基于测边网的火炮回转半径检测方法

第35卷第3期 火炮发射与控制学报 V ol.35 No.3 2014年9月 JOURNAL OF GUN LAUNCH & CONTROL Sep.2014

基于测边网的火炮回转半径检测方法

霍李，王媛，赖富文，宁平，毕超

（中国白城兵器试验中心，吉林 白城 137001）

摘 要：针对火炮在靶场定型试验中需要检测回转半径尺寸的要求，提出了一种便于现场操作的基于测边网的火炮回转半径检测方法。在火炮检测现场布设测边网，采用条件平差的计算方法，建立条件方程式和法方程式，计算各边角的平差值，通过圆拟合得到火炮回转半径的尺寸。试验结果验证了该方法的可行性和有效性。

关键词：工程测量技术；火炮回转半径；测边网；条件平差；拟合圆

中图分类号：TJ303+.9 文献标志码：A 文章编号：1673-6524 (2014) 03-0074-04

Measurement Method of Gun Rotation Radius Based on Trilateration Network

HUO Li, WANG Yuan, LAI Fu-wen, NING Ping, BI Chao

(Baicheng Ordnance Test Center of China, Baicheng 137001, Jilin, China)

Abstract: Aimed at that it is necessary to inspect and measure the size of the gun rotation radius of the range test, a kind of method based on trilateration was proposed to be easy and feasible for site operation. With this method , firstly, establish the trilateration control network in the testing field; then set up the condition adjustment and normal equation by using the calculate method of condition adjustment, get adjustment value of every side corner; lastly get rotation radius value of artillery by fitting circle. The test results inspect and verify the feasibility and validity of the method.

Key words: engineering survey technology; gun rotation radius; trilateration; condition adjustment; fitting circle

火炮回转半径，即炮身水平时炮口端面到方向回转轴的距离[1]，在靶场定型试验时作为一项实测参数用于检查火炮状态是否偏离设计指标。由于直接测量法在实施时需要预知被测火炮回转轴的位置，而被测火炮的回转轴位置通常却是未知的，因此，直接测量法在现场检测时不容易实现，现场检测通常采用间接测量方法。传统的间接测量方法及其改进其实质都是大直径间接测量方法[3]中的角度弦长法，需要测量弦长和对应的圆心角。在检测现场，弦长的测量容易实现，而炮塔旋转角的测量需要在火炮回转轴上安放测角仪器（如周视瞄准镜），在测量过程中需要由观测人员反复调整测角仪器进行观测读数，这些准备、测量工作都要占用大量时间，同时由

[1]

[2]

于测角仪器安放位置的误差、测角仪器本身的精度和人工读数误差等因素的影响导致炮塔旋转角的测量精度并不理想。为此，本文提出了一种基于测边网的回转半径检测方法，避免了圆心角测量，保证了测量精度，操作较为方便。

1 检测方案

在火炮调平的情况下，保持身管水平，炮塔旋转一周，其炮口端面中心在水平面上的投影点为一个圆。火炮回转轴在水平面上投影点为该圆圆心，即火炮回转中心，投影圆的半径即为火炮回转半径。

收稿日期：2014-03-11；修回日期：2014-04-16 基金项目：军队试验技术研究项目（12-sy14） 作者简介：霍李（1979－），男，硕士，工程师，主要从事火炮静态检测技术研究。E-mail:[email protected]

理论上通过测量任意3个炮口垂点间的距离就能得到3个边长，构成1个三角形，该三角形的外接圆半径就是回转圆半径[4]。但在实际操作中，测量误差不可避免，只用3个点得到的圆参数包含所有测量误差。为此，考虑通过增加冗余数据并利用最小二乘原理来提高检测精度。 对于有n 个点的测边网而言，必要观测边个数t =2n -3，设总测边个数为m ，则多余观测边数r =m -t =m -2n +3。而n 个不在同一条直

