立体几何课本定理和结论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 ．．．．．．．．．．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 上述三个公理的符号和图形表示如下
公理3的三个推论
推论 l
经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行
等角定理（46页）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
面面平行的判定（57页）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ．．．．
a ⊂β, b ⊂β⎫
⎪
a ⋂b =P ⎬⇒β//α 图形表示： 符号语言：
a //α, b //α⎪⎭
线面平行的性质定理（59页）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
⎫⎪
⎬⇒a //b 图形表示： 符号语言：
α⋂β=b ⎪⎭
a //αa ⊂β
面面平行的性质定理（60页）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α//β⎫
⎪
α⋂γ=a ⎬⇒a //b
符号语言： 图形表示：
⎪β⋂γ=b ⎭
线面垂直的判定定理（65页）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂．．．．直
m ⊂α, n ⊂α⎫⎪
m ⋂n =P ⎬⇒a ⊥α
符号语言： 图形表示：
⎪a ⊥m , a ⊥n ⎭
重要结论（65页例1）：a //b , a
⊥α⇒b ⊥α
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
符号语言：a ⊥α, a ⊂β⇒β⊥α
线面垂直的性质定理（70页）垂直于同一个平面的两个直线平行 面面垂直的性质定理（71页）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（做
垂线的方法）
符号语言：α⊥β, α⋂β=b , a ⊂α, a ⊥b ⇒a ⊥β 三垂线定理及其逆定理： ．．．．．．．．．．．
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（简称为线垂影⇒线垂斜）
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（简称为线垂斜⇒线垂影
本章结构（76页）
位置关系证明方法总结
1、证明线线平行的方法
（1）直线平行的传递性：____________________________________ （3）线面垂直的性质：_________________________________________ 2、证明线面平行的方法
（2）线面平行的性质定理：___________________________________
（4）面面平行的性质定理：_________________________________________
（1）定义：_________________________________________
（2）线面平行的判定定理：_________________________________________ 3、证明面面平行的方法：
（3）面面平行的性质：_________________________________________
（1）定义：_________________________________________
（2）面面平行的判定定理：_________________________________________
（3）面面平行的传递性：_________________________________________ 4、证明线线垂直的方法：
（2）三垂线定理及其逆定理_________________________________________ 5、证明线面垂直的方法：
（2）a ∥b ，a ⊥α⇒ ____________ ； （3）α∥β，a ⊥α⇒___________
（4）线面垂直的性质：_________________________________________
（1）线面垂直的定义：_________________________________________
（1）线面垂直的判定定理：_______________________________________
（4）面面垂直的性质定理：_________________________________________ 6、证明面面垂直的方法：
（1）定义：_________________________________________
（2）面面垂直的判定定理：_________________________________________ （3）α∥β，β⊥γ⇒ _________
位置关系的一些例题
【位置关系的选择题】
1、已知m , n 是两条不同直线，α, β, γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n
B ．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖β
C ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β
2、已知m 、n 为两条不同的直线，
A C
D ．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
B
D
3、用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
，
【线面平行的判定】
PA ⊥平面ABCD ，A =A B AB ⊥AC ，4、如图，在底面为平行四边表的四棱锥P -ABCD 中，且P
点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）求证：PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E -AC -B 的大小.
5、模拟一22题
【垂直的判定及性质】
6、如图1，在正四棱柱 ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别是的是（ ） AB 1、B C 1的中点，则以下结论中不成立．．．
A ．EF 与BB 1垂直 B . EF 与BD 垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 与A 1C 1异面
7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。 (1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
图
1
点评：证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化． 证明线线垂直的常用方法有：
（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．
（2）三垂线定理及其逆定理
（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线． 8、如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面A B C D ，
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的 中点．
（Ⅰ）证明CD ⊥AE ；
（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；
（Ⅲ）求二面角A -PD -C 的大小．
A B
D
9、课本69页练习 10、课本74页B 组4 11、课本79页B 组2
空间角的作法
一、异面直线所成的角
1、定义（46页）：已知两条异面直线a , b 过空间任一点O 分别引两异面直线的
_____________，则此两相交直线所成的__________叫异面直线所成的角，其范围为θ∈_____________。
2、方法：求异面直线所成的角关键是将空间角转化为平面角，难点在于选择恰当的点作一条
或两条异面直线的平行线，选取点的原则是这个点往往是几何体的特殊点，如顶点、中点、交．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
点或线段成比例的点。遇到中点时，常常练习三角形的中位线。 ．．．．．．．．．
例1 （1）如图在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中， E 、F 、G 、H 分别是AA 1. AB . BB 1. BC 11的中点， 则异面直线EF 与GH 所成的角等于________
(2) 如图，正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，
AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所
成角的余弦值为_______
二、线面角
AB =BC 例2如图，在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，
AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D
1所成的角的正弦值为______
例3如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1
所成的角是 .
D ，PA ⊥底面A B C D 例4如图，在四棱锥P -A B C 中，
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，
B 1
B
∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A -PD -C 的大小．
A D
三、面面角
例4如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. （1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.
