三角形的重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。
三角形重心
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，
∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线
则AF=FB，BD=DC，CE=EA
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
编辑本段三条中垂线共点证明
.
∵l、m为中垂线
∴AF=BF=FC
所以BC中垂线必过F
编辑本段三角形外心的性质
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在圆心上.
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
编辑本段三角形外心的做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
编辑本段外心的求法
设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C
正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）
r=abc/（4S△ABC）
定义
在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,
编辑本段三条角分线共点证明
证明：如图所示 作∠B、∠C角分线与AC、AB交与F、D CD与BF交与I连接AI交BC于E 由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1 ∵BF、CD为角分线 ∴由角分线定理有AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB ∴BE/CE=AB/AC 由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线 证毕
编辑本段三角形内心的性质
设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
2、∠BIC=90°+A/2．
3、如图 在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，
ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a
+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、（内角平分线定理）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
编辑本段三角形内心的做法
做出三角形的内接圆○O
过O分别作AC、BC（任意两边）垂线与圆O交于E、F连接AF、BE交于I，点I即为内心
编辑本段三角形内接圆半径
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c
3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）
三角形的重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。
三角形重心
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，
∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线
则AF=FB，BD=DC，CE=EA
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
编辑本段三条中垂线共点证明
.
∵l、m为中垂线
∴AF=BF=FC
所以BC中垂线必过F
编辑本段三角形外心的性质
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在圆心上.
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
编辑本段三角形外心的做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
编辑本段外心的求法
设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C
正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）
r=abc/（4S△ABC）
定义
在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,
编辑本段三条角分线共点证明
证明：如图所示 作∠B、∠C角分线与AC、AB交与F、D CD与BF交与I连接AI交BC于E 由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1 ∵BF、CD为角分线 ∴由角分线定理有AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB ∴BE/CE=AB/AC 由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线 证毕
编辑本段三角形内心的性质
设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
2、∠BIC=90°+A/2．
3、如图 在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，
ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a
+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、（内角平分线定理）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
编辑本段三角形内心的做法
做出三角形的内接圆○O
过O分别作AC、BC（任意两边）垂线与圆O交于E、F连接AF、BE交于I，点I即为内心
编辑本段三角形内接圆半径
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c
3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）