线上的点最大边数为m =C 2n ，因此，当点数量n >3的情况时，会有冗余数据（r >0）。通过测

边网平差处理，使得角度闭差为零的各边长改正数平方和最小，并将平差结果转换为点的相对坐标，最后拟合出回转圆的半径和圆心相对坐标。

在现场的检测步骤如下： 1）火炮驶入指定检测区域。

2）预设投影点的位置。结合火炮实际，在炮塔旋转一周的范围内，能在水平地面上得到n （n >3）个大致均匀分布的炮口投影点，预设出这些点的位置。

3）标记出炮口垂点。调平火炮，保持身管水平，转动方向机，当炮身前端到达各预设点位置时，用铅锤从炮口端面中心向水平地面上引出垂点，并在地面作出标记。

4）测量各点间的距离。火炮驶离检测区域后，画出各点的分布示意图并对各点编号，依次测量并记录所有点之间距离。

事后数据处理流程图如图1所示。

图1 数据处理流程图

2 测量原理

以布设大地四边形为例探讨如何实现火炮回转圆的参数测量。 2.1 测边网角度闭合法平差

测边网角度闭合法条件平差的思路为[5]：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。 2.1.1 以角度改正数表示的条件方程

在图2的测边网中，由观测边长S i

(i =1,2,3,

,6)

算出角度值

φj (j =1,2,3, ,9) ；平差后的边长为

S i (i =1,2,3, ,6) ，由边长平差值计算出角度值φj (j =1,2,3, ,9) ，则角度改正数为

v φi =φi -φi (1)

S 5

B

C

5

S 6

S 1

S 6

φ4

3

24

S 3

D

图2 大地四边形

此时，平差值条件方程为

φ1+φ2-φ3=0 (2)

由式(1)、式(2)得到以角度改正数表示的图形条件

v φ1+v φ2-v φ3+β=0 (3)

式中，β为角度闭合差

β=φ1+φ2-φ3 (4)

按角度闭合差进行平差，需要把角度改正数换成边长观测值的改正数。

2.1.2 角度改正数与边长改正数的关系式

在图3的测边网中，按式（5）由观测边长算出任一角A （同理计算角B 、C ）：

tan

A 2=r

p -S (5) A

式中

⎧p =(S A +S B +S C ) /2⎪

⎨⎪r ⎩

而高h 为

⎧⎪

h A =S B sin C =S C sin B

⎨h B =S B sin C =S C sin A (6) ⎪⎩h C

=S A sin B =S B sin A

A

S C h C S B

B

h A B

S A

C

图3 测边三角形

在图3的测边网中，由余弦定理得

S 2

2

2

A =S B +S C -2S B S C cos A

微分得

2S A dS A =2S B dS B +2S C dS C -2S C cos AdS B -2S B cos AdS C +2S

B S C sin AdA

整理得

dA =1

S S [S A dS A -(S B -S C cos A ) dS B

B C sin A (7) -(S C -S B cos A ) dS C ]

在图3中有

⎧⎪

S B S C sin A =S B h B =S A h A

⎨S B -S C cos A =S A cos C (8) ⎪⎩S C

-S B cos A =S A cos B

将式(8)代入式(7)，得

dA =1

h (dS A -cos CdS B -cos BdS C ) (9)

A

将上式中的微分换成相应的改正数，同时考虑到式中的dA 的单位是弧度，而角度改正数的单位是秒，故上式写成角度改正数方程

v =ρ

A h (v S A -cos Cv S B -cos Bv S C ) (10)

A 式中v S A 、v S B 、v S C 为相应边长改正数；ρ≈206264. ''，是弧度与秒的换算系数。8

2.1.3 以边长改正数表示图形条件方程

按式（10）的规律，图2中角φ1、φ2及φ3的角度改正数方程分别为

⎧⎪v =ρ

⎪φ1h (v S 6-cos φ4v S 3-cos φ5v S 2)

1

⎪⎪

⎨v =ρ⎪φ2h (v S 5-cos φ6v S 1-cos φ7v S 2) (11)

2

⎪⎪⎪v ρ

φ3=(v S 4-cos φ⎩

h 8v S 1-cos φ9v S 3)

