第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）
时间3小时，满分120分
一、奇怪的独木桥（25分）
一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确
他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为
[M]=600N⋅m。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
图1 奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台（35分）
有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为2a，宽为a，有6条等长的桌腿（图2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
1
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
a
三、魔术师的表演（25分） a图2 模特儿的新舞台
魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；
另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为M
2
，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为
R
的刚性球，质量为
M
3
，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板AB
水平放
置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心
O
和接触点
B的连线与垂线夹角为
ϕ
。然
后魔术师又把箱子固定在
AB
板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图
3
所示。
魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，
当圆球离开
AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
图3 魔术师的箱子
2
（1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？
（2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？
（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明
排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？这时平板有且只有A点与地面接触，
请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
四、出人意料的交线（35分）
系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿z轴；OB设Oxyz是固定坐标系。
杆长为a，沿x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与z轴平行，绕x轴负方向转动β角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图4所示。
假设在yz平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕z轴以匀角速度ω转动，需要
。 在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（这里只考虑AB杆）
（1）如果a=0，求空隙的函数表达式Γ0，并画出示意图。
（2）如果a>0，求空隙的函数表达式Γa，并画出示意图。Γ0与Γa有何关系？
（3）当a>0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且yP>0
l=4m，ω=1rad/s，β=时，如果要求P点的速度和加速度，你如何考虑？取a=1m，6π，
速度和加速度是多少？
图4 初始时刻的系统位置
3
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
一、奇怪的独木桥
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
关键词：梁的弯曲、弯矩。
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
该问题简化为下图，设人从B向A走去，载荷P与B点距离为x，AB间的距离为L。
易求出支座B点的约束力为
RB=P(L−x)/L
则AB间最大弯矩为
M(x)=P(L−x)x/L
根据允许最大弯矩为[M]=600N⋅m，有
P(L−x)x/L≤[M]
代入数据，解出
x≤1，x≥3
即一个人最远可以向前走1米（另一解略去）。
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
1
4
若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个人在桥上，行至离左端支座x2处，其弯矩如图所示。这时支座的反力为
RA=P(L−x1−x2)/L，RB=P(L+x1+x2)/L
弯矩极大值为
M1=Px1， M2=P(L−x1−x2)x2L
欲要安全通过，要求M1≤[M]，M2≤[M]，代如数据得
2x2−(4−x1)x2+3≥0
欲使上式恒成立，则需
(4−x1)2−12≤0
解得
0.536≤x1≤7.46
考虑到M1≤[M]，得
x1≤0.75m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536−0.75)m之间时，另一人可安全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为(0.536−0.75)m之间，另一个人亦可安全通过。
（本题改写自：周道祥，《力学与实践》小问题第120题，1986，No.3）
二、模特儿与新型舞台
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
关键词：受力平衡，变形的协调条件。
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称，如果1灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3灯也不会亮。又根据上下（x轴）对称，4灯和6灯不亮。所以1、3、4、6灯的状态总是相同的，而2与5灯的状态也相同。
灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。
5
123
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
123 设模特儿重量为P，所在A点的坐标为(x,y)。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，下面就分析桌腿的受力。
（a）设六条腿的受力分别是Ni(i=1,L,6)，有平衡方程
∑N
i=16i=P (1)
(N1+N4)a+Px=(N3+N6)a (2)
(N1+N2+N3)a+Py=(N4+N5+N6)a (3) 22
由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出
N2+N6=N3+N5 (4)
N1+N5=N2+N4 (5)
N4+N6=2N5 (6)
6
解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令Ni>0(i=1,L,6)，得到不等式
3x±4y
得到解的区域为菱形BCHI（不含边界），其中B点坐标为⎜⎛2⎞a,0⎟。 ⎝3⎠
下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）舍去方程(5)，求得N3≥0,N5≥0,N6≥0五腿受力，设腿1不受力，令N1=0，
均自然满足，根据N2>0,N4>0得
−3x+y+2a>0
−2x−6y+3a>0
这两个不等式，加上BC，即得五腿受力区为三角形BCD（包含BC，但不包含边界BD和CD），其中D点坐标为⎜⎛31⎞a,a⎟。 44⎠⎝
（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是2、3、5、6腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令N1=N4=0，再令N2>0，得
−x−y+a>0
即知三角形BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含BD，但不包含边界DF），其中F点的坐标为(a,0)。
四腿受力的第二种情况是3、4、5、6受力。舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0，令N4>0，得
