1.3.1单调性与最大(小)值

1.3.1单调性与最大（小）值

三维目标

知识与技能使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．

过程与方法启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育．

教学重点函数单调性的概念和判断

教学难点利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性教学过程一、建构定义: 1、引入直观性定义：

观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）

(1)f(x)x1

(2)f(x)x

问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）

问题4:函数f(x)x在区间内y随x的增大而增大，在区间内

y随x的增大而减小；

教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，

右边的函数则称为区间I

上单调递减函数。 2、严格数学语言定义：

多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势

当xy也增大

区间内有两个点x1、2，当x1x2时，有f(x1)f(x2) 问题5：若区间内有两点x1x2时，有f(x1)f(x2)，能否推出增函数？

构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:

f(x)是单调递

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。注:

(1)x1,x2三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x1x2； (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

举例：yx在(0,)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。二、定义应用:

例1、下图是定义在[－5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出函数yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，yf(x)是增函数还是减函数。

分析：动画演示，帮助学生理解。

解：yf(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。

其中yf(x)在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；

在[－2，1）， [3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：

问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？多媒体展示构造反例说明：

（1）单调区间一般不能求并集；

（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

例2、试判断函数f(x)xx 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？ 2：如何用定义法判定函数单调性？

3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）

证明：函数f(x)xx 在（0，＋∞）上是增函数

设x1、x2 是(0,＋∞)上的任意两个值,且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x1)(x2x2)

取值

(x1x2)（x1x2）

(x1x2)(x1x2)（x1x2）

作差变形

(x

1x2)(x1x21)

又0x1x2，故x1x20，x1x210 则f(x1)f(x2)0，即：f(x1)f(x2)

因此，函数f(x)xx 在（0，＋∞）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：

1、取值:设任意x1、x2属于给定区间，且x1x2；

定号下结论

2、作差变形:f(x1)f(x2)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等； 3、定号:确定f(x1)f(x2)的正负号； 4、下结论:由定义得出函数的单调性。思考题：

在上面证明中，你能理解x1、x2的任意性的意义吗？

解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。三、课堂练习：

（1）课本（2）证明:函数y3在上是减函数。（动画演示帮助理解）

（0，）x

课后思考：

函数f(x)在R上单调递增，又该如何? 四、回顾小结：

1、函数单调性的定义； 2、判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；

（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。五、课后作业：六、板书设计

f(x1)f(x2)

的符号有什么规律？若单调递减，

x1x2