山东科技大学 2008-2009 学年第一学期
《数值分析》考试
一、设x =9. 1234，y =10. 486均具有5位有效数字。试分析x -y 和x 3+y 3的绝对误差限和相对误差限。
二、求一条拟合3点A (0, 1), B (1, 3), C (2, 2) 的直线。三、设n ≥2为正整数，c 为正数，记x *=c
1）说明不能用下面的迭代格式
-n
x k +1=cx 1k , k =0, 1, 2⋯⋯
求x *的近似值。
2）构造一个可以求x *的迭代格式，证明所构造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数。四、给定线性方程组
⎡4-10⎤⎡x 1⎤⎡2⎤⎢-1a 1⎥⎢x ⎥=⎢6⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣014⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦
其中a 为非零常数。
1）写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式并分析其收敛性。2）分析a 在什么范围取值时以上迭代格式收敛。五、做一个5次多项式H (x ) 使得
H (1) =3, H (2) =-1, H (4) =3, H ' (1) =2, H ' (2) =1, H *(2) =2, 六、求f (x ) =x 2在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式。七、给定积分公式:
⎰
1
-1
f (x ) d x ≈Af (-1) +Bf (0) +f (1)
1）试确定求积系数A , B , C ，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。2）试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并说明理由。
2
[-1，3）将区间1]作n 等分，并记h =, x i =-1+ih , i =0, 1, ⋯⋯，n , 利用该求积公式
n
构造一个复化求积公式。
1
⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
八、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，
y (a ) =η⎩
b -a 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试确定常数使得下列数值求解公式
h ⎧
⎪y i +1=y i +[f (x i , y i ) +2f (x i +αh , y i +αhf (x i , y i )) ], 0≤i ≤n -1⎨3⎪y 0=η⎩
具有最高阶精度，指出相应的阶数，并给出此九用矩阵的三角分解法，求解方程组
⎧⎪
x 1+2x 2+3x 3=14
⎨2x 1+5x ⎪2+2x 3=18⎩3x 1+x 2
+5x 3=20
2
时局部截断误差的表达式。
山东科技大学 2009-2010 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、
设近似值x =1. 1021, y =56. 430均有5位有效数字。试分析x +y 的绝对误差限和相对误差限。二、
求一条拟合3点A (0，1), B (1，3), C (2，2), D (3，5)的直线。三、设f (x ) =(x 3-a ) 2, a 为正数，记x *=a
1) 写出方程f (x ) =0的根x *的牛顿迭代格式，并证明次迭代格式是线性收敛的。2）求x *的迭代格式的收敛阶是否可以提高？如果可以，试着构造，并指出其收敛阶。四、给定线性方程组
⎡240⎤⎡x 1⎤⎡5⎤
⎢3-11⎥⎢x ⎥=⎢9⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣-2-20⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣3⎥⎦
1) 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式并分析其收敛性。2）用矩阵的D oolittle 三角分解法求方程组的解。
五、构造一个次数不超过4次的多项式H （x ）, 满足
H (0) =H (1) =0，H ' (0) =H ' (1) , H ' ' (1) =2六、
求f (x ) =4x 3+2x 2+1在区间[-1，1]上的2次最佳一致逼近多项式。七、设f (x ) ∈C [a , b ], I (f ) =⎰f (x ) d x
2
a b
1) 写出f (x ) 以a 和b 两点为差值节点的1次插值多项式及插值余项
2）推导出计算积分I (f ) 的梯度公式T (f ) 及截断误差表达式，并指出其代数精度。
b -a
3）将区间[a , b ]做n 等分，并记h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2, ⋯⋯，n , 写出计算积分I (f )
n
的复化梯形公式T n (f ) 及其截断误差。
x 4) 若用复化梯形公式计算积分e 5位有效数字，至少应将区间⎰d x , 要是计算结果具有
01
多少等分
3
⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
八、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，试证明下列数值
y (a ) =η⎩
b -a
求解公式h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2, ⋯⋯，n
n
⎧h ⎡22⎤
