旋转图形与中心对称
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
● 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角
彼此相等的性质．
●
●
●
●
● 了解平行四边形、圆是中心对称图形． 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． 欣赏旋转在现实生活中的应用． 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）． 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
重点难点：
● 重点：理解旋转的有关定义、性质及应用；理解中心对称和中心对称图形的定义；根据条件画出已知图形关于某点
为旋转中心的旋转图形或根据条件画出已知图形关于某点为对称中心的对称图形.
● 难点：画已知图形关于某点为旋转中心（或对称中心）的旋转图形（或对称图形）；运用旋转的定义和性质证明线
段相等、角相等；判别一个图案是否为中心对称图形；利用图形变换设计美丽图案.
学习策略：
● “旋转”是在我们已学习了“平移”、“对称”之后，又出现的第三种图形变换，在学习中，综合运用“平移”、“对
称”、“旋转”的定义和性质，将有助于我们对图形变换的认识，有助于我们分析、理解图案的形成过程，有助于我们树立数学审美观，提高对图案的审美水平.
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（一）成轴对称的两个图形沿对称轴对折能够互相
，因此，成轴对称的两个图形 .
（二）平移前后的两个图形 .
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真 听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#215034
知识点一：旋转的概念
几个图形的共同特点是如果我们把时针、螺旋桨、风车风轮当成一个图形，那么
这些图形都可以绕着某一 点 一定的角度．
（一）旋转的定义：
把一个图形绕着某一点O 一个角度的图形变换叫做旋转（rotation ）. 点
O 叫做 ，转动的角叫做 .如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的 .
重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（二）旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离 ；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角 旋转角；
（3）旋转前后的图形 .
（三）作图：
在画旋转图形时，要把握旋转 与旋转 这两个元素. 确定旋转中
心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”， 的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的 角即为旋转角.
作图的步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
知识点二：中心对称与中心对称图形
（一）中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 ．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
（二）中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是 图形．
（三）中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图
形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 ．
（五）关于原点对称的点的坐标特征：
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为 .即点P (x ，y )关于原点
的对称点P '的坐标为 ，反之也成立.
知识点三：平移、轴对称、旋转
（二）旋转与中心对称
（三）中心对称与轴对称
经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反
三。若有其它补充可填在右栏空白处。
更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#215034
类型一：旋转的基本概念与特征
例1．如图所示，△AOB 旋转到△A ′OB ′的位置，指出旋转中心是哪个点？点B 、
点A 的对应点是什么？线段AB 的对应线段是什么？∠A 的对应角是什么？画出点D 的对应点D ′．
思路点拨：根据旋转的概念和旋转的特征，可以解答此题．
解：
例2．如图所示：O 为正三角形ABC 的中心．你能用旋转的方法将△ABC 分成面积相
等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
思路点拨：正三角形是旋转对称图形，并且将它绕其中心旋转12O °、240°后均能与其自身重合，故其分割线绕中心旋转120°、240°后能彼此重合，由此可先画一条分割线，再作出它绕中心旋转120°、240°后的图形，即可将△ABC 分成形状，大小完全相同的三部分，显然也就将其面积分成了三等分．
下面给出几种解法：
解法一：
解法二：
解法三：
举一反三：
【变式1】如图所示是一种花瓣图案，它可以看作是一个什么“基本图案”形成的，试
用两种方法分析其形成过程．
思路点拨：
图案的形成过程可从花瓣的六分之一、三分之一、二分之一来分别说明，
因而写出两种方法便不是难事了．
解：
方法一：
方法二：
方法三：
总结升华： . 类型二：中心对称与中心对称图形的概念与性质
例3．（江苏南京）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．菱形 B ．等腰梯形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 思路点拨：中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.
答案：
例4．如图，△DEF 是由△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到的图形.
（1）请指出图中所有相等的线段；
（2）写出图中所有相等的角；
（3）图中哪些三角形可以看成是关于点O 成中心对称的？
思路点拨：因为△DEF 是由△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于点O 成中心对称，根据中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．即可得出.
解：
类型三：作图
例5．如图，△A ′B ′C ′是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角
.
思路点拨：利用旋转中心到对应点所连线段相等，可知旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上. 只需作出两条这样的可相交的直线，找到交点即可.
答案：
例6．如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心
.
思路点拨：确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
（1）利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一
对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.
