第17卷 第11期 牡丹江大学学报 Vol.17 No.11 2008年11月 Journal of Mudanjiang University Nov . 2008 文章编号：1008-8717（2008）11-0137-03
格林公式的研究性教学尝试
薛 莲 李 洵
（南通大学理学院，江苏 南通 226007）
摘 要：研究性学习能力是大学生必须具备的可持续学习能力。培养大学生的研究性学习能力应该渗透到大学教学的每个环节。数学是科学发展的基础，数学不仅为学习其他学科打基础，还在培养思维能力，提高综合素质方面起着其他学科无法取代的作用。本文结合大学数学基础课《高等数学》中格林公式教学，尝试在定理推导中引导学生主动进行探究，培养学生研究问题的兴趣和能力。
关键词：研究性学习；探究性教学；格林公式；积分
中图分类号：013 文献标识码：A
研究性学习是创新型人才必须掌握的学习方法。研究性学习能力是大学生必须具备的自主学习能力。研究性学习能力仅靠几次学习活动是得不到的，研究性学习能力的培养必须渗透到教与学的每一个环节之中。
我们知道，数学学习中定理的学习是重点，也是难点。在定理的学习过程中还原定理的发现思路，可以培养学生发现问题的能力；在定理证明推导中要引导学生主动进行探究，让学生体验和实践“研究”过程，可以培养学生研究问题的兴趣和能力；在定理的应用中鼓励学生深入挖掘，对知识和方法进行归纳、总结，可以使所学知识得到升华。
在《高等数学》的学习中格林公式的重要性不容置疑。通常的讲解都是先复习牛顿—莱布尼兹公式，引出要讨论的问题：如何将二重积分通过区域的边界曲线的线积分表达？然后给出区域正向边界的定义，以及格林公式和证明。但是学生对格林公式与牛顿—莱布尼兹公式的联系不清楚，对格林公式的条件不理解，在用的时候经常出错。下面结合格林公式引入与证明的教学，谈谈我们对探究性教学的尝试。
一、得到格林公式
1．复习牛顿—莱布尼兹公式∫b
a F /(x ) dx =F (b ) −F (a ) ，并强调被积函数的连续性。
/2．让学生自己将牛顿—莱布尼兹公式推广，积分由一重推广为二重，被积函数由一元函数的导数F
为二元函数的偏导数(x ) 推广∂f (x , y ) ，看看会有什么结果？ ∂x
∂f (x , y ) 用这个函数的函数值（相对于x ）表示出来。这样学生很容易∂x 引导学生分析牛顿—莱布尼兹公式是将一个函数导数的定积分用这个函数的函数值表示出来，我们的目标是将f (x , y ) 对x 偏导数的二重积分∫∫
就选择了先对x 后对D y 的积分次序。
={(x , y ) (y ) ≤x ≤ψ(y ), a ≤y ≤b } 在计算的过程中学生只考虑到单连通的凸区域（既是X 型，又是Y 型区域），此时不要打断学生的思路去提醒学生，因为研究的过程就是不断探索、不断完善的过程。 积分区域D 表示为：D
b ∂f (x , y ) =∫[f (ψ(y ), y ) −f (ϕ(y ), y ) ]dy ∫∫a ∂x D 应用牛顿—莱布尼兹公式很容易得到
基金项目:校教学研究项目，项目编号：06GJ005
收稿日期：2008-07-11
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∂f (x , y ) =f (x , y ) dy ，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。 ∫∫L ∂x D
∂f (x , y ) 有了上面的经验，再考虑计算∫∫，学生很容易想到选择先对y 后对x 的积分次序，得到：y ∂D
∂f (x , y ) =f (x , y ) dx ，C 是D 的边界曲线，取顺时针方向。 ∫∫L ∂y D
∂f (x , y ) ∂f (x , y ) 有部分同学会以为自己计算错了，看起来对称的两个二重积分∫∫与∫∫转化为∂x ∂y D D 观察上式的右端，学生们很快得到
积分曲线为什么曲线的走向相反？我们鼓励大家去探究原因。让学生在纸上画放置在坐标系中的逆时针的闭曲线，并将图形关于y =x 对换，即将y 轴水平放置到原来的x 轴位置，x 轴铅垂放置到原来的y 轴位置，会发现原来的逆时针的闭曲线现在是顺时针的。 将两个结果统一到一起就得到∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，其中P (x , y ), Q (x , y ) 在L ∂x ∂y
区域D 上具有连续偏导数，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。
二、完善格林公式
提醒学生区域D 不一定是单连通的凸区域，引导学生讨论区域D 的形状变换会不会改变上面得到的公式的形式？D 如果不是单连通的凸区域，D 有两种可能，（1）D 是单连通的但不是凸区域；（2）D 是多连通的。 1．对第一种情况利用积分区域可加性，引导学生将∫∫(
D ∂Q ∂P −dxdy 化归为上面讨论过的几个单连通的凸∂x ∂y
区域上的积分和。
以如图形状为例，
∂Q ∂P −) dxdy
(∫∫∂x ∂y D ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P =∫∫(−dxdy +∫∫(−) dxdy +∫∫(−) dxdy