−6x−2y+5a>0
即知三角形CDE为四腿(3,4,5,6)受力区（包含CD，但不包含边界DE），其中E点的坐标为⎛21⎞⎜a,a⎟。 ⎝32⎠
（d）剩下的四边形DEGF为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE表示亮三盏灯的区域（不含E点）。
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是EG和GF边表示亮两盏灯的区域（不含G点）。
7
（f）一盏灯亮对应的区域是G点。
最后根据x轴和y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。
（本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第29题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第100题，1985，No.4）
三、魔术师的表演
（1）为什么在AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？
关键词：摩擦，自锁。
当AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。
（2）根据上述介绍，你能否求出AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ 利用三力平衡条件，圆球受力如图。
利用几何法，有∠OBC=1
ϕ，由于RB要在摩擦角θ内，有
μ=tanθ≥tan(1ϕ)
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以RB要在摩擦角的边缘，因此
μ=tan(2ϕ)
（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
系统只有A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。其中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
8
设飞轮转动惯量为J，可在箱内电机驱动下以角加速度ε顺时针转动。为说明问题，暂时设B处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
Ms=Joε
系统对A点取矩，有 (M1+M2)g⋅2L−Ms−NB⋅L=0 可以看出，如果
ε
=
(M1+
M
2)gL
2J
B
处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而
ε
是常数，因此事先设计好电流
的大小即可）
，这时撤去
B
处的约束不影响
AB
板的平衡。
在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。
四、出人意料的交线
（1）如果a=0，求空隙的函数表达式Γ0，并画出示意图。
容易看出，a=0时AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与yz平面的交线为
yp=±zptanβ（Γ0）
zp∈[0,lcosβ]
（2）如果a>0，求空隙的函数表达式Γa，并画出示意图。Γ0与Γa有何关系？ 设AB与yz平面的交点是P，BP的长度为ξ。则根据几何关系，P点的坐标为
zp=ξcosβ，yp=
消去参变量ξ，有
222y2
p−zptanβ=a（Γa）
9
zp∈[0,lcosβ]
所以P点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。而曲线Γ0是Γ
a的渐进线。
A
（3）当a>0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且yP>0时，如果要求P点的速度和加速度，你如何考虑？如果取a=1m，L=4m，β=6π，ω=1rad/s，速度和加速度是多少？
思路：采用点的复合运动关系，以P为动点，AB杆为动系。相对运动沿AB杆，牵连运动作定轴转动，绝对运动是在yz平面内的抛物线上运动。
当P为AB杆中点时，设P点的坐标为(xP,yP
,zP)，B点的坐标为(xB,yB,zB)，∠BOC=θ。其中
⎧lsinβ⎧xP=0=
sinθ⎧xB=asinθ⎪
⎪yP⎪
⎪⎪y=acosθ，
y=⎨
⎨B⎨Pa⎪
cosθ=
⎪z=0⎪1βz=lcosB⎩⎪⎪
⎩PyP⎩
（i）速度分析，
v
a
=
v
e
+
v
r
其中
10
ve=ωk×(yPj+zPk)=−ωyPi
vr=ζ[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
所以有
va=[ζ(xB−xP)−ωyP]i+ζ(yB−yP)j+ζ(zB−zP)k]
由于P点在yz平面内运动，因此有
ζ=ωyP
(xB−xP)，va=ζ(yB−yP)j+ζ(zB−zP)k
（ii）加速度分析：
aa=ae+ar+ac
其中
ae=−yPω2j
ar=η[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
ac=2ωk×ζ[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
因此
aa=[η(xB−xP)−2ωζ(yB−yP)]i+[η(yB−yP)−yPω2+2ωζ(xB−xP)]j+η(zB−zP)]k由于P点在yz平面内运动，因此有
2ωζ(yB−yP)2ω2yP(yB−yP)，η==2(xB−xP)(xB−xP)
aa=[η(yB−yP)−yPω2+2ωζ(xB−xP)]j+η(zB−zP)]k
代入数据，有
ζ=2, 4η=−
va=−
aa=+
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第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：清华大学
满分：120分 时间：3小时
一、声东击西的射击手（30分）
射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球P，你需要把某个小球放在i（号码从0到9）
圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。
假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为L=0.5H，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球P不计半径，小球Pi质量均为m，i与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为e
i，且满足ei=(i=0,1,2,…,9)。
（1）为使小球P1击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？
（2）假设某小球击中
（3）假设某小球击中
二、骄傲自满的大力士（35分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为H=2.4m，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为L=H。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为D=0.06m。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σs=57MPa。
大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ=0.5，自己重量为G1=700N，夫人重量为G2=510N。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径R=0.8m的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。
大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……
（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？
（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？
（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？
三、顾此失彼的挑战者（30分）
魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。
魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球O1和O2；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为P=ql。
假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。
魔术师的问题如下：
（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？
