选做题汇编
一、
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AD 是∆ABC 边BC 上的高，DE ⊥AB , DF ⊥AC （Ⅰ）证明：B , C , F , E 四点共圆；
（Ⅱ）若AF =5, CF =2, DE =，求AB 的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C 1
的参数方程为
⎧⎪x =2cos α+α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ. ⎨
⎪⎩y =2sin α+1
（I ）求曲线C 1的极坐标方程； （II ）若射线θ=
π
6
(ρ≥0) 交曲线C 1和C 2于A 、B （A 、B 异于原点）, 求AB .
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知f (x ) =x -1．
（I ）求不等式f (x ) ≤3的解集A ；
（II ）当m , n ∈A 时，证明：4|m +n |≤|mn +16|.
答案
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）证明：:连接E , F ，由已知A , E , D , F 四点共圆，
∴∠FAD =∠FED , ……………………………2分
∠C +∠FAD =∠AEF +∠FED =90 ……………………………3分 ∴∠C =∠AEF
则B , C , E , F 四点共圆. ……………5分
（Ⅱ） 解: ∵直角三角形ADC 中，DF ⊥AC ，由射影定理得：
AD 2=AF ⨯AC =5⨯7=35 …………………………………………………………7分 直角三角形AED 中，
AE ===…………………………………………8分
直角三角形ADB 中，DE ⊥AB , 由射影定理得：
AE ⨯AB =AD 2， …………………………………………………………………………9分
AD 2∴AB =………………………………………………………10分 ==
AE
（23）（本小题满分10分）
⎧⎧⎪x =2cos α+⎪x -=2cos α
(Ⅰ)
由⎨
得⎨
⎪⎪⎩y =2sin α+1⎩y -1=2sin α
C
2的直角坐标方程是(x 2+(y -1) 2=
4，即x 2+y 2--2y =0…………2分 由ρ2=x 2+y 2, x =ρcos θ, y =ρsin θ得
曲线C
2的极坐标方程ρ2=2ρθ+sin θ) ………………………………4分 ρ=4cos(θ-
π
6
) ………………………………………………………………5分
(Ⅱ) 设A (ρ1, θ1) ，B (ρ2, θ2) 将θ=
π
6
代入曲线C 1的极坐标方程ρ=4cos(θ-
π
6
) 得 ρ1=4……………………7分
同理将θ= 所以
AB =
π
6
代入曲线C 2的极坐标方程ρ=2cos θ
得ρ2=8分
ρ1-ρ2=4……………………………………………………10分
（24）（本小题满分10分）
（I ）解 f (x ) ≤3即 x -1≤3 -3≤x - -2≤x ≤4……………………2分 1≤3
解得：-4≤x ≤4, 所以A =[-4,4]……………………………………………………4分
22………………………6分 （II ）要证4|m +n |≤|mn +16| 即证（（4m +n ））≤（mn +16）
2因为 （（4m +n ））-(mn +16) 2=16m 2+16n 2-m 2n 2-256
=(m 2-16)(16-n 2) …………………………………………………………8分
因为m , n ∈A ，所以m ≤16, n ≤16 (m -16)(16-n ) ≤0
22 所以，（（4m +n ））≤（mn +16）
2222
所以， 4|m +n |≤|mn +16|…………………………………………………10分
二、
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
1⎧
x =1-t ⎪2⎪
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴
⎪y =⎪⎩为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρ=θ．
（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于A , B 两点，
求|PA |+|PB |的值．
解：（I ）消去参数得直线l
+y =0，………2分
由ρ=θ得圆C
的直角坐标方程x 2+y 2-=0………5分 （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ，………………………………6分 把直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程x 2+y 2-=0，
得(1-
12t ) +2=3，…………7分 22
2
化简得t -4t +1=0, 因为∆=12>0，
故设t 1, t 2是上述方程的两个实数根，所以t 1+t 2=4, t 1t 2=1，…………8分
A , B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， ………………9分
所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4 ………………10分
三、22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图所示，AC 为⊙O 的直径， E 为BC 的中点, 延长OE 与⊙O 相交于点D ，连结AD , DC ，F 为BC 与AD 的交点． (Ⅰ) 求证：AB ⋅DC =AD ⋅BF (Ⅱ) 若AD =CD =，求OF 的值.
