§9 线性相关与线性无关
教学要求 ： 掌握线性相关与线性无关的定义, 并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 :
一、 定义与例子 : 定义 9.1 对向量组
，如果存在一组不全为零的数
, 使得
那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当
时才能成立, 就称向量组
线性无关.
含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为
其中, 不全为零.
, 线性相关的充分必要
只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 条件是
.
考虑齐次线性方程组
(*)
它可以写成
，
或
,
其中
.
由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 也就是说, 向量组
线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 例1 向量组 是线性无关的 .
解: 设有
使
,
有非零解. 只有零解.
即
,
得齐次线性方程组
.
解此方程组得 , 所以向量组 线性无关.
例2 设向量组 线性无关, 又设
也线性无关. 证明: 设有
使
,
即
,
因为
线性无关, 故有
证明向量组
,
此线性方程组只有零解 定理 9.1 向量组其余
个向量线性表示 .
, 也即向量组 线性无关.
线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由
证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 . 不妨设
, 则有
, 使得
,
即
可以由其余
个向量
线性表示. 其实, 在向量等式
的向量 都可以由其余
个向量线性表
中, 任何一个系数
示 .
充分性 设向量组
中有一个向量能由其余
,
个向量线性表示 . 不妨设
则
,
因为
不全为零, 所以
线性相关.
二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵 的列向量组为
,
矩阵 的列向量组为 的. 我们有以下定理:
, 其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到
定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性. 证明 :记
. 那么, 当且仅当齐次线性方程组
有非零解
时向量组 线性相关. 当且仅当齐次线性方程组 于齐次线性方程组 只是用非零数 承
或者只是对调了
有非零解时向量组 线性相关. 由的第 个方程与第 个方程的位置, 或者
的第 个方程的 倍加到第
有相同的线性相关性. 也线性相关. 使
的第 个方程, 或者只是把
个方程上去, 这连个方程组一定是同解的, 所以, 对应的向量组 定理 9.3 如果向量组 证明 :向量组
线性相关, 那么
线性相关, 即存在不全为零的数
,
于是
,
但是 ,
仍不全为零, 因此, 向量组
线性相关.
推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组. 定理 9.5 设有 维向量组
与 维向量组
如果向量组 线性无关, 那么, 向量组 也线性无关. 推论 9.6 维向量组的每一个向量添加
个分量成为 维向量. 如果 维向量组线性无
关, 那么, 维向量组也线性无关. 反言之, 如果 维向量组线性相关, 那么, 维向量组也线性相关. 定义 9.2 在
型的矩阵 中, 任取 行 列
, 位于这些行列交叉处的
个元素, 不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式, 称为矩阵 的 阶子式.
型矩阵 的 阶子式共有 个. 构成矩阵
定理 9.7 设 维向量组
则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式.
推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零. 推论 9.9 当 思考题：
1、 举例说明下列各命题是错误的 (1) 若向量组
线性无关，则
使
时, 个 维向量 必线性相关.
可由 线性表示;
(2) 若有不全为零的数
则 线性相关, 也线性相关;
(3) 若只有当 全为零时, 等式
才能成立 线性无关, 也线性无关;
(4) 若 线性相关, 也线性相关, 则有不全为零的数
, 使
同时成立.
2、 判断下列向量组是否线性相关 :
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) 3． 设向量组4、 设向量组表示.
.
线性无关, 讨论向量组 线性无关,
的线性相关性 .
线性
线性相关, 则 必可由向量组
5 、选择题 (1) 维向量组
A. 存在一组不全为零的数 B. C. D.
线性无关的充分必要条件是 , 使
;
中任意两个向量都线性无关 ;
中存在一个向量 , 它不能由其他向量线性表示 ; 中任意一个向量都不能被其他向量线性表示 .
线性无关, 则向量组 也线性无关; 也线性无关; 也线性无关; 也线性无关.
与
. 如果存在两组不全为零的数
(2) 已知向量组A. B. C. D.
(3) 设有任意两个 维向量组
与
使
则
A. B. C. D.
与与
. 线性相关; . 线性无关;
线性无关; 线性相关.
