线性代数B 复习资料（2015）
(一) 单项选择题
1．设A ，B 为n 阶方阵，且(AB )=E ，则下列各式中可能不成立的是（ ）
2
(A ) A =B (B)ABA =B (C)BAB =A (D)(BA ) 2=E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A≠O (B)A=O (C ) A ≠0 (D) AB ≠0 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A，则（ ） (A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) B
-1
-1-1-1
=A (D ) 不一定
4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)
(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A的各行向量中至少有一个为零向量
(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．已知向量组α1, α2, α3, α4线性无关，则向量组 ( ) (A) (B) (C ) (D)
α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关 α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关
α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关 α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关
6．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量α1, 仍然线性无关 (B) 如果r 个向量α1, 组仍然线性无关 (C)如果r 个向量α1, (D)如果r 个向量α1,
α2, , αr 线性无关，则加入k 个向量β1, β2, , βk 后，
α2, , αr 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量α2, , αr 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关
则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组α2, , αr 线性相关，
仍然线性相关
7．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A ) A的列向量线性无关
(B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关
8．n 元线性方程组AX=b，r （A ，b ）
(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D ) 不确定 10．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝0，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n
9．设向量组α1, α2, , αs (s>1，α1≠0) 线性相关，则（ ）由α1, α2, , αi -1线性表出。 (A)每个αi (i >1) 都能 (B) 每个αi (i >1) 都不能 (C ) 有一个αi (i >1) 能 (D) 某一个αi (i >1) 不能
A 的第二行加到第一行得到B ，再将B 的第一列的(-1) 倍加10. 设A 为3阶矩阵，将
到第2列得到C ，记
⎛110⎫
⎪P = 010⎪
001⎪⎝⎭
（A ）C =P -1AP 则：
（C ）C =P T AP
11．下列命题正确的是( )
(B )
C =PAP -1
(D )
C =PAP T
(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关
(B) 线性相关的向量组中必有零向量
(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 12．设向量组α1, α2, , αs 的秩为r ，则
(A) 必定r
(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关
13．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )
(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B ) 有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 14．能表成向量α1=(0,
0, 0, 1), α2=(0, 1, 1, 1), α3=(1, 1, 1, 1)的线性组合
的向量是（ ） (A) (0,
0, 1, 1) (B ) (2, 1, 1, 0) (C)(2, 3, 1, 0, -1) (D)(0, 0, 0, 0, 0)
（ ）时α1, α2, α32, 3), α2=(3, -1, 2), α3=(2, 3, x ) 则x=
15．已知α1=(1,
线性相关。
(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 5
16．向量组α1=(1,
-1, 2, 4), α2=(0, 3, 1, 2), α3=(30, 7, 14)
α4=(1, -1, 2, 0)的秩为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
17．设A 为n 阶方阵, 且A =0，则
(A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A必有两行（列）对应元素乘比例
(C ) A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A中至少有一行（列）向量为零向量
18．向量组α1, α2, , αs 线性相关的充要条件是( ) (A) (B) (C ) (D)
α1, α2, , αs 中有一零向量
α1, α2, , αs 中任意两个向量的分量成比例 α1, α2, , αs 中有一向量是其余向量的线性组合 α1, α2, , αs 中任意一个向量均是其余向量的线性组合
19．若向量β可由向量组α1, α2, , αs 线性表出, 则( )
(A) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k s , 使等式β=k 1α1+k 2α2+ +k s αs 成立 (B) 存在一组全为零的数k 1, k 2, , k s , 使等式β=k 1α1+k 2α2+ +k s αs 成立 (C ) 向量β, α1, α2, , αs 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一
20．对于n 元方程组，正确的命题是（ ） (A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解 (B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解
(C)AX=B有唯一解的充要条件是A ≠0
(D ) 如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解
21．设矩阵A m ⨯n 的秩为r(A)=m
(C )A 通过初等变换, 必可化为(I m ,0) 的形式 (D) 若矩阵B 满足BA =0, 则B =0.
