几何精练
折叠问题的处理技巧
考点动向
折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．
方法范例
例１（2005·湖南）如图７－１，已知A B C D 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角． （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；
（Ⅱ）求二面角O -AC -O 1的大小．
O 1
B
A
解析 本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．
解法１ （I ）证明： 由题设知O A ⊥O O 1，
OB ⊥OO 1．所以∠A O B 是所折成的直二面
角的平面角，即O A ⊥O B ． 故可以O 为原点，
O A , O B , O O 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关
各点的坐标是A
(3,0, 0) ，B
(0,3, 0) ，C ，O 1
(0,0, ．从而AC =(-，
BO 1=(0,-，AC ⋅BO 1=-3+
（II
）解：因为BO 1⋅OC =-3+
=0．所以AC ⊥BO 1．
=0，所以O C ⊥BO 1，由（I ）AC ⊥BO 1，
所以BO 1⊥平面O AC ，BO 1是平面O AC 的一个法向量．设n =(x , y , z ) 是平面O 1A C 的
⎧⎧-3x +y +n ⋅AC =0⎪一个法向量，由⎪⇒ ⎨ ⎨n ⋅O C =0⎪⎪⎩y =0. ⎩1
=0,
取z =n =(1, 0, 3) ． 设二面角
O -AC -O 1的大小为θ，由n 、BO 1的方向可知θ=，
n BO 1=所以
cos θ=cos = ．即二面角O -A C -
4|n ||BO 1|
a r c c ．
4
1
O 的大小
是
解法２（I ）证明： 由题设知O A ⊥O O ，1
OB ⊥OO 1，所以∠A O B 是所折成的直二面角的平面
角，即O A ⊥O B ． 从而A O ⊥平面O B C O 1，O C 是
A C
在面O O B O O 1
B
1
C 内O 的射影．因
为
t
a ∠O n O 1B =
=
，tan 3∠O 1O C =
O 1C O O 1
=
3
，所以∠O O 1B =
π
3
，∠O 1O C =
π
6
，
从而O C ⊥BO 1，由三垂线定理得AC ⊥BO 1．
（II ）解 由（I ）OC ⊥BO 1，AC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面O AC ．设O C O 1B =E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图７－３），则E F 是O 1F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC ．所以∠O 1FE 是二面角O -AC -
O 1的平面角．由题设知OA =3, OO 1=AC =
O 1C =1
，所
以
O 1A ⋅O 1C
AC
O 1A ==
，
=
，从而O 1F =
=
23，
又O 1E =O O 1sin
π
6
=
2
，
所以sin ∠O 1FE =
O 1E O 1F
=
4
， 即二面角O -AC -O 1的大
小是arcsin
4
．
[规律小结]
折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．
考点误区分析
解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．
同步训练
１．（2005·浙江）设M , N 是直角梯形
A B C D 两腰的中点，D E ⊥AB 于E （如图７
－４）．现将△AD E 沿D E 折起，使二面角此时点A 在平面B C D E 内A -D E -B 为45︒，
的射影恰为点B ，则M , N 的连线与A E 所成角的大小等于_________．
２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形A B C D 中，A B =2C D =2，∠D A B =60︒，E 为A B 的中点，将△A D E 与△B E C 分别沿ED , EC 向上折起，使A , B 重合于点P ，则P -D C E 三棱锥的外接球的体积为（ ）．
43π27
6π2
6π8
6π24
图７－５
A 图７－４
B
(A ) (B ) (C ) (D )
３．（2006·江苏） 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图７－５）．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P ．
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）
［参考答案］
１．［解析］如图７－６，可知∠BEA 为二面角
D
C
M
E
P
A
图７－６
N
A
E
E
A 1
F
B
F
P
C
B
P
C
图７－５
A -D E -B 的平面角，于是∠B E A =45︒，又可知A B ⊥B E ，则取A E 中点P ，有M P ∥N B ，等腰直
角三角形A B E 中，有AE ⊥BP ，则A E ⊥M N ．
［答案］90︒．
２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的
B
外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方
体的棱长为
2
，则球半径为
4
．
［答案］(C ) ． ３．［答案］（Ⅱ）
π
3
；（Ⅲ）π-arccos
78
．
