2015年广东省肇庆市中考数学试卷
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ． D ．
2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
6789A ．1.3573×10 B ．1.3573×10 C ．1.3573×10 D ．1.3573×10
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A ．75° B ．55° C ．40° D ．35°
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．矩形 B．平行四边形 C ．正五边形 D．正三角形
26．（3分）（2015•东莞）（﹣4x ）=（ ）
2222A ．﹣8x B ．8x C ．﹣16x D ．16x
07．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
0A ．0 B ．2 C ．（﹣3） D ．﹣5
8．（3分）（2015•东莞）若关于x 的方程x +x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ＜2
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ）
2
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于（度）．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程=的解是．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．
15．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
217．（6分）（2015•东莞）解方程：x ﹣3x+2=0．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC ．
（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=，求DC 的长．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
20．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之
积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．
（1）求证：△ABG ≌△AFG ；
（2）求BG 的长．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
23．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y=（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD．
（1）求k 的值；
（2）求点C 的坐标；
（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐标．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG 、CP 、PB ．
（1）如图1，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；
（2）如图2，在DG 上取一点K ，使DK=DP，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；
（3）如图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB ．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= （cm ），DC= （cm ）
（2）点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y （cm ），在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值．
（参考数据sin75°=，sin15°=）
2
2015年广东省肇庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ． D ．
【分析】根据绝对值的性质可直接求出答案．
【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．
故选：A ．
2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
6789A ．1.3573×10 B ．1.3573×10 C ．1.3573×10 D ．1.3573×10
n 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小
数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：将13 573 000用科学记数法表示为：1.3573×10．
故选：B ．
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
【分析】先把数据由小到大排列，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：把数据由小到大排列为：2，2，4，5，6，
所以这组数据的中位数是4．
故选B ．
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
7
A ．75° B ．55° C ．40° D ．35°
【分析】根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：∵直线a ∥b ，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40°．
故选C ．
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．矩形 B．平行四边形 C ．正五边形 D．正三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；
即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：A ．
6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x ）=（ ）
2222A ．﹣8x B ．8x C ．﹣16x D ．16x
【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=16x，
故选D ．
7．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
0A ．0 B ．2 C ．（﹣3） D ．﹣5
00【分析】先利用a =1（a ≠0）得（﹣3）=1，再利用两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正
实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果．
0【解答】解：在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是2，
故选B ．
8．（3分）（2015•东莞）若关于x 的方程x +x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ＜2
【分析】根据判别式的意义得到△=1﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=1﹣4（﹣a+）＞0，
解得a ＞2．
故选C ．
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ） 222022
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
，计算即可． 【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD 的弧长=6，
∴S 扇形DAB ==×6×3=9．
故选D ．
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】根据题意，易得△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等，且在△AEG 中，AE=x，AG=2﹣x ；可得△AEG 的面积y 与x 的关系；进而可判断出y 关于x 的函数的图象的大致形状．
【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC 的边长为2，
故BE=CF=AG=2﹣x ；
故△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等．
在△AEG 中，AE=x，AG=2﹣x ．
则S △AEG
=AE ×AG ×sinA=
故y=S△ABC ﹣3S △AEG =﹣3×x （2﹣x ）=（3x ﹣6x+4）． 2x （2﹣x ）；
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D ．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是．
【分析】由菱形ABCD 中，∠ABC=60°，易证得△ABC 是等边三角形，继而求得对角线AC 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=6．
故答案为：6．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程=的解是
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
15．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数：
．
【分析】由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．
【解答】解：∵分子为1，2，3，4，5，…，
∴第10个数的分子为10，
∵分母为3，5，7，9，11，…，
∴第10个数的分母为：1+2×10=21，
∴第10个数为：
故答案为：
，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是
， ．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，
∴S △CGE =S△AGE
=S △ACF ，S △BGF =S△BGD
=S △BCF ，
∵S △ACF =S△BCF
=S △ABC =×12=6，
∴S △CGE
=S △ACF
=×6=2，S △BGF
=S △BCF =×6=2，
∴S 阴影=S△CGE +S△BGF =4．
故答案为4．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