§9 线性相关与线性无关
教学要求 ： 掌握线性相关与线性无关的定义, 并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 :
一、 定义与例子 : 定义 9.1 对向量组
，如果存在一组不全为零的数
, 使得
那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当
时才能成立, 就称向量组
线性无关.
含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为
其中, 不全为零.
, 线性相关的充分必要
只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 条件是
.
考虑齐次线性方程组
(*)
它可以写成
，
或
,
其中
.
由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 也就是说, 向量组
线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 例1 向量组 是线性无关的 .
解: 设有
使
,
有非零解. 只有零解.
即
,
得齐次线性方程组
.
解此方程组得 , 所以向量组 线性无关.
例2 设向量组 线性无关, 又设
也线性无关. 证明: 设有
使
,
即
,
因为
线性无关, 故有
证明向量组
,
此线性方程组只有零解 定理 9.1 向量组其余
个向量线性表示 .
, 也即向量组 线性无关.
线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由
证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 . 不妨设
, 则有
, 使得
,
即
可以由其余
个向量
线性表示. 其实, 在向量等式
的向量 都可以由其余
个向量线性表
中, 任何一个系数
示 .
充分性 设向量组
中有一个向量能由其余
,
个向量线性表示 . 不妨设
则
,
因为
不全为零, 所以
线性相关.
二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵 的列向量组为
,
矩阵 的列向量组为 的. 我们有以下定理:
, 其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到
定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性. 证明 :记
. 那么, 当且仅当齐次线性方程组
有非零解
时向量组 线性相关. 当且仅当齐次线性方程组 于齐次线性方程组 只是用非零数 承
或者只是对调了
有非零解时向量组 线性相关. 由的第 个方程与第 个方程的位置, 或者
的第 个方程的 倍加到第
有相同的线性相关性. 也线性相关. 使
的第 个方程, 或者只是把
个方程上去, 这连个方程组一定是同解的, 所以, 对应的向量组 定理 9.3 如果向量组 证明 :向量组
线性相关, 那么
线性相关, 即存在不全为零的数
,
于是
,
但是 ,
仍不全为零, 因此, 向量组
线性相关.
推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组. 定理 9.5 设有 维向量组
与 维向量组
如果向量组 线性无关, 那么, 向量组 也线性无关. 推论 9.6 维向量组的每一个向量添加
个分量成为 维向量. 如果 维向量组线性无
关, 那么, 维向量组也线性无关. 反言之, 如果 维向量组线性相关, 那么, 维向量组也线性相关. 定义 9.2 在
型的矩阵 中, 任取 行 列
, 位于这些行列交叉处的
个元素, 不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式, 称为矩阵 的 阶子式.
型矩阵 的 阶子式共有 个. 构成矩阵
定理 9.7 设 维向量组
则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式.
推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零. 推论 9.9 当 思考题：
1、 举例说明下列各命题是错误的 (1) 若向量组
线性无关，则
使
时, 个 维向量 必线性相关.
可由 线性表示;
(2) 若有不全为零的数
则 线性相关, 也线性相关;
(3) 若只有当 全为零时, 等式
才能成立 线性无关, 也线性无关;
(4) 若 线性相关, 也线性相关, 则有不全为零的数
, 使
同时成立.
2、 判断下列向量组是否线性相关 :
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) 3． 设向量组4、 设向量组表示.
.
线性无关, 讨论向量组 线性无关,
的线性相关性 .
线性
线性相关, 则 必可由向量组
5 、选择题 (1) 维向量组
A. 存在一组不全为零的数 B. C. D.
线性无关的充分必要条件是 , 使
;
中任意两个向量都线性无关 ;
中存在一个向量 , 它不能由其他向量线性表示 ; 中任意一个向量都不能被其他向量线性表示 .
线性无关, 则向量组 也线性无关; 也线性无关; 也线性无关; 也线性无关.
与
. 如果存在两组不全为零的数
(2) 已知向量组A. B. C. D.
(3) 设有任意两个 维向量组
与
使
则
A. B. C. D.
与与
. 线性相关; . 线性无关;
线性无关; 线性相关.