1997年第4期 三晋测绘・35・
水准网平差及粗差检验计算
童小华 张 锦
(同济大学测量系, 上海, 200092) (山西矿业学院地测系, 太原, 030004)
【关键词】基准方程 粗差检验 工程实例
一、设i , j h ij , 易知观测值方程式为:
h ij +V
ij
00
=-∆H i +∆H j +(H j -H i ) (1)
式中:V ij 为观测高差误差, H 0H j 、为i 、j 点高程近似值, ∆H i 、∆H j 为i 、j 点高程近似值i 、
改正数。
00可得i 、j 段误差方程式为: V ij =-∆H i +∆H j +(H j -H i -h ij )
(2)
误差方程式矩阵形式为:
V =A X δ-L 权P
(3)
δ为改正数向量, L 为常数向量权阵P =diag {P 1, 式中V 为误差向量, A 为系数矩阵, X
…, Pn },其中P i =2, Ρ2。0为每公里水准测量的先验方差, Si 为第i 段水准路线长度
Ρ0S i
(4) 由最小二乘原理组成法方程:A T PA X δ=A T PL
若以网中所有高程点为未知数, 则N =A T PA 为秩亏阵, 由于水准网中需要一个高程为基准, 则式(4) 的系数阵A 的秩亏数为1。
δ对于经典自由网平差, 基准方程为:∆X i =0其含义为网中第i 点高程固定不变
对于自由网拟稳平差, 基准方程为:2∆X δi =0
m i =1
(5)
(6)
式中m 为拟稳点数, 其含义为拟稳点组重心高程保持不变
n
δ对于加权秩亏自由网平差, 基准方程为:2P i ∆X i =0
i =1
(7)
式中P i 为第i 段高程基准的权值
(6) 、(7) 基准条件式写成统一的矩阵形式:A x X δ=0将(5) 、
(8) 式、(3) 式组成如下误差方程式:
A PA A x
T
(8)
A x
X
0K
=
A PL
T
0
(9)
・36・三晋测绘 1997年第4期
可得:
X
=
A PA A x
T
A x
-1
A PL
T
0 0
T
由分块矩阵求逆分式解(10) 式可得:X δ=Η11 A PL
K
(10) (11)
式中Η11=N
-1
-N
-1
T
A x (A xN
-1
T -1
A x ) A xN
-1
, N =A T PA
由高差改正数计算单位权中误差以评定测量精度: m 0=±
n -m +1
T
(12)
式中n 为观测高程总数, n 为基准条件个数二、水准网粗差检验
设水准网中第i :
δg (13)
式中ei =0, , 1, …, 0) T
↑i 组成法方程式:
A PA ei PA
T
T
A P ei ei ei
T
T
X
由此可得:X δ=(A T PA ) -1A T PL -δδT T T
ei PA X +ei P eig i =ei PL
T δ[3]
经推导可得:g i =构造统计量T =
δ=D g i
ei PQ vv P ei
T
δ=
g A PL ei PL
T
T
(14) (15)
δi (A T PA ) -1A T P eig
(16) (17)
T Ρ0Ρ0
ei PQ vv P ei
T
当观测值相互独立时, T =
Q v iv i
=
m v i
(18)
～N (0, 1) 服从标准正态分布给定置信水平Α, 若Ρv i
T u , 则说明V i 中含有粗差。
22三、工程实例
2由于V i ～N (0, Ρv i ) , 故有T =
某市大型钢铁厂布设了二等水准监测网, 以监测厂区范围内地面沉降变化情况。整个水准网共布设28个高程点, 由50条水准路线构成20个闭合网, 网中每条水准路线长度平均为1公里左右。按照前述各种平差模型和方法, 编制了相应的水准网平差处理软件, 并建立水准监测网数据库系统。
平差时采用了两种方法进行比较, 一是将网中21号点作为已知点进行经典自由网平差; 二是将网中第5, 22, 25三点作为拟稳点进行拟稳平差, 并计算距第5点最远点第1点之间精度值下表是部分点位平差结果。
1997年第4期 三晋测绘・37・
点号近似高程(米) (毫米) 高程平差值(米)
中误差(毫米)
采用前述粗差探测模型对观测成果进行检验, 取置信水平Α=0. 05, 对应的U 96, 计算得T =0. 24
=1. 2
, 说明观测高差中不含粗差。从计算结果及上表可知, 平差后单2
位权中误差为0. 6099m m , 第1号点与第5号点间的高差中误差为1. 0mm , 说明该次观测精度是良好的。
至目前这止, 该地区监测网已进行了47次观测(一年两次) , 为了对观测资料和数据进行分析和管理, 我们建立了该地区水准监测网数据库系统, 系统主要功能包括观测数据的输入、数据管理、数据查询、平差处理、粗差探测、制表及打印输出等, 并提供各种分析功能, 如各高程点历年沉降变化曲线图, 目前, 正加入应用时序方法, 对高程变化进行预测等功能。从该数据库系统分析结果可知, 该地区地面沉降没有异常变化, 处于稳定状态。
(收稿日期:1997211221) (责任编辑 孔令礼)
参考文献:
[1]郭禄光 樊功瑜编著, 最小二乘法与测量平差, 上海, 同济大学出版社, 1985[2]崔希璋 於宗俦编著, 广义测量平差, 北京, 测绘出版社, 1992
[3]张方仁等编著, 测量误差的统计分布和检验, 北京, 中国计量出版社, 1991
作者简介
童小华, 男, 1971年出生, 现为同济大学博士生。主要研究方向:测量数据处理, G IS , 已发表论文6篇。
