【基础知识导引】
1．什么叫算术平均数？什么叫几何平均数？
2．均值定理的内容是什么？运用均值定理不定式要注意哪些条件？
3．均值定理有哪些应用？
【重点难点解析】
1．本节利用不定式的性质，推导出两个基本而又重要的不等式：如果a、
，那么
（当且仅当a=b时取“=”号）；如果a、b是正数，那么
（当且仅当a=b时取“=”号）。这里，我们称
为a、b的算术平均数，称
为a、b的几何平均数，因而后者可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称均值定理。
2．均值定理是本节的重点，在学习时要注意以下几点：
（1）a、b的范围，
与
成立的条件是不同的，前者只要求a，
，而后者只有当a，
时，
，
，由
不难推导。
（2）结论的形式，
；
，（a，
），这是两个重要的基本不等式，常见的形式还有：
①
；
②若a，
，
；
③若a，
，
；
④若a，
，
；
⑤若
，
，
。
解题中不仅要记住原来的形式，还要逐步熟练掌握其他几种常见形式及成立条件，这也是学习数学概念应下的功夫，只有这样，才能透彻理解数学公式所表示的若干量之间的本质联系，而不能只满足对某个固定形式的简单识记。
（3）等号取到的条件，括号中所说的“仅当a=b时取‘=’是指：一方面当a=b时取“=”号，另一方面当取“=”号时，必有a=b。
（4）均值定理中的a、b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，正因如此，它的应用十分广泛，今后我们遇到不少问题，将可以根据条件，转化为可以利用均值不等式的形式使问题得到解决。
几何平均数，平方平均数，调和平均数，算术平均数之间的大小关系：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
3．教材
例1的结论常用来求函数的最值，在运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”时，必须满足条件“一正二定三相等”：“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到。
一正二定三相等是指在用不等式 A+B≥2√AB 证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求．
一正信息：A、B 都必须是正数．
二定信息：
1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；
2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．
三等信息
当且仅当A、B相等时，等式成立；即
① A=B ? A+B=2√AB；
② A≠B ? A+B>2√AB．
4．由
（a>0，b>0）可以推广到三个正数的情形（大纲中只要求掌握两个正数的情形），事实上如果a、b、c为正数，那么
，当且仅当a=b=c时上式取“=”号（证明见课本阅读材料），而且可以进一步引申出定理：一般地，对于n个正数
，我们把
，
分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数，这时有
，当且仅当
时等号成立，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，阅读课本有关的阅读材料，可以拓宽我们的知识面。
【难题巧解点拨】
例1 a、b、
，求证：
解 ∵
，
，
以上三式相加得
而
，
，
以上三式也相加得
∴
当且仅当a=b=c时等号成立。
点评 多次用到均值不等式，但等号成立的条件必须是相同的。
例2 下列四个命题：①函数
的最小值为2；
②函数
，
的最小值为
；
③函数
的最小值为2；
④若a>2，则
的最小值为4。
其中正确的命题题号为________________________________。
分析 四个命题的形式都是
的形式，可考虑运用均值不等式。
解 对于命题①，函数
中由于x≠0，不满足均值不等式中“一正二定三相等”中“一正”之条件，故不正确，其正确范围为y≥2或y≤－2。
对于命题②，若
，则当且仅当
时等号成立，不满足“三相等”之条件，故不正确，若要求y的最值，可令
，考察
在
的单调性（减函数），
。
对于命题③，
，要等号成立，当且仅当
，x无解，也不满足“相等”之条件，故不正确，若求y的最值，可令
，考察
在
的单调性（增函数）
。
对于命题④，通过变形，
，当且仅当a－2=1即a=3时等号成立，故命题正确。
点评 通过本题，可以看到在运用均值不等式求函数最值时，一定要注意使用条件“一正二定三相等”，对于某些在“形式”上不满足的可以通过适当的“配凑”来实现“定值”，从而运用均值不等式（命题④）；对于某些虽在“形式”上满足，但等号不能成立的可通过函数的单调性来加以解决。
例3 设a，b，
，求证：
分析 本题的难点在于寻找
与a+b之间的关系，因此，不难联想
，运用此公式，问题就不难解决。
解：∵
，
，
∴
，则
，（当且仅当a=b时，等号成立）
同理：
，
，三式相加得：
（当且仅当a=b=c时等号成立）
点评 在证明不等式时，要善于分析不等式两边的结构特征，发挥联想，另外，公式