（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球O1在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。
（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球O1在AD之间某位置平衡，接触点为C1；同时让水晶球O2在DB之间某位置平衡，接触点为C2。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，AC1和AC2的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？
O
2
O1
四、技高一筹的魔术师（25分）
魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。 魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。
魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球O1表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。
只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的O1球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。
在观众的掌声中，魔术师撤走了O1球，把O2球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把O2球转了转，然后更加小心地把O2球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，O2球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……
（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？
（2）水晶球O1可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。
（3）水晶球O2只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。
注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。
O
2
AO1
D
第六届全国周培源大学生力学竞赛团体赛
比赛内容和规则
第一轮比赛：攻防对抗赛
一、内容
在一些描写古代战争的电影中，常可见到一方用抛石机抛掷石头攻击对方城堡的场面。进攻者当然希望抛石机威力巨大；而防守者自然希望城堡固若金汤。 本次竞赛各队既要做出“抛石机”，又要造出“城堡”。然后各队之间相互比较谁的“抛石机”威力大，谁的“城堡”更结实？
二、要求
z 发射装置由各队事先准备好，应能由一名队员不借助工具搬动，且最大尺寸不超过2m。
z 发射装置的动力方式不限，不限制初始释放的速度，但不能由人直接投掷，可以手扶发射装置以保持稳定。
z 先确定一点为靶心，画一系列同心圆，每个半径增加20cm。最里面的圆标100分，向外依次为80、60、40、20、0分。
z 发射装置的出口距地面不超过1m（误差不超过10cm）。
z 在距离靶心2.5m（误差不超过10cm）处有一横线，发射装置出口的投影不能超过该横线，最多可后退0.5m（限制最大发射距离不超过3m以保证安全）。 z 利用组委会统一发放的工具和材料（牙签、棉签、木筷、胶水、纸张），设计制造保护装置，防止鸡蛋被对方击碎。每个保护装置内部要能放置1
枚生鸡蛋。
保护装置加鸡蛋的质量不超过250g。每队设计制作3个保护装置用于比赛，并标明队名和号码。
z 所发射重物由哑铃的圆盘组成，每次发射的重量限制在2kg至4kg之间，允许
误差为0.1kg。
z 发射时圆盘的具体的数目可自行决定。多个圆盘可以绑在一起发生，如果发射
时脱落导致多个落点，精度取成绩最差的一个，但是任意一片打碎鸡蛋均有效。 z 直接击碎鸡蛋与落地后滚动击碎鸡蛋同样计分。
z 障碍物基本处于保护装置与横线的中间位置，高约0.8米。
z 某队发射时，操作者1－3人均可，其余人员应在发射口的后面。
A队的发射装置障碍
图1 攻防示意图 B
队的保护装置
三、比赛规则与流程（约60min）
z 17日中午抽签获得比赛用的鸡蛋。准备设计制作保护装置。并可在适当地方
进行发射调试。
z 比赛开始后，在10分钟时间内抽签分组，并测量保护装置加鸡蛋的重量，如
果明显超重（超50％以上），将不能参加比赛。
。两队并列z 20个队分为10组。抽到Ai与Bi的队为同一组（i＝1，2，…，10）
排列，正式比赛前每队有5分钟进行调试。
z 每队有3次机会攻击对方的鸡蛋，A先发射1次，B再发射1次，然后交替进
行。一队发射时，另一队把自己的保护装置放在靶心。
z 每次发射前，裁判提醒并开始计时。各队每次发射的时间不超过3分钟。裁判
在最后30秒时有义务提醒。若超时而未发射，该次发射算0分。
z 一队发射后，裁判应让另一队队员在30秒内把自己的保护装置拿开放在指定
位置。等本轮比赛结束后统一查看鸡蛋破损情况。
z 比赛中，如果出现分歧，由裁判长进行最终判决。
四、评判标准
z 本轮比赛根据鸡蛋的完好率和射击精度给分。事先制定好表格，标明各项内容
和评分值，由各组裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。
z 如果装置的质量或尺寸不符合要求，（在每次发射中）每一项不合格扣10分。 z 如果保护装置的质量或尺寸不符合要求，（在本次发射中）每一项不合格扣10
分。
z 在某次射击中，满分为200分。计分包括落点成绩和鸡蛋破碎成绩：
如果未直接击中对方的保护装置，以落点的位置值为射击准确得分，压线时取两区域的平均分。如果直接击中对方的保护装置，射击准确得分为100分。
如果多片圆盘分散落下，成绩以最差的计算。
对鸡蛋，不论是直接击中还是落地后滚动击中，计分情况如下：
鸡蛋未出现肉眼可见的裂纹，得0分。
鸡蛋出现肉眼可见的裂纹，但无液体流出，得50分。
鸡蛋有液体流出，得100分。
z 如果本队队员人为损坏了已方的鸡蛋，对方按上述标准加分。
z 每队取3次成绩中较好的2次进行排名，前12名将直接进入第三轮比赛，后
8名则进入第二轮比赛争夺继续比赛的权力。
z 对于第12名附近成绩相同的队，将根据全部的成绩进行排名。如果根据成绩
仍不能区分，考虑三个保护装置及鸡蛋的质量总和，轻者排名在前。
z 如有争议，由裁判长负责解决。
第二轮比赛：纸条拉力赛一、内容 生活中我们经常可以看到，很多塑料包装袋上有个小切口，它可以方便撕开包 装袋；但是如果手提袋上已经有了小切口，有什么办法尽量避免手提袋破坏呢？ 下面就让参加比赛的队来回答吧。用纸作为试件进行拉伸试验，但是试件上有 缺陷。二、要求 z 试件只能由 A4 纸、2 根筷子和胶水制作而成。如图 a 所示，各队用一张 A4 纸，沿长边裁剪出 3cm 宽的纸条（允许误差为 1mm） ，然后在两头用胶水与竹 筷（非木筷）相连。两筷子之间纸条长度至少为 15cm，且不能涂胶水。 z 将两筷子之间的纸张分为三等份， 在中间一份的任意位置用裁纸刀划出垂直于 纸条的一个切口（切口可以完全在纸中间，也可以一端与边接触） ，切口长度 不小于 1cm。 z 试件做好后给裁判检查是否符合要求，符合要求的试件才能进行比赛。参加本 轮比赛的各队可多做几个试件备用，但比赛时只需要 2 个合格的试件。 z 对于允许参加比赛的试件，各队不能再在试件上增加物质，但可以减少物质。 例如不能用胶水把切口再粘起来， 但是可以挖去试件上适当的部分以降低应力 集中。2 个试件处理方式可以不同。 z 拉力试验如图 b 所示：某队把试件的一端筷子放在固定物（如桌子）上，用胶 带粘好。把弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子上，弹簧秤下端挂容器，逐渐向容 器中注水或沙子。在纸片断裂前弹簧秤的最大读数为该队的成绩。 z 如弹簧接近最大值而试件未破坏，可在弹簧秤与筷子之间增加重物（如哑铃） 。
切口 ～15cm3cmA4纸的一部分两头与筷子相连裁出切口图 2a 试件制作示意图固定物试件切口弹簧秤注水图 2b 拉力试验示意图
三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛开始前的休息时间内抽签分组分为 4 组，每组 2 个队。弹簧秤也抽签选 取。各队自行检查弹簧秤，如有问题可找裁判员。 z z 比赛开始后，各队有 5 分钟时间同时进行调试准备。 裁判示意后，各队同时开始操作。各队要在 30 分钟内完成操作并得到两试件 的最大承重量。由裁判员负责记时和纪录成绩。 z 裁判员示意后，队员可以向容器内加水（或沙） 。每个试件加注的次数最多为 10 次（在弹簧秤与筷子之间增加重物算 1 次） ，但每次的加注量由各队自行决 定。加注时手不能接触试件。 z 某次加注结束后，队员可让裁判记下弹簧秤的读数（精确到最小刻度） 。本队 队员可以在旁监测。裁判员应在 30 秒内读出读数。如有可能，队员可以利用 数码相机拍下读数以节省时间，但是要注意读数应能清楚分辨。裁判可在获得 读数后允许队员继续加注。 z z 加注过程中试件如断裂，或者筷子与纸张脱落，成绩按加注前的成绩记。 如果规定时间已到，或加注次数已满，而试件仍未破坏，以试件的当前加载量 为该试件的成绩。 z z z 在规定时间还差一分钟时，裁判员有义务提醒参赛队员。 比赛结束后，读出相机中的成绩。裁判和队长要签字。 比赛中如有争议可找裁判长，裁判长的裁决为最终裁决。四、评判标准 z z 事先制定好表格，标明各项内容和评分值，由裁判负责纪录。 本轮比赛根据各队 2 个试件的承载量中较大者进行比较。 前 4 名进入第三轮比 赛，后 4 名被淘汰退出比赛，获纪念奖。 z 对于成绩相同的队，将根据另一根试件的成绩进行排名。如果还不能区别，考 虑试件的质量，轻者优先。 z 如有争议，由裁判长负责解决。
