公务员数学公式汇总
目录
一、基础代数公式 ................................................................ 2 二、等差数列 .................................................................... 2 三、等比数列 .................................................................... 2 四、不等式 ...................................................................... 3 五、基础几何公式 ................................................................ 3 六、工程问题 .................................................................... 4 七、几何边端问题 ................................................................ 4 八、利润问题 .................................................................... 5 九、排列组合 .................................................................... 5 十、年龄问题 .................................................................... 5 十一、植树问题 .................................................................. 6 十二、行程问题 .................................................................. 6 十三、钟表问题 .................................................................. 7 十四、容斥原理 .................................................................. 7 十五、牛吃草问题 ................................................................ 8 十六、弃九推断 .................................................................. 8 十七、乘方尾数 .................................................................. 8 十八、除以“7”乘方余数核心口诀 . ................................................. 8 十九、指数增长 .................................................................. 9 二十、溶液问题 .................................................................. 9 二十二、减半调和平均数 ......................................................... 10 二十三、余数同余问题 ........................................................... 10 二十四、星期日期问题 ........................................................... 10 二十五、循环周期问题 ........................................................... 10 二十六、典型数列前N 项和........................................................ 11
22
1. 平方差公式：（a ＋b ）·（a －b ）＝a －b
222
2. 完全平方公式：（a±b) ＝a ±2ab ＋b
322
3. 完全立方公式：（a ±b) =（a±b）(a ab+b)
3322
4. 立方和差公式：a +b=(a±b)(a+ ab+b) 5. a ·a ＝a
m
n
m ＋n
a m ÷an ＝a m －n (am ) n =amn (ab)n =an ·b n
n ⨯(a 1+a n ) 1
（1）s n ＝＝na 1+n(n-1)d；
22
（2）a n ＝a 1＋（n －1）d ；
（3）项数n ＝
a n -a 1
＋1； d
（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b； （5）若m+n=k+i，则：a m +an =ak +ai ；
（6）前n 个奇数：1，3，5，7，9，„（2n —1）之和为n 2
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和）
n －1
（1）a n ＝a 1q ；
a 1（· 1－q n ）
（2）s n ＝（q ≠1）
1-q
（3）若a,G,b 成等比数列，则：G ＝ab ； （4）若m+n=k+i，则：a m ·a n =ak ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d
2
（6）
a m
＝q (m-n) a n
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和）
2
（1）一元二次方程求根公式：ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)
-b +2-4ac -b -b 2-4ac 2
其中：x 1=；x 2=（b -4ac ≥0）
2a 2a
b c
，x 1·x 2= a a a +b 2a +b +c 3
) ≥ab a 2+b 2≥2ab () ≥abc （2）a +b ≥2ab (23
根与系数的关系：x 1+x2=-（3）a +b +c ≥3abc a +b +c ≥3
2
2
2
3
abc
推广：x 1+x 2+x 3+... +x n ≥n n x 1x 2... x n
（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 （5）两项分母列项公式：
11b b
=(—)×
m (m +a ) m m +a a
三项分母裂项公式：b b 11
=[—]×
m (m +a )(m +2a ) m (m +a ) (m +a )(m +2a ) 2a
222
2. 面积公式：
正方形＝a 长方形＝ a ⨯b 三角形＝
2
111
ah =ab sin c 梯形＝(a +b ) h
222
圆形＝πR 3. 表面积：
2
平行四边形＝ah 扇形＝
n
πR 2 0
360
2
2
正方体＝6a 长方体＝2⨯(ab +bc +ac ) 圆柱体＝2πr ＋2πrh 球的表面积＝4πR 4. 体积公式
正方体＝a 长方体＝abc 圆柱体＝Sh ＝πr h 圆锥＝
2
2
3
142
πr h 球＝πR 3 33
5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S 侧＝πr l ；
6. 图形等比缩放型：
一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则： 1.所有对应角度不发生变化；
2.所有对应长度变为原来的m 倍；
2
3.所有对应面积变为原来的m 倍；
3
4.所有对应体积变为原来的m 倍。 7. 几何最值型：
1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。