23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
第22题图
⎧x =3+5cos t
已知曲线C 1的参数方程为⎨（t 为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的
y =5+5sin t ⎩
正半轴为极轴建立极坐标系得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）将曲线C 1向右移动1个单位得到曲线C 3,
求C 3与C 2交点的极坐标（ρ≥0, 0≤θ
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f (x ) =2x -a ，
（Ⅰ）若a =4, 求f (x ) ≤x 的解集;
（Ⅱ）若f (x +1) >2-a 对∀x ∈(0, +∞)恒成立，求实数a 的取值范围.
解答：22． 证明：(Ⅰ) E 为BC 的中点∴BD =CD ∴∠BAD =∠DAC …………………1分
又 AC 为⊙O 的直径 ∴∠ABC =∠ADC =
π
2
………………………………2分
∴∆BAF ∽∆DAC ………………………………………………………………3分
BA BF ∴=………………………………………………………………………4分 DA DC
∴BA ⋅DC =BF ⋅DA ……………………………………………………………5分
(Ⅱ) 在R t ∆DAC 中，∠ADC =
π
2
AD =CD =3
∴CD =1，∠DAC =
π
6
∠DCA =
π
3
………………………………………6分
在∆DFC 中，∠FDC =
π
2
∠DCF =
π
6
, ∴DF =
33CD =………7分
33
11113
………………9分 ∴DE =CD =, OE =CD -DE =, EF =DF =
22226
∴OF =OE 2-EF 2=
11…………………………………10分 +=
4123
⎧x =3+5cos t 22
23．解：（1）将⎨消去参数t 得普通方程为(x -3)+(y -5)=25…………1分
⎩y =5+5sin t
即 C 1：x 2+y 2-6x -10y +9=0，……………………………………………2分
将⎨
⎧x =ρcos θ
………………………………………………………………………3分
⎩y =ρsin θ
代入x 2+y 2-6x -10y +9=0得ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0；
（2）C 3的普通方程为(x -4)+(y -5)=25即x +y -8x -10y +16=0……6分
2
2
2
2
所以C 1极坐标方程为ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0。………………………5分
C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0，
22⎧⎧x =1⎧x =0⎪x +y -8x -10y +16=0由⎨2解得或⎨…………………………8分 ⎨2
⎪⎩y =1⎩y =2⎩x +y -2y =0
所以C 3与C 2交点的直角坐标为(1,1), (0, 2). 所以C 3与C
2交点的极坐标为π
),(2,) . ………10分
42
π
24. 解：（Ⅰ）若a =4，则f (x ) ≤x 可化为2x -4≤x ……………………………………1分
⎧2x -4≤0⎧2x -4≥0
法1：即⎨或⎨………………………………………………………3分
4-2x ≤x 2x -4≤x ⎩⎩
解得
4
≤x ≤4…………………………………………………………………………4分 3
所以f (x ) ≤x 的解集为⎨x |
⎧⎩4⎫
≤x ≤4⎬……………………………………………5分 3⎭
（Ⅱ）：f (x +1) >2-a 对∀x ∈(0, +∞)恒成立
即f (x +1) >f (1) 对∀x ∈(0, +∞)恒成立……………………………………7分 又因为f (x ) =2x -a 在 -∞, ⎥上单调递减，在⎢, +∞⎪上单调递增…8分
22
⎛⎝
a ⎤⎦⎡a ⎣⎫⎭
所以
a
≤1解得a ≤2…………………………………………………………9分 2
所以实数a 的取值范围为(-∞, 2]…………………………………………10分
四、 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于E ，过点A 作⊙O 的切线与DC 的延长线交于点P ．PA =6，
AE =CD =EP =9．
（Ⅰ）求BE ；
（Ⅱ）求⊙O 的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
1⎧
x =3+t ⎪2⎪
在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为⎨（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为
⎪y =3
t ⎪2⎩
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+1=0．
（Ⅰ）写出直线 l 和曲线C 的直角坐标方程； 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知非零常数a 、b 满足a +b =
（Ⅱ）P 是曲线C 上任意一点，求P 到直线 l 的距离的最大值．
11
+，求不等式|-2x +1|≥ab 的解集； a b
（Ⅱ）若∀x ∈[1 , 2]，x -|x -a |≤1恒成立，求常数a 的取值范围． 解：22、解（I ）PA 2＝PC·PD ，得PC ＝3，
所以PD ＝12，又EP ＝9，所以ED ＝3，CE ＝6， 又AE ·EB ＝CE ·ED ，EB ＝2 （II ）作OM ⊥AB ，PN ⊥AB ，
设AN ＝x ，则36-x +(9-x ) =81，得AN ＝2，PN =PAN △∽△AOM ，得：
