专题三十二 平面解析几何（六）——椭圆、双曲线
（一）知识梳理：
（二）例题讲解
考点1：椭圆（双曲线）方程
例1（a 级）、已知在双曲线的实轴在y 轴上，它的两条渐近线方程分别是2x ±3y=0，实轴长为12，则它的方程是 （ C ） A.
易错笔记：
x
2
36
-
y
2
16
=1 B.
y
2
144
-
x
2
324
=1 C.
y
2
36
-
x
2
81
=1 D.
y
2
12
-
x
2
27
=1
例2（b 级）、与椭圆
x
2
易错笔记：
24
+
y
2
49
且离心率为=1有公共焦点，
54
的双曲线方程为____
y
2
16
+
x
2
9
=1_______
例3（b 级）已知椭圆的两个焦点是F 1(－2, 0)、F 2(2, 0)，且点A(2,2) 在椭圆上， 那么这个椭圆的标准方程是___
x
2
8
+
y
2
4
=1______.
易错笔记：
考点2：椭圆（双曲线）的几何特征
例4（b 级）、椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为∆MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率是 （ B ） A.
252
325
，
B.
35
C.
45
D.
75
易错笔记：
例5（b 级）、若O , F , B 分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点，∠BFO =e =___
12
π3
，则此椭圆的离心率
____．
易错笔记：
例6（b 级）、如图，F 1, F 2分别是双曲线
x
22
a b
（a>0,b>0）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|
-
y
22
=1
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F 2AB 是等边 三角形，则双曲线的离心率为（ D ） A ．3 B ．5 Ｃ．
易错笔记：
52
Ｄ．1+3
（三）练习巩固：
一、选择题
1、椭圆5x +9y=45 的离心率是 （ C ） A.
43
2
2
B.
29
4
C.
23
D.
32
2、如果双曲线
x
2
4
-
y
2
2
=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是10，那么点P 到左焦点的距离为
（ C ）
A ．6 B ．14 C ．6或14 D ．2或18 3、以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线，一条渐近线为y =
34
x ，焦点到渐近线的距离为6，则它的方
程是 （ D ） A.
x
2
16
-
y
2
9
=1 B.
x
2
9
-
y
2
16
=1 C.
x
2
36
-
y
2
64
=1 D.
x
2
64
-
y
2
36
=1
4、若方程
x
2
2
m +2
-
y
22
1-m
=1表示双曲线，则其焦距为 ( C )
(A) (B) 3
x a
22
(C) 2 (D) 6 =1（a>0,b>0）的两个焦点，
5、已知F 1, F 2分别是双曲线
-
y b
22
过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2=30︒，则双曲线的渐近线方程为 （ B A ．y =±x B ．y =±2x C ．y =±
2
2
22
x 3
6、过双曲线x -y =8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的
右焦点，则∆PF 2Q 的周长是 （ C ） A ．28 B ．14-82 Ｃ．14+82 Ｄ．82 二、填空题
7、（1）已知椭圆的方程为
x
2
9
+
y
2
16
=1，则它的长轴长为______，短轴长为______，焦距为_____，焦点
坐标为________________，离心率为________.
（2）已知双曲线的方程为
x
2
9
-
y
2
16
=1，则它的实轴长为______，虚轴长为_____，焦距为_____，焦点
坐标为_________________，离心率为_______， 渐近线方程为_________________.
8、（1）短轴长为16，离心率为（2）焦距为10，离心率为
5335
，焦点在y 轴上的椭圆方程为______
y
2
2
100-2
+y x
2
x
2
64
=1____.
，焦点在x 轴上的双曲线的方程为___
x
2
x
9y 2
16
2
=1_______. =1____.
9、已知一等轴双曲线的焦距为4，则它的标准方程为__10、已知曲线方程为
x
2
2
-
y
2
2
=1或-
2
9-k
+
y
2
k -4
=1，
132
(1) 当曲线为椭圆时，k 的取值范围是__4
(2) 当曲线为双曲线时，k 的取值范围是____k 9______. 11、（1）已知双曲线经过P (2, -5) ，且焦点为(0, ±6) ，则双曲线的标准方程为__
x
2
y
2
20
-
x
2
16
=1____
94
12、椭圆的长轴和短轴之和为30，一个焦点与短轴两端点的连线构成60°角，则满足上述条件的椭圆方程是
（2）经过点P (-3, 0), Q (0, -2) 的椭圆的标准方程是______+
y
2
=1_______.
____________三、解答题
x
2
100
+
y
2
25x
=1或
y
2
100
+
x
2
25
=1_________
2
13、已知F 1、F 2是双曲线
4
-y
2
=1的两个焦点，点P 在双曲线上，
（1）满足 ∠F 1PF 2=900，求∆F 1PF 2的面积． （2）满足∠F 1PF 2=600，求∆F 1PF 2的面积． 1，
33
专题三十二 平面解析几何（六）——椭圆、双曲线
（一）知识梳理：
（二）例题讲解
考点1：椭圆（双曲线）方程
例1（a 级）、已知在双曲线的实轴在y 轴上，它的两条渐近线方程分别是2x ±3y=0，实轴长为12，则它的方程是 （ C ） A.