22．已知α1, α2, α3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ） (A) k 1α1+k 2α2+k 3α3 (B ) (C)
α1+α2, α2+α3, α3+α1 α1-α2, α2-α3,
(D)α1, α1-α2+α3, α3-α2,
23．向量组α1, α2, , αr 线性无关，且可由向量组β1, β2, , βs 线性表示，则 r(α1, α2, , αr ) 必( )r(β1, β2, , βs )
(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D ) 小于等于
T
24．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ），那么矩阵A 的秩为（ ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是
⎛111⎫ ⎪
1⎪的秩为2，则λ=（ ） 25．设矩阵A = 12
23λ+3⎪⎝⎭
A.2 B.1 C.0 D . -1
26．设n 维向量组α1, α2, , αr (Ⅰ) 中每一个向量都可由向量组β1, β2, , βs (Ⅱ) 线性表出, 且有r>s, 则( )
(A) (Ⅱ) 线性无关 (B) (Ⅱ) 线性相关 (C) (Ⅰ) 线性无关 (D ) (Ⅰ) 线性相关 27．设α1, α2, , αn 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组α1, α2, , αn 必定( ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 28．矩阵A 适合条件（ ）时，它的秩为r
(A)A中任何r+1列线性相关 (B) A中任何r 列线性相关
(C) A中有r 列线性无关 (D ) A中线性无关的列向量最多有r 个 29．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ ）
(A)大于m (B)大于n (C ) 等于n (D) 等于m
30．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ ）
(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 31．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ ）满足即可 (A) A中有r 阶子式不等于零 (B) A中任何r+1阶子式等于零
(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A中不等于零的子式的最高阶数等于r
32．R(A)=n是n 元线性方程组AX=b有唯一解( )
(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件 33．矩阵A=
⎛1-1⎫
⎪⎪的特征值为0, 2, 则3A 的特征值为( ) -11⎝⎭
(A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 34．A=
⎛1-1⎫2
-2I -2A +A ⎪， 则的特征值为（ ） ⎪
⎝-11⎭
-1
(A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 35．B =P AP , λ0是A,B 的一个特征值, 特征向量是( ) (A)
α是A 的关于λ0的特征向量, 则B 的关于λ0的
α (B) P α (C ) P -1α (D) P T α
2
36．A 满足关系式A -2A +E =O ，则A 的特征值是
(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2
⎛0-2-2⎫ ⎪
x -2⎪的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ ） 37．已知－2是A= 2
-22b ⎪⎝⎭
(A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －4
4-1⎫⎛7 ⎪47-138．已知矩阵A= ⎪有特征值λ1=λ2=3, λ3=12，则x=（ ） -4-4x ⎪⎝⎭
(A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 4
（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17） 39. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A
（二）计算题与填空题
1．A -5A +6I =0，则A
3-1
=（ ） （-
12
A -5I ） 6
()
2-1⎫⎛0 ⎪
12⎪, 则R (BA )=________ (2) 2．设A 是3⨯4矩阵, R (A )=2, B = 1
-1-1-1⎪⎝⎭
3. 设A 为3阶矩阵，且|A |=2, 则行列式|A -3A
*
-1
|=____ （-1/2）
4设两个向量a ，b 线性相关，则a ，b 应满足条件
（a,b 的对应分量成比例） 5．设β=(1k
T T T
5), α1=(1-32), α2=(2-11), k =（ ）时β可被向量
组α1, α2线性表出。 （-8）
6.
⎛100⎫⎛11-1⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪011312011 ⎪ ⎪ ⎪= 001⎪ 011⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3
⎛
⎝
⎫ ⎪⎪⎪⎭
答案：
⎛110⎫ ⎪349 ⎪ 012⎪⎝⎭
⎛a 1b 1a 1b 2
7. 设a i ≠0, b i ≠0, i =1,2,3, 则矩阵A = a 2b 1a 2b 2
a b a b
32⎝31
8．设β=(12
a 1b 3⎫
⎪
a 2b 3⎪的秩为 。 （1）a 3b 3⎪⎭
T T T T
-2), α1=(111), α2=(11-1), α3=(1-11). 则β是否为
向量组α1, α2, α3的线性组合？ （是）
9． 确定a , b 为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.