2
2
OA AM =6，OA PA PN
1⎧x =3+t ⎪2⎪
23．解：（Ⅰ）由⎨消去参数t 得，x -y -=0……2分
⎪y =t ⎪2⎩
222
由ρ-4ρcos θ+1=0得x +y -4x +1=0……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C ：(x -2) +y =3……5分，圆心为(2 , 0) ，半径为……6分 圆心到直线x -y -33=0的距离d =
2
2
|3⨯2-0-3|=……8分
22
P 到直线 l 的距离的最大值M =d +r =
24．解：（I ）由已知a +b =所以，ab ＝1
原不等式相当于｜-2x ＋1｜≥1 所以，-2x ＋1≥1或－2x ＋1≤－1 解得：x |x ≤0或x ≥1
3……10分 2
a +b
，因为a 、b 不为0 ab
{}
（Ⅱ）由已知得，|x -a |≥x -1≥0，(x -a ) 2≥(x -1) 2……6分
(a -1)(a -2x +1) ≥0，
a =1时，(a -1)(a -2x +1) ≥0恒成立……7分
a >1时，由(a -1)(a -2x +1) ≥0得，a ≥2x -1，从而a ≥3……8分
a
综上所述，a 的取值范围为(-∞ , 1] [3 , +∞) ……10分
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.
（Ⅰ）证明：AE //CD ；
（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且PC =CF =FD =3，求四边形PBFA 的外接圆的半径.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cos θ和曲线C 2：ρcos θ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x |+|x -1|.
（Ⅰ）若f (x ) ≥|m -1|恒成立，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a , b 满足a +b =M ，证明：a +b ≥2ab .
2
2
解答
22. 解：（I ）连接AB,
P 、B 、F 、A 四点共圆，
∴∠PAB =∠PFB ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又 PA 与圆O 切于点A, ∴∠PAB =∠AEB , ．．．．．．．．．．．．．4分
∴∠PFB =∠AEB
∴AE //CD . ．．．．．．．．．．．．．5分
（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由∆PAB 外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆， 四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆， ．．．．．．．．．．．．7分 ∴OP 是该外接圆的直径. ．
由切割线定理可得PA =PC ⋅PD =3⨯9=27．．．．．．．．．．．．．9分
2
∴OP ==．．．．．．．．．．．10分 ∴四边形PBFA
．
2解答：23解：（I ）C 1的直角坐标方程为(x -1)+y =1， ．．．．．．．．．．．．2分
2
．．．．．．．．．．．．4分 C 2的直角坐标方程为x =3；
（II ）设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A,
PQ ⊥OP , ∴PQ 过点A (2,0),
设直线PQ 的参数方程为⎨
2
⎧x =2+t cos θ
(t 为参数)，
y =t sin θ⎩
代入C 1可得t +2t cos θ=0, 解得t 1=0或t 2=-2cos θ， 可知|AP |=|t 2|=|2cos θ|．．．．．．．．．．．．6分 代入C 2可得2+t cos θ=3, 解得t =可知|AQ |=|t |=|
/
/
1
， cos θ
1
|．．．．．．．．．．．．8分 cos θ
11
|时取等号， |≥当且仅当|2cos θ|=|所以
PQ=|AP |+|AQ |=|2cos θ|+|
cos θcos θ
所以线段PQ
长度的最小值为．．．．．．．．．．．．10分
⎧1-2x , x
24. 解：（I ）由已知可得f (x ) =⎨1, 0≤x
⎪2x -1, x ≥1⎩
所以f min (x ) =1， ．．．．．．．．．．．．3分 所以只需|m -1|≤1，解得-1≤m -1≤1，
∴0≤m ≤2，
所以实数m 的最大值M =2. ．．．．．．．．．．．．5分 （II ） a +b ≥2ab
2
2
∴ab ≤
1
．．．．．．．．．．．7分
≤1，当且仅当a =b 时取等号，①．又a +b
2
∴
1
≤ a +b 2
ab ，当且仅当a =b 时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 ≤
a +b 2
ab 1
≤，所以a +b ≥2ab . ．．．．．．．．．．．．10分 a +b 2
∴
由①②得，∴
选做题汇编
一、
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AD 是∆ABC 边BC 上的高，DE ⊥AB , DF ⊥AC （Ⅰ）证明：B , C , F , E 四点共圆；
（Ⅱ）若AF =5, CF =2, DE =，求AB 的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C 1
的参数方程为
⎧⎪x =2cos α+α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ. ⎨
⎪⎩y =2sin α+1
（I ）求曲线C 1的极坐标方程； （II ）若射线θ=
π
6
(ρ≥0) 交曲线C 1和C 2于A 、B （A 、B 异于原点）, 求AB .