空间距离
例5如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。
B
E
立体几何课本定理和结论
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 ．．．．．．．．．．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 上述三个公理的符号和图形表示如下
公理3的三个推论
推论 l
经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行
等角定理（46页）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
面面平行的判定（57页）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ．．．．
a ⊂β, b ⊂β⎫
⎪
a ⋂b =P ⎬⇒β//α 图形表示： 符号语言：
a //α, b //α⎪⎭
线面平行的性质定理（59页）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
⎫⎪
⎬⇒a //b 图形表示： 符号语言：
α⋂β=b ⎪⎭
a //αa ⊂β
面面平行的性质定理（60页）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α//β⎫
⎪
α⋂γ=a ⎬⇒a //b
符号语言： 图形表示：
⎪β⋂γ=b ⎭
线面垂直的判定定理（65页）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂．．．．直
m ⊂α, n ⊂α⎫⎪
m ⋂n =P ⎬⇒a ⊥α
符号语言： 图形表示：
⎪a ⊥m , a ⊥n ⎭
重要结论（65页例1）：a //b , a
⊥α⇒b ⊥α
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
符号语言：a ⊥α, a ⊂β⇒β⊥α
线面垂直的性质定理（70页）垂直于同一个平面的两个直线平行 面面垂直的性质定理（71页）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（做
垂线的方法）
符号语言：α⊥β, α⋂β=b , a ⊂α, a ⊥b ⇒a ⊥β 三垂线定理及其逆定理： ．．．．．．．．．．．
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（简称为线垂影⇒线垂斜）
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（简称为线垂斜⇒线垂影
本章结构（76页）
位置关系证明方法总结
1、证明线线平行的方法
（1）直线平行的传递性：____________________________________ （3）线面垂直的性质：_________________________________________ 2、证明线面平行的方法
（2）线面平行的性质定理：___________________________________
（4）面面平行的性质定理：_________________________________________
（1）定义：_________________________________________
（2）线面平行的判定定理：_________________________________________ 3、证明面面平行的方法：
（3）面面平行的性质：_________________________________________
（1）定义：_________________________________________
（2）面面平行的判定定理：_________________________________________
（3）面面平行的传递性：_________________________________________ 4、证明线线垂直的方法：
（2）三垂线定理及其逆定理_________________________________________ 5、证明线面垂直的方法：
（2）a ∥b ，a ⊥α⇒ ____________ ； （3）α∥β，a ⊥α⇒___________
（4）线面垂直的性质：_________________________________________
（1）线面垂直的定义：_________________________________________
（1）线面垂直的判定定理：_______________________________________
（4）面面垂直的性质定理：_________________________________________ 6、证明面面垂直的方法：
（1）定义：_________________________________________
（2）面面垂直的判定定理：_________________________________________ （3）α∥β，β⊥γ⇒ _________
位置关系的一些例题
【位置关系的选择题】
1、已知m , n 是两条不同直线，α, β, γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n
B ．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖β
C ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β
2、已知m 、n 为两条不同的直线，
A C
D ．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
B
D
3、用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
，
【线面平行的判定】
PA ⊥平面ABCD ，A =A B AB ⊥AC ，4、如图，在底面为平行四边表的四棱锥P -ABCD 中，且P
点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）求证：PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E -AC -B 的大小.
5、模拟一22题
【垂直的判定及性质】
6、如图1，在正四棱柱 ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别是的是（ ） AB 1、B C 1的中点，则以下结论中不成立．．．
A ．EF 与BB 1垂直 B . EF 与BD 垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 与A 1C 1异面
7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。 (1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
图
1
点评：证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化． 证明线线垂直的常用方法有：
（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．
（2）三垂线定理及其逆定理
（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线． 8、如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面A B C D ，
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的 中点．
（Ⅰ）证明CD ⊥AE ；
（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；
（Ⅲ）求二面角A -PD -C 的大小．
A B
D
9、课本69页练习 10、课本74页B 组4 11、课本79页B 组2
空间角的作法
一、异面直线所成的角
1、定义（46页）：已知两条异面直线a , b 过空间任一点O 分别引两异面直线的
_____________，则此两相交直线所成的__________叫异面直线所成的角，其范围为θ∈_____________。
2、方法：求异面直线所成的角关键是将空间角转化为平面角，难点在于选择恰当的点作一条
或两条异面直线的平行线，选取点的原则是这个点往往是几何体的特殊点，如顶点、中点、交．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
点或线段成比例的点。遇到中点时，常常练习三角形的中位线。 ．．．．．．．．．
例1 （1）如图在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中， E 、F 、G 、H 分别是AA 1. AB . BB 1. BC 11的中点， 则异面直线EF 与GH 所成的角等于________
(2) 如图，正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，
AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所
成角的余弦值为_______
二、线面角
AB =BC 例2如图，在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，
AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D
1所成的角的正弦值为______
例3如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1
所成的角是 .
D ，PA ⊥底面A B C D 例4如图，在四棱锥P -A B C 中，
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，
B 1
B
∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A -PD -C 的大小．
A D
三、面面角
例4如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. （1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小.
空间距离
例5如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。
B
E