⎧x 1-x 2-2x 3+3x 4=0⎪x -3x -5x +2x =-1⎪1234
. ⎨
x +x -ax +4x =1234⎪1⎪⎩x 1+7x 2+10x 3+7x 4=b
答： 当a =-1, b =4时，解为
⎛1⎫ ⎪⎛1⎫⎛7⎫2 ⎪ ⎪ ⎪1 -3⎪ 1⎪ ，其中
⎪+c 1c 1, c 2为任意非零常数; +c 2⎪2 0⎪ 2⎪
⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ -2⎪
⎪⎝⎭⎝⎭0⎝⎭
当a ≠-1, b =4时，解为
⎛1⎫
⎪⎛7⎫2 ⎪ ⎪1 1⎪ ⎪+k 0⎪，其中k 为任意常数; 2⎪
⎪ 0⎪ -2⎪
⎪⎝⎭0⎝⎭
方程组不存在唯一解.
10． 求下列矩阵的特征值与特征向量.
⎛10-2⎫ ⎪（1） 010⎪ (2)
-201⎪⎝⎭
⎛3-1-2⎫
⎪ 20-2⎪. 2-1-1⎪⎝⎭
答案： (1) λ1=1, λ2=-1, λ3=3，
对应于λ1=1的全部特征向量是k 1(0,1, 0)，k 1≠0； 对应于λ2=-1的全部特征向量是k 2(1, 0,1)，k 2≠0； 对应于λ3=3的全部特征向量是k 3(-1, 0,1)，k 3≠0. (2) λ1=0, λ2=λ3=1,
⎛1⎫
⎪
对应于λ1=0的全部特征向量是k 1 1⎪，k 1为非零常数；
1⎪⎝⎭
T T T
对应于λ2=λ3=1的全部特征向量为
⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪
k 2 2⎪+k 3 -2⎪，k 2, k 3是不同时为零的常数； 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
11. 三阶矩阵A 的特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=3, 则A =为( ).
(); A
-1
, A *, A -1+A 2的特征值
(6; 1,
1111, ; 6, 3, 2; 2, 4, 9. ) 2323
⎛k 10⎫⎛1⎫
⎪ ⎪
12. 设矩阵A = 121⎪有一个特征向量为 -2⎪，求k 及A 的三个特征值与特征向量.
⎝01k ⎪⎭ ⎝1⎪⎭
答案：k =3，A 的三个特征值为1, 3, 4, 特征向量略. 13．已知向量组
α1=(2, 1, 2, 1)T , α2=(-1, 1, -5, 7)T , α3=(1, 2, -3, 8)T , α4=(1, -1, a , 6)T , α5=(3, 0, 4, 7)T 的秩为3，求a 及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。 答案：a =2, α1, α2, α4 为一个极大无关组，α3=
α1+α2+0α4,
α5=α1+0α2+α4,
14． 设向量组α1=(1, k , -1), α2=(k +1, 2, 1), α3=(1, -1, k )， (1) k 为何值时，α1, α2线性相关？线性无关？ (2) k 为何值时，α1, α2, α3线性相关？线性无关？
(3) 当α1, α2, α3线性相关时，将α3表示为α1, α2的线性组合. 答案：(1) k =-2时线性相关，k ≠-2时线性无关；
(2) k =-1, -2或2时线性相关；k ≠-1且k ≠-2且k ≠2时线性无关； (3) 当k =-1时，α33=α1+0⋅α2；当k =2时， α53=-4α1+
4
α2. ⎛15设A = 12
3⎫ 01
2⎪
⎪, 使得方程组AX =b 总有解的b 是( ⎝2-1-1⎪⎭
⎛(k 1⎫⎪⎡⎢2⎤⎥⎛3⎫+k ⎪1 0 ⎪+k 213 2⎪)
⎝2⎪⎢⎥
⎭⎢⎣-1⎥⎦ ⎝-1⎪⎭
⎡21116. 已知向量ξ=(1, k , 1) T
是矩阵A =⎢⎤
⎢121⎥-1⎢⎥的逆矩阵A 的特征向量，求常数k
⎣112⎥⎦
答案：k =1, -2
).