217．（6分）（2015•东莞）解方程：x ﹣3x+2=0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x ﹣1）（x ﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
2【解答】解：∵x ﹣3x+2=0，
∴（x ﹣1）（x ﹣2）=0，
∴x ﹣1=0或x ﹣2=0，
∴x 1=1，x 2=2．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值：，其中．
【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将
【解答】解：，代入化简后的式子求出即可． =
===
把
，
÷（
÷× +） ，代入原式=
===．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC ．
（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=，求DC 的长．
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD ；
（2）先在Rt △ABD 中利用∠BAD 的正切计算出BD ，然后利用BC ﹣BD 求CD 的长．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD=∴BD=×4=3，
∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．
=，
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
20．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
【分析】（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；
（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）补全小明同学所画的树状图：
（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况， ∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．
（1）求证：△ABG ≌△AFG ；
（2）求BG 的长．
【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL 定理得出△ABG ≌△AFG 即可；
222（2）利用勾股定理得出GE =CG+CE，进而求出BG 即可；
【解答】解：（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
，
∴△ABG ≌△AFG （HL ）；
（2）∵△ABG ≌△AFG ，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x ，
∵E 为CD 的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
222∴在Rt △CEG 中，3+（6﹣x ）=（3+x），解得x=2，
∴BG=2．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？
【分析】（1）首先设A 种型号计算器的销售价格是x 元，A 种型号计算器的销售价格是y 元，根据题意可等量关系：①5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；②销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设A 种型号计算器的销售价格是x 元，B 种型号计算器的销售价格是y 元，由题意得：
， 解得：；
答：A 种型号计算器的销售价格是42元，B 种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A 型计算器a 台，则购进B 台计算器：（70﹣a ）台，
则30a+40（70﹣a ）≤2500，
解得：a ≥30，
答：最少需要购进A 型号的计算器30台．
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
23．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y=（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD．
（1）求k 的值；
（2）求点C 的坐标；
（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐标．
【分析】（1）根据A 坐标，以及AB=3BD求出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值；
（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C 坐标；
（3）作C 关于y 轴的对称点C ′，连接C ′D 交y 轴于M ，则d=MC+MD最小，得到C ′（﹣的解析式为y=﹣x+1+，直线与y 轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）∵A （1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D （1，1）
将D 坐标代入反比例解析式得：k=1；
（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函数的解析式为；
y=， ，），求得直线C ′D
解：， 解得：或，
∵x ＞0，
∴C （，）；
（3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ′，连接C ′D 交y 轴于M ，则d=MC+MD最小，
∴C ′（﹣，），
设直线C ′D 的解析式为：y=kx+b，
∴，∴，
∴y=（3﹣2）x+2﹣2，
当x=0时，y=2﹣2，
∴M （0，2﹣2）．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG 、CP 、PB ．
（1）如图1，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；
（2）如图2，在DG 上取一点K ，使DK=DP，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；
（3）如图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB ．
【分析】（1）由垂径定理得出PG ⊥BC ，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC ∥PG ，得出同位角相等即可；
（2）先由SAS 证明△PDB ≌△CDK ，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD ，证出AG=CK，再证明AG ∥CK ，即可得出结论；
（3）先证出DH ∥AG ，得出∠OAG=∠OHD ，再证OD=OH，由SAS 证明△OBD ≌△HOP ，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵点P 为的中点，AB 为⊙O 直径，
∴BP=PC，PG ⊥BC ，CD=BD，
∴∠ODB=90°，
∵D 为OP 的中点，
∴OD=OP=OB ，
∴cos ∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB ，
∴AC ∥PG ，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB 和△CDK 中，
∴△PDB ≌△CDK （SAS ），
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD ，
∵∠AOG=∠BOP ，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP ，
又∵∠G=∠OBP ，
，
∴AG ∥CK ，
∴四边形AGCK 是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，
∴DE ∥PB ，
即DH ∥PB
∵∠G=∠OPB ，
∴PB ∥AG ，
∴DH ∥AG ，
∴∠OAG=∠OHD ，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G ，
∴∠ODH=∠OHD ，
∴OD=OH，
在△OBD 和△HOP 中，，
∴△OBD ≌△HOP （SAS ），
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH ⊥AB ．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= 2 （cm ），DC= 2 （cm ）
（2）点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y （cm ），在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值．
（参考数据sin75°=，sin15°=）
2
【分析】（1）由勾股定理求出AC ，由∠CAD=30°，得出DC=AC=2，由三角函数求出AD 即可；
（2）过N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC ，得
NE=DF=x+2，即可得出结果；
（3）由三角函数求出FN ，得出PF ，△PMN 的面积y=梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积，得出y 是x 的二次函数，即可得出y 的最大值．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，
∴AC=
==4，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴DC=AC=2，
∴AD=DC=2；
故答案为：2，2；
（2）过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，如图所示：
则NE=DF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，
∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，
∵sin ∠FNC=
∴
FC=
∴
NE=DF=，NC=x， x ， x+2，
x+2； ∴点N 到AD 的距离为（3）∵sin ∠
NCF=
∴
FN=x ， ，
∵P 为DC 的中点，
∴PD=CP=，
∴
PF=x+，
∴△PMN 的面积y=梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积 =（=2x+2x +﹣x ）（x+2x+2， ）﹣（2﹣x ）×﹣（x+）（x ） 即y 是x 的二次函数，
∵＜0，
∴y 有最大值，
当x=﹣=时，y 有最大值为=．
2015年广东省肇庆市中考数学试卷