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知f (x ) =x -1．
（I ）求不等式f (x ) ≤3的解集A ；
（II ）当m , n ∈A 时，证明：4|m +n |≤|mn +16|.
答案
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）证明：:连接E , F ，由已知A , E , D , F 四点共圆，
∴∠FAD =∠FED , ……………………………2分
∠C +∠FAD =∠AEF +∠FED =90 ……………………………3分 ∴∠C =∠AEF
则B , C , E , F 四点共圆. ……………5分
（Ⅱ） 解: ∵直角三角形ADC 中，DF ⊥AC ，由射影定理得：
AD 2=AF ⨯AC =5⨯7=35 …………………………………………………………7分 直角三角形AED 中，
AE ===…………………………………………8分
直角三角形ADB 中，DE ⊥AB , 由射影定理得：
AE ⨯AB =AD 2， …………………………………………………………………………9分
AD 2∴AB =………………………………………………………10分 ==
AE
（23）（本小题满分10分）
⎧⎧⎪x =2cos α+⎪x -=2cos α
(Ⅰ)
由⎨
得⎨
⎪⎪⎩y =2sin α+1⎩y -1=2sin α
C
2的直角坐标方程是(x 2+(y -1) 2=
4，即x 2+y 2--2y =0…………2分 由ρ2=x 2+y 2, x =ρcos θ, y =ρsin θ得
曲线C
2的极坐标方程ρ2=2ρθ+sin θ) ………………………………4分 ρ=4cos(θ-
π
6
) ………………………………………………………………5分
(Ⅱ) 设A (ρ1, θ1) ，B (ρ2, θ2) 将θ=
π
6
代入曲线C 1的极坐标方程ρ=4cos(θ-
π
6
) 得 ρ1=4……………………7分
同理将θ= 所以
AB =
π
6
代入曲线C 2的极坐标方程ρ=2cos θ
得ρ2=8分
ρ1-ρ2=4……………………………………………………10分
（24）（本小题满分10分）
（I ）解 f (x ) ≤3即 x -1≤3 -3≤x - -2≤x ≤4……………………2分 1≤3
解得：-4≤x ≤4, 所以A =[-4,4]……………………………………………………4分
22………………………6分 （II ）要证4|m +n |≤|mn +16| 即证（（4m +n ））≤（mn +16）
2因为 （（4m +n ））-(mn +16) 2=16m 2+16n 2-m 2n 2-256
=(m 2-16)(16-n 2) …………………………………………………………8分
因为m , n ∈A ，所以m ≤16, n ≤16 (m -16)(16-n ) ≤0
22 所以，（（4m +n ））≤（mn +16）
2222
所以， 4|m +n |≤|mn +16|…………………………………………………10分
二、
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
1⎧
x =1-t ⎪2⎪
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎨（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴
⎪y =⎪⎩为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρ=θ．
（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于A , B 两点，
求|PA |+|PB |的值．
解：（I ）消去参数得直线l
+y =0，………2分
由ρ=θ得圆C
的直角坐标方程x 2+y 2-=0………5分 （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ，………………………………6分 把直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程x 2+y 2-=0，
得(1-
12t ) +2=3，…………7分 22
2
化简得t -4t +1=0, 因为∆=12>0，
故设t 1, t 2是上述方程的两个实数根，所以t 1+t 2=4, t 1t 2=1，…………8分
A , B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， ………………9分
所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4 ………………10分
三、22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图所示，AC 为⊙O 的直径， E 为BC 的中点, 延长OE 与⊙O 相交于点D ，连结AD , DC ，F 为BC 与AD 的交点． (Ⅰ) 求证：AB ⋅DC =AD ⋅BF (Ⅱ) 若AD =CD =，求OF 的值.
