2α2+k 3α3=0，则数k 1, k 2, k 3=
⎛1⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
14. 向量组ξ1= 1⎪，ξ2= 1⎪，ξ3= 1⎪，ξ4= 2⎪中不能由其余向量线性表示的是 0⎪ 1⎪ 1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
15. 向量组α1=(1, 0, -1), α2=(2, 3, 4), α3=(1, 0, 0) 的秩为____________
16．在线性方程组AX =O 中，若未知量的个数n =5，r (A ) =3，则方程组的一般解中
自由未知量的个数为_________
⎛1⎫⎛2⎫
⎪ ⎪ 2⎪ 3⎪
17．设4元线性方程组AX =b 的系数矩阵的秩为3，且η1= ⎪, η2= ⎪为其两个解，
34 ⎪ ⎪ 4⎪ 5⎪⎝⎭⎝⎭
则AX =b 的通解为
18．设向量组a 1, a 2, a 3线性无关，则向量组a 1, a 1
性相关，线性无关）。
19．设n 元线性方程组AX =b 有解，则当R (A ) 时，AX =b 有无穷多解。 20．若3阶方阵A 的特征值分别为1，-1，2，则B =A +E 的特征值为+a 2, a 1+a 2+a 3 （填线
21．已知n 阶矩阵A 的特征值λ1, λ2, λn 都不为零，则A -1的特征值为
22．设向量组α1=(1035)，α2=(1213)，α3=(1126)，
T
T
T
α4=(1λ12)T 线性相关，则λ=
⎛1⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ 2⎪ k ⎪
23. 若向量α= ⎪与向量β= 正交，则k =
30⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ -3⎪⎝⎭⎝⎭
24．已知三阶矩阵A 的特征值为λ1=0, λ2=1, λ3=-1，其对应的特征向量分别是
ξ1, ξ2, ξ3, 取P =[ξ3ξ2ξ1]，则P -1AP =⎛123⎫
⎪
25. 若方阵A 与B = 4-15⎪相似，则A 的特征值为___________
002⎪⎝⎭
26．若矩阵
⎛2231⎫⎛12⎫⎪⎪与 相似, 则x = ⎪⎪
⎝-12x ⎭⎝34⎭
2
2
2
27．若二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+x 2+x 3-2tx 1x 2+2x 1x 3是正定的, 则t 应满足的条件是 三、计算题
1
1、计算行列式2
204
4-1
-13
⎛12⎫ ⎪⎛123⎫A =012、设 ⎪，B = 012⎪⎪，求AB 。
⎝⎭ 00⎪
⎝⎭⎛101⎫
⎪
3、已知XA =I 且A = 211⎪，求矩阵X 。
1-13⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1-11⎫
⎪ ⎪T
4、设AB =A +XX ，其中X = -1⎪, B = -11-1⎪
1⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
求矩阵A
2315⎤⎡1
⎢⎥的秩。
40-1-35、求A =2⎢⎥⎢8⎥⎣-1-232⎦
⎛2-20⎫
⎪
-2⎪的特征值与特征向量。 6、求方阵A = -21
0-20⎪⎝⎭
⎡1⎤⎡-1⎤⎡0⎤⎡-1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥7、求向量组α1=-1，α2=2，α3=1，α4=3，的一个极大无关组。 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦⎣2⎥⎦
8、已知向量组α1=(1, 0, 2, -1)，α2=(1, 2, 0, 1) ，α3=(0, 1, -1, 1)，α4=(1, 1, 1, 0)，
T
T
T T
α5=(3, 2, 4, 0)T ，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。
⎧x 1+x 2+x 3=1⎪
9、判断线性方程组⎨x 1+2x 2+x 3=3，当k 为何值是有解？
⎪2x +kx =2
3⎩1
10、设线性方程组AX =b 的一般解为⎨
⎧x 1=2x 3+x 4+1
，x 3, x 4为自由变量，
⎩x 2=2x 4
求AX =b 的通解。
11、设A 为3×4矩阵，R (A ) =2，若非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解分别为：
⎛1⎫⎛2⎫⎛4⎫ ⎪ ⎪ ⎪
5⎪ -1⎪ 1⎪
η1 ＝ ⎪， η2＝ ⎪， η3＝ ⎪，
-30-1
⎪ ⎪ ⎪
11⎪ 2⎪ 4⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求： （1）齐次线性方程组Ax =0的通解；
（2）非齐次线性方程组Ax =b 的通解.
12、求一个正交变换x =Py ，把下面的二次型化为标准形
22
f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+3x 2+3x 3+4x 2x 3
四、证明题
2
T
1．设A =I ，AA =I ，证明：A 是对称矩阵。
2. 证明：若向量x 是方阵A 的同时属于特征值λ1与λ2的特征向量，则有λ1=λ2
3．设λ1, λ2是n 阶方阵A 的不同特征值，X 1, X 2分别是A 的对应于λ1, λ2的特征向量，
证明：X 1+X 2不是A 的特征向量.
