全等三角形与旋转问题

第五讲 全等三角形与旋转问题

中考要求

知识点睛

基本知识

把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

重、难点

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后

证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性

质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

例题精讲

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图

案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．

【解析】 A

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是

把菱形ABCD以A为中心_____________。

A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到

得到

【解析】 D

【例3】 如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交

CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

E

AB

CD

【解析】 C

【例4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．

N

MA

CF

B

【解析】 ∵ACM、CBN是等边三角形，

∴MCAC，CNCB，ACNMCB ∴ACN≌MCB，∴ANBM

【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．

【例5】 如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC

于M，N点．求证：CMCN．

A

D

M

B

C

N

E

【解析】 ∵ABC与DCE都是等边三角形

∴BCAC，CDCE及ACBDCE60 ∵B，C，E三点共线

∴BCDDCE180，BCAACE180 ∴BCDACE120 在BCD与ACE中 BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE， DCEC

∴CANCBM

∵BCDACE120，BCMNCE60 ∴ACD60

在BCM与ACN中 BCAC

BCMACN60 ∴BCM≌ACN，∴CMCN． CBMCAN

【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．

N

MA

CF

B

A

MCFB

N

【解析】 过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，

利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得到CGCH，故CF平分AFB．

【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．

请你证明： ⑴ANBM； ⑵DE∥AB；

⑶CF平分AFB．

N

MF

ACB

【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

MCN60与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等…

推到而得的：AFCBFC；

ANBM，CDCE，ADME，NDBE； AM∥CN，CM∥BN；DE∥AB

ACN≌MCB，ADC≌MCE，NDC≌BEC； DEC为等边三角形．

⑴∵ACM、CBN是等边三角形，

∴MCAC，CNCB，ACNMCB ∴ACN≌MCB，∴ANBM

⑵由ACN≌MCB易推得NDC≌BEC，所以CDCE，又MCN60， 进而可得DEC为等边三角形．易得DE∥AB．

⑶过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，

利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得AFCBFC，故CF平分AFB．

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、

CG．求证：AECG．

GA

B

D

C

EF

【解析】 ∵ADCEDG

∴CDGADE 在CDG和ADE中 CDAD

CDGADE ∴CDG≌ADE ∴AECG DGDE

【例7】 如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，

求证：CDE是等边三角形．

N

ME

A

C

B

【解析】 ∵ACN≌MCB，∴ANBM，ABMANC

又∵D、E分别是AN、BM的中点，

∴BCE≌NCD，∴CECD，BCENCD

∴DCENCDNCEBCENCENCB60 ∴CDE是等边三角形

【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和

CDE(ACE120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是_____________。

B

P

A

E

D

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形

【解析】 易得ACD≌BCE．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为

线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，PCM60°，故CPM是等边三角形，选C．

【例8】 如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

A

E

D

B

C

【解析】 ∵ABC是等边三角形，∴ACB60，ACBC．

∴BCDDCA60，同理ACEDCA60，DCEC．∴BCDACE 在BCD与ACE 中， BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE，∴BDAE． DCEC

【例9】 如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

AA

P

P

D

D

BC BC

【解析】 连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACD≌BCD(SSS)，得

1

BCDACDACB30，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知

2

BDP≌BDC(SAS)，∴BPDBCD30．故BPD的度数是定值．

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，

EOOF．求证：BEBF为定值．

AE

O

AE

14

2

O

3

BFCB

FC

B

P

A

E

D

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形

【解析】 易得ACD≌BCE．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为

线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，PCM60°，故CPM是等边三角形，选C．

【例8】 如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

A

E

D

B

C

【解析】 ∵ABC是等边三角形，∴ACB60，ACBC．

∴BCDDCA60，同理ACEDCA60，DCEC．∴BCDACE 在BCD与ACE 中， BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE，∴BDAE． DCEC

