立体几何
1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A. 12 B.24
C.
2．设m , n 是不同的直线，α, β是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m //α, n ⊥β, m ⊥n ，则α⊥β B ．若m //α, n ⊥β, m ⊥n ，则α//β C ．若m //α, n ⊥β, m //n ，则α⊥β D ．若m //α, n ⊥β, m //n ，则α//β
3．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是
．．
A ．DC 1⊥D 1P B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP C ．∠APD 1的最大值为90 D ．AP +PD 1的最小值为2+
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m) ，则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 .
2
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D , E , F ，且知
SD :DA =SE :EB =CF :FS =2:1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .
S
A
B E
C
8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝
1PD. 2
(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；
(2)求棱锥Q ABCD 的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD , ∠BAD =（1）求证:平面BCF //平面AED .
（2）若BF =BD =a , 求四棱锥A -BDEF 的体积。
π
3
．
10．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AB =1，BC =2，PD =分别为AP 、CD 的中点． (1) 求证：AD ⊥PC ；
(2) 求证：FG //平面BCP ；
，G 、F
G
A
C
11．如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，M , N 分别为AF , BC 的中点． （1）求证：MN //平面CDEF ； (2）求多面体A -CDEF 的体积．
D
C
2
22
E
M
A
直观图
N
F
正视图
2侧视图
B
2
2俯视图
12．如图，在三棱锥P -ABC 中，∠ABC =90，PA ⊥平面ABC ，E , F 分别为PB , PC 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ；
（2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .
A
13．如图，在三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8,DF=5.
求证：（1）直线PA ∥平面DFE ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．
14．如图. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A 1B 1= A1C 1, 点D 、E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1 （2）直线A 1F ∥平面ADE ． A 1
1
A
1 E C
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为450角，则面积为：6⨯2⨯sin 450=62. 考点：直观图与立体图的大小关系. 2．C 【解析】
试题分析：此题只要举出反例即可，A,B 中由n ⊥β, m ⊥n 可得n //β, 则α, β可以为任意角度的两平面,A,B 均错误.C,D 中由n ⊥β, m //n 可得m ⊥β，则有α//β, 故C 正确，D 错误.
考点：线，面位置关系. 3．C
【解析】
试题分析：DC 1⊥面A 1BCD 1，∴A 正确；D 1A 1⊥面ABB ∴B 正确；当0
2
2
时，∠APD 1为钝角，∴C 错；将面AA 1B 与面ABB 1A 1沿A 1B 展成平面图形，线段A 1D 即为AP +PD 1的最小值，解三角形易得A 1D =2+考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直. 4．4 【解析】
2， ∴D 正确. 故选C.
试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示：以其体积为：V =2⨯1⨯1+1⨯1⨯2=4，故应填入：４． 考点：三视图． 5．24
，所
【解析】
试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图
V =
111
⨯3⨯4⨯5-(⨯3⨯4) ⨯3=24. 232
考点：三视图. 【答案】12 【解析】
试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形 体积为V =⨯2⨯2⨯6＝12
考点：三视图，几何体的体积. 7．
23 27
23
19
，若27
【解析】
3
试题分析：过DE 作截面平行于平面ABC , 可得截面下体积为原体积的1-（）=3过点F ，作截面平行于平面SAB , 可得截面上的体积为原体积的（）=
2
38，若C 为最低点，27
以平面DEF 为水平上面，则体积为原体积的1-考点：体积相似计算. 8．(1)祥见解析； (2)１． 【解析】
22123
，此时体积最大. ⨯⨯=
33327
试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA ⊥平面ABCD ，所以有平面PDAQ ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又因为四边形ABCD 为正方形，由面面垂直的性质可得DC ⊥平面PDAQ ，从而有PQ ⊥DC ，又因为PD ∥QA ，且QA ＝AB ＝
1
PD ，所以四边形PDAQ 为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ ⊥QD ；从2
而可证 PQ ⊥平面DCQ ；(2)设AB ＝a ，则由(1)及已知条件可用含a 的式子表示出棱锥Q －ABCD 的体积和棱锥P －DCQ 的体积从而就可求出其比值． 试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ 为直角梯形．
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ. 可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ
＝则PQ ⊥QD. 所以PQ ⊥平面DCQ.