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D 1D 2D 3
=P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy L 1L 2L 3
其中L i （i =1, 2,3）是D i 的边界曲线，取逆时针方向。利用互为反向弧上的积分互为相反数，很容易得到∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。 L ∂x ∂y
∂Q ∂P 2．对多连通区域D 上的积分∫∫(−) dxdy ，引导学生将其化归为几个单连通区域上的积分和，以如图x ∂y ∂D
形状为例： ∂Q ∂P −) dxdy ∂x ∂y D
∂Q ∂P ∂Q ∂P =∫∫(−dxdy +∫∫(−) dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y D 1D 2∫∫(
=P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy L 1L 2
其中L i （i =1, 2）是D i 的边界曲线，取逆时针方向。利用互为反向弧上的积分互为相反数，很容易得：∫∫(
D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，L 0是围成D 的外边界曲L 0c 0∂x ∂y
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线，取逆时针方向，C 0是围成D 的内边界曲线，取顺时针方向。
3．引入区域D 的边界曲线的正向概念：L 是区域D 的边界曲线，当观察者沿着L 的方向走，D 内邻近的部分在他的左手边，则L 是D 的正向边界。
4．综合前面的讨论得到格林公式：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 和Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，其中L 为D 的取正向的边界曲线。L ∂x ∂y
5．分析牛顿—莱布尼兹公式与格林公式的共性：将函数的导数（偏导数）的积分用该函数在区间（区域）端点（边界）的值表示。
6．让学生自己讨论格林公式中应该注意的地方：L 是D 的边界曲线，是封闭曲线；L 是D 的正向边界；函数P (x , y ) 和Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数。任何一条不满足格林公式都不能直接应用。
三、格林公式探究性对学生研究性学习能力的培养
在格林公式的探究性教学过程中，我们从引入问题到解决问题都积极引导学生进行主动探究，这样在完成教学任务的过程中加深了学生对探究的问题的理解，培养他们的研究意识和研究能力。
1．紧扣牛顿—莱布尼兹公式的推广引入问题，使学生看到如何从已有结论中发现新问题，这样在以后学了曲面积分后他们还会想到去探究牛顿—莱布尼兹公式中的积分推广为三重，被积函数推广为三元函数的偏导数∂f (x , y , z ) ∂f (x , y , z ) 时，∫∫∫会有什么结果？另外，这样的引入使问题直接而明确，易于学生确定进∂x ∂x Ω
一步探究方向和探究方法。
2．在解决问题过程中引导学生主动进行探究，让学生自己动手推导出格林公式，并逐步完善公式的使用条件，从中体会到定理的探究、完善过程和化归思想的使用，让学生体验和实践到“研究”过程。通过引导学生去观察、分析问题，培养勤于思考、勇于实践、不断进取的研究精神和踏实、严谨的研究作风，能力在学习的过程中被逐步培养起来。 3．让学生自己动手探究使学生理解了∫∫(D ∂Q ∂P −dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 中为什么是L ∂x ∂y
∫∫(
D ∂Q ∂P ∂Q ∂P −) dxdy ，而不是∫∫(+) dxdy ？这样记忆深刻，在学了高斯公式后也不会将格林公式的符号∂x ∂y ∂∂x y D
4．在学生经过了自己动手探究公式的得到过程后再给出边界的正向定义，使学生真正理解了边界的正向的意义。
5．在得到公式后进一步探究公式的意义，加深了学生对公式的理解，使学生理解了格林公式与牛顿—莱布尼兹弄错（这是以往学生常出的错误）。同时也教育学生要知其然，更要知其所以然，培养学生严谨、科学的研究态度。 公式的共性：将对一个函数的积分用另一个与之相关的函数在边界上的值表示出来，使学生对知识的掌握得到升华。
6．让学生自己讨论使用格林公式中应该注意的问题，为后面的应用打下基础。
培养学生的研究性学习能力，首先要求我们教师转变教学观念，我们的教学不再是要讲的细致、透彻，而是要引导的深入、到位。只有将研究意识渗透到教学的每个环节，才能在保证教学任务完成的前提下，逐步培养学生的研究能力，使研究性学习成为学生自觉的学习行为。
参考文献：
[1]薛萍萍. 我国高等师范院校“研究性学习”的文献研究综述[J].四川教育学院学报，2007,23(6)：8-10.