【例9】 如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

AA

P

P

D

D

BC BC

【解析】 连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACD≌BCD(SSS)，得

1

BCDACDACB30，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知

2

BDP≌BDC(SAS)，∴BPDBCD30．故BPD的度数是定值．

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，

EOOF．求证：BEBF为定值．

AE

O

AE

14

2

O

3

BFCB

FC

- 5 -

【解析】 连结OB由上可知，∠1290，2∠390，13，而∠4C45，OBOC．

∴OBE≌OCF，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．

【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．

AG1

D

4C

H

2

F

K

【解析】 正方形ABCD中，1∠245，OAOB

而3∠490，4∠590 ∴∠3∠5，∴AOE≌BOF

∴AEBF，∴AEFCBFFCBCAB

【例11】 (2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且

EAAF． 求证：DEBF．

A

DE

F

B

C

【解析】 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，

BADADEABF90．因为EAAF， 所以BAFBAEBAEDAE90，所以

BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．

【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD

的面积是16，求DP的长_____________。

D

D

E

CC

【解析】 如图，过点D作DEDP，延长BC交DE于点E，容易证得ADP≌CDE(实际上就是把ADP

逆时针旋转90，得到正方形DPBE)

∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴DP4．

【例12】 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足，求

证：AHAB．

P

A

B

A

P

B

- 6 -

A

DFB

E

C

G

B

E

C

A

DF

【解析】 延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证△ABG≌△ADF，∠BAG∠DAF，AGAF．

再证△AEG≌△AEF，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．

【例13】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，

记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是_____________。

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而变化

C

D

A

M

N

B

A

B

C

【解析】 如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，

则ADBNn，CDCN，∠ACD∠BCN，

∴∠MCD∠ACM∠ACDACM∠BCN904545MCN． ∴MDC≌MNC，∴MDMNx

又易得DAM454590，∴在RtAMD中，有m2n2x2，故应选(B)

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．

⑴求证：AFDFBE．

⑵设DFx(0≤x≤1)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．

A

D

A

D

F

B

E

C G

F

B

E

C

【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB至点G，使得BGDF，连结AG．

因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，ADAB， ADFABG90°，DFBG． ∴RtADF≌RtABG(SAS)， ∴AFAG，DAFBAG． 又 ∵ AE是BAF的平分线． ∴EAFBAE，

∴DAFEAFBAGBAE． 即EADGAE．

∵AD∥BC，∴GEAEAD， ∴GEAGAE，∴AGGE． 即AGBGBE．

∴AFBGBE，得证．

- 7 -

⑵ SSADFSABE

11

DFADBEAB． 22

∵ADAB1，

1

∴SDFBE

2

由⑴知，AFDFBE，

1

所以SAF．

2

在RtADF中，AD1，DFx，

∴AF

∴S

由上式可知，当x2达到最大值时，S最大．而0≤x≤1， 所以，当x1时，

S

【例14】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：

已知：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

A

B

D

图1

2

2

E

C

D

BE图2

C

【解析】 ⑴ DEBDEC

证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE ∴AEC≌ABE

∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB 在RtABC中 ∵ABAC

∴ABCACB45 ∴ABCABE90 即EBD90

∴EB2BD2ED2 又∵DAE45

∴BADEAC45 ∴EABBAD45 即EAD45 ∴AED≌AED ∴DEDE

∴DE2BD2EC2

2

- 8 -

A

E'

C

F

B

2

D

2

2

E

D

BE

C

⑵ 关系式DEBDEC仍然成立

证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE ∴AFD≌ABD

∴AFAB，FDDB

FADBAD，AFDABD 又∵ABAC，∴AFAC

∵FAEFADDAEFAD45

EACBACBAE90DAEDAB45DAB

∴FAEEAC 又∵AEAE ∴AFE≌ACE

∴FEEC，AFEACE45 AFDABD180ABC135

∴DFEAFDAFE1354590 ∴在RtDFE中

DF2FE2DE2即DE2BD2EC2

【例15】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC

是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长_____________。

AA

N

MB

D

C

BM

CE

D

【解析】 如图所示，延长AC到E使CEBM．

在BDM与CDE中，因为BDCD，MBDECD90，BMCE， 所以BDM≌CDE，故MDED．

因为BDC120，MDN60，所以BDMNDC60． 又因为BDMCDE，所以MDNEDN60．

在MND与END中，DNDN，MDNEDN60，DMDE， 所以MND≌END，则NEMN，所以AMN的周长为2．

【例16】 在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN60，

BDC120，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系_____________。

N

- 9 -

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；

Q

此时=__________

L

⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)

