环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号： ____________ 副校长/组长签字： 签字日期：
【考纲说明】
1. 判定的定理必须数形结合熟练记忆，并会灵活运用，针对具体的题型选择合适的证明方法
2. 高考题中常以大题考察，一般是证明题的形式，12分左右，要求必须会做！
【知识梳理】
1. 直线与平面垂直的判定：
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 即若m α，n α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 即若l∥a,a⊥α, 则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l β，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ, β⊥γ, 且a∩β=α, 则a⊥γ
2. 两平面垂直的判定
① 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－
a －β=90°α⊥β.
② 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l α，则
α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
【经典例题】
1. 已知直线a ，b 和平面α，有以下四个命题：
若a //α，a //b ，则b //α； 若a ⊂α，b α=A ，则a 与b 异面；
若a //b ，b ⊥α，则a ⊥α； 若a ⊥b ，a ⊥α，则b //α．
其中真命题的个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
①若m ⊥l ，②若m ⊥α，③若m //α，2. 已知直线l ⊥平面α，有以下几个判断：则m //α；则m //l ；则m ⊥l ；
④若m //l ，则m ⊥α．上述判断中正确的是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．②③④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②④
3. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（ ）
A ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
4. 在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 及BC 的中点，M 是EF 的中点，沿DE ，DF 及EF 把△DAE ，△DFC ，△EBF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记作P ，那么在四面体P -DEF 中必有（ ） Ａ．DP ⊥面PEF Ｂ．DM ⊥面PEF Ｃ．PM ⊥面DEF Ｄ．PF ⊥面DEF
5. 直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有（ ）
Ａ．0条 Ｂ．1条 Ｃ．无数条 Ｄ．α内所有直线
6. 已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的是（ ）
Ａ．α⊥γ⎫⎬⇒α//β β⊥γ⎭
m //γ⎫⎬⇒m //n n //γ⎭ Ｂ．m //β⎫⎬⇒l ⊥β l ⊥m ⎭m ⊥γ⎫⎬⇒m //n n ⊥γ⎭Ｃ． Ｄ．
7. 在空间四边形ABCD 中，若AB =BC ，AD =CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是（ ） Ａ．平面ABD ⊥平面BDC Ｂ．平面ABC ⊥平面ABD
Ｃ．平面ABC ⊥平面ADC Ｄ．平面ABC ⊥平面BED
8. α，β，γ，ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则（ ）
Ａ．α//β且γ//ω Ｂ．α//β或γ//ω
Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行
9. 设a ，b 是异面直线，下列命题正确的是（ ）
Ａ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一条直线和a ，b 都相交
Ｂ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一个平面和a ，b 垂直
Ｃ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直
Ｄ．过a 一定可以作一个平面与b 平行
【课堂练习】
1. 设平面α⊥平面β，且α
Ａ．可能垂直，不可能平行
Ｃ．可能垂直，也可能平行 b 不与l 垂直，β=l ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a 不与l 垂直，那么a 与b （ ） Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直
2. 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b 与α的位置关系是___________．
3. α，β是两个不同的平面，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，
③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
4. 设O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，P 为平面AC 外一点且有PA =PC ，PB =PD ，则PO 与平面ABCD 的关系是_____________．
5. 设三棱锥P -ABC 的顶点P 在底面ABC 内射影O （在△ABC 内部，即过P 作PO ⊥底面ABC ，交于O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是△ABC 的______心.