[2]董国阳. 刍议高等数学研究性学习教学策略[J].科教文汇，2007,(8):63-63.
[3]同济大学. 高等数学（第五版）[M].北京:高等教育出版社，2001.
[4]武建华, 江世宏, 戴祖旭, 郭光耀, 张晶. 大学数学教育现状的调查和分析[J].数学教育学报,2007,16(3):36-39.
[5]陈学松, 郭玉娟. 论理工科学校的数学基础课程的创造性思维和研究型学习[J].广东工业大学学报（社会科学版）,2007,(7):82-83.
[6]王金红. 大学数学实施研究性学习的若干途径[J].大学数学，2007,23(4):11-13.
作者简介：薛莲（1978—），女，江苏人，南通大学理学院讲师，硕士。研究方向：凸体几何。
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第17卷 第11期 牡丹江大学学报 Vol.17 No.11 2008年11月 Journal of Mudanjiang University Nov . 2008 文章编号：1008-8717（2008）11-0137-03
格林公式的研究性教学尝试
薛 莲 李 洵
（南通大学理学院，江苏 南通 226007）
摘 要：研究性学习能力是大学生必须具备的可持续学习能力。培养大学生的研究性学习能力应该渗透到大学教学的每个环节。数学是科学发展的基础，数学不仅为学习其他学科打基础，还在培养思维能力，提高综合素质方面起着其他学科无法取代的作用。本文结合大学数学基础课《高等数学》中格林公式教学，尝试在定理推导中引导学生主动进行探究，培养学生研究问题的兴趣和能力。
关键词：研究性学习；探究性教学；格林公式；积分
中图分类号：013 文献标识码：A
研究性学习是创新型人才必须掌握的学习方法。研究性学习能力是大学生必须具备的自主学习能力。研究性学习能力仅靠几次学习活动是得不到的，研究性学习能力的培养必须渗透到教与学的每一个环节之中。
我们知道，数学学习中定理的学习是重点，也是难点。在定理的学习过程中还原定理的发现思路，可以培养学生发现问题的能力；在定理证明推导中要引导学生主动进行探究，让学生体验和实践“研究”过程，可以培养学生研究问题的兴趣和能力；在定理的应用中鼓励学生深入挖掘，对知识和方法进行归纳、总结，可以使所学知识得到升华。
在《高等数学》的学习中格林公式的重要性不容置疑。通常的讲解都是先复习牛顿—莱布尼兹公式，引出要讨论的问题：如何将二重积分通过区域的边界曲线的线积分表达？然后给出区域正向边界的定义，以及格林公式和证明。但是学生对格林公式与牛顿—莱布尼兹公式的联系不清楚，对格林公式的条件不理解，在用的时候经常出错。下面结合格林公式引入与证明的教学，谈谈我们对探究性教学的尝试。
一、得到格林公式
1．复习牛顿—莱布尼兹公式∫b
a F /(x ) dx =F (b ) −F (a ) ，并强调被积函数的连续性。
/2．让学生自己将牛顿—莱布尼兹公式推广，积分由一重推广为二重，被积函数由一元函数的导数F
为二元函数的偏导数(x ) 推广∂f (x , y ) ，看看会有什么结果？ ∂x
∂f (x , y ) 用这个函数的函数值（相对于x ）表示出来。这样学生很容易∂x 引导学生分析牛顿—莱布尼兹公式是将一个函数导数的定积分用这个函数的函数值表示出来，我们的目标是将f (x , y ) 对x 偏导数的二重积分∫∫
就选择了先对x 后对D y 的积分次序。
={(x , y ) (y ) ≤x ≤ψ(y ), a ≤y ≤b } 在计算的过程中学生只考虑到单连通的凸区域（既是X 型，又是Y 型区域），此时不要打断学生的思路去提醒学生，因为研究的过程就是不断探索、不断完善的过程。 积分区域D 表示为：D
b ∂f (x , y ) =∫[f (ψ(y ), y ) −f (ϕ(y ), y ) ]dy ∫∫a ∂x D 应用牛顿—莱布尼兹公式很容易得到
基金项目:校教学研究项目，项目编号：06GJ005
收稿日期：2008-07-11
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∂f (x , y ) =f (x , y ) dy ，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。 ∫∫L ∂x D
