第二节函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ○
（1）f (x ) =-2x +3
（2）f (x ) =-2x +3 x ∈[-1, 2] （4）f (x ) =x 2+2x +1 x ∈[-2, 2]
（3）f (x ) =x 2+2x +1 二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
1 函数最大2 函数最大注意：○（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x0) = M；○（小）
应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值
f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1：如图为函数y =f (x ) ，x ∈[-4, 7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】由图可以知道：当x =-1.5时，该函数取得最小值-2；当x =3时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：(-1.5, 3) 和(5,6) ；该函数的单调递减区间有三个：(-4, -1.5) 、(4,5) 和
(6,7)
例2：求下列函数的最小值：（1）y =x 2-2x ； （2）f (x ) =
1x
，x ∈[1, 3]．
【解】（１）y =x 2-2x =(x -1) 2-1∴当x =1时，y min =-1； （２）因为函数f (x ) =
1x
在x ∈[1, 3]上是单调减函数，所以当x =3时函数f (x ) =
1x
取得最小值为
13
．
例3．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例4．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为
(160-x ) 元时，住房率为(55+
y =150·(160-x ) ·(55+
x 20x 20
⋅10)%，于是得 ⋅10)%．
由于(55+
x 20
⋅10)%≤1，可知0≤x ≤90．
因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题． 将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．
由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例5．（教材P 37例4）求函数y =解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 38练习4）
例6: 求f (x ) =x -2ax ，x ∈[0,4) 的最小值．
2
2x -1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【解】f (x ) =(x -a ) 2-a 2，其图象是开口向上，对称轴为x =a 的抛物线． ①若a ≤0，则f (x ) 在[0,4) 上是增函数，∴[f (x ) ]min =f (0)=0；
②若0
2
③若a ≥4，则f (x ) 在[0,4) 上是减函数，∴f (x ) 的最小值不存在．
点评: 含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！ 例7:已知二次函数f (x ) =ax 2+2ax +1在[-3, 2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：函数f (x ) =ax 2+2ax +1的对称轴为x =-1，
当a >0时，则当x =2时函数取最大值4，即8a +1=4即a =
38
；
当a
所以，a =
38
或a =-3。
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置
书面作业：课本P 45 习题（A 组） 第6、7、8题．
提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
A
第二节函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ○
（1）f (x ) =-2x +3
（2）f (x ) =-2x +3 x ∈[-1, 2] （4）f (x ) =x 2+2x +1 x ∈[-2, 2]
（3）f (x ) =x 2+2x +1 二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
1 函数最大2 函数最大注意：○（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x0) = M；○（小）
应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值
f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1：如图为函数y =f (x ) ，x ∈[-4, 7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】由图可以知道：当x =-1.5时，该函数取得最小值-2；当x =3时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：(-1.5, 3) 和(5,6) ；该函数的单调递减区间有三个：(-4, -1.5) 、(4,5) 和
(6,7)
例2：求下列函数的最小值：（1）y =x 2-2x ； （2）f (x ) =
1x
，x ∈[1, 3]．
【解】（１）y =x 2-2x =(x -1) 2-1∴当x =1时，y min =-1； （２）因为函数f (x ) =
1x
在x ∈[1, 3]上是单调减函数，所以当x =3时函数f (x ) =
1x
取得最小值为
13
．
例3．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例4．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为
(160-x ) 元时，住房率为(55+
y =150·(160-x ) ·(55+
x 20x 20
⋅10)%，于是得 ⋅10)%．
由于(55+
x 20
⋅10)%≤1，可知0≤x ≤90．
因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题． 将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．
由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例5．（教材P 37例4）求函数y =解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 38练习4）
例6: 求f (x ) =x -2ax ，x ∈[0,4) 的最小值．
2
2x -1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【解】f (x ) =(x -a ) 2-a 2，其图象是开口向上，对称轴为x =a 的抛物线． ①若a ≤0，则f (x ) 在[0,4) 上是增函数，∴[f (x ) ]min =f (0)=0；
②若0
2
③若a ≥4，则f (x ) 在[0,4) 上是减函数，∴f (x ) 的最小值不存在．
点评: 含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！ 例7:已知二次函数f (x ) =ax 2+2ax +1在[-3, 2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：函数f (x ) =ax 2+2ax +1的对称轴为x =-1，
当a >0时，则当x =2时函数取最大值4，即8a +1=4即a =
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；
当a
所以，a =
38
或a =-3。
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置
书面作业：课本P 45 习题（A 组） 第6、7、8题．
提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
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