23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
第22题图
⎧x =3+5cos t
已知曲线C 1的参数方程为⎨（t 为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的
y =5+5sin t ⎩
正半轴为极轴建立极坐标系得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）将曲线C 1向右移动1个单位得到曲线C 3,
求C 3与C 2交点的极坐标（ρ≥0, 0≤θ
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f (x ) =2x -a ，
（Ⅰ）若a =4, 求f (x ) ≤x 的解集;
（Ⅱ）若f (x +1) >2-a 对∀x ∈(0, +∞)恒成立，求实数a 的取值范围.
解答：22． 证明：(Ⅰ) E 为BC 的中点∴BD =CD ∴∠BAD =∠DAC …………………1分
又 AC 为⊙O 的直径 ∴∠ABC =∠ADC =
π
2
………………………………2分
∴∆BAF ∽∆DAC ………………………………………………………………3分
BA BF ∴=………………………………………………………………………4分 DA DC
∴BA ⋅DC =BF ⋅DA ……………………………………………………………5分
(Ⅱ) 在R t ∆DAC 中，∠ADC =
π
2
AD =CD =3
∴CD =1，∠DAC =
π
6
∠DCA =
π
3
………………………………………6分
在∆DFC 中，∠FDC =
π
2
∠DCF =
π
6
, ∴DF =
33CD =………7分
33
11113
………………9分 ∴DE =CD =, OE =CD -DE =, EF =DF =
22226
∴OF =OE 2-EF 2=
11…………………………………10分 +=
4123
⎧x =3+5cos t 22
23．解：（1）将⎨消去参数t 得普通方程为(x -3)+(y -5)=25…………1分
⎩y =5+5sin t
即 C 1：x 2+y 2-6x -10y +9=0，……………………………………………2分
将⎨
⎧x =ρcos θ
………………………………………………………………………3分
⎩y =ρsin θ
代入x 2+y 2-6x -10y +9=0得ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0；
（2）C 3的普通方程为(x -4)+(y -5)=25即x +y -8x -10y +16=0……6分
2
2
2
2
所以C 1极坐标方程为ρ2-6ρcos θ-10ρsin θ+9=0。………………………5分
C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0，
22⎧⎧x =1⎧x =0⎪x +y -8x -10y +16=0由⎨2解得或⎨…………………………8分 ⎨2
⎪⎩y =1⎩y =2⎩x +y -2y =0
所以C 3与C 2交点的直角坐标为(1,1), (0, 2). 所以C 3与C
2交点的极坐标为π
),(2,) . ………10分
42
π
24. 解：（Ⅰ）若a =4，则f (x ) ≤x 可化为2x -4≤x ……………………………………1分
⎧2x -4≤0⎧2x -4≥0
法1：即⎨或⎨………………………………………………………3分
4-2x ≤x 2x -4≤x ⎩⎩
解得
4
≤x ≤4…………………………………………………………………………4分 3
所以f (x ) ≤x 的解集为⎨x |
⎧⎩4⎫
≤x ≤4⎬……………………………………………5分 3⎭
（Ⅱ）：f (x +1) >2-a 对∀x ∈(0, +∞)恒成立
即f (x +1) >f (1) 对∀x ∈(0, +∞)恒成立……………………………………7分 又因为f (x ) =2x -a 在 -∞, ⎥上单调递减，在⎢, +∞⎪上单调递增…8分
22
⎛⎝
a ⎤⎦⎡a ⎣⎫⎭
所以
a
≤1解得a ≤2…………………………………………………………9分 2
所以实数a 的取值范围为(-∞, 2]…………………………………………10分
四、 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于E ，过点A 作⊙O 的切线与DC 的延长线交于点P ．PA =6，
AE =CD =EP =9．
（Ⅰ）求BE ；
（Ⅱ）求⊙O 的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
1⎧
x =3+t ⎪2⎪
在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为⎨（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为
⎪y =3
t ⎪2⎩
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+1=0．
（Ⅰ）写出直线 l 和曲线C 的直角坐标方程； 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知非零常数a 、b 满足a +b =
（Ⅱ）P 是曲线C 上任意一点，求P 到直线 l 的距离的最大值．
11
+，求不等式|-2x +1|≥ab 的解集； a b