∂f (x , y ) 有了上面的经验，再考虑计算∫∫，学生很容易想到选择先对y 后对x 的积分次序，得到：y ∂D
∂f (x , y ) =f (x , y ) dx ，C 是D 的边界曲线，取顺时针方向。 ∫∫L ∂y D
∂f (x , y ) ∂f (x , y ) 有部分同学会以为自己计算错了，看起来对称的两个二重积分∫∫与∫∫转化为∂x ∂y D D 观察上式的右端，学生们很快得到
积分曲线为什么曲线的走向相反？我们鼓励大家去探究原因。让学生在纸上画放置在坐标系中的逆时针的闭曲线，并将图形关于y =x 对换，即将y 轴水平放置到原来的x 轴位置，x 轴铅垂放置到原来的y 轴位置，会发现原来的逆时针的闭曲线现在是顺时针的。 将两个结果统一到一起就得到∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，其中P (x , y ), Q (x , y ) 在L ∂x ∂y
区域D 上具有连续偏导数，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。
二、完善格林公式
提醒学生区域D 不一定是单连通的凸区域，引导学生讨论区域D 的形状变换会不会改变上面得到的公式的形式？D 如果不是单连通的凸区域，D 有两种可能，（1）D 是单连通的但不是凸区域；（2）D 是多连通的。 1．对第一种情况利用积分区域可加性，引导学生将∫∫(
D ∂Q ∂P −dxdy 化归为上面讨论过的几个单连通的凸∂x ∂y
区域上的积分和。
以如图形状为例，
∂Q ∂P −) dxdy
(∫∫∂x ∂y D ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P =∫∫(−dxdy +∫∫(−) dxdy +∫∫(−) dxdy
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y D 1D 2D 3
=P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy L 1L 2L 3
其中L i （i =1, 2,3）是D i 的边界曲线，取逆时针方向。利用互为反向弧上的积分互为相反数，很容易得到∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，L 是D 的边界曲线，取逆时针方向。 L ∂x ∂y
∂Q ∂P 2．对多连通区域D 上的积分∫∫(−) dxdy ，引导学生将其化归为几个单连通区域上的积分和，以如图x ∂y ∂D
形状为例： ∂Q ∂P −) dxdy ∂x ∂y D
∂Q ∂P ∂Q ∂P =∫∫(−dxdy +∫∫(−) dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y D 1D 2∫∫(
=P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy L 1L 2
其中L i （i =1, 2）是D i 的边界曲线，取逆时针方向。利用互为反向弧上的积分互为相反数，很容易得：∫∫(
D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy +P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，L 0是围成D 的外边界曲L 0c 0∂x ∂y
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线，取逆时针方向，C 0是围成D 的内边界曲线，取顺时针方向。
3．引入区域D 的边界曲线的正向概念：L 是区域D 的边界曲线，当观察者沿着L 的方向走，D 内邻近的部分在他的左手边，则L 是D 的正向边界。