4．证明：若矩阵B 相似于A ，则λE -B =λE -A 线性代数模拟试题答案 一、单项选择题
1、A 2、B 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10、B 11、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B 二、填空题
2
2
1、 5! 2、-10 3、24 4、1 5、A -AB +BA -B
⎛a n ⎛111⎫
⎪n
6、8 7、 155⎪ 8、A = 0
0 1514⎪
⎝⎭⎝
0⎤⎡1-20
⎢01⎥⎛A -100⎥ 11、 10、⎢1 ⎢00-1⎥⎝3⎢⎥
2⎢⎥
00-1⎥⎢3⎣⎦
0b n 0
0⎫
⎪
0⎪ 9、(A -1) ' c n ⎪⎭
⎫
⎪ 12、-3 -1⎪B ⎭
⎛1⎫ ⎪
13、k 1=k 2=k 3=0 14、ξ3= 1⎪ 15、3 16、2
1⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ 2⎪
k ⎪+ ⎪ （注：17、此题答案不唯一） 18、线性无关 19、小于n 20、13 ⎪ ⎪ 1⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭
-11-1, λ-2, 0, 3 21、λ12, λn 22、2 23、5
⎛-1⎫
⎪
124、 ⎪ 25、2, 3, -3 26、-17 27、 -1
三、计算题
1
1、解：2
204
1205
04
120
4=5
4-1=00-=-05
-1300-1
⎛12⎫⎛147⎫
⎪⎛123⎫ ⎪
2、解：AB = 01⎪ 012⎪⎪= 012⎪
⎭ 000⎪ 00⎪⎝
⎝⎭⎝⎭
3、解： A ≠0
∴A -1存在，用A -1右乘方程XA =I 两边，得X =A -1
⎡101100⎤⎡1004-1-1⎤
⎢⎥⎢⎥
1 又 211010→ →010-52⎢⎥⎢⎥
⎢⎢1⎥⎣001-31⎦⎣1-13001⎥⎦
⎡4-1-1⎤
⎥
=⎢-521⎢⎥⎢1⎥⎣-31⎦
所以，A
-1
⎛1⎫⎛1-11⎫⎛1-11⎫ ⎪ ⎪ ⎪T () XX =-11-11-11-1B =-11-14、解：= ⎪⎪ 及 ⎪
1⎪ 1-11⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛-1-11⎫⎪1 = -1-1-1⎪ 2 ⎪⎝1-1-1⎭
T -1∴(B -E ) -1存在，且(B -E ) -1T 将已知等式AB =A +XX 整理得：A =XX (B -E ) ⎛1-11⎫⎪1 所以A = -11-1⎪ 2 ⎪⎝1-11⎭
2315⎤⎡1⎢⎥40-1-35、解：对矩阵A 施行初等行变换得，A =2⎢⎥⎢8⎥⎣-1-232⎦
→ →
15⎤⎡123⎥ →⎢00-6-3-13⎢⎥⎢00⎥⎣000⎦
所以r (A ) =2
-λ
6、解：矩阵A 的特征多项式为： A -λE =-205-λ
40-2-1-λ=(3-λ)(1-λ) 2 -2
令A -λE =0，解得A 的特征值为： λ1=3, λ2=λ3=1.
当λ1=3时，求解齐次线性方程组(A -3E ) x =0的基础解系，由
⎛-200⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪A -3E = -22-2⎪→ → 01-1⎪
-24-4⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛0⎫ ⎪x -x =0⎧23得对应的方程组为⎨, 从而解得基础解系p 1= 1⎪ x =0⎩1 1⎪⎝⎭
于是属于特征值λ1=3的全部特征向量为kp 1，其中k 为任意非零常数。
当λ2=λ3=1时，求解齐次线性方程组(A -E ) x =0的基础解系， 由
⎛000⎫⎛1-21⎫ ⎪ ⎪A -E = -24-2⎪→ → 000⎪
-24-2⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛2⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪得对应的方程组为 x 1-2x 2+x 3=0 , 从而解得基础解系 p 2= 1⎪, p 3= 0⎪
0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
于是属于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为 kp 2+lp 3， 其中数k , l 是不同时为零的任意常数。
7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，
⎡1-10-1⎤⎡1-10-1⎤⎥⎢0112⎥ (α1, α2, α3, α4) =⎢-1213→ →⎢⎥⎢⎥⎢⎢112⎥⎣0⎦⎣0000⎥⎦
所以，所求向量组的极大无关组为：α1, α2。
8、解：记矩阵A =(a 1a 2a 3a 4a 5)，对其进行初等变换得
⎛1 0A = 2 -1⎝113⎫⎛1⎪ 2112⎪ 0→ → 0-114⎪0⎪ 01100⎪⎭⎝01013⎫⎪2112⎪ ⎪0000⎪0001⎪⎭
由最后一个矩阵可知R (A ) =3
从而所求向量组的秩为3 ，
又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列
所以a 1, a 2, a 5为其中一个极大无关组（a 1, a 3, a 5或a 1, a 4, a 5也对）
⎡1111⎤⎢⎥9、解：已知方程组的增广矩阵为：=1213 ⎢⎥⎢⎣20k 2⎥⎦
⎡1111⎤⎢⎥对A 施行初等行变换得：=1213→ →⎢⎥⎢⎣20k 2⎥⎦
所以当k -2≠0，即k ≠2时，方程组有解。 11⎤⎡11⎢01⎥ 02⎢⎥⎢⎣00k -24⎥⎦
10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组AX =0的一般解为⎨
（x 3, x 4为自由变量） ⎧x 1=2x 3+x 4 ⎩x 2=2x 4
⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪0 ⎪ 2⎪令x 3=1, x 4=0得：η1= ⎪；令x 3=0, x 4=1得：η2= ⎪； 10 ⎪ ⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
则η1, η2为齐次方程组AX =0的基础解系；
⎛1⎫ ⎪ 0⎪再令x 3=x 4=0，得非齐次方程组AX =b 的特解：X 0= ⎪ 0 ⎪ 0⎪⎝⎭
所以AX =b 的通解为：X =k 1η1+k 2η2+X 0 。
11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组AX =0含基础解系个数为 2个向量，
⎛1⎫⎛2⎫⎛4⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 5⎪ -1⎪ 1⎪ 因为η1 ＝ ⎪， η2＝ ⎪， η3＝ ，为非齐次方程组-3⎪0-1 ⎪ ⎪ ⎪ 11⎪ 2⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
AX =b 的解，
所以(η2-η1), (η3-η1) 为齐次方程组AX =0的解
又因为(η2-η1), (η3-η1) 线性无关