（Ⅱ）若∀x ∈[1 , 2]，x -|x -a |≤1恒成立，求常数a 的取值范围． 解：22、解（I ）PA 2＝PC·PD ，得PC ＝3，
所以PD ＝12，又EP ＝9，所以ED ＝3，CE ＝6， 又AE ·EB ＝CE ·ED ，EB ＝2 （II ）作OM ⊥AB ，PN ⊥AB ，
设AN ＝x ，则36-x +(9-x ) =81，得AN ＝2，PN =PAN △∽△AOM ，得：
2
2
OA AM =6，OA PA PN
1⎧x =3+t ⎪2⎪
23．解：（Ⅰ）由⎨消去参数t 得，x -y -=0……2分
⎪y =t ⎪2⎩
222
由ρ-4ρcos θ+1=0得x +y -4x +1=0……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C ：(x -2) +y =3……5分，圆心为(2 , 0) ，半径为……6分 圆心到直线x -y -33=0的距离d =
2
2
|3⨯2-0-3|=……8分
22
P 到直线 l 的距离的最大值M =d +r =
24．解：（I ）由已知a +b =所以，ab ＝1
原不等式相当于｜-2x ＋1｜≥1 所以，-2x ＋1≥1或－2x ＋1≤－1 解得：x |x ≤0或x ≥1
3……10分 2
a +b
，因为a 、b 不为0 ab
{}
（Ⅱ）由已知得，|x -a |≥x -1≥0，(x -a ) 2≥(x -1) 2……6分
(a -1)(a -2x +1) ≥0，
a =1时，(a -1)(a -2x +1) ≥0恒成立……7分
a >1时，由(a -1)(a -2x +1) ≥0得，a ≥2x -1，从而a ≥3……8分
a
综上所述，a 的取值范围为(-∞ , 1] [3 , +∞) ……10分
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.
（Ⅰ）证明：AE //CD ；
（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且PC =CF =FD =3，求四边形PBFA 的外接圆的半径.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cos θ和曲线C 2：ρcos θ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x |+|x -1|.
（Ⅰ）若f (x ) ≥|m -1|恒成立，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a , b 满足a +b =M ，证明：a +b ≥2ab .
2
2
解答
22. 解：（I ）连接AB,
P 、B 、F 、A 四点共圆，
∴∠PAB =∠PFB ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又 PA 与圆O 切于点A, ∴∠PAB =∠AEB , ．．．．．．．．．．．．．4分
∴∠PFB =∠AEB
∴AE //CD . ．．．．．．．．．．．．．5分
（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由∆PAB 外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆， 四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆， ．．．．．．．．．．．．7分 ∴OP 是该外接圆的直径. ．
由切割线定理可得PA =PC ⋅PD =3⨯9=27．．．．．．．．．．．．．9分
2
∴OP ==．．．．．．．．．．．10分 ∴四边形PBFA
．
2解答：23解：（I ）C 1的直角坐标方程为(x -1)+y =1， ．．．．．．．．．．．．2分
2
．．．．．．．．．．．．4分 C 2的直角坐标方程为x =3；
（II ）设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A,
PQ ⊥OP , ∴PQ 过点A (2,0),
设直线PQ 的参数方程为⎨
2
⎧x =2+t cos θ
(t 为参数)，
y =t sin θ⎩
代入C 1可得t +2t cos θ=0, 解得t 1=0或t 2=-2cos θ， 可知|AP |=|t 2|=|2cos θ|．．．．．．．．．．．．6分 代入C 2可得2+t cos θ=3, 解得t =可知|AQ |=|t |=|
/
/
1
， cos θ
1
|．．．．．．．．．．．．8分 cos θ
11
|时取等号， |≥当且仅当|2cos θ|=|所以
PQ=|AP |+|AQ |=|2cos θ|+|
cos θcos θ
所以线段PQ
长度的最小值为．．．．．．．．．．．．10分
⎧1-2x , x
24. 解：（I ）由已知可得f (x ) =⎨1, 0≤x
⎪2x -1, x ≥1⎩
所以f min (x ) =1， ．．．．．．．．．．．．3分 所以只需|m -1|≤1，解得-1≤m -1≤1，
∴0≤m ≤2，
所以实数m 的最大值M =2. ．．．．．．．．．．．．5分 （II ） a +b ≥2ab
2
2
∴ab ≤
1
．．．．．．．．．．．7分
≤1，当且仅当a =b 时取等号，①．又a +b
2
∴
1
≤ a +b 2
ab ，当且仅当a =b 时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 ≤
a +b 2
ab 1
≤，所以a +b ≥2ab . ．．．．．．．．．．．．10分 a +b 2
∴
由①②得，∴