几何概型
例1. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )
1111 B. D. 109118
例2．在长为12 cm的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间
的概率为 ( )
1111A. B. C. D. 16842
例3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视
9
________分钟的广告．
10
例4. ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概
率为 ππππA. B ．1－ C. D ．1－4488
22
例5．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x ＋ax ＋b ＝0有实根的概率是 ( )
1111A. B. C. D. 24816
1．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入
区域A 的概率为 ( ) 1212 B. C. D. 3399
⎧x ＋y 2．在区域⎨x －y ⎩y ≥0
2≤0，2≥0，
ππππA. B. C. D. 2864
3．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 4．已知函数f (x ) ＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x ) ＝0有两个不相等实根的概率； (2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x ) ＝0没有实根的概率．
5. 平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )
6．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的
点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________． 1112 C. D. 4323
7．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时
与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．
古典概率模型的综合运用
1
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )
例1、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：
若单科成绩85
（1）根据上表完成下面的2⨯2列联表（单位：人）：
（2）根据题（1
（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率． 参考数据：
n (ad -bc )2
则随机变量K =，其中n =a +b +c +d 为样本容量；
a +b c +d a +c b +d
2
2
0.025
例2、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：
0.020
车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）
0.015
之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml
0.010
（含80）以上时，属醉酒驾车．” 0.005
2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市
(单位:mg/100ml)一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时
共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画 出的频率分布直方图． （1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60
名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值，并说明S （图乙中数据m i 与f i 分别表示图图乙甲中各组的组中值及频率） （3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml （含70）
以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得 酒精浓度在70mg /100ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李 两位先生至少有1人被抽中的概率．
2
例3.
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
5
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
，A 2，A 3, A 4, A 5还喜欢打羽毛球，B 1，B 2，B 3还喜欢打乒乓球，C 1，C 2还喜欢踢（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A 1足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
2
n (ad -bc ) (参考公式：K =，其中n =a +b +c +d )
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
1. 汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO 2排放量超过130g/km的
M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km).
经测算发现，乙品牌车CO 2乙（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO
2排放量的概率是多少？
（Ⅱ）若90
2. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40, 50)，[50, 60)„
[90, 100]后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[60, 80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70, 80)的概率.
3
3. 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日
（1）求这5 （2）求这5天的平均发芽率；
（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，后面一天发芽种子数为n ，用（m ，n ）的形式列出所有
基本事件，并求满足“⎨
⎧25≤m ≤30
”的概率.
⎩25≤n ≤30
4. 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求： （Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．
5. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40, 50)，[50, 60)„
[90, 100]后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60, 80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，
求至多有1人在分数段[70, 80)的概率.
4
几何概型
例1. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )
1111 B. D. 109118
例2．在长为12 cm的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间
的概率为 ( )
1111A. B. C. D. 16842
例3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视
9
________分钟的广告．
10
例4. ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概
率为 ππππA. B ．1－ C. D ．1－4488
22
例5．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x ＋ax ＋b ＝0有实根的概率是 ( )
1111A. B. C. D. 24816
1．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入
区域A 的概率为 ( ) 1212 B. C. D. 3399
⎧x ＋y 2．在区域⎨x －y ⎩y ≥0
2≤0，2≥0，
ππππA. B. C. D. 2864
3．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 4．已知函数f (x ) ＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x ) ＝0有两个不相等实根的概率； (2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x ) ＝0没有实根的概率．
5. 平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )
6．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的
点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________． 1112 C. D. 4323
7．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时
与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．
古典概率模型的综合运用
1
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )
例1、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：
若单科成绩85
（1）根据上表完成下面的2⨯2列联表（单位：人）：
（2）根据题（1
（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率． 参考数据：
n (ad -bc )2
则随机变量K =，其中n =a +b +c +d 为样本容量；
a +b c +d a +c b +d
2
2
0.025
例2、“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：
0.020
车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）
0.015
之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml
0.010
（含80）以上时，属醉酒驾车．” 0.005
2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市
(单位:mg/100ml)一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时
共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 图甲 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画 出的频率分布直方图． （1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60
名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值，并说明S （图乙中数据m i 与f i 分别表示图图乙甲中各组的组中值及频率） （3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml （含70）
以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得 酒精浓度在70mg /100ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李 两位先生至少有1人被抽中的概率．
2
例3.
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
5
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
，A 2，A 3, A 4, A 5还喜欢打羽毛球，B 1，B 2，B 3还喜欢打乒乓球，C 1，C 2还喜欢踢（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A 1足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
2
n (ad -bc ) (参考公式：K =，其中n =a +b +c +d )
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
1. 汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO 2排放量超过130g/km的
M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km).
经测算发现，乙品牌车CO 2乙（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO
2排放量的概率是多少？
（Ⅱ）若90
2. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40, 50)，[50, 60)„
[90, 100]后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[60, 80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70, 80)的概率.
3
3. 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日
（1）求这5 （2）求这5天的平均发芽率；
（3）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，后面一天发芽种子数为n ，用（m ，n ）的形式列出所有
基本事件，并求满足“⎨
⎧25≤m ≤30
”的概率.
⎩25≤n ≤30
4. 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求： （Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．
5. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40, 50)，[50, 60)„
[90, 100]后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60, 80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，
求至多有1人在分数段[70, 80)的概率.
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