所以AX =0的通解为：k 1(η2-η1) +k 2(η3-η1)
（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组AX =b 的通解为：
k 1(η2-η1) +k 2(η3-η1) +η3
（注：此题答案不唯一）
⎛200⎫ ⎪12、 解：已知二次型的矩阵为：A = 032⎪
023⎪⎝⎭
2-λ0
3-λ
2023-λ=(2-λ)(5-λ)(1-λ) A 的特征多项式为：|A -λE |=00
令|A -λE |=0得A 特征值：λ1=1, λ2=2, λ3=5
⎛⎫ ⎪0⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪当λ1=1时 ，解方程组(A -E ) x =0, 得基础解系ξ1= 1⎪，单位化得η= 1⎪ 1 1⎪ 2⎪⎝⎭ 1⎪ ⎪⎝2⎭
⎛1⎫ ⎪η=当λ2=2时， 解方程组(A -2E ) x =0, 得基础解系2 0⎪
0⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪当λ3=5时， 解方程组(A -5E ) x =0, 得基础解系ξ3= 1⎪，单位化得η= 1⎪ 3 -1⎪ 2⎪⎝⎭ 1⎪ -⎪2⎭⎝
⎛
令矩阵P = ⎝01212⎫⎪10⎪1⎪ 0⎪2⎪1⎪0-⎪2⎭
则P 为正交矩阵，于是所求正交变换为：x =Py ，就是此变换把二次型化为标准形f =y 1+2y 2+5y 3
222
四、证明题
1. 证明：因为A 2=I ， 所以A ≠0，从而A -1存在
又因为A A '=I ，所以A (A -A ') =0
用A -1左乘等式A (A -A ') =0两边得，A =A ' 故A 是对称矩阵。
2. 证明： 若 λ1≠λ2 则由 Ax =λ1x Ax =λ2x 可知： (λ1-λ2) x =0
又因为 λ1≠λ2 所以x =0，这与x 为特征向量矛盾
所以λ1=λ2
3．证明：假若X 1+X 2是矩阵A 的属于特征值λ特征向量，即 A (X 1+X 2) =λ(X 1+X 2) =λX 1+λX 2
因为X 1, X 2分别是A 的对应于λ1, λ2的特征向量， 所以X 1, X 2线性无关，并且
AX 1=λ1X 1，AX 2=λ2X 2
所以 λX 1+λX 2=λ1X 1+λ2X 2，即
(λ-λ1) X 1+(λ-λ2) X 2=0
于是 λ=λ1=λ2，这与λ1, λ2不同矛盾。
4．证明：因为矩阵B 相似于A ，
所以 P -1AP =B
从而 λE -B =λP EP -P AP -1-1
=P -1(λE -A ) P
=P -1λE -A P =λE -A
★ 线性代数基本内容、方法及要求
第一部分 行列式
【主要内容】
1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则
2、排列与逆序
3、方阵的行列式
T 4、几个重要公式：（1）A =A ； （2）A -1=1n ； （3）=k A ； A
（4）A *=A n -1； （5）AB =A B ； （6）A
*0B =A
0*B =A B ；
n ⎧A i =j ⎧A i =j （7）∑a ij A ij =⎨ ； （8）∑a ij A ij =⎨ 0，i ≠j 0，i ≠j i =1j =1⎩⎩n
（其中A , B 为n 阶方阵，k 为常数）
5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；
（2）利用行列式的展开定理降阶；
（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值
【要求】
1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵
【主要内容】
1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式
3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔A ≠0⇔A 为非奇异(非退化) 的矩阵。
⇔R (A ) =n ⇔A 为满秩矩阵。
⇔AX =0只有零解
⇔AX =b 有唯一解
⇔A 的行（列）向量组线性无关
⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】
1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对
称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。
3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。
4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。
5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。
第三部分 向量组的线性相关性
【主要内容】
1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：α1, α2, , αn ，向量组B ：
β1, β2, , βm ，则
（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔R (α1, α2, , αn ) =R (α1, α2, , αn , b )
（2）向量组B 可被向量组A 线性表示
⇔R (α1, α2, , αn ) =R (α1, α2, , αn , β1, β2, , βm )
（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：
R (α1, α2, , αn ) =R (β1, β2, , βm ) =R (α1, α2, , αn , β1, β2, , βm )
（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。
解法：以向量组A ：α1, α2, , αn 以及向量b 或向量组B :β1, β2, , βm 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。
2、向量组的线性相关性
判别向量组α1, α2, , αs 的线性相关、线性无关的常用方法：
方法一：（1）向量方程k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0只有零解⇔向量组α1, α2, , αs
线性无关；
（2）向量方程k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0有非零解⇔向量组α1, α2, , αs 线
性相关。
方法二：求向量组的秩R (α1, α2, , αs )
（1）秩R (α1, α2, , αs ) 小于个数s ⇔向量组α1, α2, , αs 线性相关
（2）秩R (α1, α2, , αs ) 等于个数s ⇔向量组α1, α2, , αs 线性无关。
（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，
则向量组线性无关⇔以向量组α1, α2, , αs 为列向量的矩阵的行列式非零；
向量组线性相关⇔以向量组α1, α2, , αs 为列向量的矩阵的行列式为零。
3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）