(2)设AB ＝a. 由题设知AQ 为棱锥Q ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝
PD ， 2
13a . 3
由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ
，△DCQ
2a ， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝
13a . 3
故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 考点：１．线面垂直；２．几何体的体积． 9．（1）证明过程详见解析；（2
）【解析】
3
a . 6
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，由于ABCD 是菱形，得到BC //AD ，利用线面平行的判定，得BC //面ADE ，由于BDEF 为矩形，得BF//DE，同理可得BF//面ADE ，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED ；第二问，通过证明得到AO ⊥面BDEF ，则AO 为四棱锥A -BDEF 的高，再求出BDEF 的面积，最后利用体积公式V =1
Sh ，计算四棱锥A-BDEF 的体积.
试题解析：证明：（1）由ABCD 是菱形
∴BC //AD
BC ⊄面ADE , AD ⊂面ADE ∴BC //面ADE 3分
由BDEF 是矩形∴BF //DE
BF ⊄面ADE , DE ⊂面ADE ∴BF //面ADE
BC ⊂面BCF , BF ⊂面BCF , BC
BF =B
∴平面BCF //平面AED . 6分 （2）连接AC ，AC
BD =O
由ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD
由ED ⊥面ABCD , AC ⊂面ABCD ∴ED ⊥AC
ED , BD ⊂面BDEF , ED
BD =D ∴AO ⊥面BDEF ，则AO 为四棱锥A -BDEF 的高 由ABCD 是菱形，∠BAD =
π
3
，则∆A BD 为等边三角形，
由BF =BD =
a ；则AD =a , AO =
2S BDEF =a 2，
，
V 13
A -BDEF =3⋅a 2⋅2a =6a 14分
考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．(1)见解析；(2)见解析.
3
分
10
【解析】
试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线. 此题也可以采用空间向量证明，即证明FG 的方向向量垂直于平面BCP 的法向量n 即可. 试题解析：（1）证明： 底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥CD
PD ⊥底面ABCD , AD ⊂平面ABCD ∴AD ⊥PD
CD PD =D ∴AD ⊥平面PDC PC ⊂平面ABCD ∴AD ⊥PC
G
A
C
（2）证明：取BP 中点H ，连接GH , CH
G , F 分别为AP , DC 中点
//1//1∴GH =AB , FC =AB
22//FC ∴GH =∴四边形GFCH 是平行四边形， ∴FG //CH ，CH ⊂平面BCP ，FG ⊄平面BCP ∴FG //平面BCP
考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.
11．（1）证明：见解析；（2）多面体A -CDEF 的体积
8
． 3
【解析】
试题分析： （1）由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱AED -BFC 中, 底面DAE 是等腰
直角三角形，DA =AE =2，DA ⊥平面ABEF , 侧面ABFE , ABCD 都是边长为2的正方形．
连结EB ，则M 是EB 的中点，由三角形中位线定理得MN //EC ，得证. （2）利用DA ⊥平面ABEF ，得到EF ⊥AD ,
再据EF ⊥AE ，得到EF ⊥平面ADE ，从而可得：四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE .
取DE 的中点H
, 得到AH =且AH ⊥平面CDEF ．利用体积公式计算.