Q2

【解析】 BM+NC=MN;

L3

(2)猜想：仍然成立

证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE BDCD,且BDC120， DBCDCB30

由ABC是等边三角形，MBDNCD90，MBD≌ECD(SAS) DMDE,BDMCDE，EDNBDCMDN60 在MDN与EDN中 DMDE

MDNEDN DNDN

MDN≌EDN(SAS) MNNENCBM

AMN的周长QAMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC2AB 而等边ABC的周长L3AB Q2 L3

2

(3)2xL

3

【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1

∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;

2

A

DF

B

C

E

(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点，

1

且∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

2

A

BE

D

【解析】 证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG．

∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90， AB＝AD， ∴ABG≌ADF． ∴AG＝AF， 12．

1

∴1323EAFBAD．

2

∴∠GAE=∠EAF． 又AE＝AE，

∴AEG≌AEF． ∴EG＝EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF= BE＋FD

(2) (1)中的结论EFBEFD仍然成立．

【例17】 平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．

C

E

D

A

【解析】 连接DE与DF

∵DBAEBC，BADCAF ∴DBEABC，BACDAF ∴在DBE与ABC中 DBAB

DBEABC BEBC

∴DBE≌ABC(SAS) ∴DECAFC 在DFA与BCA中 DABA

DAFBAC AFAC

∴DFA≌BCA(SAS) ∴DFBCEC

∴DECF为平行四边形， ∴EF，CD互相平分．

【例18】 已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：

HBD也是等边三角形．

E

C

C

E

A

H

K

A

M

K

H

【解析】 连结EB，∵CECD，CEEA，BEAD，

所以BEAD，并且BE与AD的夹角为60， 延长EB交AK于M，

则EBH360BHDHDEBED300HDMMDEMED 180HDM18060MDEMED180HDMHDK．

又因为HKADBE，BHHD． 所以BEH≌DKH． 所以HKHE，

EHDEHDDHKBHE．

【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD为△ABC的高，

其反向延长线交FH于M，求证：(1)BHCF;(2)MFMH

H

E

A

G

【解析】 证明△ABH≌△AFC;(2)作FPMD于P，HQMD于Q，先证△AFP≌△BAD，△ACD≌

BD

C

△HAQ，再证△FPM≌△HQM

【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．

E

D

F

【解析】 易证AEC≌ABG，故ACEAGB，又ACAG，AOGBOC，故CEBG．

【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE中，BE90，

ABCDAEBCDE1，求此五边形的面积_____________。

C

B

D

C

C

B

D

A

E

A

E

F

【解析】 我们马上就会想到连接AC、AD，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面

积并不容易，至此思路中断． 我们回到已知条件中去，注意到BCDE1，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC拼接到DE的一端且使EFBC呢(如图所示)？据此，连接AF，则发现ABC≌AEF，且FD1，AFAC，AEAB，ADF是底、高各为1的

1

三角形，其面积为，而ACD与AFD全等，从而可知此五边形的面积为1．

2

【例21】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，

ABCAED180，连接AD．求证：AD平分CDE．

AA

F

B

C

D

E

B

C

D

E



【解析】 连接AC．由于ABAE，ABCAED180．

我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而AEFAEDABCAED180，

所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC． 所以DFDEEFDEBCCD． 在ACD与AFD中，