1997年第4期 三晋测绘・35・
水准网平差及粗差检验计算
童小华 张 锦
(同济大学测量系, 上海, 200092) (山西矿业学院地测系, 太原, 030004)
【关键词】基准方程 粗差检验 工程实例
一、设i , j h ij , 易知观测值方程式为:
h ij +V
ij
00
=-∆H i +∆H j +(H j -H i ) (1)
式中:V ij 为观测高差误差, H 0H j 、为i 、j 点高程近似值, ∆H i 、∆H j 为i 、j 点高程近似值i 、
改正数。
00可得i 、j 段误差方程式为: V ij =-∆H i +∆H j +(H j -H i -h ij )
(2)
误差方程式矩阵形式为:
V =A X δ-L 权P
(3)
δ为改正数向量, L 为常数向量权阵P =diag {P 1, 式中V 为误差向量, A 为系数矩阵, X
…, Pn },其中P i =2, Ρ2。0为每公里水准测量的先验方差, Si 为第i 段水准路线长度
Ρ0S i
(4) 由最小二乘原理组成法方程:A T PA X δ=A T PL
若以网中所有高程点为未知数, 则N =A T PA 为秩亏阵, 由于水准网中需要一个高程为基准, 则式(4) 的系数阵A 的秩亏数为1。
δ对于经典自由网平差, 基准方程为:∆X i =0其含义为网中第i 点高程固定不变
对于自由网拟稳平差, 基准方程为:2∆X δi =0
m i =1
(5)
(6)
式中m 为拟稳点数, 其含义为拟稳点组重心高程保持不变
n
δ对于加权秩亏自由网平差, 基准方程为:2P i ∆X i =0
i =1
(7)
式中P i 为第i 段高程基准的权值
(6) 、(7) 基准条件式写成统一的矩阵形式:A x X δ=0将(5) 、
(8) 式、(3) 式组成如下误差方程式:
A PA A x
T
(8)
A x
X
0K
=
A PL
T
0
(9)
・36・三晋测绘 1997年第4期
可得:
X
=
A PA A x
T
A x
-1
A PL
T
0 0
T
由分块矩阵求逆分式解(10) 式可得:X δ=Η11 A PL
K
(10) (11)
式中Η11=N
-1
-N
-1
T
A x (A xN
-1
T -1
A x ) A xN
-1
, N =A T PA
由高差改正数计算单位权中误差以评定测量精度: m 0=±
n -m +1
T
(12)
式中n 为观测高程总数, n 为基准条件个数二、水准网粗差检验
设水准网中第i :
δg (13)
式中ei =0, , 1, …, 0) T
↑i 组成法方程式:
A PA ei PA
T
T
A P ei ei ei
T
T
X
由此可得:X δ=(A T PA ) -1A T PL -δδT T T
ei PA X +ei P eig i =ei PL
T δ[3]
经推导可得:g i =构造统计量T =
δ=D g i
ei PQ vv P ei
T
δ=
g A PL ei PL
T
T
(14) (15)
δi (A T PA ) -1A T P eig
(16) (17)
T Ρ0Ρ0
ei PQ vv P ei
T
当观测值相互独立时, T =
Q v iv i
=
m v i
(18)
～N (0, 1) 服从标准正态分布给定置信水平Α, 若Ρv i
T u , 则说明V i 中含有粗差。
22三、工程实例
2由于V i ～N (0, Ρv i ) , 故有T =
某市大型钢铁厂布设了二等水准监测网, 以监测厂区范围内地面沉降变化情况。整个水准网共布设28个高程点, 由50条水准路线构成20个闭合网, 网中每条水准路线长度平均为1公里左右。按照前述各种平差模型和方法, 编制了相应的水准网平差处理软件, 并建立水准监测网数据库系统。
平差时采用了两种方法进行比较, 一是将网中21号点作为已知点进行经典自由网平差; 二是将网中第5, 22, 25三点作为拟稳点进行拟稳平差, 并计算距第5点最远点第1点之间精度值下表是部分点位平差结果。
1997年第4期 三晋测绘・37・
点号近似高程(米) (毫米) 高程平差值(米)
中误差(毫米)
采用前述粗差探测模型对观测成果进行检验, 取置信水平Α=0. 05, 对应的U 96, 计算得T =0. 24
=1. 2
, 说明观测高差中不含粗差。从计算结果及上表可知, 平差后单2
位权中误差为0. 6099m m , 第1号点与第5号点间的高差中误差为1. 0mm , 说明该次观测精度是良好的。
至目前这止, 该地区监测网已进行了47次观测(一年两次) , 为了对观测资料和数据进行分析和管理, 我们建立了该地区水准监测网数据库系统, 系统主要功能包括观测数据的输入、数据管理、数据查询、平差处理、粗差探测、制表及打印输出等, 并提供各种分析功能, 如各高程点历年沉降变化曲线图, 目前, 正加入应用时序方法, 对高程变化进行预测等功能。从该数据库系统分析结果可知, 该地区地面沉降没有异常变化, 处于稳定状态。
(收稿日期:1997211221) (责任编辑 孔令礼)
参考文献:
[1]郭禄光 樊功瑜编著, 最小二乘法与测量平差, 上海, 同济大学出版社, 1985[2]崔希璋 於宗俦编著, 广义测量平差, 北京, 测绘出版社, 1992
[3]张方仁等编著, 测量误差的统计分布和检验, 北京, 中国计量出版社, 1991
作者简介
童小华, 男, 1971年出生, 现为同济大学博士生。主要研究方向:测量数据处理, G IS , 已发表论文6篇。