⎪y i +1=y i +⎢f (x i , y i ) +3f (x i +h , y i +hf (x i , y i )) ⎥, 0≤i ≤n -1⎨4⎣33⎦⎪y 0=η⎩
具有二阶精度，并给出其局部截断误差的表达式。⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b 九、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，
y (a ) =η⎩
b -a 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试证明下列数值求解公式y i +1=y i +hf (x i +h , y i +hf (x i , y i )) 具有2阶精度，
并给出局部截断误差的表达式
4
山东科技大学 2010-2011 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、 设近似值x = 6.1025, y =80.115均有 5 位有效数字。试分析x +y 的绝对误差限和相对和相对误
⎡1⎤⎡743⎤
⎥, A =⎢1-46⎥, 试求x , x , x , Ax 二、 设x=⎢212∞∞⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-4⎥⎦⎣487⎥⎦三、 应用牛顿法于方程x 3-a =0, 导出求立方根a 的迭代公式。四、 给定线性方程组
⎧x 1-2x 2+2x 3=5
⎪
⎨-x 1+3x 2=-1⎪2x +7x =2
13⎩
1. 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式；2. 试分析G auss -S eidel 迭代格式的收敛性；3. 用D oolittle 三角分解法求方程组的解。
五、 已知当 x =0,2,3,5时，f (x ) = 1,3,2,5，构造差商表 f (x ) 的三次牛顿三值多项式。
六、 设f (x ) = x 2，试试 f (x ) 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项项式平方误差。七、给定求积公式：
⎰
1
-1
f (x ) d x =Af (-1) +Bf (0) +Cf (1)
试确定求积系数A , B , C , 使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。八、考虑定积分I (f ) =⎰f (x ) d x
a b
1. 写出计算积分I (f ) 的梯形公式T (f ) 及截断误差表达式；
b -a
2. 将区间[a b ]做n 等分，并记h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2⋯⋯，n , 写出计算积分
n
I (f ) 的复化梯形公式T n (f ) 及截断误差。
5
⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
九、考虑常微分方程初值问题⎨
y (a ) =η⎩
b -a
取正整数n , 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试证明下列数值求解公式y i +1=y i +hf (x i +h , y i +hf (x i , , y i )) 具有2阶精度，并给出局部截断误差的表达式。
6
山东科技大学 2012-2013 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、计算题
1、设f (x ) =3x 6+x 3+1, 计算f 20
[
21L 26与f 20
][
21L 27的值。
]
⎡5⎤⎡131⎤
⎥, A =⎢6-22⎥, 计算x , x , A , A 。2、设x =⎢212∞F ⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-1⎥⎦⎣327⎥⎦二、计算题
设x 1=12. 1, x 2=3. 65均具有3位有效数字，试分析x 1+x 2的绝对误差限与相对误差限。三、计算题给定求积公式：
⎰
1
-1
f (x ) d x ≈Af (-1) +Bf (0) +Cf (1)
(1) 试确定求积系数A , B , C ，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度；（2）判断该公式是否为高斯型，并说明理由；
[-11]作n 等分，并记h =（3）将区间
一个复化求积公式四、计算题
2
, x i =-1+ih , i =0, 1, k , n , 利用该求积公式构造n
设函数f (x ) =x 2, 求f (x ) 在区间[02]上的一次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。五、计算题
已知当x =0, 2, 3, 5时，f (x ) =1, 3, 2, 5, 写出f (x ) 的三次N ewton 插值多项式。六、计算题
设f (x ) =x n -a , a 为正数，记x *=a , 写出求方程f (x ) =0的x *的牛顿迭代格式，并指出其收敛阶
7
七、计算题
⎡1-22⎤⎡x 1⎤⎡5⎤给定线性方程组⎢⎢-130⎥⎢x ⎥=⎢-1⎥⎢⎥⎢2⎢⎥⎢⎥⎣207⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦
(1) 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式。(2) 试分析G auss -S eidel 迭代格式的敛散性；(3) 用列主元G auss 消去法求方程组的解。八、计算题
⎧y ' 考虑常微分方程初值问题⎨=f (x , y ), a ≤x ≤b ⎩
y (a ) =η, 取正整数n ，记写出改进的欧拉公式，并指出其精度。
8
h =b -a
n , x i =a +ih , 0≤i ≤n .
