知识点： 二面角的求法
一、思想方法
求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角. 如图2。
方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）.
方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S' ，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scosθ或cos θ=S .
/
S
方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直. 若AC=m，
2222
BD=n, CD=d，则有AB =m+n+d-2mncos θ，故cos θ=m +n +d -AB （1）
2
2
2
2
2mn
在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况公式是2222
AB =m+n+d±2mncos θ. 但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）.
方法六（空间向量法）如图5，设n 1, n 2, 是二面角α-l -β的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，．
n 1⋅n 2。 α-l -β另一个指向外侧，则二面角的平面角=αarccos ．
|n 1||n 2|
二、例题：
例1．在棱长为1的正方体AC 1中，（1）求二面角A -B 1D 1-C 的大小；
（2）求平面C 1BD 与底面ABCD 所成二面角C 1-BD -C
例2．如果二面角α-l -β的平面角是锐角，点P 到α, β
, l 的距离分别为面法）。
例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
- 1 -
例4．矩形ABCD 的两边AB=1
，
例5．正三棱柱ABC -A Ｐ是侧棱AA 1上任意一点．当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C -B 1P -C 1
1B 1C 1的所有棱长均为２，的大小．
图12
例6．如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -
D
BD 为棱折成二面角，使
. 求二面角A-BD-C 的大小.
例7．如图，在空间四边形ABCD 中，∆BCD 是正三角形，∆ABD 是等腰直角三角形，且∠BAD =90，又二面角A -BD -C 为直二面角，求二面角A -CD -B
A
B
- 2 -
H
D
C
F
三、课堂练习题
1. 如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1所成二面角的正切值等于（ C）
2. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点．
AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：90° （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．60°
3. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD =8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ；
③求二面角B －AC －D 的正切值．tg ∠BFD =BD =4
BF
3
4. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且∠DBC =120°，求
(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
D
- 3 -
AB =BC =BD ，∠ABC =
A
B
C
90°．π－arctg2．
5. 正方形ABCD 中，以对角线BD 为折线，把ΔABD 折起，使二面角A ˊ-BD-C 为60°，求二面角B-A ˊC-D 的余弦值。-
6. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
11
1 7
课后练习：
1. 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90，AB=BB1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。
二面角B-B 1C-A 的正弦值为
。 3
2. 已知菱形ABCD 边长为a ，且其一条对角线BD ＝a ，沿对角线BD 将∆折起与∆B C D 所在平面成直二面角，A B D 点E 、F 分别是BC 、CD 的中点。
(1)求AC 与平面AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角A －EF －B 的正切值。
- 4 -
3. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，∠ABC=90，AB=a,AD=3a,sin∠ADC=角P-CD-A 的大小。（答案：arctg
5
, 又PA ⊥平面ABCD ，PA=a，求二面5
）
3
4. 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示) (1)求点C ′到平面AB ′C 的距离；(2)求二面角B －B ′C —A 的余弦值.
- 5 -
知识点： 二面角的求法
一、思想方法
求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角. 如图2。
方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）.
方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S' ，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scosθ或cos θ=S .
/
S
方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直. 若AC=m，
2222
BD=n, CD=d，则有AB =m+n+d-2mncos θ，故cos θ=m +n +d -AB （1）
2
2
2
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2mn
在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况公式是2222
AB =m+n+d±2mncos θ. 但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）.
方法六（空间向量法）如图5，设n 1, n 2, 是二面角α-l -β的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，．
n 1⋅n 2。 α-l -β另一个指向外侧，则二面角的平面角=αarccos ．
|n 1||n 2|
二、例题：
例1．在棱长为1的正方体AC 1中，（1）求二面角A -B 1D 1-C 的大小；
（2）求平面C 1BD 与底面ABCD 所成二面角C 1-BD -C
例2．如果二面角α-l -β的平面角是锐角，点P 到α, β
, l 的距离分别为面法）。
例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
- 1 -
例4．矩形ABCD 的两边AB=1
，
例5．正三棱柱ABC -A Ｐ是侧棱AA 1上任意一点．当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C -B 1P -C 1
1B 1C 1的所有棱长均为２，的大小．
图12
例6．如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -
D
BD 为棱折成二面角，使
. 求二面角A-BD-C 的大小.
例7．如图，在空间四边形ABCD 中，∆BCD 是正三角形，∆ABD 是等腰直角三角形，且∠BAD =90，又二面角A -BD -C 为直二面角，求二面角A -CD -B
A
B
- 2 -
H
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C
F
三、课堂练习题
1. 如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1所成二面角的正切值等于（ C）
2. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点．
AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：90° （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．60°
3. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD =8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ；
③求二面角B －AC －D 的正切值．tg ∠BFD =BD =4
BF
3
4. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且∠DBC =120°，求
(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
D
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AB =BC =BD ，∠ABC =
A
B
C
90°．π－arctg2．
5. 正方形ABCD 中，以对角线BD 为折线，把ΔABD 折起，使二面角A ˊ-BD-C 为60°，求二面角B-A ˊC-D 的余弦值。-
6. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
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课后练习：
1. 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90，AB=BB1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。
二面角B-B 1C-A 的正弦值为
。 3
2. 已知菱形ABCD 边长为a ，且其一条对角线BD ＝a ，沿对角线BD 将∆折起与∆B C D 所在平面成直二面角，A B D 点E 、F 分别是BC 、CD 的中点。
(1)求AC 与平面AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角A －EF －B 的正切值。
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3. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，∠ABC=90，AB=a,AD=3a,sin∠ADC=角P-CD-A 的大小。（答案：arctg
5
, 又PA ⊥平面ABCD ，PA=a，求二面5
）
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4. 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示) (1)求点C ′到平面AB ′C 的距离；(2)求二面角B －B ′C —A 的余弦值.
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