工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数
（1）方阵问题：
222
1. 实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）=（外圈人数÷4+1）=N 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
22
2. 空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）-（最外层每边人数-2×层数）
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 3. N 边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。
4. 实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4
5. 方阵：总人数=N 外圈人数=4N-4
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要怕M -N 层。
2
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；
利润率＝
利润销售价－成本销售价
＝＝－1； 成本成本成本
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝（2）利息＝本金×利率×时期；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
销售价
。
1＋利润率
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）=本金⨯（1+利率）；
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”
．3672 =3281．28（元）
期限
3
（1）排列公式：P m （n －2）„（n －m ＋1），（m≤n）。 A 7=7⨯6⨯5 n ＝n （n －1）m m 0（2）组合公式：C m 。c 5=n ＝P n ÷P m ＝（规定C n ＝1）
3
5⨯4⨯3
3⨯2⨯1
（3）错位排列（装错信封）问题：D 1＝0，D 2＝1，D 3＝2，D 4＝9，D 5＝44，D 6＝265，
N
（
4）N 人排成一圈有A N /N种；
N
N 枚珍珠串成一串有A N /2种。
关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
（1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔
（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔； 总长=棵数×间隔
（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
N
（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2×M ＋1）段
（1）平均速度型：平均速度＝
2v 1v 2
v 1+v 2
（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：
顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。 顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间 逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间 （4）火车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间 （5）环形运动型：
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间 （6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1±（7）队伍行进型：
对头→队尾：队伍长度=（u 队尾→对头：队伍长度=（u （8）典型行程模型：
等距离平均速度：u =
人
u 梯
），（顺行用加、逆行用减） u 人
+u队）×时间 u 队）×时间
人－
2u 1u 2
（U 1、U 2分别代表往、返速度）
u 1+u 2
等发车前后过车：核心公式：T =
u 2t 1t 2t +t ，车=21 t 1+t 2u 人t 2-t 1
等间距同向反向：
t 同u 1+u 2
=
t 反u 1-u 2
3s 1+s 2
两岸型：s =3s 1-s 2 （s 表示两岸距离） 2
不间歇多次相遇：单岸型：s =
2t 逆t 顺
无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t 顺和t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）
t 逆-t 顺
基本常识：
①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的
o
111，分针每小时可追及 1212
②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成18022次。
00
③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（30），分针每小时转12格（360） ④时针一昼夜转两圈（720），1小时转
00
10
圈（30）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。 12
⑤钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。 追及公式： T =T 0+时间）。
1
T 0；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟11
⑴两集合标准型：满足条件I 的个数+满足条件II 的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数 ⑵三集合标准型：A B C =A +B +C -A B -B C -A C +A B C
⑶三集和图标标数型：
利用图形配合，标数解答
1.特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 3.标数时，注意由中间向外标记
⑷三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC ，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W 。其中：满足一个条件的元素数量为x ，满足两个条件的元素数量为
y ，满足三个条件的元素数量为z ，可以得以下等式：①W=x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z
核心公式：y=(N—x)T
原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X 注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃W 亩草时”，N 用
M
代入，此时N 代表单位面积上的牛数。 W
在整数范围内的+—×三种运算中，可以使用此法
1. 计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。
2. 计算时如有数字不再0~8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0~8之间。 3. 将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
例：11338×25593的值为（）290173434 以9余6。选项中只有B 除以9余6.
