1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.322). 解：(1)P (-2.32
=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)P (x >2)=1-P (x
(1)在N(1,4)下，求F (3) （2）在N （μ，σ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）F (3) ＝Φ(
2
3-1
) ＝Φ（1）＝0.8413 2
μ+σ-μ
) ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝Φ(
σ
Ｆ（μ－σ）＝Φ(
μ-σ-μ
) ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 σ
12π
Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
，求总体落入区
间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]
解：正态分布的概率密度函数是f (x ) =
12πσ
e
-
(x -μ) 22σ2
, x ∈(-∞, +∞) ，它是偶函数，
说明μ＝0，f (x ) 的最大值为f (μ) ＝布 12πσ
，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分
P (-1.2
=0.5793+0.8848-1=0.4642
4. 某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500 520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（μ-a , μ+a ）
内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则ξ~N (500, 200) 2
520-500500-500
) -Φ() =Φ(0.1)-Φ(0)=0.5398-0.5=0.0398（2）∵200200
a a a
P (μ-a
200200200
a ∴Φ() ≥0.975 200
a
≥1.96⇒a ≥392 查表知：200P (500
1设随机变量
( A)
(3,1),若 ( B)l—p
,, 则P(2
D ．
P(2
【答案】C 因为, 所以
, 选 C ．
2．(2010·新课标全国理) 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100 B ．200 C ．300 D ．400[答案] B
[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1) ，所以E (ξ) ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X ) ＝E (2ξ) ＝2E (ξ) ＝200，故选B.
3．设随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ) ，则D (ξ) ＝( )
34125 B ．－ C. D. 9939[答案] D
[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又[1**********]
－1－⎫2＋⎛0－2＋⎛12＝. E (ξ) ＝－a ＋c ＝解得a ＝，b ＝c ＝，∴D (ξ) ＝×⎛3⎭3⎝32⎝3936326⎝
4．(2010·上海松江区模考) 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到6
白球个数的数学期望值为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2
7
[答案] A
[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， C 7－x 2(7－x )(6－x )P (ξ＝0) ＝
C 742x ·(7－x )x (7－x )
P (ξ＝1) ＝＝
C 721C 2x (x －1)
P (ξ＝2) ＝
C 742
(7－x )(6－x )x (7－x )x (x －1)6
∴0×＋1×2＝
4221427∴x ＝3.
5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )
25592477A. B. C. D. [1**********][答案] C
[解析] 由条件知ξ～B (n ，P ) ，
⎧⎧⎪E (ξ)＝4，⎪np ＝4∵⎨，∴⎨， ⎪D (ξ)＝2⎪⎩⎩np (1－p )＝2
1
解之得，p ，n ＝8，
2
10⎛18⎛18
∴P (ξ＝0) ＝C 80×⎛⎝2×⎝2＝⎝2， 1⎫1⎛1⎫7⎛15P (ξ＝1) ＝C 81×⎛⎝2⎭×⎝2⎭＝⎝2， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0) －P (ξ＝1) 18⎛1⎫5247＝1－⎛⎝2－⎝2⎭＝256.
(x －μi )215已知三个正态分布密度函数φi (x ) ＝e －(x ∈R ，i ＝1,2,3) 的图象如图所示，
2σi σi
则( )
A ．μ1σ3 B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2
[解析] 正态分布密度函数φ2(x ) 和φ3(x ) 的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x ) 的对称轴的横坐标值比φ1(x ) 的对称轴的横坐标值大，故有μ1
6①命题“②若
③定义在
R 上的奇函数
”的否定是:“, 则满足
的最大值为4;
, 则
的值为0; ”;
④已知随机变量服从正态分布, 则;
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“①正确. ②若
, 即
, 则
, 即, 解得
满足
, 则
”;所以
. 所以
的最小值为4;
, 则; 所
所以②错误. ③定义在R 上的奇函数
, 且
以③正确.
④已知随机变量
服从正态分布
, 所以
④正确, 所以真命题的序号是①③④. 7、在区间
上任取两数m 和n , 则关于x 的方程
, 即函数的周期是4. 所以
, 则; 所以
有两不相等实根的概
率为___________.
【答案】
由题意知
, 即
,
, 当, 所以方程
要使方程有两不相等
实根, 则. 作出对应的可行域, 如图直线时,
, 所以
有两不相等实根的概率为
.
8、下列命题:
` (1); (2)不等式
恒成立, 则
;
(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则
(4)已知
则
. 其中正确命题的序号为____________.
【答案】(2)(3) (1)
, 所以(1)错误.(2)不等式
的最小值为4, 所以要使不等式
成立, 则
, 所以
(2)
正
确
.(3)
正
确
.(4)
, 所以(4)错误, 所以正
确的为(2)(3).
2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛, 现从中抽取5场, 用茎叶图统计该运动员5
场中的得分如图所示, 则该样本的方差为
A ．26
B ．25 C ．23 D ．18
【答案】D
样本的平均数为
23, 所以样本方差为
, 选
3有一个容量为
的样本, 其频率分布直方图如图所示, 据图估计, 样本数据在
内的
频数为
（ ）D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 样本数据在
之外的频率为
,
所以样本数据在内的频率为
, 所以样本数据在的频数为
, 选 C．
4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示, 在边长为l 的正方形OABC 中
任取一点P, 则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为
, 所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分
的概率为
, 选
B ．
5从集合{1, 2,3, 4,5}中随机选取3个不同的数, 这个数可以构成等差数列的概率为______.
【答案】
2
5
从集合{1, 2,3, 4,5}中随机选取3个不同的数有C 3
5=10种. 则3个数能构成等差数列的
有, 1, 2,3;2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有4种, 所以这个数可以构成等差数列的概率为42
10=5
.