6. 如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A ，B 两点的圆周
上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则△PAB ，△PAC ， △ABC ，△PBC 中，直角三角形的个数是_________．
【课后练习】
1. 已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α
2. 如图，已知平面α，β，直线a 满足α⊥β，a ⊥β，a ⊄α，试判断直线a 与平面α的位置关系并证明．
a
b
3. 如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ．
求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．
β=l ，求证：l ⊥γ．
4. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE ⊥PD ，EF //CD ，AM =EF ． 求证：MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线． P
5. 如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ，点D 为斜边AC 的中点．
(1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．
A
6. 如图所示，平面α⊥平面β，αβ=l ，在l 上取线段AB =4，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =3，BD =12，求CD 长．
答 案
一 选择题
BBBAC;DDBDB
二 填空题
⑴ b //α或b ⊂α
⑵ （2）（3）（4）⇒（1）或（1）（3）（4）⇒（2）
⑶ 垂直
⑷ 内心
⑸ 4
三 解答题
16解：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l ⊥平面γ．
17解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为α⊥β，所以b ⊥β．因为a ⊥β，所以a //b ．又因为a ⊄α，所以a //α．即直线a 与平面α平行．
18答案：证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BC ．又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面SAB ．
∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE ，∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC ⊥AE ，AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥SB ．同理AG ⊥SD ．
∵PA ⊥底面，∴PA ⊥AB ．∴AB ⊥面PAD ．∴BA ⊥AE ．M //C D //E F 19答案：证明：已知AB ⊥AD ，又A
且AM =EF ．∴AEFM 是矩形，∴AM ⊥MF ．
又∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ．又MF //AE ，∴MF ⊥平面PCD ．
∴MF ⊥PC ．∴MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线．
20答案：证明：（１）∵SA =SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC ．
连结BD ．在Rt △ABC 中，则AD =DC =BD ．∴△ADS ≌△BDS ，∴SD ⊥BD ．
又AC BD =D ，∴SD ⊥面ABC ． ，
（２）∵BA =BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ．
又由（１）知SD ⊥面ABC ， ∴SD ⊥BD ．于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥面SAC ．
∵BD ⊥AB ，∵AC ⊥AB ，∴BD ⊥α，BD ⊥BC ．∴△CBD ∴AC ⊥β，AC ⊥BD ．21答案：解：连结BC ．
是直角三角形．在Rt △BAC 中
，BC =
△C B D 中
，=5，在R t
CD =13．∴CD 长为13．
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号： ____________ 副校长/组长签字： 签字日期：
【考纲说明】
1. 判定的定理必须数形结合熟练记忆，并会灵活运用，针对具体的题型选择合适的证明方法
2. 高考题中常以大题考察，一般是证明题的形式，12分左右，要求必须会做！
【知识梳理】
1. 直线与平面垂直的判定：
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 即若m α，n α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 即若l∥a,a⊥α, 则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l β，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ, β⊥γ, 且a∩β=α, 则a⊥γ
2. 两平面垂直的判定
① 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－
a －β=90°α⊥β.
② 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l α，则
α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
【经典例题】
1. 已知直线a ，b 和平面α，有以下四个命题：
若a //α，a //b ，则b //α； 若a ⊂α，b α=A ，则a 与b 异面；
若a //b ，b ⊥α，则a ⊥α； 若a ⊥b ，a ⊥α，则b //α．
其中真命题的个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
①若m ⊥l ，②若m ⊥α，③若m //α，2. 已知直线l ⊥平面α，有以下几个判断：则m //α；则m //l ；则m ⊥l ；
④若m //l ，则m ⊥α．上述判断中正确的是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．②③④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②④
3. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（ ）
A ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
4. 在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 及BC 的中点，M 是EF 的中点，沿DE ，DF 及EF 把△DAE ，△DFC ，△EBF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记作P ，那么在四面体P -DEF 中必有（ ） Ａ．DP ⊥面PEF Ｂ．DM ⊥面PEF Ｃ．PM ⊥面DEF Ｄ．PF ⊥面DEF