1. 底数留个位
2. 指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4） 例题：37244998的末尾数字（）
A.2 B.4 C.6 D.8 [解析]37244998→22→4
注：只对除数为7的求余数有效 1. 底数除以7留余数
2. 指数除以6留余数（余数为0则看作6） 例：20072009除以7余数是多少？（）
[解析]20072009→55→3125→3（3125÷7=446。。。3）
如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当时的
1
。 A
⑴溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷溶液 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度
⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c%，则
a %⨯M +b %⨯N
①c %=
M +N MN
②L =
M +N
⑶混合稀释型
①溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为(1+a ) 次数⨯原浓度 ②溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为(
调和平均数公式：a =
1次数
) ⨯原浓度 1+a
2a 1a 2
a 1+a 2
2p 1p 2
（P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格 ）
p 1+p 2
2r 1r 3
（其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度） r 1+r 3
等价钱平均价格核心公式：p =
等溶质增减溶质核心公式：r 2=
核心公式： a =
a 1a 2
a 1+a 2
核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。
注意：星期每7天一循环；“隔N 天”指的是“每（N+1)天”。 核心提示：若一串事物以T 为周期，且A ÷T=N„a ，那么第A 项等同于第a 项。
4.2
4.3
4.7
第 11 页 共 13 页
★1既不是质数也不是合数
1.200以内质数 2 3 5 7 101 103 109 11 13 17 19 23 29 113 127 131 137 31 37 41 43 47 53 59
139 149 151 157 163 167 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 199 3. 常用“非唯一”变换
①数字0的变换:0=0(N ≠0) ②数字1的变换：1=a =1=(-1)
4
2
N
0N 2N
(a ≠0)
6
3
2
4
2
③特殊数字变换：16=2=4 64=2=4=8 81=3=9 256=2=4=16 512=2=8 729=9=27=3 1024=2
3121
④个位幂次数字：4=2=4 8=2=8 9=3=9
2
1
82
9332610
=45=322
第 12 页 共 13 页
侧/底面高：PD =AD =
2a 底面内切圆半径：DO =a 侧/底面面积：a 426
高：PO =
23226a 截面ADP 面积：a 底面外接圆半径：AO =a 体积：a 12433
第 13 页 共 13 页
公务员数学公式汇总
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一、基础代数公式 ................................................................ 2 二、等差数列 .................................................................... 2 三、等比数列 .................................................................... 2 四、不等式 ...................................................................... 3 五、基础几何公式 ................................................................ 3 六、工程问题 .................................................................... 4 七、几何边端问题 ................................................................ 4 八、利润问题 .................................................................... 5 九、排列组合 .................................................................... 5 十、年龄问题 .................................................................... 5 十一、植树问题 .................................................................. 6 十二、行程问题 .................................................................. 6 十三、钟表问题 .................................................................. 7 十四、容斥原理 .................................................................. 7 十五、牛吃草问题 ................................................................ 8 十六、弃九推断 .................................................................. 8 十七、乘方尾数 .................................................................. 8 十八、除以“7”乘方余数核心口诀 . ................................................. 8 十九、指数增长 .................................................................. 9 二十、溶液问题 .................................................................. 9 二十二、减半调和平均数 ......................................................... 10 二十三、余数同余问题 ........................................................... 10 二十四、星期日期问题 ........................................................... 10 二十五、循环周期问题 ........................................................... 10 二十六、典型数列前N 项和........................................................ 11