118
S CDEF ⋅AH =DE ⋅EF ⋅AH =． 12分 333
试题解析： （1）证明：由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱AED -BFC 中, 底面DAE 是等腰
所以多面体A -CDEF 的体积V =
直角三角形，DA =AE =2，DA ⊥平面ABEF , 侧面ABFE , ABCD 都是边长为2的 正方形．连结EB ，则M 是EB 的中点， 在△EBC 中，MN //EC ，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF ． 6分
D
A
F
（2）因为DA ⊥平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF , ∴EF ⊥AD ,
又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ，
∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE 8分 取DE 的中点H , DA ⊥AE , DA =AE =2, ∴AH =
2, 且AH ⊥平面
C D E ．F 10分
118
S CDEF ⋅AH =DE ⋅EF ⋅AH =． 12分 333
考点：三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积. 12．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）由E 、F 分别为PB 、PC 中点根据三角形中位线定理知EF ∥BC ，根据线面平行的判定知EF ∥面ABC ；（2）由PA ⊥面PABC 知，PA ⊥BC ，结合AB ⊥BC ，由线面垂直的判定定理知，BC ⊥面PAB ，由（1）知EF ∥BC ，根据线面垂直性质有EF ⊥面PAB ，再由面面垂直判定定理即可证明面AEF ⊥面PAB.
所以多面体A -CDEF 的体积V =
试题解析：证明:（1）在∆PBC 中， E , F 分别为PB , PC 的中点∴EF //BC 3分 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ∴EF //平面ABC 7分 （2）由条件，PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC
∴PA ⊥BC ∠ABC =90︒，即AB ⊥BC ， 10分 由EF //BC ，∴EF ⊥AB ，EF ⊥PA
又PA ⋂AB =A ，PA , AB 都在平面PAB 内 ∴EF ⊥平面PAB
又 EF ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB 14分
考点:线面垂直的判定与性质；面面垂直判定定理；线面平行判定；推理论证能力
13．(1)详见解析; (2) 详见解析.
【解析】 试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知, 只须证PA 与平面DEF 内的某一条直线平行即可, 由已知及图形可知应选择DE, 由三角形的中位线的性质易知: DE∥PA ,从而问题得证；注意线PA 在平面DEG 外, 而DE 在平面DEF 内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知, 只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE 垂直平面ABC 较好, 由(1)可知:DE⊥AC, 再就只须证DE ⊥EF 即可；这样就能得到DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，从面而有平面BDE ⊥平面ABC ．
试题解析：(1)因为D ，E 分别为PC,AC 的中点，所以DE ∥PA. 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.
(2)因为D ，E ，F 分别人棱PC,AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝EF ＝
1
PA ＝3，2
1
BC ＝4． 2
又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2+EF2，所以∠DEF=90。，即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC.
因为AC ∩EF=E，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ． 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 考点：1. 线面平行;2. 面面垂直. 14．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】 试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知：要证两个平面互相垂直，只须证明其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可；观察图形及已知条件可知：只须证平面ADE 内的直线AD 与平面BCC 1B 1垂直即可; 而由已知有: AD ⊥DE, 又在直三棱柱中易知CC 1⊥面ABC, 而AD ⊂平面ABC ，∴ CC1⊥AD, 从而有AD ⊥面B CC1 B1, 所以有平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）由线面平行的判定定理可知：要证线面平行，只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可；不难发现只须证明A 1F ∥AD ，由（1）知AD ⊥面B CC1 B1，故只须证明A 1F ⊥平面BCC 1B 1，这一点很容易获得． 试题解析：（1） ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，∴ CC1⊥AD
又 AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面B CC1B 1，CC 1∩DE=E
∴AD ⊥面B CC1 B1 又AD ⊂面ADE
∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1 6分
（2） A1B 1＝ A1C 1，F 为B 1C 1的中点， AF ⊥B 1C 1 CC1⊥面A 1B 1C 1且A,F ⊂平面A 1B 1C 1 ∴ CC1⊥A 、F
又CC 1，A,F ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1= C1
∴ A1F ⊥平面BCC 1B 1 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1 ∴ A1F ∥AD ，又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ∴ A1F ∥平面ADE 12分
考点：１．面面垂直；２．线面平行．
立体几何
1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A. 12 B.24
C.