因为ACAF，CDFD，ADAD， 故ACD≌AFD，

因此ADCADF，即AD平分CDE．

1. 如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等

的理由．

E

A

家庭作业

B

C

D

答案：∵ACAB，CAEBAD，AEAD

∴AEC≌ADB ∴CEBD

又∵BDBCCDACCD ∴CEACCD

2. (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，

过点D作DFDE交BC的延长线于点F．求证：DEDF．

AE

D

B

C

F

答案：∵ADCEDF

∴ADECDF 在ADE和CDF中 DAEDCF

ADCD

ADECDF

∴ADE≌CDF ∴DEDF

3. (2008山东)在梯形ABCD中，AB∥CD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试

判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．

D

C

F

D

C

EA

B

EA

B

答案：延长BE交CD延长线于点F．

∵E是AD中点，∴DEAE，

∵AB∥CD，A90，∴EDFEAB90，ABEDFE

在AEB和FED中，

ABEDFE∵EABEDF

AEDE

∴AEB≌FED，∴FEBE

又∵AB2,BC3,CD1，∴CFBC

在FCE和BCE中，

FCBC∵CECE

FEBE

∴FCE≌BCE，∴CEEB

4. 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．CG、CH分别是ACN、MCB

的高．求证：CGCH．

N

M

G

A

答案：由ACN≌MCB，利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得到CGCH．

5. 在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP

交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

AA

M

Q

CPBQMCBCPB

答案：连接CM．因为ACBC且ACB90，所以B45．

因为M是AB的中点，所以AMCBMC90，ACM45且CMBM，则ACMB． 因为MQMP，所以QMC90CMPPMB，所以QCM≌PBM，

所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．

MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；

当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．

6. 如图，正方形ABCD中，FADFAE．求证：BEDFAE．

- 15 -

ADAD

F

BECMBECF 答案：延长CB至M，使得BMDF，连接AM．

易证得：从而可得： ABM≌ADF，AFDBAFEAFBAEBAMBAEEAM，AMBEAM，故AEEMBEBMBEDF．

7. 等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于A、D的任意一点，F是CD上一点，

满足AECF1，当E、F移动时，试判断BEF的形状．

D

E

ACF

B

答案：由条件AECF1，且DFCF1，得AEDF．

因为ABDB，ABDF60，所以ABE≌DBF，

因此BEBF，ABEDBF．

因为EBFEBDDBFEBDABEABD60，

所以BEF为等边三角形．

- 16 -

第五讲 全等三角形与旋转问题

中考要求

知识点睛

基本知识

把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

重、难点

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后

证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性

质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

例题精讲

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图

案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．

【解析】 A

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是

把菱形ABCD以A为中心_____________。

A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到

得到

【解析】 D

【例3】 如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交

CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

E

AB

CD

【解析】 C

【例4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：ANBM．

N

MA

CF

B

【解析】 ∵ACM、CBN是等边三角形，

∴MCAC，CNCB，ACNMCB ∴ACN≌MCB，∴ANBM

【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．

【例5】 如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC

于M，N点．求证：CMCN．

A

D

M

B

C

N

E

【解析】 ∵ABC与DCE都是等边三角形

∴BCAC，CDCE及ACBDCE60 ∵B，C，E三点共线

∴BCDDCE180，BCAACE180 ∴BCDACE120 在BCD与ACE中 BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE， DCEC