4．综合前面的讨论得到格林公式：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 和Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则∫∫(D ∂Q ∂P −) dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，其中L 为D 的取正向的边界曲线。L ∂x ∂y
5．分析牛顿—莱布尼兹公式与格林公式的共性：将函数的导数（偏导数）的积分用该函数在区间（区域）端点（边界）的值表示。
6．让学生自己讨论格林公式中应该注意的地方：L 是D 的边界曲线，是封闭曲线；L 是D 的正向边界；函数P (x , y ) 和Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数。任何一条不满足格林公式都不能直接应用。
三、格林公式探究性对学生研究性学习能力的培养
在格林公式的探究性教学过程中，我们从引入问题到解决问题都积极引导学生进行主动探究，这样在完成教学任务的过程中加深了学生对探究的问题的理解，培养他们的研究意识和研究能力。
1．紧扣牛顿—莱布尼兹公式的推广引入问题，使学生看到如何从已有结论中发现新问题，这样在以后学了曲面积分后他们还会想到去探究牛顿—莱布尼兹公式中的积分推广为三重，被积函数推广为三元函数的偏导数∂f (x , y , z ) ∂f (x , y , z ) 时，∫∫∫会有什么结果？另外，这样的引入使问题直接而明确，易于学生确定进∂x ∂x Ω
一步探究方向和探究方法。
2．在解决问题过程中引导学生主动进行探究，让学生自己动手推导出格林公式，并逐步完善公式的使用条件，从中体会到定理的探究、完善过程和化归思想的使用，让学生体验和实践到“研究”过程。通过引导学生去观察、分析问题，培养勤于思考、勇于实践、不断进取的研究精神和踏实、严谨的研究作风，能力在学习的过程中被逐步培养起来。 3．让学生自己动手探究使学生理解了∫∫(D ∂Q ∂P −dxdy =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 中为什么是L ∂x ∂y
∫∫(
D ∂Q ∂P ∂Q ∂P −) dxdy ，而不是∫∫(+) dxdy ？这样记忆深刻，在学了高斯公式后也不会将格林公式的符号∂x ∂y ∂∂x y D
4．在学生经过了自己动手探究公式的得到过程后再给出边界的正向定义，使学生真正理解了边界的正向的意义。
5．在得到公式后进一步探究公式的意义，加深了学生对公式的理解，使学生理解了格林公式与牛顿—莱布尼兹弄错（这是以往学生常出的错误）。同时也教育学生要知其然，更要知其所以然，培养学生严谨、科学的研究态度。 公式的共性：将对一个函数的积分用另一个与之相关的函数在边界上的值表示出来，使学生对知识的掌握得到升华。
6．让学生自己讨论使用格林公式中应该注意的问题，为后面的应用打下基础。
培养学生的研究性学习能力，首先要求我们教师转变教学观念，我们的教学不再是要讲的细致、透彻，而是要引导的深入、到位。只有将研究意识渗透到教学的每个环节，才能在保证教学任务完成的前提下，逐步培养学生的研究能力，使研究性学习成为学生自觉的学习行为。
参考文献：
[1]薛萍萍. 我国高等师范院校“研究性学习”的文献研究综述[J].四川教育学院学报，2007,23(6)：8-10.
[2]董国阳. 刍议高等数学研究性学习教学策略[J].科教文汇，2007,(8):63-63.
[3]同济大学. 高等数学（第五版）[M].北京:高等教育出版社，2001.
[4]武建华, 江世宏, 戴祖旭, 郭光耀, 张晶. 大学数学教育现状的调查和分析[J].数学教育学报,2007,16(3):36-39.
[5]陈学松, 郭玉娟. 论理工科学校的数学基础课程的创造性思维和研究型学习[J].广东工业大学学报（社会科学版）,2007,(7):82-83.
[6]王金红. 大学数学实施研究性学习的若干途径[J].大学数学，2007,23(4):11-13.
作者简介：薛莲（1978—），女，江苏人，南通大学理学院讲师，硕士。研究方向：凸体几何。
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