5. 直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有（ ）
Ａ．0条 Ｂ．1条 Ｃ．无数条 Ｄ．α内所有直线
6. 已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的是（ ）
Ａ．α⊥γ⎫⎬⇒α//β β⊥γ⎭
m //γ⎫⎬⇒m //n n //γ⎭ Ｂ．m //β⎫⎬⇒l ⊥β l ⊥m ⎭m ⊥γ⎫⎬⇒m //n n ⊥γ⎭Ｃ． Ｄ．
7. 在空间四边形ABCD 中，若AB =BC ，AD =CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是（ ） Ａ．平面ABD ⊥平面BDC Ｂ．平面ABC ⊥平面ABD
Ｃ．平面ABC ⊥平面ADC Ｄ．平面ABC ⊥平面BED
8. α，β，γ，ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则（ ）
Ａ．α//β且γ//ω Ｂ．α//β或γ//ω
Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行
9. 设a ，b 是异面直线，下列命题正确的是（ ）
Ａ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一条直线和a ，b 都相交
Ｂ．过不在a ，b 上的一点P 一定可以作一个平面和a ，b 垂直
Ｃ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直
Ｄ．过a 一定可以作一个平面与b 平行
【课堂练习】
1. 设平面α⊥平面β，且α
Ａ．可能垂直，不可能平行
Ｃ．可能垂直，也可能平行 b 不与l 垂直，β=l ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a 不与l 垂直，那么a 与b （ ） Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直
2. 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b 与α的位置关系是___________．
3. α，β是两个不同的平面，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，
③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
4. 设O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，P 为平面AC 外一点且有PA =PC ，PB =PD ，则PO 与平面ABCD 的关系是_____________．
5. 设三棱锥P -ABC 的顶点P 在底面ABC 内射影O （在△ABC 内部，即过P 作PO ⊥底面ABC ，交于O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是△ABC 的______心.
6. 如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是异于A ，B 两点的圆周
上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则△PAB ，△PAC ， △ABC ，△PBC 中，直角三角形的个数是_________．
【课后练习】
1. 已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α
2. 如图，已知平面α，β，直线a 满足α⊥β，a ⊥β，a ⊄α，试判断直线a 与平面α的位置关系并证明．
a
b
3. 如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ．
求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．
β=l ，求证：l ⊥γ．
4. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE ⊥PD ，EF //CD ，AM =EF ． 求证：MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线． P
5. 如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ，点D 为斜边AC 的中点．
(1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．
A
6. 如图所示，平面α⊥平面β，αβ=l ，在l 上取线段AB =4，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =3，BD =12，求CD 长．
答 案
一 选择题
BBBAC;DDBDB
二 填空题
⑴ b //α或b ⊂α
⑵ （2）（3）（4）⇒（1）或（1）（3）（4）⇒（2）
⑶ 垂直
⑷ 内心
⑸ 4
三 解答题
16解：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l ⊥平面γ．
17解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为α⊥β，所以b ⊥β．因为a ⊥β，所以a //b ．又因为a ⊄α，所以a //α．即直线a 与平面α平行．
18答案：证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BC ．又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面SAB ．
∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE ，∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC ⊥AE ，AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥SB ．同理AG ⊥SD ．
∵PA ⊥底面，∴PA ⊥AB ．∴AB ⊥面PAD ．∴BA ⊥AE ．M //C D //E F 19答案：证明：已知AB ⊥AD ，又A
且AM =EF ．∴AEFM 是矩形，∴AM ⊥MF ．
又∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ．又MF //AE ，∴MF ⊥平面PCD ．
∴MF ⊥PC ．∴MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线．
20答案：证明：（１）∵SA =SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC ．
连结BD ．在Rt △ABC 中，则AD =DC =BD ．∴△ADS ≌△BDS ，∴SD ⊥BD ．
又AC BD =D ，∴SD ⊥面ABC ． ，
（２）∵BA =BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ．
又由（１）知SD ⊥面ABC ， ∴SD ⊥BD ．于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥面SAC ．
∵BD ⊥AB ，∵AC ⊥AB ，∴BD ⊥α，BD ⊥BC ．∴△CBD ∴AC ⊥β，AC ⊥BD ．21答案：解：连结BC ．
是直角三角形．在Rt △BAC 中
，BC =
△C B D 中
，=5，在R t
CD =13．∴CD 长为13．