山东科技大学 2014-2015 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、（6分）设近似值x 1=24.0，x 2=0.05均为有效数。是分析：2x 1x 2-4x 2的绝对误差限和相对误差限。
二、（ 10分）
1、设f (x ) =4x 5+3x 3+x ，计算：f [-1，0，1]与f [-3，-2，-1，0，1，2，3]的值。
⎡-62、设x =⎢⎤⎢5⎥⎡20-1⎤
⎥, A =⎢⎢-513⎥
⎥，计算:x ∞, x 2, A 1, A ⎢∞。
⎣1⎥⎦⎢⎣24-6⎥⎦
三、（10分）给定方程：e x (x-2)=1，试确定方程在2附近的含根区间[a,b] 的初始点x 0∈[a,b]迭代公式都收敛。
四、（20分）给定线性方程组:
⎡⎢20-1⎤⎡x 1⎤⎡3⎤
⎢-113⎥⎢⎥⎢⎢x ⎥⎢⎥2⎥=⎢4⎥⎣120⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣3⎥⎦
1）写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式。
2）试分析J acobi 迭代格式的敛散性。
3）用直接的D oo little 三角分解法求方程组的解。
五、（12分）构造一个次数不超过4次的多项式H (x ) ，满足：
H (1) =0, H ' (1) =H ' '
(1) =2, H (2) =3, H (3) =-1。
六、（14分）求f (x ) =3x 2+x +1，试求：
（1）f(x)在区间[1,2]上的一次最佳一致逼近多项式及最小偏差。
（2）f(x)在区间[1,2]上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。
9
点迭代格式，使之对任意
七、（16分）给定积分公式:
⎰
2h
-2h
f (x ) d x ≈A 1f (-h ) +A 2f (0) +A 3f (h )
1）试确定求积系数A 1, A 2, A 3，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。2）给出高斯型求积公式的定义，并判断上述求积公式是否为高斯型。⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b 八、（12分）考虑常微分方程初值问题⎨
y (a ) =η⎩取正整数n ，记h =
b -a
, x i =a +ih , 0≤i ≤n . n
试证明数值求解公式：
⎤h ⎡22
f (x , y ) +3f (x +h , hf (x , y )) i i i i i ⎢⎥
⎦
4⎣33
具有2阶精度，并给出其局部截断误差的表达式。
y i +1=y +
答案及题型汇总（图片顺序需调整）
10
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山东科技大学 2008-2009 学年第一学期
《数值分析》考试
一、设x =9. 1234，y =10. 486均具有5位有效数字。试分析x -y 和x 3+y 3的绝对误差限和相对误差限。
二、求一条拟合3点A (0, 1), B (1, 3), C (2, 2) 的直线。三、设n ≥2为正整数，c 为正数，记x *=c
1）说明不能用下面的迭代格式
-n
x k +1=cx 1k , k =0, 1, 2⋯⋯
求x *的近似值。
2）构造一个可以求x *的迭代格式，证明所构造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数。四、给定线性方程组
⎡4-10⎤⎡x 1⎤⎡2⎤⎢-1a 1⎥⎢x ⎥=⎢6⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣014⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦
其中a 为非零常数。
1）写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式并分析其收敛性。2）分析a 在什么范围取值时以上迭代格式收敛。五、做一个5次多项式H (x ) 使得
H (1) =3, H (2) =-1, H (4) =3, H ' (1) =2, H ' (2) =1, H *(2) =2, 六、求f (x ) =x 2在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式。七、给定积分公式:
⎰
1
-1
f (x ) d x ≈Af (-1) +Bf (0) +f (1)
1）试确定求积系数A , B , C ，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。2）试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并说明理由。
2
[-1，3）将区间1]作n 等分，并记h =, x i =-1+ih , i =0, 1, ⋯⋯，n , 利用该求积公式
n
构造一个复化求积公式。
1
⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
八、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，
y (a ) =η⎩
b -a 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试确定常数使得下列数值求解公式
h ⎧
⎪y i +1=y i +[f (x i , y i ) +2f (x i +αh , y i +αhf (x i , y i )) ], 0≤i ≤n -1⎨3⎪y 0=η⎩
具有最高阶精度，指出相应的阶数，并给出此九用矩阵的三角分解法，求解方程组
⎧⎪
x 1+2x 2+3x 3=14
⎨2x 1+5x ⎪2+2x 3=18⎩3x 1+x 2
+5x 3=20
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时局部截断误差的表达式。