17．矩阵
A =
⎛321⎫ ⎪315（7） ⎪的迹为 。 323⎪⎝⎭
定义：对于n 阶方阵A =(a ij ) ，矩对角线元素之和称为方阵A 的迹，记为trA ，即
trA =a 11+a 22+ +a nn ，
定义2.15 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ， 则称矩阵A 与B 等价，记作
（2）当k = 1 时
⎛111 1⎫⎛111 1⎫ 111 1⎪ 000 0⎪
⎪ ？ ⎪
112 1⎪ 001 0⎪⎝⎭⎝⎭
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;
（3）当k =0时
⎛0
1
1⎝
101
1 1 2
1⎫⎪0 ⎪⎪0⎭⎛1 0 1⎝
011
1 1 2
0⎫⎪1 ⎪⎪0⎭
⎛101 0⎫⎛101 0⎫
⎪ 011 1⎪011 1 ⎪ ⎪
011 0⎪ 000 -1⎪⎝⎭⎝⎭
系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以β不能由α1, α2, α3线性表示.
（三）证明题：
1. 设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯s 矩阵，且AB =0，证明r (A )+r (B )≤n .
证 设B =(β1, β2, , βs ) ，则AB =(A β1, A β2, , A βs ) ，由AB =0得
A βi =0, i =1, 2, , s ，所以矩阵B 的列向量都是方程组Ax =0的解.
设r (A )=r ，如r =0，则结论显然成立. 如r
=n ，则方程组Ax =0仅有零解，故
B =0，从而有r (A )+r (B )=n .
如0
T
2. 证明：对任意矩阵A ，有r A A =r (A ).
()
证 设A 为m ⨯n 矩阵，x 为n 维列向量，如果x 满足Ax =0，则有
T
A Ax =0，即A T A x =0，
()
反之，如果A T A x =0，则x T A T A x =0，即(Ax )
()()
T
(Ax )=0，从而Ax =0.
T
这说明方程组Ax =0与A Ax =0同解，所以r A T A =r (A ).
()
*
3. 设A 是n 阶(n ≥2) 方阵， A 是A 的伴随矩阵. 证明:
⎧n ，当R(A)=n⎪
R (A *) =⎨1，当R(A)=n-1
⎪0，当R(A)≤n-2⎩
*
证明① 当R (A ) =n 时，有A ≠0，由A A =A 知，A =A
*
n -1
≠0，所以R (A *) =n ．
*
② 方法1 当R (A ) =n -1时，有A =0，由A A =O =性方程组Ax =o 的部分解向量，所以（由方程组解的结构定理） R (A ) ≤n -R (A ) =1
*
*
知A 的列向量是齐次线
*
又因为R (A ) =n -1，A 中至少有一个n -1阶子式不为零，即A =(A ij ) n ⨯n ≠O ，则
R (A *) ≥1，从而R (A *) =1．
方法2 当R (A ) =n -1时，有A =0，由AA =A E =O 有
*
R (A ) +R (A *) ≤n
*所以R (A *) ≤1，又因为R (A ) =n -1，A 中至少有一个n -1阶子式不为零，即A ≠O ，
则R (A *) ≥1，从而R (A *) =1．
③ 当R (A ) ≤n -2时，A 中所有n -1阶子式全为零，故A =O ，从而R (A *) =0． *
11
线性代数B 复习资料（2015）
(一) 单项选择题
1．设A ，B 为n 阶方阵，且(AB )=E ，则下列各式中可能不成立的是（ ）
2
(A ) A =B (B)ABA =B (C)BAB =A (D)(BA ) 2=E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A≠O (B)A=O (C ) A ≠0 (D) AB ≠0 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A，则（ ） (A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) B
-1
-1-1-1
=A (D ) 不一定
4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)
(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A的各行向量中至少有一个为零向量
(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．已知向量组α1, α2, α3, α4线性无关，则向量组 ( ) (A) (B) (C ) (D)
α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关 α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关
α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关 α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关
6．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量α1, 仍然线性无关 (B) 如果r 个向量α1, 组仍然线性无关 (C)如果r 个向量α1, (D)如果r 个向量α1,
α2, , αr 线性无关，则加入k 个向量β1, β2, , βk 后，