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1. 平方差公式：（a ＋b ）·（a －b ）＝a －b
222
2. 完全平方公式：（a±b) ＝a ±2ab ＋b
322
3. 完全立方公式：（a ±b) =（a±b）(a ab+b)
3322
4. 立方和差公式：a +b=(a±b)(a+ ab+b) 5. a ·a ＝a
m
n
m ＋n
a m ÷an ＝a m －n (am ) n =amn (ab)n =an ·b n
n ⨯(a 1+a n ) 1
（1）s n ＝＝na 1+n(n-1)d；
22
（2）a n ＝a 1＋（n －1）d ；
（3）项数n ＝
a n -a 1
＋1； d
（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b； （5）若m+n=k+i，则：a m +an =ak +ai ；
（6）前n 个奇数：1，3，5，7，9，„（2n —1）之和为n 2
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和）
n －1
（1）a n ＝a 1q ；
a 1（· 1－q n ）
（2）s n ＝（q ≠1）
1-q
（3）若a,G,b 成等比数列，则：G ＝ab ； （4）若m+n=k+i，则：a m ·a n =ak ·a i ； （5）a m -a n =(m-n)d
2
（6）
a m
＝q (m-n) a n
（其中：n 为项数，a 1为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和）
2
（1）一元二次方程求根公式：ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)
-b +2-4ac -b -b 2-4ac 2
其中：x 1=；x 2=（b -4ac ≥0）
2a 2a
b c
，x 1·x 2= a a a +b 2a +b +c 3
) ≥ab a 2+b 2≥2ab () ≥abc （2）a +b ≥2ab (23
根与系数的关系：x 1+x2=-（3）a +b +c ≥3abc a +b +c ≥3
2
2
2
3
abc
推广：x 1+x 2+x 3+... +x n ≥n n x 1x 2... x n
（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 （5）两项分母列项公式：
11b b
=(—)×
m (m +a ) m m +a a
三项分母裂项公式：b b 11
=[—]×
m (m +a )(m +2a ) m (m +a ) (m +a )(m +2a ) 2a
222
2. 面积公式：
正方形＝a 长方形＝ a ⨯b 三角形＝
2
111
ah =ab sin c 梯形＝(a +b ) h
222
圆形＝πR 3. 表面积：
2
平行四边形＝ah 扇形＝
n
πR 2 0
360
2
2
正方体＝6a 长方体＝2⨯(ab +bc +ac ) 圆柱体＝2πr ＋2πrh 球的表面积＝4πR 4. 体积公式
正方体＝a 长方体＝abc 圆柱体＝Sh ＝πr h 圆锥＝
2
2
3
142
πr h 球＝πR 3 33
5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S 侧＝πr l ；
6. 图形等比缩放型：
一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则： 1.所有对应角度不发生变化；
2.所有对应长度变为原来的m 倍；
2
3.所有对应面积变为原来的m 倍；
3
4.所有对应体积变为原来的m 倍。 7. 几何最值型：
1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。
工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数
（1）方阵问题：
222
1. 实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）=（外圈人数÷4+1）=N 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
22
2. 空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）-（最外层每边人数-2×层数）
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 3. N 边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。
4. 实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4
5. 方阵：总人数=N 外圈人数=4N-4
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要怕M -N 层。
2
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；
利润率＝
利润销售价－成本销售价
＝＝－1； 成本成本成本
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝（2）利息＝本金×利率×时期；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
销售价
。
1＋利润率
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）=本金⨯（1+利率）；
月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”
．3672 =3281．28（元）
期限
3
（1）排列公式：P m （n －2）„（n －m ＋1），（m≤n）。 A 7=7⨯6⨯5 n ＝n （n －1）m m 0（2）组合公式：C m 。c 5=n ＝P n ÷P m ＝（规定C n ＝1）
3
5⨯4⨯3
3⨯2⨯1
（3）错位排列（装错信封）问题：D 1＝0，D 2＝1，D 3＝2，D 4＝9，D 5＝44，D 6＝265，
N
（
4）N 人排成一圈有A N /N种；
N
N 枚珍珠串成一串有A N /2种。
关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
（1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔
（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔； 总长=棵数×间隔
（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。
N
（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2×M ＋1）段
（1）平均速度型：平均速度＝
2v 1v 2
v 1+v 2
（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：
顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。 顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间 逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间 （4）火车过桥型：
列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间 （5）环形运动型：