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《数值分析》考试试卷
一、
设近似值x =1. 1021, y =56. 430均有5位有效数字。试分析x +y 的绝对误差限和相对误差限。二、
求一条拟合3点A (0，1), B (1，3), C (2，2), D (3，5)的直线。三、设f (x ) =(x 3-a ) 2, a 为正数，记x *=a
1) 写出方程f (x ) =0的根x *的牛顿迭代格式，并证明次迭代格式是线性收敛的。2）求x *的迭代格式的收敛阶是否可以提高？如果可以，试着构造，并指出其收敛阶。四、给定线性方程组
⎡240⎤⎡x 1⎤⎡5⎤
⎢3-11⎥⎢x ⎥=⎢9⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣-2-20⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣3⎥⎦
1) 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式并分析其收敛性。2）用矩阵的D oolittle 三角分解法求方程组的解。
五、构造一个次数不超过4次的多项式H （x ）, 满足
H (0) =H (1) =0，H ' (0) =H ' (1) , H ' ' (1) =2六、
求f (x ) =4x 3+2x 2+1在区间[-1，1]上的2次最佳一致逼近多项式。七、设f (x ) ∈C [a , b ], I (f ) =⎰f (x ) d x
2
a b
1) 写出f (x ) 以a 和b 两点为差值节点的1次插值多项式及插值余项
2）推导出计算积分I (f ) 的梯度公式T (f ) 及截断误差表达式，并指出其代数精度。
b -a
3）将区间[a , b ]做n 等分，并记h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2, ⋯⋯，n , 写出计算积分I (f )
n
的复化梯形公式T n (f ) 及其截断误差。
x 4) 若用复化梯形公式计算积分e 5位有效数字，至少应将区间⎰d x , 要是计算结果具有
01
多少等分
3
⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
八、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，试证明下列数值
y (a ) =η⎩
b -a
求解公式h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2, ⋯⋯，n
n
⎧h ⎡22⎤
⎪y i +1=y i +⎢f (x i , y i ) +3f (x i +h , y i +hf (x i , y i )) ⎥, 0≤i ≤n -1⎨4⎣33⎦⎪y 0=η⎩
具有二阶精度，并给出其局部截断误差的表达式。⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b 九、考虑常微分方程初值问题⎨取正整数n ，
y (a ) =η⎩
b -a 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试证明下列数值求解公式y i +1=y i +hf (x i +h , y i +hf (x i , y i )) 具有2阶精度，
并给出局部截断误差的表达式
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山东科技大学 2010-2011 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、 设近似值x = 6.1025, y =80.115均有 5 位有效数字。试分析x +y 的绝对误差限和相对和相对误
⎡1⎤⎡743⎤
⎥, A =⎢1-46⎥, 试求x , x , x , Ax 二、 设x=⎢212∞∞⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-4⎥⎦⎣487⎥⎦三、 应用牛顿法于方程x 3-a =0, 导出求立方根a 的迭代公式。四、 给定线性方程组
⎧x 1-2x 2+2x 3=5
⎪
⎨-x 1+3x 2=-1⎪2x +7x =2
13⎩
1. 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式；2. 试分析G auss -S eidel 迭代格式的收敛性；3. 用D oolittle 三角分解法求方程组的解。
五、 已知当 x =0,2,3,5时，f (x ) = 1,3,2,5，构造差商表 f (x ) 的三次牛顿三值多项式。
六、 设f (x ) = x 2，试试 f (x ) 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项项式平方误差。七、给定求积公式：
⎰
1
-1
f (x ) d x =Af (-1) +Bf (0) +Cf (1)
试确定求积系数A , B , C , 使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。八、考虑定积分I (f ) =⎰f (x ) d x
a b
1. 写出计算积分I (f ) 的梯形公式T (f ) 及截断误差表达式；
b -a
2. 将区间[a b ]做n 等分，并记h =, x i =a +ih , i =0, 1, 2⋯⋯，n , 写出计算积分
n
I (f ) 的复化梯形公式T n (f ) 及截断误差。
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⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b
九、考虑常微分方程初值问题⎨
y (a ) =η⎩
b -a
取正整数n , 记h =, x i =a +ih , 0≤i ≤n .