在解题中经常用到。
例4 若
，且
，求
的最大值。
分析 由于是求积的最大值，可考虑运用均值不等式。
解
。
当且仅当
即
时式中等号成立。
故
的最大值为
。
点评 通常情况下，若所求最值的表达式是（函数）式“和”或“积”的形式，应优先考虑运用均值不等式来解决，在应用过程中还应注意适当的配凑，使之相应的“积”或“和”为定值，本题也可以先消元（消
），转化为关于
的二次函数来求解。
例5 已知函数x，y满足x+2y=1，求
的最小值。
分析 考虑到x+2y=1，可联想三角换元或“1”的代换。
解法一 令
，
，
∴
∴
的最小值为
。
解法二
。
点评 本题的常见错误如下：
∵x+2y=1，
∴
，…………①
∴
，
又
………………②
………………③
错误原因：①式中等号成立的条件是x=2y；②式中等号成立的条件是x=y，故③中的等号不能成立。
变题：已知
求x+2y的最小值。
引申：已知
（x，y，a，
，且a≠b），求x+y的最小值。
【拓展延伸探究】
例1 求函数
的最小值。
分析 本题从形式上分析是求一个分式函数的定义域，通法是运用判别式法，但考虑到x>－1这一条件，判别法不能解决，但仍可以运用方程理论（根的分布）解决，但比较繁琐，注意到x+1>0，若令t=x+1，不难化得
，下面用均值不等式即可解决。
解 令t=x+1，则x=t－1
当且仅当
，即t=2，亦即x=1时，取等号。
故
的最小值为9。
点评 求解有条件限制的某些分式不等式（分子、分母分别为一、二次函数）最值时，常常可用均值不等式解决，1998年全国高考理（22）题求“流出水中杂质最小”便是一例。
例2 甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析 本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。
解 （1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
，全程运输成本为
∴所求函数及其定义域为
，
（2）依题意知，s，a，b，v均为正数，
∴
①
当且仅当
则
时，①中等号成立。
若
，则当
时有
；
若
，则
时有
∵c－v≥0且
，
∴
，
∴
。
当且仅当v=c时，有
。
综上可知：为使全程运输成本最低，
当
时
，
当
时v=c
点评 在本题解答过程中，许多考生只考虑到
一种情况，原因在于对均值不等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如
形式的函数的性质要熟悉，有利我们在求最值时的应用（具体见学法总结）。
例3 观察下列不等式
（1）若a，
，则
（当且仅当a=b时等号成立）
（2）若a，b，
，则
（当且仅当a=b=c等号成立）
（3）若a，b，c，
，则
（当且仅当a=b=c=d等号成立）
根据以上结论，推广出更一般的不等式，只要写出结论，不要证明，用文字语言叙述。
分析 观察（1），（2），（3）的规律，不难得出推广结论。
解 更一般的结论为：
若
，则
，
当且仅当
时，等号成立。
文字叙述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
点评 本题的编制背景为课本P24的阅读材料，目的在于引导同学要重视课本的阅读材料和实习作业，主动参与到研究性学习中去。
对于均值不等式大纲和《考试说明》都作了明确的阐述：“掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单运用”，但对于三个正数的均值不等式也应有所了解，下面举例加以说明。
（1）若a，b，
，且a+b+c=1，求证：
。
证明：由
及
得
，即
变题1，求证
。
（提示：（a+b）+（b+c）+（c+a）=2）
变题2，求证：
（提示：
）
（2）求
的最小值。
解：
，当且仅当
即
时等号成立。
【命题趋势分析】
1．均值不等式“
”中的a，b既可以表示具体数字，也可能是比较复杂的代数式，因此，记忆公式时，不必死记，要理解其实质即表示了两个量之间的本质关系，不能只记住其固定形式，善于（敢于）对公式变形并运用。如，由
不难得到“
”这一常用结论，若a，b，
，用
分别替代公式中的a，b，c，可得到结论
，我们还可以推出
，
。
若a+b+c=1可得出：
，
等等，对这些结论适当加以记忆，有助于提高解题能力。
2．关于函数
（a，b为常数，x≠0），它是我们在利用均值不等式求最值时常用到的函数，具体性质如下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
渐进线
图像
x≠0
奇函数
在
和
为增函数，在
和
为减函数
y=ax
3．均值不等式的适用条件为“一正二定三相等”，尤其要注意等号成立的条件，解决形如
的函数最值时，若不能运用均值不等式，可利用其单调性求最值。
4．连续两次使用均值不等式求最值或证明时，应注意两次“能等”的条件必须一致，否则不可使用。
http://ziyuan.wmw.cn/BD/beida/FileLibrary/directions/g2v5sxb450aa02/g2v5sxb450aa02.htm