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间 （6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1±（7）队伍行进型：
对头→队尾：队伍长度=（u 队尾→对头：队伍长度=（u （8）典型行程模型：
等距离平均速度：u =
人
u 梯
），（顺行用加、逆行用减） u 人
+u队）×时间 u 队）×时间
人－
2u 1u 2
（U 1、U 2分别代表往、返速度）
u 1+u 2
等发车前后过车：核心公式：T =
u 2t 1t 2t +t ，车=21 t 1+t 2u 人t 2-t 1
等间距同向反向：
t 同u 1+u 2
=
t 反u 1-u 2
3s 1+s 2
两岸型：s =3s 1-s 2 （s 表示两岸距离） 2
不间歇多次相遇：单岸型：s =
2t 逆t 顺
无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t 顺和t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）
t 逆-t 顺
基本常识：
①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的
o
111，分针每小时可追及 1212
②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成18022次。
00
③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（30），分针每小时转12格（360） ④时针一昼夜转两圈（720），1小时转
00
10
圈（30）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。 12
⑤钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。 追及公式： T =T 0+时间）。
1
T 0；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟11
⑴两集合标准型：满足条件I 的个数+满足条件II 的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数 ⑵三集合标准型：A B C =A +B +C -A B -B C -A C +A B C
⑶三集和图标标数型：
利用图形配合，标数解答
1.特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 3.标数时，注意由中间向外标记
⑷三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC ，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W 。其中：满足一个条件的元素数量为x ，满足两个条件的元素数量为
y ，满足三个条件的元素数量为z ，可以得以下等式：①W=x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z
核心公式：y=(N—x)T
原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X 注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃W 亩草时”，N 用
M
代入，此时N 代表单位面积上的牛数。 W
在整数范围内的+—×三种运算中，可以使用此法
1. 计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。
2. 计算时如有数字不再0~8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0~8之间。 3. 将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
例：11338×25593的值为（）290173434 以9余6。选项中只有B 除以9余6.
1. 底数留个位
2. 指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4） 例题：37244998的末尾数字（）
A.2 B.4 C.6 D.8 [解析]37244998→22→4
注：只对除数为7的求余数有效 1. 底数除以7留余数
2. 指数除以6留余数（余数为0则看作6） 例：20072009除以7余数是多少？（）
[解析]20072009→55→3125→3（3125÷7=446。。。3）
如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当时的
1
。 A
⑴溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质÷溶液 溶质=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度
⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M 、N ，交换质量L 后浓度都变成c%，则
a %⨯M +b %⨯N
①c %=
M +N MN
②L =
M +N
⑶混合稀释型
①溶液倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为(1+a ) 次数⨯原浓度 ②溶液加入比例为a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为(
调和平均数公式：a =
1次数
) ⨯原浓度 1+a
2a 1a 2
a 1+a 2
2p 1p 2
（P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格 ）
p 1+p 2
2r 1r 3
（其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度） r 1+r 3
等价钱平均价格核心公式：p =
等溶质增减溶质核心公式：r 2=
核心公式： a =
a 1a 2
a 1+a 2
核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。
注意：星期每7天一循环；“隔N 天”指的是“每（N+1)天”。 核心提示：若一串事物以T 为周期，且A ÷T=N„a ，那么第A 项等同于第a 项。
4.2
4.3
4.7
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★1既不是质数也不是合数
1.200以内质数 2 3 5 7 101 103 109 11 13 17 19 23 29 113 127 131 137 31 37 41 43 47 53 59
139 149 151 157 163 167 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 199 3. 常用“非唯一”变换
①数字0的变换:0=0(N ≠0) ②数字1的变换：1=a =1=(-1)
4
2
N
0N 2N
(a ≠0)
6
3
2
4
2
③特殊数字变换：16=2=4 64=2=4=8 81=3=9 256=2=4=16 512=2=8 729=9=27=3 1024=2
3121
④个位幂次数字：4=2=4 8=2=8 9=3=9
2
1
82
9332610
=45=322
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侧/底面高：PD =AD =
2a 底面内切圆半径：DO =a 侧/底面面积：a 426
高：PO =
23226a 截面ADP 面积：a 底面外接圆半径：AO =a 体积：a 12433
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