第三轮比赛：不倒翁一、内容 设计制作一个不倒翁，要求其摇摆的频率尽量给定值。二、要求 z 利用组委会提供的工具和材料，或者自行购买部分材料，设计制作一个装置， 类似不倒翁可以往复运动。 z z z z z 最大尺寸要超过 10cm 为好，质量不限。 外部可以有装饰。 能在 10 次摆动后仍能明显看出较大的摆幅。 尽量让摆动周期接近 3s（比赛中将测 10 次摆动周期） 。 不倒翁上允许有移动装置用于调节摆动周期。三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛前的休息时间进行抽签，16 个队分为 4 组。抽到 A、B、C、D 的队为 同一组。 z z z 比赛开始后，每队有 5 分钟进行调试，同时裁判可以试着计时。 每队有 2 次机会，顺序为 ABCDABCD。每次摆动要在 3 分钟内完成。 每次有 8 位裁判同时记时，队员示意开始，裁判负责计时。各队让不倒翁运动 起来，裁判测量 10 个周期并记录。由于释放时间不易确定，记录从第 2 到第 11 个周期的时间。 1 个周期定义为： 摆动时同一侧角速度两次为零的时间间隔。 z 根据 8 位裁判的计时，去掉最大和最小的 2 个计时，把其余的计时进行平均， 为某队的比赛成绩。 z 比赛中如有争议可找裁判长，裁判长的裁决为最终裁决。四、评判标准 z 本轮比赛根据不倒翁的周期精度给分。事先制定好表格，标明各项内容和评分
值，由裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。 z z z z 在测周期时，幅度自行确定，以能明显看出并测量为准。 每队取 2 次成绩中误差最小的 1 次进行排名。 如有争议，由裁判长负责解决。 根据第三轮比赛的成绩排名，前 4 名进入第四轮比赛争夺一等奖；第 5－10 名 获第三等奖，后 6 名的队获纪念奖。第三轮比赛 II：混合加载（由于时间关系未进行）一、内容 用 A4 纸设计制作一个装置，使其在承受压、弯、扭的载荷下不易破坏。二、要求 z z 利用 4 张 A4 纸和胶水，设计制作一个装置，可以承受尽可能大的载荷。 装置由 OA、AB、BC 三段组成，各段两两相互垂直，OA 段可以粘在底板上且垂 直于底板（底板统一由组委会提供，允许在其上挖孔） 。三段纵向尺寸均要大 于等于 20cm，径向尺寸均要小于等于 3cm。在接头处（O、A、B 点）直径要小 于等于 4cm。各段形式、重量不一定要相同。 z 悬空的容器 G 通过 2 根细绳与装置相联， 其中一根细绳要系在 C 端附近 1cm 的 范围内，另一根细绳可系在 AB、BC 的任何位置上。绳子系好后不能再移动。 两绳子长度均小于 10cm。 z z 在加容器之前，装置的质量不超过 4 张 A4 纸总质量的 20％。 容器 G 内可以逐渐加沙子。
B A COG图 3 混合加载示意图 三、比赛规则与流程（40min） z 装置的尺寸和质量可以在比赛前一天称量，不合格者要重做，合格者可以与底 部相连。 z z z 按前一轮分组比赛。 参赛开始，各队同时进行比赛，时间限制是 30 分钟。 各队需要把容器挂上，然后在容器内加沙子（为方便测量，把沙子包在纸内成 为沙包，可准备多个沙包，可以事先准备，也可以临时准备） 。 z 每次加载要经过裁判同意。但是最多允许加载 10 次，每次增加沙包的数码不 超过 2 个。 z 如果装置被破坏，称量容器及重物的质量 W。装置破坏定义为：C 点的垂直位 移变化超过 2cm。 z z z z 如果绳子断而装置未坏，允许换绳子重新开始。 如果时间已到，或者加注次数已到，而装置未坏，以当时的重量计算。 如果装置 C 点的垂直位移未达 2cm 时已失稳破坏，以破坏前的质量计算。 由各队自行称量沙包质量，并由裁判记录。如有泄漏，自行负责。四、评判标准
z本轮比赛根据容器及重物的质量 W 给分。事先制定好表格，标明各项内容和评 分值，由裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。z z如果载荷相同， 改由高精度天平测量。 若再相同， 可根据装置重量， 轻者优先。 如有争议，由裁判长负责解决。第四轮比赛，姜太公钓鱼一、内容 姜太公钓鱼的故事人人皆知。我们今天就来学学姜太公，看看谁能钓到最多的 鱼。 今天的鱼就是空啤酒瓶，而“姜太公”有四位，谁是真正的姜太公呢？二、要求 z 利用组委会提供的工具和材料，制作一个钓鱼台，同时制作钩钓装置。 z 钓鱼台的形状不限制，但台面应高于 1 米。钓鱼台与地面接触处应在半径为 1 米的圆周内（该圆称为本队的得分区） ，其它部分的投影不限制是否一定要在 圆周之内。 z 钓鱼台的台面上至少能容纳 1 名队员，各队自行决定上钓鱼台的人数。 z 鱼杆及具体的垂钓装置的尺寸和质量不限制。 z 5 个空啤酒瓶在另一半径为 0.3m 的圆周内（该圆称为本队的钓鱼区） 。如图放 置。 z 在各队钓鱼区的中间为公共钓鱼区，放 10 个瓶子。
D队得分区D1m 0.3mC C队得分区0.6mA队得分区2.5mA BB队得分区图 4 各队位置及瓶子分布示意图 三、比赛规则与流程（2 小时） z 各队抽签决定位置。 z 首先把各队的酒瓶放置好，然后各队同时开始进行设计制作。 z 某队可以开始垂钓的必要条件是：钓鱼台能承受至少一位队员的重量。且要经 过裁判同意。裁判如认为尺寸不合要求，有义务指出。 z 队员应在钓鱼台面上进行垂钓，本队其他队员可以提供一些帮助，如保护、遮 阳、平衡等。 z 某队首先在本队的钓鱼区内钓鱼，并放在自己的得分区。如果本钓鱼区已无鱼 可钓，可到公共钓鱼区中钓。如果本钓鱼区和公共钓鱼区已无鱼，可到他队的
钓鱼区中去钓（但不能去他队的得分区中钓） 。 z 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区内，裁判可以把瓶子立起来。 z 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区外，裁判将把瓶子撤走。 z 如果某队在比赛过程中钓鱼台倒塌，该队将停止垂钓，至到修好钓鱼台为止。 z 垂钓过程中允许队员替换，也允许重新放置钓鱼台的位置。但是裁判要重新测 量台面的高度。 z 当所有的鱼都被钓完后，或者比赛已经超过了 2 小时，结束比赛。 z 在钓鱼时，如果某队已经在钓某个瓶子，其他队不能进行干扰。 z 故意干扰者，裁判第一次提出警告，以后每次要扣分。 z 无故放弃者，或恶意捣乱者，将做降级处理，由后续队补上，并且其平台和所 钓成果直接转给补进的队。四、评判标准 z z 当比赛结束后，统计各队得分区的瓶子数目。 如果钓鱼台的尺寸不符合要求，台面每低 10cm 扣 1 个瓶子。不足 10cm 时四 舍五入。 z 如有其他犯规（如先钓他队的鱼、故意干扰等等） ，第一次裁判应提醒，再犯 时扣 0.2 个瓶子。 z z z 将各队的实际瓶子数目减去扣除的数目，最多者获一等奖，其他获二等奖。 如果一等奖数目超过 2 名，比较钓鱼台台面的高度，高者获胜。 如有争议，由裁判长负责解决。
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院 高云峰一、声东击西的射击手（30 分）⎛ S2 ⎞ （1） θ = arccos ⎜1 − ⎟ ； S 的限制为 S ≤ 2 HR 。 ⎝ 2 HR ⎠； CE = 0 ； θ = arccos ⎜1 − （2） e9 = 1 （号码为 9）⎛ ⎝S2 ⎞ ⎟ ， N 为与地面的碰撞次数。 16 N 2 HR ⎠（3） e6 =⎛ ⎞ S2 6 1 （号码为 6） ； CE = H ； I C = 0 ； θ = arccos ⎜1 − ⎟。 2 + 3 9 4(1 e ) HR 6 ⎝ ⎠二、骄傲自满的大力士（35 分）（1） T =μ G1 ；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。 cos θ + μ sin θ1 2（2）危险点坐标 ( 0,D cos θ , - 1 2 D sin θ )（3）大力士在 θ = 0 时最接近拉坏球门： σ 1 − σ 3 = 56.0Mpa ；夫人进入圆圈内， θ = 90° 时可以 有 σ 1 − σ 3 = 57.9MPa三、顾此失彼的挑战者（30 分）（1）最大挠度处： x =15 − 33 l ≈ 0.58l 16（2）滚轴 D 更靠近 B 点；挠度示意图如下：ADB（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25 分）（1）水晶球 O2 涂了新型材料。 （2）关键参数： μ1 ≥ tan θ B ；纸片重量 G ≥2 ql 3 P sin θ B ， （θ B = ） 。 3 EI 1 − sin θ B（3）关键参数： μ 2 = tan θ B ；初始角速度 ω0 ≈150 g sin θ B 。 r1