α2, , αr 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量α2, , αr 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关
则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组α2, , αr 线性相关，
仍然线性相关
7．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A ) A的列向量线性无关
(B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关
8．n 元线性方程组AX=b，r （A ，b ）
(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D ) 不确定 10．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝0，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n
9．设向量组α1, α2, , αs (s>1，α1≠0) 线性相关，则（ ）由α1, α2, , αi -1线性表出。 (A)每个αi (i >1) 都能 (B) 每个αi (i >1) 都不能 (C ) 有一个αi (i >1) 能 (D) 某一个αi (i >1) 不能
A 的第二行加到第一行得到B ，再将B 的第一列的(-1) 倍加10. 设A 为3阶矩阵，将
到第2列得到C ，记
⎛110⎫
⎪P = 010⎪
001⎪⎝⎭
（A ）C =P -1AP 则：
（C ）C =P T AP
11．下列命题正确的是( )
(B )
C =PAP -1
(D )
C =PAP T
(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关
(B) 线性相关的向量组中必有零向量
(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 12．设向量组α1, α2, , αs 的秩为r ，则
(A) 必定r
(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关
13．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )
(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B ) 有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 14．能表成向量α1=(0,
0, 0, 1), α2=(0, 1, 1, 1), α3=(1, 1, 1, 1)的线性组合
的向量是（ ） (A) (0,
0, 1, 1) (B ) (2, 1, 1, 0) (C)(2, 3, 1, 0, -1) (D)(0, 0, 0, 0, 0)
（ ）时α1, α2, α32, 3), α2=(3, -1, 2), α3=(2, 3, x ) 则x=
15．已知α1=(1,
线性相关。
(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 5
16．向量组α1=(1,
-1, 2, 4), α2=(0, 3, 1, 2), α3=(30, 7, 14)
α4=(1, -1, 2, 0)的秩为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
17．设A 为n 阶方阵, 且A =0，则
(A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A必有两行（列）对应元素乘比例
(C ) A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A中至少有一行（列）向量为零向量
18．向量组α1, α2, , αs 线性相关的充要条件是( ) (A) (B) (C ) (D)
α1, α2, , αs 中有一零向量
α1, α2, , αs 中任意两个向量的分量成比例 α1, α2, , αs 中有一向量是其余向量的线性组合 α1, α2, , αs 中任意一个向量均是其余向量的线性组合
19．若向量β可由向量组α1, α2, , αs 线性表出, 则( )
(A) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k s , 使等式β=k 1α1+k 2α2+ +k s αs 成立 (B) 存在一组全为零的数k 1, k 2, , k s , 使等式β=k 1α1+k 2α2+ +k s αs 成立 (C ) 向量β, α1, α2, , αs 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一
20．对于n 元方程组，正确的命题是（ ） (A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解 (B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解
(C)AX=B有唯一解的充要条件是A ≠0
(D ) 如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解
21．设矩阵A m ⨯n 的秩为r(A)=m
(C )A 通过初等变换, 必可化为(I m ,0) 的形式 (D) 若矩阵B 满足BA =0, 则B =0.