【基础知识导引】
1．什么叫算术平均数？什么叫几何平均数？
2．均值定理的内容是什么？运用均值定理不定式要注意哪些条件？
3．均值定理有哪些应用？
【重点难点解析】
1．本节利用不定式的性质，推导出两个基本而又重要的不等式：如果a、
，那么
（当且仅当a=b时取“=”号）；如果a、b是正数，那么
（当且仅当a=b时取“=”号）。这里，我们称
为a、b的算术平均数，称
为a、b的几何平均数，因而后者可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称均值定理。
2．均值定理是本节的重点，在学习时要注意以下几点：
（1）a、b的范围，
与
成立的条件是不同的，前者只要求a，
，而后者只有当a，
时，
，
，由
不难推导。
（2）结论的形式，
；
，（a，
），这是两个重要的基本不等式，常见的形式还有：
①
；
②若a，
，
；
③若a，
，
；
④若a，
，
；
⑤若
，
，
。
解题中不仅要记住原来的形式，还要逐步熟练掌握其他几种常见形式及成立条件，这也是学习数学概念应下的功夫，只有这样，才能透彻理解数学公式所表示的若干量之间的本质联系，而不能只满足对某个固定形式的简单识记。
（3）等号取到的条件，括号中所说的“仅当a=b时取‘=’是指：一方面当a=b时取“=”号，另一方面当取“=”号时，必有a=b。
（4）均值定理中的a、b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，正因如此，它的应用十分广泛，今后我们遇到不少问题，将可以根据条件，转化为可以利用均值不等式的形式使问题得到解决。
几何平均数，平方平均数，调和平均数，算术平均数之间的大小关系：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
3．教材
例1的结论常用来求函数的最值，在运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”时，必须满足条件“一正二定三相等”：“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到。
一正二定三相等是指在用不等式 A+B≥2√AB 证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求．
一正信息：A、B 都必须是正数．
二定信息：
1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；
2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．
三等信息
当且仅当A、B相等时，等式成立；即
① A=B ? A+B=2√AB；
② A≠B ? A+B>2√AB．
4．由
（a>0，b>0）可以推广到三个正数的情形（大纲中只要求掌握两个正数的情形），事实上如果a、b、c为正数，那么
，当且仅当a=b=c时上式取“=”号（证明见课本阅读材料），而且可以进一步引申出定理：一般地，对于n个正数
，我们把
，
分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数，这时有
，当且仅当
时等号成立，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，阅读课本有关的阅读材料，可以拓宽我们的知识面。
【难题巧解点拨】
例1 a、b、
，求证：
解 ∵
，
，
以上三式相加得
而
，
，
以上三式也相加得
∴
当且仅当a=b=c时等号成立。
点评 多次用到均值不等式，但等号成立的条件必须是相同的。
例2 下列四个命题：①函数
的最小值为2；
②函数
，
的最小值为
；
③函数
的最小值为2；
④若a>2，则
的最小值为4。
其中正确的命题题号为________________________________。
分析 四个命题的形式都是
的形式，可考虑运用均值不等式。
解 对于命题①，函数
中由于x≠0，不满足均值不等式中“一正二定三相等”中“一正”之条件，故不正确，其正确范围为y≥2或y≤－2。
对于命题②，若
，则当且仅当
时等号成立，不满足“三相等”之条件，故不正确，若要求y的最值，可令
，考察
在
的单调性（减函数），
。
对于命题③，
，要等号成立，当且仅当
，x无解，也不满足“相等”之条件，故不正确，若求y的最值，可令
，考察
在
的单调性（增函数）
。
对于命题④，通过变形，
，当且仅当a－2=1即a=3时等号成立，故命题正确。
点评 通过本题，可以看到在运用均值不等式求函数最值时，一定要注意使用条件“一正二定三相等”，对于某些在“形式”上不满足的可以通过适当的“配凑”来实现“定值”，从而运用均值不等式（命题④）；对于某些虽在“形式”上满足，但等号不能成立的可通过函数的单调性来加以解决。
例3 设a，b，
，求证：
分析 本题的难点在于寻找
与a+b之间的关系，因此，不难联想
，运用此公式，问题就不难解决。
解：∵
，
，
∴
，则
，（当且仅当a=b时，等号成立）
同理：
，
，三式相加得：
（当且仅当a=b=c时等号成立）
点评 在证明不等式时，要善于分析不等式两边的结构特征，发挥联想，另外，公式