∴CANCBM

∵BCDACE120，BCMNCE60 ∴ACD60

在BCM与ACN中 BCAC

BCMACN60 ∴BCM≌ACN，∴CMCN． CBMCAN

【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．求证：CF平分AFB．

N

MA

CF

B

A

MCFB

N

【解析】 过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，

利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得到CGCH，故CF平分AFB．

【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．

请你证明： ⑴ANBM； ⑵DE∥AB；

⑶CF平分AFB．

N

MF

ACB

【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

MCN60与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等…

推到而得的：AFCBFC；

ANBM，CDCE，ADME，NDBE； AM∥CN，CM∥BN；DE∥AB

ACN≌MCB，ADC≌MCE，NDC≌BEC； DEC为等边三角形．

⑴∵ACM、CBN是等边三角形，

∴MCAC，CNCB，ACNMCB ∴ACN≌MCB，∴ANBM

⑵由ACN≌MCB易推得NDC≌BEC，所以CDCE，又MCN60， 进而可得DEC为等边三角形．易得DE∥AB．

⑶过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，

利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得AFCBFC，故CF平分AFB．

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、

CG．求证：AECG．

GA

B

D

C

EF

【解析】 ∵ADCEDG

∴CDGADE 在CDG和ADE中 CDAD

CDGADE ∴CDG≌ADE ∴AECG DGDE

【例7】 如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，

求证：CDE是等边三角形．

N

ME

A

C

B

【解析】 ∵ACN≌MCB，∴ANBM，ABMANC

又∵D、E分别是AN、BM的中点，

∴BCE≌NCD，∴CECD，BCENCD

∴DCENCDNCEBCENCENCB60 ∴CDE是等边三角形

【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和

CDE(ACE120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是_____________。

B

P

A

E

D

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形

【解析】 易得ACD≌BCE．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为

线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，PCM60°，故CPM是等边三角形，选C．

【例8】 如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

A

E

D

B

C

【解析】 ∵ABC是等边三角形，∴ACB60，ACBC．

∴BCDDCA60，同理ACEDCA60，DCEC．∴BCDACE 在BCD与ACE 中， BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE，∴BDAE． DCEC

【例9】 如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

AA

P

P

D

D

BC BC

【解析】 连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACD≌BCD(SSS)，得

1

BCDACDACB30，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知

2

BDP≌BDC(SAS)，∴BPDBCD30．故BPD的度数是定值．

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，

EOOF．求证：BEBF为定值．

AE

O

AE

14

2

O

3

BFCB

FC

B

P

A

E

D

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形

【解析】 易得ACD≌BCE．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为

线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，PCM60°，故CPM是等边三角形，选C．

【例8】 如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

A

E

D

B

C

【解析】 ∵ABC是等边三角形，∴ACB60，ACBC．

∴BCDDCA60，同理ACEDCA60，DCEC．∴BCDACE 在BCD与ACE 中， BCAC

BCDACE ∴BCD≌ACE，∴BDAE． DCEC

【例9】 如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

AA

P

P

D

D

BC BC

【解析】 连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACD≌BCD(SSS)，得

1

BCDACDACB30，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知

2

BDP≌BDC(SAS)，∴BPDBCD30．故BPD的度数是定值．

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，

EOOF．求证：BEBF为定值．

AE

O

AE

14

2

O

3

BFCB

FC

- 5 -

【解析】 连结OB由上可知，∠1290，2∠390，13，而∠4C45，OBOC．

∴OBE≌OCF，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．

【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．

AG1

D

4C

H

2

F

K

【解析】 正方形ABCD中，1∠245，OAOB

而3∠490，4∠590 ∴∠3∠5，∴AOE≌BOF

∴AEBF，∴AEFCBFFCBCAB

【例11】 (2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且

EAAF． 求证：DEBF．

A

DE

F

B

C

【解析】 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，

BADADEABF90．因为EAAF， 所以BAFBAEBAEDAE90，所以

BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．

【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD

的面积是16，求DP的长_____________。

D

D

E

CC

【解析】 如图，过点D作DEDP，延长BC交DE于点E，容易证得ADP≌CDE(实际上就是把ADP

逆时针旋转90，得到正方形DPBE)

∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴DP4．

【例12】 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足，求

证：AHAB．

P

A

B

A

P

B

- 6 -

A

DFB

E

C

G

B

E

C

A

DF

【解析】 延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证△ABG≌△ADF，∠BAG∠DAF，AGAF．

再证△AEG≌△AEF，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．

【例13】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，

记AMm，MNx，BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是_____________。

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而变化

C

D

A

M

N

B

A

B

C

【解析】 如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，

则ADBNn，CDCN，∠ACD∠BCN，

∴∠MCD∠ACM∠ACDACM∠BCN904545MCN． ∴MDC≌MNC，∴MDMNx

又易得DAM454590，∴在RtAMD中，有m2n2x2，故应选(B)

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．

⑴求证：AFDFBE．

⑵设DFx(0≤x≤1)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．

A

D

A

D

F

B

E

C G

F

B

E

C

【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB至点G，使得BGDF，连结AG．

因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，ADAB， ADFABG90°，DFBG． ∴RtADF≌RtABG(SAS)， ∴AFAG，DAFBAG． 又 ∵ AE是BAF的平分线． ∴EAFBAE，