几何精练
折叠问题的处理技巧
考点动向
折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．
方法范例
例１（2005·湖南）如图７－１，已知A B C D 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角． （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；
（Ⅱ）求二面角O -AC -O 1的大小．
O 1
B
A
解析 本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．
解法１ （I ）证明： 由题设知O A ⊥O O 1，
OB ⊥OO 1．所以∠A O B 是所折成的直二面
角的平面角，即O A ⊥O B ． 故可以O 为原点，
O A , O B , O O 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关
各点的坐标是A
(3,0, 0) ，B
(0,3, 0) ，C ，O 1
(0,0, ．从而AC =(-，
BO 1=(0,-，AC ⋅BO 1=-3+
（II
）解：因为BO 1⋅OC =-3+
=0．所以AC ⊥BO 1．
=0，所以O C ⊥BO 1，由（I ）AC ⊥BO 1，
所以BO 1⊥平面O AC ，BO 1是平面O AC 的一个法向量．设n =(x , y , z ) 是平面O 1A C 的
⎧⎧-3x +y +n ⋅AC =0⎪一个法向量，由⎪⇒ ⎨ ⎨n ⋅O C =0⎪⎪⎩y =0. ⎩1
=0,
取z =n =(1, 0, 3) ． 设二面角
O -AC -O 1的大小为θ，由n 、BO 1的方向可知θ=，
n BO 1=所以
cos θ=cos = ．即二面角O -A C -
4|n ||BO 1|
a r c c ．
4
1
O 的大小
是
解法２（I ）证明： 由题设知O A ⊥O O ，1
OB ⊥OO 1，所以∠A O B 是所折成的直二面角的平面
角，即O A ⊥O B ． 从而A O ⊥平面O B C O 1，O C 是
A C
在面O O B O O 1
B
1
C 内O 的射影．因
为
t
a ∠O n O 1B =
=
，tan 3∠O 1O C =
O 1C O O 1
=
3
，所以∠O O 1B =
π
3
，∠O 1O C =
π
6
，
从而O C ⊥BO 1，由三垂线定理得AC ⊥BO 1．
（II ）解 由（I ）OC ⊥BO 1，AC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面O AC ．设O C O 1B =E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图７－３），则E F 是O 1F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC ．所以∠O 1FE 是二面角O -AC -
O 1的平面角．由题设知OA =3, OO 1=AC =
O 1C =1
，所
以
O 1A ⋅O 1C
AC
O 1A ==
，
=
，从而O 1F =
=
23，
又O 1E =O O 1sin
π
6
=
2
，
所以sin ∠O 1FE =
O 1E O 1F
=
4
， 即二面角O -AC -O 1的大
小是arcsin
4
．
[规律小结]
折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．
考点误区分析
解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．
同步训练
１．（2005·浙江）设M , N 是直角梯形
A B C D 两腰的中点，D E ⊥AB 于E （如图７
－４）．现将△AD E 沿D E 折起，使二面角此时点A 在平面B C D E 内A -D E -B 为45︒，
的射影恰为点B ，则M , N 的连线与A E 所成角的大小等于_________．
２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形A B C D 中，A B =2C D =2，∠D A B =60︒，E 为A B 的中点，将△A D E 与△B E C 分别沿ED , EC 向上折起，使A , B 重合于点P ，则P -D C E 三棱锥的外接球的体积为（ ）．
43π27
6π2
6π8
6π24
图７－５
A 图７－４
B
(A ) (B ) (C ) (D )
３．（2006·江苏） 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图７－５）．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P ．
（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）
［参考答案］
１．［解析］如图７－６，可知∠BEA 为二面角
D
C
M
E
P
A
图７－６
N
A
E
E
A 1
F
B
F
P
C
B
P
C
图７－５
A -D E -B 的平面角，于是∠B E A =45︒，又可知A B ⊥B E ，则取A E 中点P ，有M P ∥N B ，等腰直
角三角形A B E 中，有AE ⊥BP ，则A E ⊥M N ．
［答案］90︒．
２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的
B
外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方
体的棱长为
2
，则球半径为
4
．
［答案］(C ) ． ３．［答案］（Ⅱ）
π
3
；（Ⅲ）π-arccos
78
．