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ． D ．
2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
6789A ．1.3573×10 B ．1.3573×10 C ．1.3573×10 D ．1.3573×10
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A ．75° B ．55° C ．40° D ．35°
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．矩形 B．平行四边形 C ．正五边形 D．正三角形
26．（3分）（2015•东莞）（﹣4x ）=（ ）
2222A ．﹣8x B ．8x C ．﹣16x D ．16x
07．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
0A ．0 B ．2 C ．（﹣3） D ．﹣5
8．（3分）（2015•东莞）若关于x 的方程x +x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ＜2
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ）
2
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于（度）．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程=的解是．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．
15．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
217．（6分）（2015•东莞）解方程：x ﹣3x+2=0．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC ．
（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=，求DC 的长．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
20．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之
积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．
（1）求证：△ABG ≌△AFG ；
（2）求BG 的长．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
23．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y=（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD．
（1）求k 的值；
（2）求点C 的坐标；
（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐标．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG 、CP 、PB ．
（1）如图1，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；
（2）如图2，在DG 上取一点K ，使DK=DP，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；
（3）如图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB ．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= （cm ），DC= （cm ）
（2）点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y （cm ），在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值．
（参考数据sin75°=，sin15°=）
2
2015年广东省肇庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A ．2 B ．﹣2 C ． D ．
【分析】根据绝对值的性质可直接求出答案．
【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．
故选：A ．
2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
6789A ．1.3573×10 B ．1.3573×10 C ．1.3573×10 D ．1.3573×10
n 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小
数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：将13 573 000用科学记数法表示为：1.3573×10．
故选：B ．
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
【分析】先把数据由小到大排列，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：把数据由小到大排列为：2，2，4，5，6，
所以这组数据的中位数是4．
故选B ．
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
7
A ．75° B ．55° C ．40° D ．35°
【分析】根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：∵直线a ∥b ，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40°．
故选C ．
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．矩形 B．平行四边形 C ．正五边形 D．正三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；
即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：A ．
6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x ）=（ ）
2222A ．﹣8x B ．8x C ．﹣16x D ．16x
【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=16x，
故选D ．
7．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
0A ．0 B ．2 C ．（﹣3） D ．﹣5
00【分析】先利用a =1（a ≠0）得（﹣3）=1，再利用两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正
实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果．
0【解答】解：在0，2，（﹣3），﹣5这四个数中，最大的数是2，
故选B ．
8．（3分）（2015•东莞）若关于x 的方程x +x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ＜2
【分析】根据判别式的意义得到△=1﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=1﹣4（﹣a+）＞0，
解得a ＞2．
故选C ．
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ） 222022
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
，计算即可． 【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD 的弧长=6，
∴S 扇形DAB ==×6×3=9．
故选D ．
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】根据题意，易得△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等，且在△AEG 中，AE=x，AG=2﹣x ；可得△AEG 的面积y 与x 的关系；进而可判断出y 关于x 的函数的图象的大致形状．
【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC 的边长为2，
故BE=CF=AG=2﹣x ；
故△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等．
在△AEG 中，AE=x，AG=2﹣x ．
则S △AEG
=AE ×AG ×sinA=
故y=S△ABC ﹣3S △AEG =﹣3×x （2﹣x ）=（3x ﹣6x+4）． 2x （2﹣x ）；
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D ．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是．
【分析】由菱形ABCD 中，∠ABC=60°，易证得△ABC 是等边三角形，继而求得对角线AC 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=6．
故答案为：6．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程=的解是
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
15．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数：
．
【分析】由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．
【解答】解：∵分子为1，2，3，4，5，…，
∴第10个数的分子为10，
∵分母为3，5，7，9，11，…，
∴第10个数的分母为：1+2×10=21，
∴第10个数为：
故答案为：
，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是
， ．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，
∴S △CGE =S△AGE
=S △ACF ，S △BGF =S△BGD
=S △BCF ，
∵S △ACF =S△BCF
=S △ABC =×12=6，
∴S △CGE
=S △ACF
=×6=2，S △BGF
=S △BCF =×6=2，
∴S 阴影=S△CGE +S△BGF =4．
故答案为4．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