及其求法。
基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。
4、等价向量组的定义、性质、判定。
5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。
【要求】
1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。
2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。
3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。
4、了解向量空间及其基和维数的概念。
第四部分 线性方程组
【主要内容】
1、齐次线性方程组Ax =0只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；
2、齐次线性方程组Ax =0有非零解⇔系数矩阵A 的秩
3、非齐次线性方程组Ax =b 无解⇔增广矩阵B =(A , b ) 秩≠系数矩阵A 的秩；
4、非齐次线性方程组Ax =b 有解⇔增广矩阵B =(A , b ) 秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵B =(A , b ) 的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔
非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解；
2）增广矩阵B =(A , b ) 的秩=系数矩阵A 的秩
线性方程组Ax =b 有无穷多解。
【要求】
1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，
2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。
3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。
4、会求解非齐次线性方程组。
第五部分 相似矩阵及二次型
【主要内容】
1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。
2、向量的正交关系及正交向量组的含义。
3、施密特正交化方法。
4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（1）特征值求法：解特征方程A -λE =0；
（2）特征向量的求法：求方程组(A -λE )X =0的基础解系。
-15、相似矩阵的定义（P AP =B ）、性质(A , B 相似→R (A ) =R (B ) 、A =B 、A , B
有相同的特征值) 。
-16、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P 使得P AP 为对角矩
阵。
7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）
（1）写出二次型的矩阵A .
（2）求出A 的所有特征值λ1, λ2, , λn
（3）解方程组(λi E -A ) X =0（i =1, 2, , n ）求对应于特征值λ1, λ2, , λn 的特
征向量ξ1, ξ2, , ξn
（4）若特征向量组ξ1, ξ2, , ξn 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交
的向量组η1, η2, , ηn ，记P =(η1, η2, , ηn ) ，对二次型做正交变换x =Py , 即得二次型的标准形f =λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n
8、正定二次型的定义及其判定方法
常用判定二次型正定的方法：（1）定义法
（2）特征值全大于零
（3）顺序主子式全大于零
【要求】
1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。
2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，
3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。
4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。
5、知道正定二次型的概念及其判定方法。
222
★★线性代数练习题
一、单项选择题
120
1、行列式4-38中，元素a 22的代数余子式是0-12
（A ） 10
02 （B ） -10
0-2 （C ） -10
02 （D ） -1
2、二阶行列式a a 2
b b 2的值为
(A)a 3b 3 (B) ab (b -a ) (C)a 3-b 3 (D)a 2-b 2
k 21
3、设行列式2k 0=0，则k 的取值为（ ）
1-11
（A ）2 （B ）-2或3 （C ）0 （D ）-3或2
02
a 1
4、若行列式b 1a 2b 2
c 2a 3c 1c 2b 2a 2c 3b 3 a 3c 1b 3=1，则b 1c 3a 1
（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）-1
5、设a ，b ，c ，d 为常数，则下列等式成立的是
（A ）a
c b d =b a +b 1a b 11a =+ （ B ） c +d 1c d 122a +c 2b +d
（C ） 2a
2c 2b 2d =2a
c b d （D ） ab cd =a 1b 1
c 1d 1
6、设n 阶行列式D =a ij
正确的是
n n ，A i j 是D 中元素a i j 的代数余子式，则下列各式中
(A) ∑a
i =1ij A ij =0 (B) ∑a ij A ij =0 j =1n
(C) ∑a
j =1n ij A ij =D (D) ∑a i 1A i 2=D i =1n
7、设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（A ） (AB ) =B A (B)(AB ) T T T -1=A -1B -1
(C)AB =BA (D) A +B =A +B
8、设A 为3阶方阵，且行列式A =1，则-2A =
(A)-8 (B)-2 (C) 2 (D)8
9、设A , B 为n 阶方阵且满足AB =O ，则
(A) A =O 或B =O (B) A +B =O (C) A =0或B =0 (D) A +B =0
10、设A , B 为n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是（A ）(AB ) T =A T B T （B ）AB =A B
（C ）(A +B ) -1=A -1+B -1 （D ）A -1=A A *
⎛1⎫
11、设矩阵A =(123)，B = 0⎪⎪，则BA =
⎝2⎪⎭
⎛12⎛1⎫
(A) 3⎫
000⎪⎪ (B) (C)（1,0,6） 0⎪
⎪
⎝246⎪⎭⎝6⎪⎭
⎛12
12、设行矩阵A =(a T
1, a 2, a 3), B =(b 1, b 2, b 3)， 且A B = 0-1
⎝4-2
则AB T =
(D) 7 -1⎫-3⎪⎪ 2⎪⎭
（A ） 1 （B ） -1 （C ） 2 （D ） -2 13、下列命题正确的是 B .