易错笔记：
x
2
36
-
y
2
16
=1 B.
y
2
144
-
x
2
324
=1 C.
y
2
36
-
x
2
81
=1 D.
y
2
12
-
x
2
27
=1
例2（b 级）、与椭圆
x
2
易错笔记：
24
+
y
2
49
且离心率为=1有公共焦点，
54
的双曲线方程为____
y
2
16
+
x
2
9
=1_______
例3（b 级）已知椭圆的两个焦点是F 1(－2, 0)、F 2(2, 0)，且点A(2,2) 在椭圆上， 那么这个椭圆的标准方程是___
x
2
8
+
y
2
4
=1______.
易错笔记：
考点2：椭圆（双曲线）的几何特征
例4（b 级）、椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为∆MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率是 （ B ） A.
252
325
，
B.
35
C.
45
D.
75
易错笔记：
例5（b 级）、若O , F , B 分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点，∠BFO =e =___
12
π3
，则此椭圆的离心率
____．
易错笔记：
例6（b 级）、如图，F 1, F 2分别是双曲线
x
22
a b
（a>0,b>0）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|
-
y
22
=1
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F 2AB 是等边 三角形，则双曲线的离心率为（ D ） A ．3 B ．5 Ｃ．
易错笔记：
52
Ｄ．1+3
（三）练习巩固：
一、选择题
1、椭圆5x +9y=45 的离心率是 （ C ） A.
43
2
2
B.
29
4
C.
23
D.
32
2、如果双曲线
x
2
4
-
y
2
2
=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是10，那么点P 到左焦点的距离为
（ C ）
A ．6 B ．14 C ．6或14 D ．2或18 3、以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线，一条渐近线为y =
34
x ，焦点到渐近线的距离为6，则它的方
程是 （ D ） A.
x
2
16
-
y
2
9
=1 B.
x
2
9
-
y
2
16
=1 C.
x
2
36
-
y
2
64
=1 D.
x
2
64
-
y
2
36
=1
4、若方程
x
2
2
m +2
-
y
22
1-m
=1表示双曲线，则其焦距为 ( C )
(A) (B) 3
x a
22
(C) 2 (D) 6 =1（a>0,b>0）的两个焦点，
5、已知F 1, F 2分别是双曲线
-
y b
22
过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2=30︒，则双曲线的渐近线方程为 （ B A ．y =±x B ．y =±2x C ．y =±
2
2
22
x 3
6、过双曲线x -y =8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的
右焦点，则∆PF 2Q 的周长是 （ C ） A ．28 B ．14-82 Ｃ．14+82 Ｄ．82 二、填空题
7、（1）已知椭圆的方程为
x
2
9
+
y
2
16
=1，则它的长轴长为______，短轴长为______，焦距为_____，焦点
坐标为________________，离心率为________.
（2）已知双曲线的方程为
x
2
9
-
y
2
16
=1，则它的实轴长为______，虚轴长为_____，焦距为_____，焦点
坐标为_________________，离心率为_______， 渐近线方程为_________________.
8、（1）短轴长为16，离心率为（2）焦距为10，离心率为
5335
，焦点在y 轴上的椭圆方程为______
y
2
2
100-2
+y x
2
x
2
64
=1____.
，焦点在x 轴上的双曲线的方程为___
x
2
x
9y 2
16
2
=1_______. =1____.
9、已知一等轴双曲线的焦距为4，则它的标准方程为__10、已知曲线方程为
x
2
2
-
y
2
2
=1或-
2
9-k
+
y
2
k -4
=1，
132
(1) 当曲线为椭圆时，k 的取值范围是__4
(2) 当曲线为双曲线时，k 的取值范围是____k 9______. 11、（1）已知双曲线经过P (2, -5) ，且焦点为(0, ±6) ，则双曲线的标准方程为__
x
2
y
2
20
-
x
2
16
=1____
94
12、椭圆的长轴和短轴之和为30，一个焦点与短轴两端点的连线构成60°角，则满足上述条件的椭圆方程是
（2）经过点P (-3, 0), Q (0, -2) 的椭圆的标准方程是______+
y
2
=1_______.
____________三、解答题
x
2
100
+
y
2
25x
=1或
y
2
100
+
x
2
25
=1_________
2
13、已知F 1、F 2是双曲线
4
-y
2
=1的两个焦点，点P 在双曲线上，
（1）满足 ∠F 1PF 2=900，求∆F 1PF 2的面积． （2）满足∠F 1PF 2=600，求∆F 1PF 2的面积． 1，
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