3式中，h i 为以角αi (i =1, 2,3) 为顶角向对边所作的高，可按式（6）的规律计算得到；角度

值φj (j =1,2,3, ,9) 可按式（5）的规律计算得

到。

将式(11)代入式(3)，得四边形的以边长改正数表示的图形条件：

ρ(

cos φ8h -cos φ6h ) v (cos φ5+cos φ7

S 1-ρ) v S 2+32h 1h 2

ρ(

cos φ9h -cos φ4) v ρρρ

S 3-v S 4+v S 5+v S 6+β=03h 1h 3h 2h 1

(12)

2.1.4计算各边长改正数及边角平差值

令条件方程式（12）中边长改正数v Si 前的系数分别为a i (i =1, 2, 3。

, 并令A =[a 1

a

2

a ]，6则等精度测量时法方程系数为N [6]aa =AA T ，则法方程为 N aa k a +β=0 (13)

式中，k a 为联系数，则

k =-N -1

a aa β

令V =[v S 1v T S 2v S 6]，则有

V =A T k a (14)

各边长平差值为

S i =S i +v si (i =1,2,3,

,6) (15)

由边长平差值S i (j =1,2,3, ,6) 按式(5)计

算出各角平差值φj (j =1,2,3) ，并以式(2)进行验算。

2.2 相对坐标计算

取平差后的任意一点P 1为坐标原点，另一点P 2为x 轴正向上一点，建立直角坐标系，如图4

所示。则有P 1(0,0)，P 2(S 12,0) 。

图4 多个点相对坐标图

设第3点的坐标为P 3(x 3, y 3) 且y 3>0，如图4所示。

因此，任一点P i (x i , y

i ) (3≤i ≤n )的坐标为：

⎧

222⎪⎪x i =1S +S

1i -S 2i ⎨

2S (12

12)

(16) ⎪

⎪⎩

y =k i 式(16) 中，当i =3时，k 3=1；当P i 与P 3分布在P 1P 2连线的同侧时，取k i =1（如图4中，k 5=1）；当P i 相对P 3分布在P 1P 2连线的两侧时，

取k i =-1（如图4中，k 4=-1）。这样通过各点间平差后的边长值就计算出各点相对坐标。 2.3 圆拟合

设圆的方程为x 2+y 2+ax +by +c =0。建立目标函数：

F (a , b , c )=∑(x 2+ax 2

i +y 2i i +by i +c )

令∂F /∂a =∂F /∂b =∂F /∂c =0，建立方程

⎡∑x 2

∑x y ⎡

x 2

+y 2i i

i

i

i

)x i

⎤

⎢

i ⎢∑x 222i y i i i

i i

i

⎢∑∑x ⎤⎡a ⎤⎢∑(⎥

y ⎣

∑x i ∑∑y ⎥⎥⎢y i

n ⎥⎢b ⎥⎥=-⎢⎦

⎢∑(x +y )y ⎥

⎦⎢⎣c ⎥⎢⎣∑(22⎥

x i +y i

)⎥⎦

(17)

将各点的相对坐标代入式(17)，求出参数a ，b ，c ，得到圆心相对坐标为(-a /2, -b /2)、半

径R = 2.4 测量精度评定

该方法的测量误差包括火炮调平误差、水平地面上垂点位置误差、各点之间的距离（边长）测量误差等。

通过测边网平差处理后得到的边长测量精度[5]为

σ2

n

=∑v 2

1

Si (18)

i =1

通过拟合圆的圆心得到的圆度误差[7]为

σ2=max

- (19)

min

因此，该方法总的测量误差为

σ (20) 3 实例分析

以某型自行火炮为例，结合火炮实际情况，布设了4个大致均匀分布的采样点，如图5所示。

a) 采样点分布 b) 现场测边

图5 某自行火炮现场检测示意图

各边的测量值、边长平差值见表1。取平差后的边长值计算出各点相对坐标，见表2。圆拟合得到回转中心相对坐标（2745.27，3282.70），回转圆半径R = 4279.01 mm，测量误差σ为1.81 mm 。