217．（6分）（2015•东莞）解方程：x ﹣3x+2=0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x ﹣1）（x ﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
2【解答】解：∵x ﹣3x+2=0，
∴（x ﹣1）（x ﹣2）=0，
∴x ﹣1=0或x ﹣2=0，
∴x 1=1，x 2=2．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值：，其中．
【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将
【解答】解：，代入化简后的式子求出即可． =
===
把
，
÷（
÷× +） ，代入原式=
===．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC ．
（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=，求DC 的长．
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD ；
（2）先在Rt △ABD 中利用∠BAD 的正切计算出BD ，然后利用BC ﹣BD 求CD 的长．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD=∴BD=×4=3，
∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．
=，
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
20．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
【分析】（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；
（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）补全小明同学所画的树状图：
（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况， ∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．
（1）求证：△ABG ≌△AFG ；
（2）求BG 的长．
【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL 定理得出△ABG ≌△AFG 即可；
222（2）利用勾股定理得出GE =CG+CE，进而求出BG 即可；
【解答】解：（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
，
∴△ABG ≌△AFG （HL ）；
（2）∵△ABG ≌△AFG ，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x ，
∵E 为CD 的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
222∴在Rt △CEG 中，3+（6﹣x ）=（3+x），解得x=2，
∴BG=2．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？
【分析】（1）首先设A 种型号计算器的销售价格是x 元，A 种型号计算器的销售价格是y 元，根据题意可等量关系：①5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；②销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设A 种型号计算器的销售价格是x 元，B 种型号计算器的销售价格是y 元，由题意得：
， 解得：；
答：A 种型号计算器的销售价格是42元，B 种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A 型计算器a 台，则购进B 台计算器：（70﹣a ）台，
则30a+40（70﹣a ）≤2500，
解得：a ≥30，
答：最少需要购进A 型号的计算器30台．
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
23．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y=（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y=3x相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD．
（1）求k 的值；
（2）求点C 的坐标；
（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐标．
【分析】（1）根据A 坐标，以及AB=3BD求出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值；
（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C 坐标；
（3）作C 关于y 轴的对称点C ′，连接C ′D 交y 轴于M ，则d=MC+MD最小，得到C ′（﹣的解析式为y=﹣x+1+，直线与y 轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）∵A （1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D （1，1）
将D 坐标代入反比例解析式得：k=1；
（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函数的解析式为；
y=， ，），求得直线C ′D
解：， 解得：或，
∵x ＞0，
∴C （，）；
（3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ′，连接C ′D 交y 轴于M ，则d=MC+MD最小，
∴C ′（﹣，），
设直线C ′D 的解析式为：y=kx+b，
∴，∴，
∴y=（3﹣2）x+2﹣2，
当x=0时，y=2﹣2，
∴M （0，2﹣2）．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG 、CP 、PB ．
（1）如图1，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；
（2）如图2，在DG 上取一点K ，使DK=DP，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；
（3）如图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB ．
【分析】（1）由垂径定理得出PG ⊥BC ，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC ∥PG ，得出同位角相等即可；
（2）先由SAS 证明△PDB ≌△CDK ，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD ，证出AG=CK，再证明AG ∥CK ，即可得出结论；
（3）先证出DH ∥AG ，得出∠OAG=∠OHD ，再证OD=OH，由SAS 证明△OBD ≌△HOP ，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵点P 为的中点，AB 为⊙O 直径，
∴BP=PC，PG ⊥BC ，CD=BD，
∴∠ODB=90°，
∵D 为OP 的中点，
∴OD=OP=OB ，
∴cos ∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB ，
∴AC ∥PG ，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB 和△CDK 中，
∴△PDB ≌△CDK （SAS ），
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD ，
∵∠AOG=∠BOP ，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP ，
又∵∠G=∠OBP ，
，
∴AG ∥CK ，
∴四边形AGCK 是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，
∴DE ∥PB ，
即DH ∥PB
∵∠G=∠OPB ，
∴PB ∥AG ，
∴DH ∥AG ，
∴∠OAG=∠OHD ，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G ，
∴∠ODH=∠OHD ，
∴OD=OH，
在△OBD 和△HOP 中，，
∴△OBD ≌△HOP （SAS ），
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH ⊥AB ．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= 2 （cm ），DC= 2 （cm ）
（2）点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设△PMN 的面积为y （cm ），在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值．
（参考数据sin75°=，sin15°=）
2
【分析】（1）由勾股定理求出AC ，由∠CAD=30°，得出DC=AC=2，由三角函数求出AD 即可；
（2）过N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC ，得
NE=DF=x+2，即可得出结果；
（3）由三角函数求出FN ，得出PF ，△PMN 的面积y=梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积，得出y 是x 的二次函数，即可得出y 的最大值．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，
∴AC=
==4，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴DC=AC=2，
∴AD=DC=2；
故答案为：2，2；
（2）过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，如图所示：
则NE=DF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，
∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，
∵sin ∠FNC=
∴
FC=
∴
NE=DF=，NC=x， x ， x+2，
x+2； ∴点N 到AD 的距离为（3）∵sin ∠
NCF=
∴
FN=x ， ，
∵P 为DC 的中点，
∴PD=CP=，
∴
PF=x+，
∴△PMN 的面积y=梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积 =（=2x+2x +﹣x ）（x+2x+2， ）﹣（2﹣x ）×﹣（x+）（x ） 即y 是x 的二次函数，
∵＜0，
∴y 有最大值，
当x=﹣=时，y 有最大值为=．