2．设m , n 是不同的直线，α, β是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若m //α, n ⊥β, m ⊥n ，则α⊥β B ．若m //α, n ⊥β, m ⊥n ，则α//β C ．若m //α, n ⊥β, m //n ，则α⊥β D ．若m //α, n ⊥β, m //n ，则α//β
3．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是
．．
A ．DC 1⊥D 1P B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP C ．∠APD 1的最大值为90 D ．AP +PD 1的最小值为2+
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m) ，则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 .
2
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D , E , F ，且知
SD :DA =SE :EB =CF :FS =2:1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .
S
A
B E
C
8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝
1PD. 2
(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；
(2)求棱锥Q ABCD 的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD , ∠BAD =（1）求证:平面BCF //平面AED .
（2）若BF =BD =a , 求四棱锥A -BDEF 的体积。
π
3
．
10．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AB =1，BC =2，PD =分别为AP 、CD 的中点． (1) 求证：AD ⊥PC ；
(2) 求证：FG //平面BCP ；
，G 、F
G
A
C
11．如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，M , N 分别为AF , BC 的中点． （1）求证：MN //平面CDEF ； (2）求多面体A -CDEF 的体积．
D
C
2
22
E
M
A
直观图
N
F
正视图
2侧视图
B
2
2俯视图
12．如图，在三棱锥P -ABC 中，∠ABC =90，PA ⊥平面ABC ，E , F 分别为PB , PC 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ；
（2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .
A
13．如图，在三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8,DF=5.
求证：（1）直线PA ∥平面DFE ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．
14．如图. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，A 1B 1= A1C 1, 点D 、E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1 （2）直线A 1F ∥平面ADE ． A 1
1
A
1 E C
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为450角，则面积为：6⨯2⨯sin 450=62. 考点：直观图与立体图的大小关系. 2．C 【解析】
试题分析：此题只要举出反例即可，A,B 中由n ⊥β, m ⊥n 可得n //β, 则α, β可以为任意角度的两平面,A,B 均错误.C,D 中由n ⊥β, m //n 可得m ⊥β，则有α//β, 故C 正确，D 错误.
考点：线，面位置关系. 3．C
【解析】
试题分析：DC 1⊥面A 1BCD 1，∴A 正确；D 1A 1⊥面ABB ∴B 正确；当0
2
2
时，∠APD 1为钝角，∴C 错；将面AA 1B 与面ABB 1A 1沿A 1B 展成平面图形，线段A 1D 即为AP +PD 1的最小值，解三角形易得A 1D =2+考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直. 4．4 【解析】
2， ∴D 正确. 故选C.
试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示：以其体积为：V =2⨯1⨯1+1⨯1⨯2=4，故应填入：４． 考点：三视图． 5．24
，所
【解析】
试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图
V =
111
⨯3⨯4⨯5-(⨯3⨯4) ⨯3=24. 232
考点：三视图. 【答案】12 【解析】
试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形 体积为V =⨯2⨯2⨯6＝12
考点：三视图，几何体的体积. 7．
23 27
23
19
，若27
【解析】
3
试题分析：过DE 作截面平行于平面ABC , 可得截面下体积为原体积的1-（）=3过点F ，作截面平行于平面SAB , 可得截面上的体积为原体积的（）=
2
38，若C 为最低点，27
以平面DEF 为水平上面，则体积为原体积的1-考点：体积相似计算. 8．(1)祥见解析； (2)１． 【解析】
22123
，此时体积最大. ⨯⨯=
33327
试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA ⊥平面ABCD ，所以有平面PDAQ ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又因为四边形ABCD 为正方形，由面面垂直的性质可得DC ⊥平面PDAQ ，从而有PQ ⊥DC ，又因为PD ∥QA ，且QA ＝AB ＝
1
PD ，所以四边形PDAQ 为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ ⊥QD ；从2
而可证 PQ ⊥平面DCQ ；(2)设AB ＝a ，则由(1)及已知条件可用含a 的式子表示出棱锥Q －ABCD 的体积和棱锥P －DCQ 的体积从而就可求出其比值． 试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ 为直角梯形．
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ. 可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ
＝则PQ ⊥QD. 所以PQ ⊥平面DCQ.