表1测边四边形平差计算/mm

边号 边长测量值 改正数v Si

边长平差值

S 1

5489 0.540 5489.540 S 2 8555 -0.840 8554.160 S 3 6734 0.627 6734.627 S 4 6383 0.661 6383.661 S 5 8554 -0.840 8553.160 S 6

5496

0.539

5496.539

表2 各点相对坐标/mm

坐标 采样点 1 采样点2 采样点3 采样点4

x 0 5489.54 5697.89 2125.60 y

6380.26

6731.27

（下转第82页）

4 结论

本文提出的基于测边网的火炮回转半径检测方法，与传统检测方法相比，现场检测时准备过程短、操作简单。通过计算机编程进行数据处理，采用了测边网平差技术和圆拟合技术，减弱测量误差的影响，保证了测量精度，提高了检测效率。

参考文献(References)

[1] 中国人民解放军总装备部司令部.GJB 2977A-2006 火炮静态检测方法[S].北京：总装备部军标出版发行部，2008:6.

Headquarters of PLA General Armament Department. GJB 2977A-2006 Inspecting and measuring method for static gun[S]. Beijing: Military Standard Publishing Department of PLA General Armament Department, 2008: 6.(in Chinese)

[2] 霍李, 江明义, 李典, 等. 火炮回转半径测量中瞄准镜的最佳装定角[J].兵器试验,2012(4):55-59.

HUO Li, JIANG Ming-yi, LI Dian, et al. Optimal angle of setting sight in artillery rotation radius measurement[J].Ordnance Test, 2012(4):55-59.(in Chinese) [3] 孙效杰, 周文祥, 邹晓霞. 大直径间接测量方法的比

较[J].工具技术，2009,43(3):95-98.

SUN Xiao-jie, ZHOU Wen-xiang, ZOU Xiao-xia. Comparison of indirect measurement for large diameters[J]. Tool Engineering，2009，43(3)：95-98.(in Chinese) [4] 霍李, 王媛, 赵春宇, 等. 三边法测量火炮回转参数[J].兵器试验,2014(1):50-52.

HUO Li, WANG Yuan, ZHAO Chun-yu, et al. Measurement artillery rotation parameters by three sides[J].Ordnance Test, 2014(1):50-52.(in Chinese)

[5] 武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量平差基础[M].2版. 武汉:武汉大学出版社，2009:75-92.

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[6] 雒应, 叶亚丽. 公路桥梁测边网的布设与平差方法[J].长安大学学报:自然科学版, 2005,25(3):41-44. LUO Ying, YE Ya-li. Setting and adjustment method of survey-trilateration control network of highway bridge[J]. Journal of Chang'an University:Natural Science Edition,2005,25(3):41-44.(in Chinese) [7] 黄富贵，郑育军. 基于区域搜索的圆度误差评定方法[J].计量学报，2008，29(2)：117-119.

HUANG Fu-gui, ZHENG Yu-jun. A method for roundness error evaluation based on area hunting[J]. Acta Metrologica Sinica, 2008,29(2):117-119.(in Chinese)

第35卷第3期 火炮发射与控制学报 V ol.35 No.3 2014年9月 JOURNAL OF GUN LAUNCH & CONTROL Sep.2014

基于测边网的火炮回转半径检测方法

霍李，王媛，赖富文，宁平，毕超

（中国白城兵器试验中心，吉林 白城 137001）

摘 要：针对火炮在靶场定型试验中需要检测回转半径尺寸的要求，提出了一种便于现场操作的基于测边网的火炮回转半径检测方法。在火炮检测现场布设测边网，采用条件平差的计算方法，建立条件方程式和法方程式，计算各边角的平差值，通过圆拟合得到火炮回转半径的尺寸。试验结果验证了该方法的可行性和有效性。