（A ）若矩阵A , B 满足AB =O ，则有A =O 或B =O
（B ）若矩阵A , B 满足AB =E ，则矩阵A , B 都可逆。
（C ）若A *是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则A =A
*
n
（D ）若A ≠O ，则A ≠0
14、设A , B 为三阶矩阵, A =2, B =
1-1
, 则2(BA ) 4
1 2
(A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 15、下列说法不正确的是
(A）相似矩阵有相同的特征值。
(B）n 阶矩阵可对角化的充要条件是它有n 个不同的特征值。 (C）n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充要条件是R (A )
16、n 维向量组α1, α2, αs (3≤s ≤n ) 线性无关的充要条件是
(A) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, k s 使k 1α1+k 2α2+ k s αs ≠0
(B) α1, α2, αs 中任意两个向量线性无关
(C) α1, α2, αs 中存在一个向量可由其它向量线性表出
(D) α1, α2, αs 中任何一个都不能由其它向量线性表出
⎛1⎫⎛-1⎫⎛3⎫⎛-2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1-32 ⎪ ⎪ ⎪ -6⎪
α=α=17、向量组α1= ⎪，α2= ，，的秩为34⎪ ⎪ ⎪15-110
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 1⎪ 4⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
18、设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则分块矩阵
⎛0
⎝B A ⎫⎪的逆矩阵是 . ⎪0⎭0⎫
⎪ -1⎪A ⎭0⎫⎪ -1⎪B ⎭
⎛0
（A ） B -1
⎝⎛0 （C ） A -1
⎝
⎛B -1A -1⎫
⎪ （B ）
00⎪⎭⎝⎛A -1B -1⎫
⎪ （D ）
00⎪⎭⎝
⎛1b ⎫
⎪1a -1⎛⎫T
⎪19、设A = ，B = 30⎪，且A =B ，则⎪⎝201⎭ -11⎪
⎝⎭
(A) a =1, b =2 (B) a =3, b =0
(C) a =3, b =2 (D) a =-1, b =0 20、设A 可逆，则XA =B 的解是
(A) AB (B) BA (C) A B (D) BA 21、下列说法正确的是( ) 。
(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。
(B) 设方阵A 是非奇异性的，A 经过初等行变换得到阶梯阵B ，则方阵B 为奇异的。 (C) 初等矩阵都是可逆的。
(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。 22、设A ，B 都是可逆矩阵，则AB 的逆是
-1
-1
-1
-1-1
（A ） AB （B ） BA （C ） A B （D ） B
A -1
⎡100⎤
⎢⎥23、设A =010，则r (A ) = ⎢⎥⎢⎣000⎥⎦
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
24、设A 是n 阶方阵, 若R (A ) =n -2, 则AX =0的基础解系所含向量的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) n 25、二次型f =x 1-2x 1x 2+x 2 的矩阵是2
2
⎛1-2⎫(A) 01⎪⎪ (B)
⎝⎭⎛1-1⎫
-11⎪⎪ (C) ⎝⎭
⎛1-20⎫
⎪
010⎪ (D) 000⎪⎝⎭⎛1-10⎫
⎪-110 ⎪ 000⎪⎝⎭
二、填空题
1. 五阶行列式的展开式共有 项.