(2)设AB ＝a. 由题设知AQ 为棱锥Q ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝
PD ， 2
13a . 3
由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ
，△DCQ
2a ， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝
13a . 3
故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 考点：１．线面垂直；２．几何体的体积． 9．（1）证明过程详见解析；（2
）【解析】
3
a . 6
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，由于ABCD 是菱形，得到BC //AD ，利用线面平行的判定，得BC //面ADE ，由于BDEF 为矩形，得BF//DE，同理可得BF//面ADE ，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED ；第二问，通过证明得到AO ⊥面BDEF ，则AO 为四棱锥A -BDEF 的高，再求出BDEF 的面积，最后利用体积公式V =1
Sh ，计算四棱锥A-BDEF 的体积.
试题解析：证明：（1）由ABCD 是菱形
∴BC //AD
BC ⊄面ADE , AD ⊂面ADE ∴BC //面ADE 3分
由BDEF 是矩形∴BF //DE
BF ⊄面ADE , DE ⊂面ADE ∴BF //面ADE
BC ⊂面BCF , BF ⊂面BCF , BC
BF =B
∴平面BCF //平面AED . 6分 （2）连接AC ，AC
BD =O
由ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD
由ED ⊥面ABCD , AC ⊂面ABCD ∴ED ⊥AC
ED , BD ⊂面BDEF , ED
BD =D ∴AO ⊥面BDEF ，则AO 为四棱锥A -BDEF 的高 由ABCD 是菱形，∠BAD =
π
3
，则∆A BD 为等边三角形，
由BF =BD =
a ；则AD =a , AO =
2S BDEF =a 2，
，
V 13
A -BDEF =3⋅a 2⋅2a =6a 14分
考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．(1)见解析；(2)见解析.
3
分
10
【解析】
试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线. 此题也可以采用空间向量证明，即证明FG 的方向向量垂直于平面BCP 的法向量n 即可. 试题解析：（1）证明： 底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥CD
PD ⊥底面ABCD , AD ⊂平面ABCD ∴AD ⊥PD
CD PD =D ∴AD ⊥平面PDC PC ⊂平面ABCD ∴AD ⊥PC
G
A
C
（2）证明：取BP 中点H ，连接GH , CH
G , F 分别为AP , DC 中点
//1//1∴GH =AB , FC =AB
22//FC ∴GH =∴四边形GFCH 是平行四边形， ∴FG //CH ，CH ⊂平面BCP ，FG ⊄平面BCP ∴FG //平面BCP
考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.
11．（1）证明：见解析；（2）多面体A -CDEF 的体积
8
． 3
【解析】
试题分析： （1）由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱AED -BFC 中, 底面DAE 是等腰
直角三角形，DA =AE =2，DA ⊥平面ABEF , 侧面ABFE , ABCD 都是边长为2的正方形．
连结EB ，则M 是EB 的中点，由三角形中位线定理得MN //EC ，得证. （2）利用DA ⊥平面ABEF ，得到EF ⊥AD ,
再据EF ⊥AE ，得到EF ⊥平面ADE ，从而可得：四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE .
取DE 的中点H
, 得到AH =且AH ⊥平面CDEF ．利用体积公式计算.