关键词：工程测量技术；火炮回转半径；测边网；条件平差；拟合圆

中图分类号：TJ303+.9 文献标志码：A 文章编号：1673-6524 (2014) 03-0074-04

Measurement Method of Gun Rotation Radius Based on Trilateration Network

HUO Li, WANG Yuan, LAI Fu-wen, NING Ping, BI Chao

(Baicheng Ordnance Test Center of China, Baicheng 137001, Jilin, China)

Abstract: Aimed at that it is necessary to inspect and measure the size of the gun rotation radius of the range test, a kind of method based on trilateration was proposed to be easy and feasible for site operation. With this method , firstly, establish the trilateration control network in the testing field; then set up the condition adjustment and normal equation by using the calculate method of condition adjustment, get adjustment value of every side corner; lastly get rotation radius value of artillery by fitting circle. The test results inspect and verify the feasibility and validity of the method.

Key words: engineering survey technology; gun rotation radius; trilateration; condition adjustment; fitting circle

火炮回转半径，即炮身水平时炮口端面到方向回转轴的距离[1]，在靶场定型试验时作为一项实测参数用于检查火炮状态是否偏离设计指标。由于直接测量法在实施时需要预知被测火炮回转轴的位置，而被测火炮的回转轴位置通常却是未知的，因此，直接测量法在现场检测时不容易实现，现场检测通常采用间接测量方法。传统的间接测量方法及其改进其实质都是大直径间接测量方法[3]中的角度弦长法，需要测量弦长和对应的圆心角。在检测现场，弦长的测量容易实现，而炮塔旋转角的测量需要在火炮回转轴上安放测角仪器（如周视瞄准镜），在测量过程中需要由观测人员反复调整测角仪器进行观测读数，这些准备、测量工作都要占用大量时间，同时由

[1]

[2]

于测角仪器安放位置的误差、测角仪器本身的精度和人工读数误差等因素的影响导致炮塔旋转角的测量精度并不理想。为此，本文提出了一种基于测边网的回转半径检测方法，避免了圆心角测量，保证了测量精度，操作较为方便。

1 检测方案

在火炮调平的情况下，保持身管水平，炮塔旋转一周，其炮口端面中心在水平面上的投影点为一个圆。火炮回转轴在水平面上投影点为该圆圆心，即火炮回转中心，投影圆的半径即为火炮回转半径。

收稿日期：2014-03-11；修回日期：2014-04-16 基金项目：军队试验技术研究项目（12-sy14） 作者简介：霍李（1979－），男，硕士，工程师，主要从事火炮静态检测技术研究。E-mail:[email protected]

理论上通过测量任意3个炮口垂点间的距离就能得到3个边长，构成1个三角形，该三角形的外接圆半径就是回转圆半径[4]。但在实际操作中，测量误差不可避免，只用3个点得到的圆参数包含所有测量误差。为此，考虑通过增加冗余数据并利用最小二乘原理来提高检测精度。 对于有n 个点的测边网而言，必要观测边个数t =2n -3，设总测边个数为m ，则多余观测边数r =m -t =m -2n +3。而n 个不在同一条直

线上的点最大边数为m =C 2n ，因此，当点数量n >3的情况时，会有冗余数据（r >0）。通过测

边网平差处理，使得角度闭差为零的各边长改正数平方和最小，并将平差结果转换为点的相对坐标，最后拟合出回转圆的半径和圆心相对坐标。

在现场的检测步骤如下： 1）火炮驶入指定检测区域。

2）预设投影点的位置。结合火炮实际，在炮塔旋转一周的范围内，能在水平地面上得到n （n >3）个大致均匀分布的炮口投影点，预设出这些点的位置。

3）标记出炮口垂点。调平火炮，保持身管水平，转动方向机，当炮身前端到达各预设点位置时，用铅锤从炮口端面中心向水平地面上引出垂点，并在地面作出标记。

4）测量各点间的距离。火炮驶离检测区域后，画出各点的分布示意图并对各点编号，依次测量并记录所有点之间距离。

事后数据处理流程图如图1所示。

图1 数据处理流程图

2 测量原理

以布设大地四边形为例探讨如何实现火炮回转圆的参数测量。 2.1 测边网角度闭合法平差

测边网角度闭合法条件平差的思路为[5]：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。 2.1.1 以角度改正数表示的条件方程