1
2. 行列式5
-1241
0中元素a 32的余子式M 32=__________ 3
-7
0001
3. 四阶行列式 0020 的值是03004000
4. 矩阵⎢
⎡23⎤⎡-1⎤
⎥⎢3⎥中的元素c 21=__________ -10⎣⎦⎣⎦
5. 若A ，B 为n 阶矩阵，则(A +B )(A -B ) =__________
6. 设A , B 为3阶方阵，且A =4, B =2，则 2(B *A -1) =
⎛111⎫
⎪T
7. 设矩阵A = 022⎪，则A A = 003⎪⎝⎭⎛a 00⎫ ⎪n
8. 设A = 0b 0⎪，则A =
00c ⎪⎝⎭
9. 若A 是可逆矩阵，则(A ') =__________
-1
⎛1
10. 设矩阵A =
0 0⎝200⎫
⎪
100⎪-1
，则A =
033⎪
⎪
021⎪⎭
⎛A 0⎫
11．设A ，B 是两个可逆矩阵，则分块矩阵 0B ⎪⎪
⎝⎭
-1
=
⎛k
1
12．设矩阵A =
1 1⎝111⎫
⎪
k 11⎪
的秩R (A ) =3，则k = ⎪1k 1⎪
11k ⎪⎭
13．若向量组α1, α2, α3线性无关，且k 1α1+k 2α2+k 3α3=0，则数k 1, k 2, k 3=
⎛1⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
14. 向量组ξ1= 1⎪，ξ2= 1⎪，ξ3= 1⎪，ξ4= 2⎪中不能由其余向量线性表示的是 0⎪ 1⎪ 1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
15. 向量组α1=(1, 0, -1), α2=(2, 3, 4), α3=(1, 0, 0) 的秩为____________
16．在线性方程组AX =O 中，若未知量的个数n =5，r (A ) =3，则方程组的一般解中
自由未知量的个数为_________
⎛1⎫⎛2⎫
⎪ ⎪ 2⎪ 3⎪
17．设4元线性方程组AX =b 的系数矩阵的秩为3，且η1= ⎪, η2= ⎪为其两个解，
34 ⎪ ⎪ 4⎪ 5⎪⎝⎭⎝⎭
则AX =b 的通解为
18．设向量组a 1, a 2, a 3线性无关，则向量组a 1, a 1
性相关，线性无关）。
19．设n 元线性方程组AX =b 有解，则当R (A ) 时，AX =b 有无穷多解。 20．若3阶方阵A 的特征值分别为1，-1，2，则B =A +E 的特征值为+a 2, a 1+a 2+a 3 （填线
21．已知n 阶矩阵A 的特征值λ1, λ2, λn 都不为零，则A -1的特征值为
22．设向量组α1=(1035)，α2=(1213)，α3=(1126)，
T
T
T
α4=(1λ12)T 线性相关，则λ=
⎛1⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ 2⎪ k ⎪
23. 若向量α= ⎪与向量β= 正交，则k =
30⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ -3⎪⎝⎭⎝⎭
24．已知三阶矩阵A 的特征值为λ1=0, λ2=1, λ3=-1，其对应的特征向量分别是
ξ1, ξ2, ξ3, 取P =[ξ3ξ2ξ1]，则P -1AP =⎛123⎫
⎪
25. 若方阵A 与B = 4-15⎪相似，则A 的特征值为___________
002⎪⎝⎭
26．若矩阵
⎛2231⎫⎛12⎫⎪⎪与 相似, 则x = ⎪⎪
⎝-12x ⎭⎝34⎭
2
2
2
27．若二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+x 2+x 3-2tx 1x 2+2x 1x 3是正定的, 则t 应满足的条件是 三、计算题
1
1、计算行列式2
204
4-1
-13
⎛12⎫ ⎪⎛123⎫A =012、设 ⎪，B = 012⎪⎪，求AB 。
⎝⎭ 00⎪
⎝⎭⎛101⎫
⎪
3、已知XA =I 且A = 211⎪，求矩阵X 。
1-13⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1-11⎫
⎪ ⎪T
4、设AB =A +XX ，其中X = -1⎪, B = -11-1⎪
1⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
求矩阵A
2315⎤⎡1
⎢⎥的秩。
40-1-35、求A =2⎢⎥⎢8⎥⎣-1-232⎦
⎛2-20⎫
⎪
-2⎪的特征值与特征向量。 6、求方阵A = -21
0-20⎪⎝⎭
⎡1⎤⎡-1⎤⎡0⎤⎡-1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥7、求向量组α1=-1，α2=2，α3=1，α4=3，的一个极大无关组。 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦⎣2⎥⎦
8、已知向量组α1=(1, 0, 2, -1)，α2=(1, 2, 0, 1) ，α3=(0, 1, -1, 1)，α4=(1, 1, 1, 0)，
T
T
T T
α5=(3, 2, 4, 0)T ，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。
⎧x 1+x 2+x 3=1⎪
9、判断线性方程组⎨x 1+2x 2+x 3=3，当k 为何值是有解？
⎪2x +kx =2
3⎩1
10、设线性方程组AX =b 的一般解为⎨
⎧x 1=2x 3+x 4+1
，x 3, x 4为自由变量，
⎩x 2=2x 4
求AX =b 的通解。
11、设A 为3×4矩阵，R (A ) =2，若非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解分别为：
⎛1⎫⎛2⎫⎛4⎫ ⎪ ⎪ ⎪
5⎪ -1⎪ 1⎪
η1 ＝ ⎪， η2＝ ⎪， η3＝ ⎪，
-30-1
⎪ ⎪ ⎪
11⎪ 2⎪ 4⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求： （1）齐次线性方程组Ax =0的通解；
（2）非齐次线性方程组Ax =b 的通解.