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）
时间3小时，满分120分
一、奇怪的独木桥（25分）
一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确
他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为
[M]=600N⋅m。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
图1 奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台（35分）
有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为2a，宽为a，有6条等长的桌腿（图2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
1
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
a
三、魔术师的表演（25分） a图2 模特儿的新舞台
魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；
另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为M
2
，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为
R
的刚性球，质量为
M
3
，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板AB
水平放
置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心
O
和接触点
B的连线与垂线夹角为
ϕ
。然
后魔术师又把箱子固定在
AB
板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图
3
所示。
魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，
当圆球离开
AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
图3 魔术师的箱子
2
（1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？
（2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？
（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明
排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？这时平板有且只有A点与地面接触，
请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
四、出人意料的交线（35分）
系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿z轴；OB设Oxyz是固定坐标系。
杆长为a，沿x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与z轴平行，绕x轴负方向转动β角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图4所示。
假设在yz平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕z轴以匀角速度ω转动，需要
。 在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（这里只考虑AB杆）
（1）如果a=0，求空隙的函数表达式Γ0，并画出示意图。
（2）如果a>0，求空隙的函数表达式Γa，并画出示意图。Γ0与Γa有何关系？
（3）当a>0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且yP>0
l=4m，ω=1rad/s，β=时，如果要求P点的速度和加速度，你如何考虑？取a=1m，6π，
速度和加速度是多少？
图4 初始时刻的系统位置
3
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
一、奇怪的独木桥
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
关键词：梁的弯曲、弯矩。
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
该问题简化为下图，设人从B向A走去，载荷P与B点距离为x，AB间的距离为L。
易求出支座B点的约束力为
RB=P(L−x)/L
则AB间最大弯矩为
M(x)=P(L−x)x/L
根据允许最大弯矩为[M]=600N⋅m，有
P(L−x)x/L≤[M]
代入数据，解出
x≤1，x≥3
即一个人最远可以向前走1米（另一解略去）。
（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
1
4
若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个人在桥上，行至离左端支座x2处，其弯矩如图所示。这时支座的反力为
RA=P(L−x1−x2)/L，RB=P(L+x1+x2)/L
弯矩极大值为
M1=Px1， M2=P(L−x1−x2)x2L
欲要安全通过，要求M1≤[M]，M2≤[M]，代如数据得
2x2−(4−x1)x2+3≥0
欲使上式恒成立，则需
(4−x1)2−12≤0
解得
0.536≤x1≤7.46
考虑到M1≤[M]，得
x1≤0.75m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536−0.75)m之间时，另一人可安全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为(0.536−0.75)m之间，另一个人亦可安全通过。
（本题改写自：周道祥，《力学与实践》小问题第120题，1986，No.3）
二、模特儿与新型舞台
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
关键词：受力平衡，变形的协调条件。
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？
利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称，如果1灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3灯也不会亮。又根据上下（x轴）对称，4灯和6灯不亮。所以1、3、4、6灯的状态总是相同的，而2与5灯的状态也相同。
灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。
5
123
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
123 设模特儿重量为P，所在A点的坐标为(x,y)。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，下面就分析桌腿的受力。
（a）设六条腿的受力分别是Ni(i=1,L,6)，有平衡方程
∑N
i=16i=P (1)
(N1+N4)a+Px=(N3+N6)a (2)
(N1+N2+N3)a+Py=(N4+N5+N6)a (3) 22
由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出
N2+N6=N3+N5 (4)
N1+N5=N2+N4 (5)
N4+N6=2N5 (6)
6
解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令Ni>0(i=1,L,6)，得到不等式
3x±4y
得到解的区域为菱形BCHI（不含边界），其中B点坐标为⎜⎛2⎞a,0⎟。 ⎝3⎠
下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）舍去方程(5)，求得N3≥0,N5≥0,N6≥0五腿受力，设腿1不受力，令N1=0，
均自然满足，根据N2>0,N4>0得
−3x+y+2a>0
−2x−6y+3a>0
这两个不等式，加上BC，即得五腿受力区为三角形BCD（包含BC，但不包含边界BD和CD），其中D点坐标为⎜⎛31⎞a,a⎟。 44⎠⎝
（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是2、3、5、6腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令N1=N4=0，再令N2>0，得
−x−y+a>0
即知三角形BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含BD，但不包含边界DF），其中F点的坐标为(a,0)。