22．已知α1, α2, α3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ） (A) k 1α1+k 2α2+k 3α3 (B ) (C)
α1+α2, α2+α3, α3+α1 α1-α2, α2-α3,
(D)α1, α1-α2+α3, α3-α2,
23．向量组α1, α2, , αr 线性无关，且可由向量组β1, β2, , βs 线性表示，则 r(α1, α2, , αr ) 必( )r(β1, β2, , βs )
(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D ) 小于等于
T
24．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ），那么矩阵A 的秩为（ ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是
⎛111⎫ ⎪
1⎪的秩为2，则λ=（ ） 25．设矩阵A = 12
23λ+3⎪⎝⎭
A.2 B.1 C.0 D . -1
26．设n 维向量组α1, α2, , αr (Ⅰ) 中每一个向量都可由向量组β1, β2, , βs (Ⅱ) 线性表出, 且有r>s, 则( )
(A) (Ⅱ) 线性无关 (B) (Ⅱ) 线性相关 (C) (Ⅰ) 线性无关 (D ) (Ⅰ) 线性相关 27．设α1, α2, , αn 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组α1, α2, , αn 必定( ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 28．矩阵A 适合条件（ ）时，它的秩为r
(A)A中任何r+1列线性相关 (B) A中任何r 列线性相关
(C) A中有r 列线性无关 (D ) A中线性无关的列向量最多有r 个 29．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ ）
(A)大于m (B)大于n (C ) 等于n (D) 等于m
30．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ ）
(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 31．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ ）满足即可 (A) A中有r 阶子式不等于零 (B) A中任何r+1阶子式等于零
(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A中不等于零的子式的最高阶数等于r
32．R(A)=n是n 元线性方程组AX=b有唯一解( )
(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件 33．矩阵A=
⎛1-1⎫
⎪⎪的特征值为0, 2, 则3A 的特征值为( ) -11⎝⎭
(A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 34．A=
⎛1-1⎫2
-2I -2A +A ⎪， 则的特征值为（ ） ⎪
⎝-11⎭
-1
(A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 35．B =P AP , λ0是A,B 的一个特征值, 特征向量是( ) (A)
α是A 的关于λ0的特征向量, 则B 的关于λ0的
α (B) P α (C ) P -1α (D) P T α
2
36．A 满足关系式A -2A +E =O ，则A 的特征值是
(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2
⎛0-2-2⎫ ⎪
x -2⎪的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ ） 37．已知－2是A= 2
-22b ⎪⎝⎭
(A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －4
4-1⎫⎛7 ⎪47-138．已知矩阵A= ⎪有特征值λ1=λ2=3, λ3=12，则x=（ ） -4-4x ⎪⎝⎭
(A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 4
（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17） 39. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A
（二）计算题与填空题
1．A -5A +6I =0，则A
3-1
=（ ） （-
12
A -5I ） 6
()
2-1⎫⎛0 ⎪
12⎪, 则R (BA )=________ (2) 2．设A 是3⨯4矩阵, R (A )=2, B = 1
-1-1-1⎪⎝⎭
3. 设A 为3阶矩阵，且|A |=2, 则行列式|A -3A
*
-1
|=____ （-1/2）
4设两个向量a ，b 线性相关，则a ，b 应满足条件
（a,b 的对应分量成比例） 5．设β=(1k
T T T
5), α1=(1-32), α2=(2-11), k =（ ）时β可被向量
组α1, α2线性表出。 （-8）
6.
⎛100⎫⎛11-1⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪011312011 ⎪ ⎪ ⎪= 001⎪ 011⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3
⎛
⎝
⎫ ⎪⎪⎪⎭
答案：
⎛110⎫ ⎪349 ⎪ 012⎪⎝⎭
⎛a 1b 1a 1b 2
7. 设a i ≠0, b i ≠0, i =1,2,3, 则矩阵A = a 2b 1a 2b 2
a b a b
32⎝31
8．设β=(12
a 1b 3⎫
⎪
a 2b 3⎪的秩为 。 （1）a 3b 3⎪⎭
T T T T
-2), α1=(111), α2=(11-1), α3=(1-11). 则β是否为
向量组α1, α2, α3的线性组合？ （是）
9． 确定a , b 为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.