n
试证明下列数值求解公式y i +1=y i +hf (x i +h , y i +hf (x i , , y i )) 具有2阶精度，并给出局部截断误差的表达式。
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山东科技大学 2012-2013 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、计算题
1、设f (x ) =3x 6+x 3+1, 计算f 20
[
21L 26与f 20
][
21L 27的值。
]
⎡5⎤⎡131⎤
⎥, A =⎢6-22⎥, 计算x , x , A , A 。2、设x =⎢212∞F ⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣-1⎥⎦⎣327⎥⎦二、计算题
设x 1=12. 1, x 2=3. 65均具有3位有效数字，试分析x 1+x 2的绝对误差限与相对误差限。三、计算题给定求积公式：
⎰
1
-1
f (x ) d x ≈Af (-1) +Bf (0) +Cf (1)
(1) 试确定求积系数A , B , C ，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度；（2）判断该公式是否为高斯型，并说明理由；
[-11]作n 等分，并记h =（3）将区间
一个复化求积公式四、计算题
2
, x i =-1+ih , i =0, 1, k , n , 利用该求积公式构造n
设函数f (x ) =x 2, 求f (x ) 在区间[02]上的一次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。五、计算题
已知当x =0, 2, 3, 5时，f (x ) =1, 3, 2, 5, 写出f (x ) 的三次N ewton 插值多项式。六、计算题
设f (x ) =x n -a , a 为正数，记x *=a , 写出求方程f (x ) =0的x *的牛顿迭代格式，并指出其收敛阶
7
七、计算题
⎡1-22⎤⎡x 1⎤⎡5⎤给定线性方程组⎢⎢-130⎥⎢x ⎥=⎢-1⎥⎢⎥⎢2⎢⎥⎢⎥⎣207⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦
(1) 写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式。(2) 试分析G auss -S eidel 迭代格式的敛散性；(3) 用列主元G auss 消去法求方程组的解。八、计算题
⎧y ' 考虑常微分方程初值问题⎨=f (x , y ), a ≤x ≤b ⎩
y (a ) =η, 取正整数n ，记写出改进的欧拉公式，并指出其精度。
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h =b -a
n , x i =a +ih , 0≤i ≤n .
山东科技大学 2014-2015 学年第一学期
《数值分析》考试试卷
一、（6分）设近似值x 1=24.0，x 2=0.05均为有效数。是分析：2x 1x 2-4x 2的绝对误差限和相对误差限。
二、（ 10分）
1、设f (x ) =4x 5+3x 3+x ，计算：f [-1，0，1]与f [-3，-2，-1，0，1，2，3]的值。
⎡-62、设x =⎢⎤⎢5⎥⎡20-1⎤
⎥, A =⎢⎢-513⎥
⎥，计算:x ∞, x 2, A 1, A ⎢∞。
⎣1⎥⎦⎢⎣24-6⎥⎦
三、（10分）给定方程：e x (x-2)=1，试确定方程在2附近的含根区间[a,b] 的初始点x 0∈[a,b]迭代公式都收敛。
四、（20分）给定线性方程组:
⎡⎢20-1⎤⎡x 1⎤⎡3⎤
⎢-113⎥⎢⎥⎢⎢x ⎥⎢⎥2⎥=⎢4⎥⎣120⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣3⎥⎦
1）写出J acobi 迭代格式与G auss -S eidel 迭代格式。
2）试分析J acobi 迭代格式的敛散性。
3）用直接的D oo little 三角分解法求方程组的解。
五、（12分）构造一个次数不超过4次的多项式H (x ) ，满足：
H (1) =0, H ' (1) =H ' '
(1) =2, H (2) =3, H (3) =-1。
六、（14分）求f (x ) =3x 2+x +1，试求：
（1）f(x)在区间[1,2]上的一次最佳一致逼近多项式及最小偏差。
（2）f(x)在区间[1,2]上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。
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点迭代格式，使之对任意
七、（16分）给定积分公式:
⎰
2h
-2h
f (x ) d x ≈A 1f (-h ) +A 2f (0) +A 3f (h )
1）试确定求积系数A 1, A 2, A 3，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。2）给出高斯型求积公式的定义，并判断上述求积公式是否为高斯型。⎧y ' =f (x , y ), a ≤x ≤b 八、（12分）考虑常微分方程初值问题⎨
y (a ) =η⎩取正整数n ，记h =
b -a
, x i =a +ih , 0≤i ≤n . n
试证明数值求解公式：
⎤h ⎡22
f (x , y ) +3f (x +h , hf (x , y )) i i i i i ⎢⎥
⎦
4⎣33
具有2阶精度，并给出其局部截断误差的表达式。
y i +1=y +
答案及题型汇总（图片顺序需调整）
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