∴DAFEAFBAGBAE． 即EADGAE．

∵AD∥BC，∴GEAEAD， ∴GEAGAE，∴AGGE． 即AGBGBE．

∴AFBGBE，得证．

- 7 -

⑵ SSADFSABE

11

DFADBEAB． 22

∵ADAB1，

1

∴SDFBE

2

由⑴知，AFDFBE，

1

所以SAF．

2

在RtADF中，AD1，DFx，

∴AF

∴S

由上式可知，当x2达到最大值时，S最大．而0≤x≤1， 所以，当x1时，

S

【例14】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：

已知：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

A

B

D

图1

2

2

E

C

D

BE图2

C

【解析】 ⑴ DEBDEC

证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE ∴AEC≌ABE

∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB 在RtABC中 ∵ABAC

∴ABCACB45 ∴ABCABE90 即EBD90

∴EB2BD2ED2 又∵DAE45

∴BADEAC45 ∴EABBAD45 即EAD45 ∴AED≌AED ∴DEDE

∴DE2BD2EC2

2

- 8 -

A

E'

C

F

B

2

D

2

2

E

D

BE

C

⑵ 关系式DEBDEC仍然成立

证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE ∴AFD≌ABD

∴AFAB，FDDB

FADBAD，AFDABD 又∵ABAC，∴AFAC

∵FAEFADDAEFAD45

EACBACBAE90DAEDAB45DAB

∴FAEEAC 又∵AEAE ∴AFE≌ACE

∴FEEC，AFEACE45 AFDABD180ABC135

∴DFEAFDAFE1354590 ∴在RtDFE中

DF2FE2DE2即DE2BD2EC2

【例15】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC

是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长_____________。

AA

N

MB

D

C

BM

CE

D

【解析】 如图所示，延长AC到E使CEBM．

在BDM与CDE中，因为BDCD，MBDECD90，BMCE， 所以BDM≌CDE，故MDED．

因为BDC120，MDN60，所以BDMNDC60． 又因为BDMCDE，所以MDNEDN60．

在MND与END中，DNDN，MDNEDN60，DMDE， 所以MND≌END，则NEMN，所以AMN的周长为2．

【例16】 在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN60，

BDC120，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系_____________。

N

- 9 -

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；

Q

此时=__________

L

⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)

Q2

【解析】 BM+NC=MN;

L3

(2)猜想：仍然成立

证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE BDCD,且BDC120， DBCDCB30

由ABC是等边三角形，MBDNCD90，MBD≌ECD(SAS) DMDE,BDMCDE，EDNBDCMDN60 在MDN与EDN中 DMDE

MDNEDN DNDN

MDN≌EDN(SAS) MNNENCBM

AMN的周长QAMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC2AB 而等边ABC的周长L3AB Q2 L3

2

(3)2xL

3

【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1

∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;

2

A

DF

B

C

E

(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点，

1

且∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

2

A

BE

D

【解析】 证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG．

∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90， AB＝AD， ∴ABG≌ADF． ∴AG＝AF， 12．