⎧x 1-x 2-2x 3+3x 4=0⎪x -3x -5x +2x =-1⎪1234
. ⎨
x +x -ax +4x =1234⎪1⎪⎩x 1+7x 2+10x 3+7x 4=b
答： 当a =-1, b =4时，解为
⎛1⎫ ⎪⎛1⎫⎛7⎫2 ⎪ ⎪ ⎪1 -3⎪ 1⎪ ，其中
⎪+c 1c 1, c 2为任意非零常数; +c 2⎪2 0⎪ 2⎪
⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ -2⎪
⎪⎝⎭⎝⎭0⎝⎭
当a ≠-1, b =4时，解为
⎛1⎫
⎪⎛7⎫2 ⎪ ⎪1 1⎪ ⎪+k 0⎪，其中k 为任意常数; 2⎪
⎪ 0⎪ -2⎪
⎪⎝⎭0⎝⎭
方程组不存在唯一解.
10． 求下列矩阵的特征值与特征向量.
⎛10-2⎫ ⎪（1） 010⎪ (2)
-201⎪⎝⎭
⎛3-1-2⎫
⎪ 20-2⎪. 2-1-1⎪⎝⎭
答案： (1) λ1=1, λ2=-1, λ3=3，
对应于λ1=1的全部特征向量是k 1(0,1, 0)，k 1≠0； 对应于λ2=-1的全部特征向量是k 2(1, 0,1)，k 2≠0； 对应于λ3=3的全部特征向量是k 3(-1, 0,1)，k 3≠0. (2) λ1=0, λ2=λ3=1,
⎛1⎫
⎪
对应于λ1=0的全部特征向量是k 1 1⎪，k 1为非零常数；
1⎪⎝⎭
T T T
对应于λ2=λ3=1的全部特征向量为
⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪
k 2 2⎪+k 3 -2⎪，k 2, k 3是不同时为零的常数； 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
11. 三阶矩阵A 的特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=3, 则A =为( ).
(); A
-1
, A *, A -1+A 2的特征值
(6; 1,
1111, ; 6, 3, 2; 2, 4, 9. ) 2323
⎛k 10⎫⎛1⎫
⎪ ⎪
12. 设矩阵A = 121⎪有一个特征向量为 -2⎪，求k 及A 的三个特征值与特征向量.
⎝01k ⎪⎭ ⎝1⎪⎭
答案：k =3，A 的三个特征值为1, 3, 4, 特征向量略. 13．已知向量组
α1=(2, 1, 2, 1)T , α2=(-1, 1, -5, 7)T , α3=(1, 2, -3, 8)T , α4=(1, -1, a , 6)T , α5=(3, 0, 4, 7)T 的秩为3，求a 及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。 答案：a =2, α1, α2, α4 为一个极大无关组，α3=
α1+α2+0α4,
α5=α1+0α2+α4,
14． 设向量组α1=(1, k , -1), α2=(k +1, 2, 1), α3=(1, -1, k )， (1) k 为何值时，α1, α2线性相关？线性无关？ (2) k 为何值时，α1, α2, α3线性相关？线性无关？
(3) 当α1, α2, α3线性相关时，将α3表示为α1, α2的线性组合. 答案：(1) k =-2时线性相关，k ≠-2时线性无关；
(2) k =-1, -2或2时线性相关；k ≠-1且k ≠-2且k ≠2时线性无关； (3) 当k =-1时，α33=α1+0⋅α2；当k =2时， α53=-4α1+
4
α2. ⎛15设A = 12
3⎫ 01
2⎪
⎪, 使得方程组AX =b 总有解的b 是( ⎝2-1-1⎪⎭
⎛(k 1⎫⎪⎡⎢2⎤⎥⎛3⎫+k ⎪1 0 ⎪+k 213 2⎪)
⎝2⎪⎢⎥
⎭⎢⎣-1⎥⎦ ⎝-1⎪⎭
⎡21116. 已知向量ξ=(1, k , 1) T
是矩阵A =⎢⎤
⎢121⎥-1⎢⎥的逆矩阵A 的特征向量，求常数k
⎣112⎥⎦
答案：k =1, -2
).