在解题中经常用到。
例4 若
，且
，求
的最大值。
分析 由于是求积的最大值，可考虑运用均值不等式。
解
。
当且仅当
即
时式中等号成立。
故
的最大值为
。
点评 通常情况下，若所求最值的表达式是（函数）式“和”或“积”的形式，应优先考虑运用均值不等式来解决，在应用过程中还应注意适当的配凑，使之相应的“积”或“和”为定值，本题也可以先消元（消
），转化为关于
的二次函数来求解。
例5 已知函数x，y满足x+2y=1，求
的最小值。
分析 考虑到x+2y=1，可联想三角换元或“1”的代换。
解法一 令
，
，
∴
∴
的最小值为
。
解法二
。
点评 本题的常见错误如下：
∵x+2y=1，
∴
，…………①
∴
，
又
………………②
………………③
错误原因：①式中等号成立的条件是x=2y；②式中等号成立的条件是x=y，故③中的等号不能成立。
变题：已知
求x+2y的最小值。
引申：已知
（x，y，a，
，且a≠b），求x+y的最小值。
【拓展延伸探究】
例1 求函数
的最小值。
分析 本题从形式上分析是求一个分式函数的定义域，通法是运用判别式法，但考虑到x>－1这一条件，判别法不能解决，但仍可以运用方程理论（根的分布）解决，但比较繁琐，注意到x+1>0，若令t=x+1，不难化得
，下面用均值不等式即可解决。
解 令t=x+1，则x=t－1
当且仅当
，即t=2，亦即x=1时，取等号。
故
的最小值为9。
点评 求解有条件限制的某些分式不等式（分子、分母分别为一、二次函数）最值时，常常可用均值不等式解决，1998年全国高考理（22）题求“流出水中杂质最小”便是一例。
例2 甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析 本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。
解 （1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
，全程运输成本为
∴所求函数及其定义域为
，
（2）依题意知，s，a，b，v均为正数，
∴
①
当且仅当
则
时，①中等号成立。
若
，则当
时有
；
若
，则
时有
∵c－v≥0且
，
∴
，
∴
。
当且仅当v=c时，有
。
综上可知：为使全程运输成本最低，
当
时
，
当
时v=c
点评 在本题解答过程中，许多考生只考虑到
一种情况，原因在于对均值不等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如
形式的函数的性质要熟悉，有利我们在求最值时的应用（具体见学法总结）。
例3 观察下列不等式
（1）若a，
，则
（当且仅当a=b时等号成立）
（2）若a，b，
，则
（当且仅当a=b=c等号成立）
（3）若a，b，c，
，则
（当且仅当a=b=c=d等号成立）
根据以上结论，推广出更一般的不等式，只要写出结论，不要证明，用文字语言叙述。
分析 观察（1），（2），（3）的规律，不难得出推广结论。
解 更一般的结论为：
若
，则
，
当且仅当
时，等号成立。
文字叙述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
点评 本题的编制背景为课本P24的阅读材料，目的在于引导同学要重视课本的阅读材料和实习作业，主动参与到研究性学习中去。
对于均值不等式大纲和《考试说明》都作了明确的阐述：“掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单运用”，但对于三个正数的均值不等式也应有所了解，下面举例加以说明。
（1）若a，b，
，且a+b+c=1，求证：
。
证明：由
及
得
，即
变题1，求证
。
（提示：（a+b）+（b+c）+（c+a）=2）
变题2，求证：
（提示：
）
（2）求
的最小值。
解：
，当且仅当
即
时等号成立。
【命题趋势分析】
1．均值不等式“
”中的a，b既可以表示具体数字，也可能是比较复杂的代数式，因此，记忆公式时，不必死记，要理解其实质即表示了两个量之间的本质关系，不能只记住其固定形式，善于（敢于）对公式变形并运用。如，由
不难得到“
”这一常用结论，若a，b，
，用
分别替代公式中的a，b，c，可得到结论
，我们还可以推出
，
。
若a+b+c=1可得出：
，
等等，对这些结论适当加以记忆，有助于提高解题能力。
2．关于函数
（a，b为常数，x≠0），它是我们在利用均值不等式求最值时常用到的函数，具体性质如下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
渐进线
图像
x≠0
奇函数
在
和
为增函数，在
和
为减函数
y=ax
3．均值不等式的适用条件为“一正二定三相等”，尤其要注意等号成立的条件，解决形如
的函数最值时，若不能运用均值不等式，可利用其单调性求最值。
4．连续两次使用均值不等式求最值或证明时，应注意两次“能等”的条件必须一致，否则不可使用。
http://ziyuan.wmw.cn/BD/beida/FileLibrary/directions/g2v5sxb450aa02/g2v5sxb450aa02.htm