（2）利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对
对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.
答案：
例7．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1，0），将点P 0绕着原点O 按逆时
针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____.
思路点拨：准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图
.
由图可知，P 3与P 2关于y 轴对称，因此只须求得P 2坐标，而我们可以发现△OP 0P 2为含60°角的直角三角形，所以马上可以知道 P 2............................... ，∴P 3............................... . 举一反三：
【变式1】如图，在10⨯10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将
△A B C 向下平移4个单位，得到△A 'B 'C '，再把△A 'B 'C '绕点C '顺时针旋转90 ，得到△A ''B ''C '，请你画出△A 'B 'C '和△A ''B ''C '（不要求写画法）．
例8．已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）
.
甲
思路点拨：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分，当然其面积也相等. 解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.
类型四：综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计
例9．试用两个圆、两个三角形、两条平行线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系
的图案.
思路点拨：线段、圆是轴对称图形，又是能绕其中心或圆心旋转180°重合的图形，只要所选用三角形是等边三角形或等腰三角形，便不难将三者有机结合，设计出一些合理的图案来．
解：
（1）平移关系
（2）旋转关系
（3）轴对称关系
类型五：利用图形变换的性质进行计算或证明
例10．如图所示，△ABC 中，∠ACB =120°，将该图形绕点C 按逆时针旋转30°后，
得到△A ′B ′C ，则∠ACB ′的度数是 .
B A '
B'
C A
思路点拨：根据旋转的性质可以知道∠BCB ′是旋转角，它的度数应该是30°，∠ACB ′可以看成是∠ACB 和∠BCB ′的和，所以∠A C B′例11．如图所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方
形EF CG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是
.
思路点拨：由旋转的性质可以知道∠BCF =∠DCG =30°，所以∠FCD =60°，可以连结
线段HC （如图所示），由已知可知∠F =∠D =90°，FC =DC ，HC 是Rt △FHC 和Rt △DHC
公共的斜边，根据HL 公理可以判断Rt △FHC ≌Rt △DHC ，所以∠FCH =∠DCH =30°，
所以HC = ，根据勾股定理可得DH 2+DC 2= ，即DH 2+DC 2= ，
因为DC =3，所以DH
= .
例12．（山东日照）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正
方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于_________． C B
C'
D D'
思路点拨：不妨设CD 与B ′C ′交点为P ，则两个正方形关于AP 所在的直线对称，
因此只需算出三角形ADP 的面积即可.
又∠B ′AD =60°，所以∠DAP = °，因此三角形ADP 的面积可算，
S A D P =12AD ⋅PD = ，所以公共部分面积为
☆例13．（浙江义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸
片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸
片摆成如图3的形状，使点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F
重合（在
图3～图6中统一用F 表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请
你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于
点G ，请你求出线段FG 的长度；
（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证
明：
AH=DH.
解：
类型六：运用旋转变换的思想解决问题
例14．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中
点，两边PE 、PF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：
①AE =CF ；②∠APE =∠CPF ；③△EPF 是等腰直角三角 形；④EF =AP ；⑤
S 1
四边形A E P F =2S ∆A B C ；当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时，（点E 不与
A ，B 重
合），
上述结论中始终正确的序号有_____.
答案：
方法一：
方法二：
☆例15．如图，∆ABC 中，AB =3，AC =2，以BC 为边的∆BCP 是等边三角形，求
AP 的最大、最小值.
解析：
举一反三：
【变式1】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90 ，∠B =135 ，K 为
AB 上一点，N 为BC 上一点. 若∆BKN 的周长等于AB 的2倍，求∠KDN 的度
数.
解：
☆例16．已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF =DB ，
连接AF 、CD ．
（1）观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系? 直接写出结论，不必证明；
（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC
内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）
中的结 论是否仍然成立? 若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化? 若不变，请你
求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．
解：
总结升华： .
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们
巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力.
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
相关内容请参看网校资源ID ：#tbjx21#215034。
（一）在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：
（1）先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；
（2
）在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；
（3）利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧.
（二）学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：
（1）实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；
（2）类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；
（3）理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识.