118
S CDEF ⋅AH =DE ⋅EF ⋅AH =． 12分 333
试题解析： （1）证明：由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱AED -BFC 中, 底面DAE 是等腰
所以多面体A -CDEF 的体积V =
直角三角形，DA =AE =2，DA ⊥平面ABEF , 侧面ABFE , ABCD 都是边长为2的 正方形．连结EB ，则M 是EB 的中点， 在△EBC 中，MN //EC ，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF ． 6分
D
A
F
（2）因为DA ⊥平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF , ∴EF ⊥AD ,
又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ，
∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE 8分 取DE 的中点H , DA ⊥AE , DA =AE =2, ∴AH =
2, 且AH ⊥平面
C D E ．F 10分
118
S CDEF ⋅AH =DE ⋅EF ⋅AH =． 12分 333
考点：三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积. 12．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）由E 、F 分别为PB 、PC 中点根据三角形中位线定理知EF ∥BC ，根据线面平行的判定知EF ∥面ABC ；（2）由PA ⊥面PABC 知，PA ⊥BC ，结合AB ⊥BC ，由线面垂直的判定定理知，BC ⊥面PAB ，由（1）知EF ∥BC ，根据线面垂直性质有EF ⊥面PAB ，再由面面垂直判定定理即可证明面AEF ⊥面PAB.
所以多面体A -CDEF 的体积V =
试题解析：证明:（1）在∆PBC 中， E , F 分别为PB , PC 的中点∴EF //BC 3分 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ∴EF //平面ABC 7分 （2）由条件，PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC
∴PA ⊥BC ∠ABC =90︒，即AB ⊥BC ， 10分 由EF //BC ，∴EF ⊥AB ，EF ⊥PA
又PA ⋂AB =A ，PA , AB 都在平面PAB 内 ∴EF ⊥平面PAB
又 EF ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB 14分
考点:线面垂直的判定与性质；面面垂直判定定理；线面平行判定；推理论证能力
13．(1)详见解析; (2) 详见解析.
【解析】 试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知, 只须证PA 与平面DEF 内的某一条直线平行即可, 由已知及图形可知应选择DE, 由三角形的中位线的性质易知: DE∥PA ,从而问题得证；注意线PA 在平面DEG 外, 而DE 在平面DEF 内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知, 只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE 垂直平面ABC 较好, 由(1)可知:DE⊥AC, 再就只须证DE ⊥EF 即可；这样就能得到DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，从面而有平面BDE ⊥平面ABC ．
试题解析：(1)因为D ，E 分别为PC,AC 的中点，所以DE ∥PA. 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.
(2)因为D ，E ，F 分别人棱PC,AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝EF ＝
1
PA ＝3，2
1
BC ＝4． 2
又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2+EF2，所以∠DEF=90。，即DE ⊥EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC.
因为AC ∩EF=E，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ． 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 考点：1. 线面平行;2. 面面垂直. 14．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】 试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知：要证两个平面互相垂直，只须证明其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可；观察图形及已知条件可知：只须证平面ADE 内的直线AD 与平面BCC 1B 1垂直即可; 而由已知有: AD ⊥DE, 又在直三棱柱中易知CC 1⊥面ABC, 而AD ⊂平面ABC ，∴ CC1⊥AD, 从而有AD ⊥面B CC1 B1, 所以有平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）由线面平行的判定定理可知：要证线面平行，只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可；不难发现只须证明A 1F ∥AD ，由（1）知AD ⊥面B CC1 B1，故只须证明A 1F ⊥平面BCC 1B 1，这一点很容易获得． 试题解析：（1） ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，∴ CC1⊥AD
又 AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面B CC1B 1，CC 1∩DE=E
∴AD ⊥面B CC1 B1 又AD ⊂面ADE
∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1 6分
（2） A1B 1＝ A1C 1，F 为B 1C 1的中点， AF ⊥B 1C 1 CC1⊥面A 1B 1C 1且A,F ⊂平面A 1B 1C 1 ∴ CC1⊥A 、F
又CC 1，A,F ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1= C1
∴ A1F ⊥平面BCC 1B 1 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1 ∴ A1F ∥AD ，又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ∴ A1F ∥平面ADE 12分
考点：１．面面垂直；２．线面平行．