1

∴1323EAFBAD．

2

∴∠GAE=∠EAF． 又AE＝AE，

∴AEG≌AEF． ∴EG＝EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF= BE＋FD

(2) (1)中的结论EFBEFD仍然成立．

【例17】 平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．

C

E

D

A

【解析】 连接DE与DF

∵DBAEBC，BADCAF ∴DBEABC，BACDAF ∴在DBE与ABC中 DBAB

DBEABC BEBC

∴DBE≌ABC(SAS) ∴DECAFC 在DFA与BCA中 DABA

DAFBAC AFAC

∴DFA≌BCA(SAS) ∴DFBCEC

∴DECF为平行四边形， ∴EF，CD互相平分．

【例18】 已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：

HBD也是等边三角形．

E

C

C

E

A

H

K

A

M

K

H

【解析】 连结EB，∵CECD，CEEA，BEAD，

所以BEAD，并且BE与AD的夹角为60， 延长EB交AK于M，

则EBH360BHDHDEBED300HDMMDEMED 180HDM18060MDEMED180HDMHDK．

又因为HKADBE，BHHD． 所以BEH≌DKH． 所以HKHE，

EHDEHDDHKBHE．

【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD为△ABC的高，

其反向延长线交FH于M，求证：(1)BHCF;(2)MFMH

H

E

A

G

【解析】 证明△ABH≌△AFC;(2)作FPMD于P，HQMD于Q，先证△AFP≌△BAD，△ACD≌

BD

C

△HAQ，再证△FPM≌△HQM

【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．

E

D

F

【解析】 易证AEC≌ABG，故ACEAGB，又ACAG，AOGBOC，故CEBG．

【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE中，BE90，

ABCDAEBCDE1，求此五边形的面积_____________。

C

B

D

C

C

B

D

A

E

A

E

F

【解析】 我们马上就会想到连接AC、AD，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面

积并不容易，至此思路中断． 我们回到已知条件中去，注意到BCDE1，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC拼接到DE的一端且使EFBC呢(如图所示)？据此，连接AF，则发现ABC≌AEF，且FD1，AFAC，AEAB，ADF是底、高各为1的

1

三角形，其面积为，而ACD与AFD全等，从而可知此五边形的面积为1．

2

【例21】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，

ABCAED180，连接AD．求证：AD平分CDE．

AA

F

B

C

D

E

B

C

D

E



【解析】 连接AC．由于ABAE，ABCAED180．

我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而AEFAEDABCAED180，

所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC． 所以DFDEEFDEBCCD． 在ACD与AFD中，

因为ACAF，CDFD，ADAD， 故ACD≌AFD，

因此ADCADF，即AD平分CDE．

1. 如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等

的理由．

E

A

家庭作业

B

C

D

答案：∵ACAB，CAEBAD，AEAD

∴AEC≌ADB ∴CEBD

又∵BDBCCDACCD ∴CEACCD

2. (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，

过点D作DFDE交BC的延长线于点F．求证：DEDF．

AE

D

B

C

F

答案：∵ADCEDF

∴ADECDF 在ADE和CDF中 DAEDCF

ADCD

ADECDF

∴ADE≌CDF ∴DEDF

3. (2008山东)在梯形ABCD中，AB∥CD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试

判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．

D

C

F

D

C

EA

B

EA

B

答案：延长BE交CD延长线于点F．

∵E是AD中点，∴DEAE，

∵AB∥CD，A90，∴EDFEAB90，ABEDFE

在AEB和FED中，

ABEDFE∵EABEDF

AEDE

∴AEB≌FED，∴FEBE

又∵AB2,BC3,CD1，∴CFBC

在FCE和BCE中，

FCBC∵CECE

FEBE

∴FCE≌BCE，∴CEEB

4. 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．CG、CH分别是ACN、MCB

的高．求证：CGCH．

N

M

G

A

答案：由ACN≌MCB，利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得到CGCH．

5. 在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP

交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

AA

M

Q

CPBQMCBCPB

答案：连接CM．因为ACBC且ACB90，所以B45．

因为M是AB的中点，所以AMCBMC90，ACM45且CMBM，则ACMB． 因为MQMP，所以QMC90CMPPMB，所以QCM≌PBM，

所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．

MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；

当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．

6. 如图，正方形ABCD中，FADFAE．求证：BEDFAE．

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ADAD

F

BECMBECF 答案：延长CB至M，使得BMDF，连接AM．

易证得：从而可得： ABM≌ADF，AFDBAFEAFBAEBAMBAEEAM，AMBEAM，故AEEMBEBMBEDF．

7. 等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于A、D的任意一点，F是CD上一点，

满足AECF1，当E、F移动时，试判断BEF的形状．

D

E

ACF

B

答案：由条件AECF1，且DFCF1，得AEDF．

因为ABDB，ABDF60，所以ABE≌DBF，

因此BEBF，ABEDBF．

因为EBFEBDDBFEBDABEABD60，

所以BEF为等边三角形．

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