二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法

二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法

二重极限由于其变量趋近某一点时方式（即轨迹）的任意性，给二重极限的计算和极限存在的判定造成了很大的困难。我曾经看到过几篇关于用二次累极限来研究二重极限的文章，都觉得不尽理想。下面介绍我的方法，虽然高等数学教材（同济六版）和考研都没有对此作出要求，但也是很容易掌握的。

先来重温一下二重极限的定义。设二元函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 某个邻域内有定义，若对于任意的ε>0，都存在常数δ>0使得当

22f (x , y ) =A 。有f (x , y )-A

注意到0

⎧y -y 0=k (x -x 0), ⎨⎩k ∈(-∞, +∞).

这时有

⎧z =f (x , y ), ， ⎨⎩y -y 0=k (x -x 0)

消去y （消去变量y 也类似），得二元函数z =ϕ(x , k ) ，计算得到一元

lim ϕ(x , k ) （这是一个一重极限）函数μ(k ) =x ，则原二重极限存在的充→x 0

分必要条件是函数μ(k ) 是常函数，此时这个函数就等于原二重极限。这就是二重极限转化为一重极限的计算方法和二重极限存在的判定方法。

二重极限转化为一重极限的方法及存在判定法

二重极限由于其变量趋近某一点时方式（即轨迹）的任意性，给二重极限的计算和极限存在的判定造成了很大的困难。我曾经看到过几篇关于用二次累极限来研究二重极限的文章，都觉得不尽理想。下面介绍我的方法，虽然高等数学教材（同济六版）和考研都没有对此作出要求，但也是很容易掌握的。

先来重温一下二重极限的定义。设二元函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 某个邻域内有定义，若对于任意的ε>0，都存在常数δ>0使得当

22f (x , y ) =A 。有f (x , y )-A

注意到0

⎧y -y 0=k (x -x 0), ⎨⎩k ∈(-∞, +∞).

这时有

⎧z =f (x , y ), ， ⎨⎩y -y 0=k (x -x 0)

消去y （消去变量y 也类似），得二元函数z =ϕ(x , k ) ，计算得到一元

lim ϕ(x , k ) （这是一个一重极限）函数μ(k ) =x ，则原二重极限存在的充→x 0

分必要条件是函数μ(k ) 是常函数，此时这个函数就等于原二重极限。这就是二重极限转化为一重极限的计算方法和二重极限存在的判定方法。