四腿受力的第二种情况是3、4、5、6受力。舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0，令N4>0，得
−6x−2y+5a>0
即知三角形CDE为四腿(3,4,5,6)受力区（包含CD，但不包含边界DE），其中E点的坐标为⎛21⎞⎜a,a⎟。 ⎝32⎠
（d）剩下的四边形DEGF为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE表示亮三盏灯的区域（不含E点）。
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是EG和GF边表示亮两盏灯的区域（不含G点）。
7
（f）一盏灯亮对应的区域是G点。
最后根据x轴和y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。
（本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第29题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第100题，1985，No.4）
三、魔术师的表演
（1）为什么在AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？
关键词：摩擦，自锁。
当AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。
（2）根据上述介绍，你能否求出AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ 利用三力平衡条件，圆球受力如图。
利用几何法，有∠OBC=1
ϕ，由于RB要在摩擦角θ内，有
μ=tanθ≥tan(1ϕ)
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以RB要在摩擦角的边缘，因此
μ=tan(2ϕ)
（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
系统只有A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。其中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
8
设飞轮转动惯量为J，可在箱内电机驱动下以角加速度ε顺时针转动。为说明问题，暂时设B处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
Ms=Joε
系统对A点取矩，有 (M1+M2)g⋅2L−Ms−NB⋅L=0 可以看出，如果
ε
=
(M1+
M
2)gL
2J
B
处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而
ε
是常数，因此事先设计好电流
的大小即可）
，这时撤去
B
处的约束不影响
AB
板的平衡。
在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。
四、出人意料的交线
（1）如果a=0，求空隙的函数表达式Γ0，并画出示意图。
容易看出，a=0时AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与yz平面的交线为
yp=±zptanβ（Γ0）
zp∈[0,lcosβ]
（2）如果a>0，求空隙的函数表达式Γa，并画出示意图。Γ0与Γa有何关系？ 设AB与yz平面的交点是P，BP的长度为ξ。则根据几何关系，P点的坐标为
zp=ξcosβ，yp=
消去参变量ξ，有
222y2
p−zptanβ=a（Γa）
9
zp∈[0,lcosβ]
所以P点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。而曲线Γ0是Γ
a的渐进线。
A
（3）当a>0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且yP>0时，如果要求P点的速度和加速度，你如何考虑？如果取a=1m，L=4m，β=6π，ω=1rad/s，速度和加速度是多少？
思路：采用点的复合运动关系，以P为动点，AB杆为动系。相对运动沿AB杆，牵连运动作定轴转动，绝对运动是在yz平面内的抛物线上运动。
当P为AB杆中点时，设P点的坐标为(xP,yP
,zP)，B点的坐标为(xB,yB,zB)，∠BOC=θ。其中
⎧lsinβ⎧xP=0=
sinθ⎧xB=asinθ⎪
⎪yP⎪
⎪⎪y=acosθ，
y=⎨
⎨B⎨Pa⎪
cosθ=
⎪z=0⎪1βz=lcosB⎩⎪⎪
⎩PyP⎩
（i）速度分析，
v
a
=
v
e
+
v
r
其中
10
ve=ωk×(yPj+zPk)=−ωyPi
vr=ζ[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
所以有
va=[ζ(xB−xP)−ωyP]i+ζ(yB−yP)j+ζ(zB−zP)k]
由于P点在yz平面内运动，因此有
ζ=ωyP
(xB−xP)，va=ζ(yB−yP)j+ζ(zB−zP)k
（ii）加速度分析：
aa=ae+ar+ac
其中
ae=−yPω2j
ar=η[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
ac=2ωk×ζ[(xB−xP)i+(yB−yP)j+(zB−zP)k]
因此
aa=[η(xB−xP)−2ωζ(yB−yP)]i+[η(yB−yP)−yPω2+2ωζ(xB−xP)]j+η(zB−zP)]k由于P点在yz平面内运动，因此有
2ωζ(yB−yP)2ω2yP(yB−yP)，η==2(xB−xP)(xB−xP)
aa=[η(yB−yP)−yPω2+2ωζ(xB−xP)]j+η(zB−zP)]k
代入数据，有
ζ=2, 4η=−
va=−
aa=+
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第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：清华大学
满分：120分 时间：3小时
一、声东击西的射击手（30分）
射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球P，你需要把某个小球放在i（号码从0到9）
圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。
假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为L=0.5H，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球P不计半径，小球Pi质量均为m，i与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为e
i，且满足ei=(i=0,1,2,…,9)。
（1）为使小球P1击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？
（2）假设某小球击中
（3）假设某小球击中
二、骄傲自满的大力士（35分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为H=2.4m，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为L=H。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为D=0.06m。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σs=57MPa。
大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ=0.5，自己重量为G1=700N，夫人重量为G2=510N。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径R=0.8m的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。
大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……
（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？
（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？
（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？
三、顾此失彼的挑战者（30分）
魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。
魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球O1和O2；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为P=ql。
假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。
魔术师的问题如下：