12、求一个正交变换x =Py ，把下面的二次型化为标准形
22
f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+3x 2+3x 3+4x 2x 3
四、证明题
2
T
1．设A =I ，AA =I ，证明：A 是对称矩阵。
2. 证明：若向量x 是方阵A 的同时属于特征值λ1与λ2的特征向量，则有λ1=λ2
3．设λ1, λ2是n 阶方阵A 的不同特征值，X 1, X 2分别是A 的对应于λ1, λ2的特征向量，
证明：X 1+X 2不是A 的特征向量.
4．证明：若矩阵B 相似于A ，则λE -B =λE -A 线性代数模拟试题答案 一、单项选择题
1、A 2、B 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10、B 11、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B 二、填空题
2
2
1、 5! 2、-10 3、24 4、1 5、A -AB +BA -B
⎛a n ⎛111⎫
⎪n
6、8 7、 155⎪ 8、A = 0
0 1514⎪
⎝⎭⎝
0⎤⎡1-20
⎢01⎥⎛A -100⎥ 11、 10、⎢1 ⎢00-1⎥⎝3⎢⎥
2⎢⎥
00-1⎥⎢3⎣⎦
0b n 0
0⎫
⎪
0⎪ 9、(A -1) ' c n ⎪⎭
⎫
⎪ 12、-3 -1⎪B ⎭
⎛1⎫ ⎪
13、k 1=k 2=k 3=0 14、ξ3= 1⎪ 15、3 16、2
1⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ 2⎪
k ⎪+ ⎪ （注：17、此题答案不唯一） 18、线性无关 19、小于n 20、13 ⎪ ⎪ 1⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭
-11-1, λ-2, 0, 3 21、λ12, λn 22、2 23、5
⎛-1⎫
⎪
124、 ⎪ 25、2, 3, -3 26、-17 27、 -1
三、计算题
1
1、解：2
204
1205
04
120
4=5
4-1=00-=-05
-1300-1
⎛12⎫⎛147⎫
⎪⎛123⎫ ⎪
2、解：AB = 01⎪ 012⎪⎪= 012⎪
⎭ 000⎪ 00⎪⎝
⎝⎭⎝⎭
3、解： A ≠0
∴A -1存在，用A -1右乘方程XA =I 两边，得X =A -1
⎡101100⎤⎡1004-1-1⎤
⎢⎥⎢⎥
1 又 211010→ →010-52⎢⎥⎢⎥
⎢⎢1⎥⎣001-31⎦⎣1-13001⎥⎦
⎡4-1-1⎤
⎥
=⎢-521⎢⎥⎢1⎥⎣-31⎦
所以，A
-1
⎛1⎫⎛1-11⎫⎛1-11⎫ ⎪ ⎪ ⎪T () XX =-11-11-11-1B =-11-14、解：= ⎪⎪ 及 ⎪
1⎪ 1-11⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛-1-11⎫⎪1 = -1-1-1⎪ 2 ⎪⎝1-1-1⎭
T -1∴(B -E ) -1存在，且(B -E ) -1T 将已知等式AB =A +XX 整理得：A =XX (B -E ) ⎛1-11⎫⎪1 所以A = -11-1⎪ 2 ⎪⎝1-11⎭
2315⎤⎡1⎢⎥40-1-35、解：对矩阵A 施行初等行变换得，A =2⎢⎥⎢8⎥⎣-1-232⎦
→ →
15⎤⎡123⎥ →⎢00-6-3-13⎢⎥⎢00⎥⎣000⎦
所以r (A ) =2
-λ
6、解：矩阵A 的特征多项式为： A -λE =-205-λ
40-2-1-λ=(3-λ)(1-λ) 2 -2
令A -λE =0，解得A 的特征值为： λ1=3, λ2=λ3=1.