） ）（
（
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.322). 解：(1)P (-2.32
=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)P (x >2)=1-P (x
(1)在N(1,4)下，求F (3) （2）在N （μ，σ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）F (3) ＝Φ(
2
3-1
) ＝Φ（1）＝0.8413 2
μ+σ-μ
) ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝Φ(
σ
Ｆ（μ－σ）＝Φ(
μ-σ-μ
) ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 σ
12π
Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
，求总体落入区
间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]
解：正态分布的概率密度函数是f (x ) =
12πσ
e
-
(x -μ) 22σ2
, x ∈(-∞, +∞) ，它是偶函数，
说明μ＝0，f (x ) 的最大值为f (μ) ＝布 12πσ
，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分
P (-1.2
=0.5793+0.8848-1=0.4642
4. 某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500 520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（μ-a , μ+a ）
内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则ξ~N (500, 200) 2
520-500500-500
) -Φ() =Φ(0.1)-Φ(0)=0.5398-0.5=0.0398（2）∵200200
a a a
P (μ-a
200200200
a ∴Φ() ≥0.975 200
a
≥1.96⇒a ≥392 查表知：200P (500
1设随机变量
( A)
(3,1),若 ( B)l—p
,, 则P(2
D ．
P(2
【答案】C 因为, 所以
, 选 C ．
2．(2010·新课标全国理) 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100 B ．200 C ．300 D ．400[答案] B
[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1) ，所以E (ξ) ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X ) ＝E (2ξ) ＝2E (ξ) ＝200，故选B.
3．设随机变量ξ的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ) ，则D (ξ) ＝( )
34125 B ．－ C. D. 9939[答案] D
[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又[1**********]
－1－⎫2＋⎛0－2＋⎛12＝. E (ξ) ＝－a ＋c ＝解得a ＝，b ＝c ＝，∴D (ξ) ＝×⎛3⎭3⎝32⎝3936326⎝
4．(2010·上海松江区模考) 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到6
白球个数的数学期望值为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2
7
[答案] A
[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， C 7－x 2(7－x )(6－x )P (ξ＝0) ＝
C 742x ·(7－x )x (7－x )
P (ξ＝1) ＝＝
C 721C 2x (x －1)
P (ξ＝2) ＝
C 742
(7－x )(6－x )x (7－x )x (x －1)6
∴0×＋1×2＝
4221427∴x ＝3.
5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )
25592477A. B. C. D. [1**********][答案] C
[解析] 由条件知ξ～B (n ，P ) ，
⎧⎧⎪E (ξ)＝4，⎪np ＝4∵⎨，∴⎨， ⎪D (ξ)＝2⎪⎩⎩np (1－p )＝2
1
解之得，p ，n ＝8，
2
10⎛18⎛18
∴P (ξ＝0) ＝C 80×⎛⎝2×⎝2＝⎝2， 1⎫1⎛1⎫7⎛15P (ξ＝1) ＝C 81×⎛⎝2⎭×⎝2⎭＝⎝2， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0) －P (ξ＝1) 18⎛1⎫5247＝1－⎛⎝2－⎝2⎭＝256.
(x －μi )215已知三个正态分布密度函数φi (x ) ＝e －(x ∈R ，i ＝1,2,3) 的图象如图所示，
2σi σi
则( )
A ．μ1σ3 B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2
[解析] 正态分布密度函数φ2(x ) 和φ3(x ) 的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x ) 的对称轴的横坐标值比φ1(x ) 的对称轴的横坐标值大，故有μ1
6①命题“②若
③定义在
R 上的奇函数
”的否定是:“, 则满足
的最大值为4;
, 则
的值为0; ”;
④已知随机变量服从正态分布, 则;
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“①正确. ②若
, 即
, 则
, 即, 解得
满足
, 则
”;所以
. 所以
的最小值为4;
, 则; 所
所以②错误. ③定义在R 上的奇函数
, 且
以③正确.
④已知随机变量
服从正态分布
, 所以
④正确, 所以真命题的序号是①③④. 7、在区间
上任取两数m 和n , 则关于x 的方程
, 即函数的周期是4. 所以
, 则; 所以
有两不相等实根的概
率为___________.
【答案】
由题意知
, 即
,
, 当, 所以方程
要使方程有两不相等
实根, 则. 作出对应的可行域, 如图直线时,
, 所以
有两不相等实根的概率为
.
8、下列命题:
` (1); (2)不等式
恒成立, 则
;
(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则
(4)已知
则
. 其中正确命题的序号为____________.
【答案】(2)(3) (1)
, 所以(1)错误.(2)不等式
的最小值为4, 所以要使不等式
成立, 则
, 所以
(2)
正
确
.(3)
正
确
.(4)
, 所以(4)错误, 所以正
确的为(2)(3).
2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛, 现从中抽取5场, 用茎叶图统计该运动员5
场中的得分如图所示, 则该样本的方差为
A ．26
B ．25 C ．23 D ．18
【答案】D
样本的平均数为
23, 所以样本方差为
, 选
3有一个容量为
的样本, 其频率分布直方图如图所示, 据图估计, 样本数据在
内的
频数为
（ ）D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 样本数据在
之外的频率为
,
所以样本数据在内的频率为
, 所以样本数据在的频数为
, 选 C．
4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示, 在边长为l 的正方形OABC 中
任取一点P, 则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为
, 所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分
的概率为
, 选
B ．
5从集合{1, 2,3, 4,5}中随机选取3个不同的数, 这个数可以构成等差数列的概率为______.
【答案】
2
5
从集合{1, 2,3, 4,5}中随机选取3个不同的数有C 3
5=10种. 则3个数能构成等差数列的
有, 1, 2,3;2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有4种, 所以这个数可以构成等差数列的概率为42
10=5
.
） ）（
（