成果测评
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测试。
知识点：旋转与中心对称
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
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自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。
注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。
网○校○重○要○资○源 ○
知识导学：旋转图形与中心对称（ID ：#215034）
视听课堂：旋转（ID ：#211228）
学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________
旋转图形与中心对称
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
● 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角
彼此相等的性质．
●
●
●
●
● 了解平行四边形、圆是中心对称图形． 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． 欣赏旋转在现实生活中的应用． 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）． 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
重点难点：
● 重点：理解旋转的有关定义、性质及应用；理解中心对称和中心对称图形的定义；根据条件画出已知图形关于某点
为旋转中心的旋转图形或根据条件画出已知图形关于某点为对称中心的对称图形.
● 难点：画已知图形关于某点为旋转中心（或对称中心）的旋转图形（或对称图形）；运用旋转的定义和性质证明线
段相等、角相等；判别一个图案是否为中心对称图形；利用图形变换设计美丽图案.
学习策略：
● “旋转”是在我们已学习了“平移”、“对称”之后，又出现的第三种图形变换，在学习中，综合运用“平移”、“对
称”、“旋转”的定义和性质，将有助于我们对图形变换的认识，有助于我们分析、理解图案的形成过程，有助于我们树立数学审美观，提高对图案的审美水平.
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（一）成轴对称的两个图形沿对称轴对折能够互相
，因此，成轴对称的两个图形 .
（二）平移前后的两个图形 .
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真 听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#215034
知识点一：旋转的概念
几个图形的共同特点是如果我们把时针、螺旋桨、风车风轮当成一个图形，那么
这些图形都可以绕着某一 点 一定的角度．
（一）旋转的定义：
把一个图形绕着某一点O 一个角度的图形变换叫做旋转（rotation ）. 点
O 叫做 ，转动的角叫做 .如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的 .
重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（二）旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离 ；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角 旋转角；
（3）旋转前后的图形 .
（三）作图：
在画旋转图形时，要把握旋转 与旋转 这两个元素. 确定旋转中
心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”， 的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的 角即为旋转角.
作图的步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
知识点二：中心对称与中心对称图形
（一）中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，
那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 ．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
（二）中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是 图形．
（三）中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图
形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 ．
（五）关于原点对称的点的坐标特征：
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为 .即点P (x ，y )关于原点
的对称点P '的坐标为 ，反之也成立.
知识点三：平移、轴对称、旋转
（二）旋转与中心对称
（三）中心对称与轴对称
经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反
三。若有其它补充可填在右栏空白处。
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类型一：旋转的基本概念与特征
例1．如图所示，△AOB 旋转到△A ′OB ′的位置，指出旋转中心是哪个点？点B 、
点A 的对应点是什么？线段AB 的对应线段是什么？∠A 的对应角是什么？画出点D 的对应点D ′．
思路点拨：根据旋转的概念和旋转的特征，可以解答此题．
解：
例2．如图所示：O 为正三角形ABC 的中心．你能用旋转的方法将△ABC 分成面积相
等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
思路点拨：正三角形是旋转对称图形，并且将它绕其中心旋转12O °、240°后均能与其自身重合，故其分割线绕中心旋转120°、240°后能彼此重合，由此可先画一条分割线，再作出它绕中心旋转120°、240°后的图形，即可将△ABC 分成形状，大小完全相同的三部分，显然也就将其面积分成了三等分．
下面给出几种解法：
解法一：
解法二：
解法三：
举一反三：
【变式1】如图所示是一种花瓣图案，它可以看作是一个什么“基本图案”形成的，试
用两种方法分析其形成过程．
思路点拨：
图案的形成过程可从花瓣的六分之一、三分之一、二分之一来分别说明，
因而写出两种方法便不是难事了．
解：
方法一：
方法二：
方法三：
总结升华： . 类型二：中心对称与中心对称图形的概念与性质
例3．（江苏南京）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．菱形 B ．等腰梯形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 思路点拨：中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.
答案：
例4．如图，△DEF 是由△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到的图形.
（1）请指出图中所有相等的线段；
（2）写出图中所有相等的角；
（3）图中哪些三角形可以看成是关于点O 成中心对称的？
思路点拨：因为△DEF 是由△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于点O 成中心对称，根据中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．即可得出.
解：
类型三：作图
例5．如图，△A ′B ′C ′是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角
.
思路点拨：利用旋转中心到对应点所连线段相等，可知旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上. 只需作出两条这样的可相交的直线，找到交点即可.
答案：
例6．如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心
.
思路点拨：确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
（1）利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一
对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.