在图2的测边网中，由观测边长S i

(i =1,2,3,

,6)

算出角度值

φj (j =1,2,3, ,9) ；平差后的边长为

S i (i =1,2,3, ,6) ，由边长平差值计算出角度值φj (j =1,2,3, ,9) ，则角度改正数为

v φi =φi -φi (1)

S 5

B

C

5

S 6

S 1

S 6

φ4

3

24

S 3

D

图2 大地四边形

此时，平差值条件方程为

φ1+φ2-φ3=0 (2)

由式(1)、式(2)得到以角度改正数表示的图形条件

v φ1+v φ2-v φ3+β=0 (3)

式中，β为角度闭合差

β=φ1+φ2-φ3 (4)

按角度闭合差进行平差，需要把角度改正数换成边长观测值的改正数。

2.1.2 角度改正数与边长改正数的关系式

在图3的测边网中，按式（5）由观测边长算出任一角A （同理计算角B 、C ）：

tan

A 2=r

p -S (5) A

式中

⎧p =(S A +S B +S C ) /2⎪

⎨⎪r ⎩

而高h 为

⎧⎪

h A =S B sin C =S C sin B

⎨h B =S B sin C =S C sin A (6) ⎪⎩h C

=S A sin B =S B sin A

A

S C h C S B

B

h A B

S A

C

图3 测边三角形

在图3的测边网中，由余弦定理得

S 2

2

2

A =S B +S C -2S B S C cos A

微分得

2S A dS A =2S B dS B +2S C dS C -2S C cos AdS B -2S B cos AdS C +2S

B S C sin AdA

整理得

dA =1

S S [S A dS A -(S B -S C cos A ) dS B

B C sin A (7) -(S C -S B cos A ) dS C ]

在图3中有

⎧⎪

S B S C sin A =S B h B =S A h A

⎨S B -S C cos A =S A cos C (8) ⎪⎩S C

-S B cos A =S A cos B

将式(8)代入式(7)，得

dA =1

h (dS A -cos CdS B -cos BdS C ) (9)

A

将上式中的微分换成相应的改正数，同时考虑到式中的dA 的单位是弧度，而角度改正数的单位是秒，故上式写成角度改正数方程

v =ρ

A h (v S A -cos Cv S B -cos Bv S C ) (10)

A 式中v S A 、v S B 、v S C 为相应边长改正数；ρ≈206264. ''，是弧度与秒的换算系数。8

2.1.3 以边长改正数表示图形条件方程

按式（10）的规律，图2中角φ1、φ2及φ3的角度改正数方程分别为

⎧⎪v =ρ

⎪φ1h (v S 6-cos φ4v S 3-cos φ5v S 2)

1

⎪⎪

⎨v =ρ⎪φ2h (v S 5-cos φ6v S 1-cos φ7v S 2) (11)

2

⎪⎪⎪v ρ

φ3=(v S 4-cos φ⎩

h 8v S 1-cos φ9v S 3)

3式中，h i 为以角αi (i =1, 2,3) 为顶角向对边所作的高，可按式（6）的规律计算得到；角度

值φj (j =1,2,3, ,9) 可按式（5）的规律计算得

到。

将式(11)代入式(3)，得四边形的以边长改正数表示的图形条件：

ρ(

cos φ8h -cos φ6h ) v (cos φ5+cos φ7

S 1-ρ) v S 2+32h 1h 2

ρ(

cos φ9h -cos φ4) v ρρρ

S 3-v S 4+v S 5+v S 6+β=03h 1h 3h 2h 1

(12)

2.1.4计算各边长改正数及边角平差值

令条件方程式（12）中边长改正数v Si 前的系数分别为a i (i =1, 2, 3。

, 并令A =[a 1

a

2

a ]，6则等精度测量时法方程系数为N [6]aa =AA T ，则法方程为 N aa k a +β=0 (13)