（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？
（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球O1在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。
（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球O1在AD之间某位置平衡，接触点为C1；同时让水晶球O2在DB之间某位置平衡，接触点为C2。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，AC1和AC2的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？
O
2
O1
四、技高一筹的魔术师（25分）
魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。 魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。
魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球O1表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。
只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的O1球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。
在观众的掌声中，魔术师撤走了O1球，把O2球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把O2球转了转，然后更加小心地把O2球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，O2球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……
（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？
（2）水晶球O1可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。
（3）水晶球O2只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。
注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。
O
2
AO1
D
第六届全国周培源大学生力学竞赛团体赛
比赛内容和规则
第一轮比赛：攻防对抗赛
一、内容
在一些描写古代战争的电影中，常可见到一方用抛石机抛掷石头攻击对方城堡的场面。进攻者当然希望抛石机威力巨大；而防守者自然希望城堡固若金汤。 本次竞赛各队既要做出“抛石机”，又要造出“城堡”。然后各队之间相互比较谁的“抛石机”威力大，谁的“城堡”更结实？
二、要求
z 发射装置由各队事先准备好，应能由一名队员不借助工具搬动，且最大尺寸不超过2m。
z 发射装置的动力方式不限，不限制初始释放的速度，但不能由人直接投掷，可以手扶发射装置以保持稳定。
z 先确定一点为靶心，画一系列同心圆，每个半径增加20cm。最里面的圆标100分，向外依次为80、60、40、20、0分。
z 发射装置的出口距地面不超过1m（误差不超过10cm）。
z 在距离靶心2.5m（误差不超过10cm）处有一横线，发射装置出口的投影不能超过该横线，最多可后退0.5m（限制最大发射距离不超过3m以保证安全）。 z 利用组委会统一发放的工具和材料（牙签、棉签、木筷、胶水、纸张），设计制造保护装置，防止鸡蛋被对方击碎。每个保护装置内部要能放置1
枚生鸡蛋。
保护装置加鸡蛋的质量不超过250g。每队设计制作3个保护装置用于比赛，并标明队名和号码。
z 所发射重物由哑铃的圆盘组成，每次发射的重量限制在2kg至4kg之间，允许
误差为0.1kg。
z 发射时圆盘的具体的数目可自行决定。多个圆盘可以绑在一起发生，如果发射
时脱落导致多个落点，精度取成绩最差的一个，但是任意一片打碎鸡蛋均有效。 z 直接击碎鸡蛋与落地后滚动击碎鸡蛋同样计分。
z 障碍物基本处于保护装置与横线的中间位置，高约0.8米。
z 某队发射时，操作者1－3人均可，其余人员应在发射口的后面。
A队的发射装置障碍
图1 攻防示意图 B
队的保护装置
三、比赛规则与流程（约60min）
z 17日中午抽签获得比赛用的鸡蛋。准备设计制作保护装置。并可在适当地方
进行发射调试。
z 比赛开始后，在10分钟时间内抽签分组，并测量保护装置加鸡蛋的重量，如
果明显超重（超50％以上），将不能参加比赛。
。两队并列z 20个队分为10组。抽到Ai与Bi的队为同一组（i＝1，2，…，10）
排列，正式比赛前每队有5分钟进行调试。
z 每队有3次机会攻击对方的鸡蛋，A先发射1次，B再发射1次，然后交替进
行。一队发射时，另一队把自己的保护装置放在靶心。
z 每次发射前，裁判提醒并开始计时。各队每次发射的时间不超过3分钟。裁判
在最后30秒时有义务提醒。若超时而未发射，该次发射算0分。
z 一队发射后，裁判应让另一队队员在30秒内把自己的保护装置拿开放在指定
位置。等本轮比赛结束后统一查看鸡蛋破损情况。
z 比赛中，如果出现分歧，由裁判长进行最终判决。
四、评判标准
z 本轮比赛根据鸡蛋的完好率和射击精度给分。事先制定好表格，标明各项内容
和评分值，由各组裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。
z 如果装置的质量或尺寸不符合要求，（在每次发射中）每一项不合格扣10分。 z 如果保护装置的质量或尺寸不符合要求，（在本次发射中）每一项不合格扣10
分。
z 在某次射击中，满分为200分。计分包括落点成绩和鸡蛋破碎成绩：
如果未直接击中对方的保护装置，以落点的位置值为射击准确得分，压线时取两区域的平均分。如果直接击中对方的保护装置，射击准确得分为100分。
如果多片圆盘分散落下，成绩以最差的计算。
对鸡蛋，不论是直接击中还是落地后滚动击中，计分情况如下：
鸡蛋未出现肉眼可见的裂纹，得0分。
鸡蛋出现肉眼可见的裂纹，但无液体流出，得50分。
鸡蛋有液体流出，得100分。
z 如果本队队员人为损坏了已方的鸡蛋，对方按上述标准加分。
z 每队取3次成绩中较好的2次进行排名，前12名将直接进入第三轮比赛，后
8名则进入第二轮比赛争夺继续比赛的权力。
z 对于第12名附近成绩相同的队，将根据全部的成绩进行排名。如果根据成绩
仍不能区分，考虑三个保护装置及鸡蛋的质量总和，轻者排名在前。
z 如有争议，由裁判长负责解决。
第二轮比赛：纸条拉力赛一、内容 生活中我们经常可以看到，很多塑料包装袋上有个小切口，它可以方便撕开包 装袋；但是如果手提袋上已经有了小切口，有什么办法尽量避免手提袋破坏呢？ 下面就让参加比赛的队来回答吧。用纸作为试件进行拉伸试验，但是试件上有 缺陷。二、要求 z 试件只能由 A4 纸、2 根筷子和胶水制作而成。如图 a 所示，各队用一张 A4 纸，沿长边裁剪出 3cm 宽的纸条（允许误差为 1mm） ，然后在两头用胶水与竹 筷（非木筷）相连。两筷子之间纸条长度至少为 15cm，且不能涂胶水。 z 将两筷子之间的纸张分为三等份， 在中间一份的任意位置用裁纸刀划出垂直于 纸条的一个切口（切口可以完全在纸中间，也可以一端与边接触） ，切口长度 不小于 1cm。 z 试件做好后给裁判检查是否符合要求，符合要求的试件才能进行比赛。参加本 轮比赛的各队可多做几个试件备用，但比赛时只需要 2 个合格的试件。 z 对于允许参加比赛的试件，各队不能再在试件上增加物质，但可以减少物质。 例如不能用胶水把切口再粘起来， 但是可以挖去试件上适当的部分以降低应力 集中。2 个试件处理方式可以不同。 z 拉力试验如图 b 所示：某队把试件的一端筷子放在固定物（如桌子）上，用胶 带粘好。把弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子上，弹簧秤下端挂容器，逐渐向容 器中注水或沙子。在纸片断裂前弹簧秤的最大读数为该队的成绩。 z 如弹簧接近最大值而试件未破坏，可在弹簧秤与筷子之间增加重物（如哑铃） 。
切口 ～15cm3cmA4纸的一部分两头与筷子相连裁出切口图 2a 试件制作示意图固定物试件切口弹簧秤注水图 2b 拉力试验示意图
三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛开始前的休息时间内抽签分组分为 4 组，每组 2 个队。弹簧秤也抽签选 取。各队自行检查弹簧秤，如有问题可找裁判员。 z z 比赛开始后，各队有 5 分钟时间同时进行调试准备。 裁判示意后，各队同时开始操作。各队要在 30 分钟内完成操作并得到两试件 的最大承重量。由裁判员负责记时和纪录成绩。 z 裁判员示意后，队员可以向容器内加水（或沙） 。每个试件加注的次数最多为 10 次（在弹簧秤与筷子之间增加重物算 1 次） ，但每次的加注量由各队自行决 定。加注时手不能接触试件。 z 某次加注结束后，队员可让裁判记下弹簧秤的读数（精确到最小刻度） 。本队 队员可以在旁监测。裁判员应在 30 秒内读出读数。如有可能，队员可以利用 数码相机拍下读数以节省时间，但是要注意读数应能清楚分辨。裁判可在获得 读数后允许队员继续加注。 z z 加注过程中试件如断裂，或者筷子与纸张脱落，成绩按加注前的成绩记。 如果规定时间已到，或加注次数已满，而试件仍未破坏，以试件的当前加载量 为该试件的成绩。 z z z 在规定时间还差一分钟时，裁判员有义务提醒参赛队员。 比赛结束后，读出相机中的成绩。裁判和队长要签字。 比赛中如有争议可找裁判长，裁判长的裁决为最终裁决。四、评判标准 z z 事先制定好表格，标明各项内容和评分值，由裁判负责纪录。 本轮比赛根据各队 2 个试件的承载量中较大者进行比较。 前 4 名进入第三轮比 赛，后 4 名被淘汰退出比赛，获纪念奖。 z 对于成绩相同的队，将根据另一根试件的成绩进行排名。如果还不能区别，考 虑试件的质量，轻者优先。 z 如有争议，由裁判长负责解决。