（2）利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对
对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.
答案：
例7．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1，0），将点P 0绕着原点O 按逆时
针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____.
思路点拨：准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图
.
由图可知，P 3与P 2关于y 轴对称，因此只须求得P 2坐标，而我们可以发现△OP 0P 2为含60°角的直角三角形，所以马上可以知道 P 2............................... ，∴P 3............................... . 举一反三：
【变式1】如图，在10⨯10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将
△A B C 向下平移4个单位，得到△A 'B 'C '，再把△A 'B 'C '绕点C '顺时针旋转90 ，得到△A ''B ''C '，请你画出△A 'B 'C '和△A ''B ''C '（不要求写画法）．
例8．已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）
.
甲
思路点拨：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分，当然其面积也相等. 解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.
类型四：综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计
例9．试用两个圆、两个三角形、两条平行线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系
的图案.
思路点拨：线段、圆是轴对称图形，又是能绕其中心或圆心旋转180°重合的图形，只要所选用三角形是等边三角形或等腰三角形，便不难将三者有机结合，设计出一些合理的图案来．
解：
（1）平移关系
（2）旋转关系
（3）轴对称关系
类型五：利用图形变换的性质进行计算或证明
例10．如图所示，△ABC 中，∠ACB =120°，将该图形绕点C 按逆时针旋转30°后，
得到△A ′B ′C ，则∠ACB ′的度数是 .
B A '
B'
C A
思路点拨：根据旋转的性质可以知道∠BCB ′是旋转角，它的度数应该是30°，∠ACB ′可以看成是∠ACB 和∠BCB ′的和，所以∠A C B′例11．如图所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方
形EF CG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是
.
思路点拨：由旋转的性质可以知道∠BCF =∠DCG =30°，所以∠FCD =60°，可以连结
线段HC （如图所示），由已知可知∠F =∠D =90°，FC =DC ，HC 是Rt △FHC 和Rt △DHC
公共的斜边，根据HL 公理可以判断Rt △FHC ≌Rt △DHC ，所以∠FCH =∠DCH =30°，
所以HC = ，根据勾股定理可得DH 2+DC 2= ，即DH 2+DC 2= ，
因为DC =3，所以DH
= .
例12．（山东日照）如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正
方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于_________． C B
C'
D D'
思路点拨：不妨设CD 与B ′C ′交点为P ，则两个正方形关于AP 所在的直线对称，
因此只需算出三角形ADP 的面积即可.
又∠B ′AD =60°，所以∠DAP = °，因此三角形ADP 的面积可算，
S A D P =12AD ⋅PD = ，所以公共部分面积为
☆例13．（浙江义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸
片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸
片摆成如图3的形状，使点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F
重合（在
图3～图6中统一用F 表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请
你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于
点G ，请你求出线段FG 的长度；
（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证
明：
AH=DH.
解：
类型六：运用旋转变换的思想解决问题
例14．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中
点，两边PE 、PF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：
①AE =CF ；②∠APE =∠CPF ；③△EPF 是等腰直角三角 形；④EF =AP ；⑤
S 1
四边形A E P F =2S ∆A B C ；当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时，（点E 不与
A ，B 重
合），
上述结论中始终正确的序号有_____.
答案：
方法一：
方法二：
☆例15．如图，∆ABC 中，AB =3，AC =2，以BC 为边的∆BCP 是等边三角形，求
AP 的最大、最小值.
解析：
举一反三：
【变式1】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90 ，∠B =135 ，K 为
AB 上一点，N 为BC 上一点. 若∆BKN 的周长等于AB 的2倍，求∠KDN 的度
数.
解：
☆例16．已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF =DB ，
连接AF 、CD ．
（1）观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系? 直接写出结论，不必证明；
（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC
内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）
中的结 论是否仍然成立? 若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化? 若不变，请你
求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．
解：
总结升华： .
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们
巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力.
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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（一）在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如下三个问题：
（1）先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；
（2
）在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；
（3）利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧.
（二）学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：
（1）实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系；
（2）类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；
（3）理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总结出中心对称的有关知识.
成果测评
现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的
测试。
知识点：旋转与中心对称
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
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自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。
注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。
网○校○重○要○资○源 ○
知识导学：旋转图形与中心对称（ID ：#215034）
视听课堂：旋转（ID ：#211228）
学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________