式中，k a 为联系数，则

k =-N -1

a aa β

令V =[v S 1v T S 2v S 6]，则有

V =A T k a (14)

各边长平差值为

S i =S i +v si (i =1,2,3,

,6) (15)

由边长平差值S i (j =1,2,3, ,6) 按式(5)计

算出各角平差值φj (j =1,2,3) ，并以式(2)进行验算。

2.2 相对坐标计算

取平差后的任意一点P 1为坐标原点，另一点P 2为x 轴正向上一点，建立直角坐标系，如图4

所示。则有P 1(0,0)，P 2(S 12,0) 。

图4 多个点相对坐标图

设第3点的坐标为P 3(x 3, y 3) 且y 3>0，如图4所示。

因此，任一点P i (x i , y

i ) (3≤i ≤n )的坐标为：

⎧

222⎪⎪x i =1S +S

1i -S 2i ⎨

2S (12

12)

(16) ⎪

⎪⎩

y =k i 式(16) 中，当i =3时，k 3=1；当P i 与P 3分布在P 1P 2连线的同侧时，取k i =1（如图4中，k 5=1）；当P i 相对P 3分布在P 1P 2连线的两侧时，

取k i =-1（如图4中，k 4=-1）。这样通过各点间平差后的边长值就计算出各点相对坐标。 2.3 圆拟合

设圆的方程为x 2+y 2+ax +by +c =0。建立目标函数：

F (a , b , c )=∑(x 2+ax 2

i +y 2i i +by i +c )

令∂F /∂a =∂F /∂b =∂F /∂c =0，建立方程

⎡∑x 2

∑x y ⎡

x 2

+y 2i i

i

i

i

)x i

⎤

⎢

i ⎢∑x 222i y i i i

i i

i

⎢∑∑x ⎤⎡a ⎤⎢∑(⎥

y ⎣

∑x i ∑∑y ⎥⎥⎢y i

n ⎥⎢b ⎥⎥=-⎢⎦

⎢∑(x +y )y ⎥

⎦⎢⎣c ⎥⎢⎣∑(22⎥

x i +y i

)⎥⎦

(17)

将各点的相对坐标代入式(17)，求出参数a ，b ，c ，得到圆心相对坐标为(-a /2, -b /2)、半

径R = 2.4 测量精度评定

该方法的测量误差包括火炮调平误差、水平地面上垂点位置误差、各点之间的距离（边长）测量误差等。

通过测边网平差处理后得到的边长测量精度[5]为

σ2

n

=∑v 2

1

Si (18)

i =1

通过拟合圆的圆心得到的圆度误差[7]为

σ2=max

- (19)

min

因此，该方法总的测量误差为

σ (20) 3 实例分析

以某型自行火炮为例，结合火炮实际情况，布设了4个大致均匀分布的采样点，如图5所示。

a) 采样点分布 b) 现场测边

图5 某自行火炮现场检测示意图

各边的测量值、边长平差值见表1。取平差后的边长值计算出各点相对坐标，见表2。圆拟合得到回转中心相对坐标（2745.27，3282.70），回转圆半径R = 4279.01 mm，测量误差σ为1.81 mm 。

表1测边四边形平差计算/mm

边号 边长测量值 改正数v Si

边长平差值

S 1

5489 0.540 5489.540 S 2 8555 -0.840 8554.160 S 3 6734 0.627 6734.627 S 4 6383 0.661 6383.661 S 5 8554 -0.840 8553.160 S 6

5496

0.539

5496.539

表2 各点相对坐标/mm

坐标 采样点 1 采样点2 采样点3 采样点4

x 0 5489.54 5697.89 2125.60 y

6380.26

6731.27

（下转第82页）

4 结论

本文提出的基于测边网的火炮回转半径检测方法，与传统检测方法相比，现场检测时准备过程短、操作简单。通过计算机编程进行数据处理，采用了测边网平差技术和圆拟合技术，减弱测量误差的影响，保证了测量精度，提高了检测效率。

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