第三轮比赛：不倒翁一、内容 设计制作一个不倒翁，要求其摇摆的频率尽量给定值。二、要求 z 利用组委会提供的工具和材料，或者自行购买部分材料，设计制作一个装置， 类似不倒翁可以往复运动。 z z z z z 最大尺寸要超过 10cm 为好，质量不限。 外部可以有装饰。 能在 10 次摆动后仍能明显看出较大的摆幅。 尽量让摆动周期接近 3s（比赛中将测 10 次摆动周期） 。 不倒翁上允许有移动装置用于调节摆动周期。三、比赛规则与流程（约 40min） z 在比赛前的休息时间进行抽签，16 个队分为 4 组。抽到 A、B、C、D 的队为 同一组。 z z z 比赛开始后，每队有 5 分钟进行调试，同时裁判可以试着计时。 每队有 2 次机会，顺序为 ABCDABCD。每次摆动要在 3 分钟内完成。 每次有 8 位裁判同时记时，队员示意开始，裁判负责计时。各队让不倒翁运动 起来，裁判测量 10 个周期并记录。由于释放时间不易确定，记录从第 2 到第 11 个周期的时间。 1 个周期定义为： 摆动时同一侧角速度两次为零的时间间隔。 z 根据 8 位裁判的计时，去掉最大和最小的 2 个计时，把其余的计时进行平均， 为某队的比赛成绩。 z 比赛中如有争议可找裁判长，裁判长的裁决为最终裁决。四、评判标准 z 本轮比赛根据不倒翁的周期精度给分。事先制定好表格，标明各项内容和评分
值，由裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。 z z z z 在测周期时，幅度自行确定，以能明显看出并测量为准。 每队取 2 次成绩中误差最小的 1 次进行排名。 如有争议，由裁判长负责解决。 根据第三轮比赛的成绩排名，前 4 名进入第四轮比赛争夺一等奖；第 5－10 名 获第三等奖，后 6 名的队获纪念奖。第三轮比赛 II：混合加载（由于时间关系未进行）一、内容 用 A4 纸设计制作一个装置，使其在承受压、弯、扭的载荷下不易破坏。二、要求 z z 利用 4 张 A4 纸和胶水，设计制作一个装置，可以承受尽可能大的载荷。 装置由 OA、AB、BC 三段组成，各段两两相互垂直，OA 段可以粘在底板上且垂 直于底板（底板统一由组委会提供，允许在其上挖孔） 。三段纵向尺寸均要大 于等于 20cm，径向尺寸均要小于等于 3cm。在接头处（O、A、B 点）直径要小 于等于 4cm。各段形式、重量不一定要相同。 z 悬空的容器 G 通过 2 根细绳与装置相联， 其中一根细绳要系在 C 端附近 1cm 的 范围内，另一根细绳可系在 AB、BC 的任何位置上。绳子系好后不能再移动。 两绳子长度均小于 10cm。 z z 在加容器之前，装置的质量不超过 4 张 A4 纸总质量的 20％。 容器 G 内可以逐渐加沙子。
B A COG图 3 混合加载示意图 三、比赛规则与流程（40min） z 装置的尺寸和质量可以在比赛前一天称量，不合格者要重做，合格者可以与底 部相连。 z z z 按前一轮分组比赛。 参赛开始，各队同时进行比赛，时间限制是 30 分钟。 各队需要把容器挂上，然后在容器内加沙子（为方便测量，把沙子包在纸内成 为沙包，可准备多个沙包，可以事先准备，也可以临时准备） 。 z 每次加载要经过裁判同意。但是最多允许加载 10 次，每次增加沙包的数码不 超过 2 个。 z 如果装置被破坏，称量容器及重物的质量 W。装置破坏定义为：C 点的垂直位 移变化超过 2cm。 z z z z 如果绳子断而装置未坏，允许换绳子重新开始。 如果时间已到，或者加注次数已到，而装置未坏，以当时的重量计算。 如果装置 C 点的垂直位移未达 2cm 时已失稳破坏，以破坏前的质量计算。 由各队自行称量沙包质量，并由裁判记录。如有泄漏，自行负责。四、评判标准
z本轮比赛根据容器及重物的质量 W 给分。事先制定好表格，标明各项内容和评 分值，由裁判负责纪录，比赛结束后裁判和队长要签字。z z如果载荷相同， 改由高精度天平测量。 若再相同， 可根据装置重量， 轻者优先。 如有争议，由裁判长负责解决。第四轮比赛，姜太公钓鱼一、内容 姜太公钓鱼的故事人人皆知。我们今天就来学学姜太公，看看谁能钓到最多的 鱼。 今天的鱼就是空啤酒瓶，而“姜太公”有四位，谁是真正的姜太公呢？二、要求 z 利用组委会提供的工具和材料，制作一个钓鱼台，同时制作钩钓装置。 z 钓鱼台的形状不限制，但台面应高于 1 米。钓鱼台与地面接触处应在半径为 1 米的圆周内（该圆称为本队的得分区） ，其它部分的投影不限制是否一定要在 圆周之内。 z 钓鱼台的台面上至少能容纳 1 名队员，各队自行决定上钓鱼台的人数。 z 鱼杆及具体的垂钓装置的尺寸和质量不限制。 z 5 个空啤酒瓶在另一半径为 0.3m 的圆周内（该圆称为本队的钓鱼区） 。如图放 置。 z 在各队钓鱼区的中间为公共钓鱼区，放 10 个瓶子。
D队得分区D1m 0.3mC C队得分区0.6mA队得分区2.5mA BB队得分区图 4 各队位置及瓶子分布示意图 三、比赛规则与流程（2 小时） z 各队抽签决定位置。 z 首先把各队的酒瓶放置好，然后各队同时开始进行设计制作。 z 某队可以开始垂钓的必要条件是：钓鱼台能承受至少一位队员的重量。且要经 过裁判同意。裁判如认为尺寸不合要求，有义务指出。 z 队员应在钓鱼台面上进行垂钓，本队其他队员可以提供一些帮助，如保护、遮 阳、平衡等。 z 某队首先在本队的钓鱼区内钓鱼，并放在自己的得分区。如果本钓鱼区已无鱼 可钓，可到公共钓鱼区中钓。如果本钓鱼区和公共钓鱼区已无鱼，可到他队的
钓鱼区中去钓（但不能去他队的得分区中钓） 。 z 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区内，裁判可以把瓶子立起来。 z 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区外，裁判将把瓶子撤走。 z 如果某队在比赛过程中钓鱼台倒塌，该队将停止垂钓，至到修好钓鱼台为止。 z 垂钓过程中允许队员替换，也允许重新放置钓鱼台的位置。但是裁判要重新测 量台面的高度。 z 当所有的鱼都被钓完后，或者比赛已经超过了 2 小时，结束比赛。 z 在钓鱼时，如果某队已经在钓某个瓶子，其他队不能进行干扰。 z 故意干扰者，裁判第一次提出警告，以后每次要扣分。 z 无故放弃者，或恶意捣乱者，将做降级处理，由后续队补上，并且其平台和所 钓成果直接转给补进的队。四、评判标准 z z 当比赛结束后，统计各队得分区的瓶子数目。 如果钓鱼台的尺寸不符合要求，台面每低 10cm 扣 1 个瓶子。不足 10cm 时四 舍五入。 z 如有其他犯规（如先钓他队的鱼、故意干扰等等） ，第一次裁判应提醒，再犯 时扣 0.2 个瓶子。 z z z 将各队的实际瓶子数目减去扣除的数目，最多者获一等奖，其他获二等奖。 如果一等奖数目超过 2 名，比较钓鱼台台面的高度，高者获胜。 如有争议，由裁判长负责解决。
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院 高云峰一、声东击西的射击手（30 分）⎛ S2 ⎞ （1） θ = arccos ⎜1 − ⎟ ； S 的限制为 S ≤ 2 HR 。 ⎝ 2 HR ⎠； CE = 0 ； θ = arccos ⎜1 − （2） e9 = 1 （号码为 9）⎛ ⎝S2 ⎞ ⎟ ， N 为与地面的碰撞次数。 16 N 2 HR ⎠（3） e6 =⎛ ⎞ S2 6 1 （号码为 6） ； CE = H ； I C = 0 ； θ = arccos ⎜1 − ⎟。 2 + 3 9 4(1 e ) HR 6 ⎝ ⎠二、骄傲自满的大力士（35 分）（1） T =μ G1 ；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。 cos θ + μ sin θ1 2（2）危险点坐标 ( 0,D cos θ , - 1 2 D sin θ )（3）大力士在 θ = 0 时最接近拉坏球门： σ 1 − σ 3 = 56.0Mpa ；夫人进入圆圈内， θ = 90° 时可以 有 σ 1 − σ 3 = 57.9MPa三、顾此失彼的挑战者（30 分）（1）最大挠度处： x =15 − 33 l ≈ 0.58l 16（2）滚轴 D 更靠近 B 点；挠度示意图如下：ADB（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25 分）（1）水晶球 O2 涂了新型材料。 （2）关键参数： μ1 ≥ tan θ B ；纸片重量 G ≥2 ql 3 P sin θ B ， （θ B = ） 。 3 EI 1 − sin θ B（3）关键参数： μ 2 = tan θ B ；初始角速度 ω0 ≈150 g sin θ B 。 r1