17．矩阵
A =
⎛321⎫ ⎪315（7） ⎪的迹为 。 323⎪⎝⎭
定义：对于n 阶方阵A =(a ij ) ，矩对角线元素之和称为方阵A 的迹，记为trA ，即
trA =a 11+a 22+ +a nn ，
定义2.15 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ， 则称矩阵A 与B 等价，记作
（2）当k = 1 时
⎛111 1⎫⎛111 1⎫ 111 1⎪ 000 0⎪
⎪ ？ ⎪
112 1⎪ 001 0⎪⎝⎭⎝⎭
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一;
（3）当k =0时
⎛0
1
1⎝
101
1 1 2
1⎫⎪0 ⎪⎪0⎭⎛1 0 1⎝
011
1 1 2
0⎫⎪1 ⎪⎪0⎭
⎛101 0⎫⎛101 0⎫
⎪ 011 1⎪011 1 ⎪ ⎪
011 0⎪ 000 -1⎪⎝⎭⎝⎭
系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以β不能由α1, α2, α3线性表示.
（三）证明题：
1. 设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯s 矩阵，且AB =0，证明r (A )+r (B )≤n .
证 设B =(β1, β2, , βs ) ，则AB =(A β1, A β2, , A βs ) ，由AB =0得
A βi =0, i =1, 2, , s ，所以矩阵B 的列向量都是方程组Ax =0的解.
设r (A )=r ，如r =0，则结论显然成立. 如r
=n ，则方程组Ax =0仅有零解，故
B =0，从而有r (A )+r (B )=n .
如0
T
2. 证明：对任意矩阵A ，有r A A =r (A ).
()
证 设A 为m ⨯n 矩阵，x 为n 维列向量，如果x 满足Ax =0，则有
T
A Ax =0，即A T A x =0，
()
反之，如果A T A x =0，则x T A T A x =0，即(Ax )
()()
T
(Ax )=0，从而Ax =0.
T
这说明方程组Ax =0与A Ax =0同解，所以r A T A =r (A ).
()
*
3. 设A 是n 阶(n ≥2) 方阵， A 是A 的伴随矩阵. 证明:
⎧n ，当R(A)=n⎪
R (A *) =⎨1，当R(A)=n-1
⎪0，当R(A)≤n-2⎩
*
证明① 当R (A ) =n 时，有A ≠0，由A A =A 知，A =A
*
n -1
≠0，所以R (A *) =n ．
*
② 方法1 当R (A ) =n -1时，有A =0，由A A =O =性方程组Ax =o 的部分解向量，所以（由方程组解的结构定理） R (A ) ≤n -R (A ) =1
*
*
知A 的列向量是齐次线
*
又因为R (A ) =n -1，A 中至少有一个n -1阶子式不为零，即A =(A ij ) n ⨯n ≠O ，则
R (A *) ≥1，从而R (A *) =1．
方法2 当R (A ) =n -1时，有A =0，由AA =A E =O 有
*
R (A ) +R (A *) ≤n
*所以R (A *) ≤1，又因为R (A ) =n -1，A 中至少有一个n -1阶子式不为零，即A ≠O ，
则R (A *) ≥1，从而R (A *) =1．
③ 当R (A ) ≤n -2时，A 中所有n -1阶子式全为零，故A =O ，从而R (A *) =0． *
11