当λ1=3时，求解齐次线性方程组(A -3E ) x =0的基础解系，由
⎛-200⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪A -3E = -22-2⎪→ → 01-1⎪
-24-4⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛0⎫ ⎪x -x =0⎧23得对应的方程组为⎨, 从而解得基础解系p 1= 1⎪ x =0⎩1 1⎪⎝⎭
于是属于特征值λ1=3的全部特征向量为kp 1，其中k 为任意非零常数。
当λ2=λ3=1时，求解齐次线性方程组(A -E ) x =0的基础解系， 由
⎛000⎫⎛1-21⎫ ⎪ ⎪A -E = -24-2⎪→ → 000⎪
-24-2⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛2⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪得对应的方程组为 x 1-2x 2+x 3=0 , 从而解得基础解系 p 2= 1⎪, p 3= 0⎪
0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
于是属于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为 kp 2+lp 3， 其中数k , l 是不同时为零的任意常数。
7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，
⎡1-10-1⎤⎡1-10-1⎤⎥⎢0112⎥ (α1, α2, α3, α4) =⎢-1213→ →⎢⎥⎢⎥⎢⎢112⎥⎣0⎦⎣0000⎥⎦
所以，所求向量组的极大无关组为：α1, α2。
8、解：记矩阵A =(a 1a 2a 3a 4a 5)，对其进行初等变换得
⎛1 0A = 2 -1⎝113⎫⎛1⎪ 2112⎪ 0→ → 0-114⎪0⎪ 01100⎪⎭⎝01013⎫⎪2112⎪ ⎪0000⎪0001⎪⎭
由最后一个矩阵可知R (A ) =3
从而所求向量组的秩为3 ，
又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列
所以a 1, a 2, a 5为其中一个极大无关组（a 1, a 3, a 5或a 1, a 4, a 5也对）
⎡1111⎤⎢⎥9、解：已知方程组的增广矩阵为：=1213 ⎢⎥⎢⎣20k 2⎥⎦
⎡1111⎤⎢⎥对A 施行初等行变换得：=1213→ →⎢⎥⎢⎣20k 2⎥⎦
所以当k -2≠0，即k ≠2时，方程组有解。 11⎤⎡11⎢01⎥ 02⎢⎥⎢⎣00k -24⎥⎦
10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组AX =0的一般解为⎨
（x 3, x 4为自由变量） ⎧x 1=2x 3+x 4 ⎩x 2=2x 4
⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪0 ⎪ 2⎪令x 3=1, x 4=0得：η1= ⎪；令x 3=0, x 4=1得：η2= ⎪； 10 ⎪ ⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
则η1, η2为齐次方程组AX =0的基础解系；
⎛1⎫ ⎪ 0⎪再令x 3=x 4=0，得非齐次方程组AX =b 的特解：X 0= ⎪ 0 ⎪ 0⎪⎝⎭
所以AX =b 的通解为：X =k 1η1+k 2η2+X 0 。
11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组AX =0含基础解系个数为 2个向量，
⎛1⎫⎛2⎫⎛4⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 5⎪ -1⎪ 1⎪ 因为η1 ＝ ⎪， η2＝ ⎪， η3＝ ，为非齐次方程组-3⎪0-1 ⎪ ⎪ ⎪ 11⎪ 2⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
AX =b 的解，
所以(η2-η1), (η3-η1) 为齐次方程组AX =0的解
又因为(η2-η1), (η3-η1) 线性无关
所以AX =0的通解为：k 1(η2-η1) +k 2(η3-η1)
（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组AX =b 的通解为：
k 1(η2-η1) +k 2(η3-η1) +η3
（注：此题答案不唯一）
⎛200⎫ ⎪12、 解：已知二次型的矩阵为：A = 032⎪
023⎪⎝⎭
2-λ0
3-λ
2023-λ=(2-λ)(5-λ)(1-λ) A 的特征多项式为：|A -λE |=00
令|A -λE |=0得A 特征值：λ1=1, λ2=2, λ3=5
⎛⎫ ⎪0⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪当λ1=1时 ，解方程组(A -E ) x =0, 得基础解系ξ1= 1⎪，单位化得η= 1⎪ 1 1⎪ 2⎪⎝⎭ 1⎪ ⎪⎝2⎭
⎛1⎫ ⎪η=当λ2=2时， 解方程组(A -2E ) x =0, 得基础解系2 0⎪
0⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪当λ3=5时， 解方程组(A -5E ) x =0, 得基础解系ξ3= 1⎪，单位化得η= 1⎪ 3 -1⎪ 2⎪⎝⎭ 1⎪ -⎪2⎭⎝
⎛
令矩阵P = ⎝01212⎫⎪10⎪1⎪ 0⎪2⎪1⎪0-⎪2⎭
则P 为正交矩阵，于是所求正交变换为：x =Py ，就是此变换把二次型化为标准形f =y 1+2y 2+5y 3
222
四、证明题
1. 证明：因为A 2=I ， 所以A ≠0，从而A -1存在
又因为A A '=I ，所以A (A -A ') =0
用A -1左乘等式A (A -A ') =0两边得，A =A ' 故A 是对称矩阵。
2. 证明： 若 λ1≠λ2 则由 Ax =λ1x Ax =λ2x 可知： (λ1-λ2) x =0
又因为 λ1≠λ2 所以x =0，这与x 为特征向量矛盾
所以λ1=λ2
3．证明：假若X 1+X 2是矩阵A 的属于特征值λ特征向量，即 A (X 1+X 2) =λ(X 1+X 2) =λX 1+λX 2
因为X 1, X 2分别是A 的对应于λ1, λ2的特征向量， 所以X 1, X 2线性无关，并且
AX 1=λ1X 1，AX 2=λ2X 2
所以 λX 1+λX 2=λ1X 1+λ2X 2，即
(λ-λ1) X 1+(λ-λ2) X 2=0
于是 λ=λ1=λ2，这与λ1, λ2不同矛盾。
4．证明：因为矩阵B 相似于A ，
所以 P -1AP =B
从而 λE -B =λP EP -P AP -1-1
=P -1(λE -A ) P
=P -1λE -A P =λE -A