《用二分法求方程的近似解》习题
一、选择题
1．若函数f (x ) 是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 C ．3
3
B ．0 D ．不确定
2．已知f (x ) ＝－x －x ，x ∈[a ，b ]，且f (a ) ·f (b )
D ．有惟一实数根
3．(09·天津理) 设函数f (x ) 1
3
x －lnx (x ＞0) 则y ＝f (x )( )
A ．在区间⎛ 1⎝e ，1⎫⎪⎭，(1，e ) 内均有零点
B ．在区间⎝⎛ 1e ，1⎭⎫⎪， (1，e ) 内均无零点
C ．在区间⎝⎛ 1e ，1⎭⎫⎪内有零点；在区间(1，e ) 内无零点 D ．在区间⎝⎛ 1e
，1⎭
⎫⎪内无零点，在区间(1，e ) 内有零点
4．(2010·天津文，4) 函数f (x ) ＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
5．若方程x 2
－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞) 内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤1 B ．01
D ．0
6．函数f (x ) ＝(x －1)ln(x －2)
x －3的零点有( )
A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
7．函数y ＝3
x －1x
2( )
A ．－1 B ．1 C ．(－1,0)
D ．(1,0)
8．函数f (x ) ＝ax 2
＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)
B ．有一个或两个
)
C ．有且仅有一个 D ．一个也没有
x
9．(哈师大附中2009～2010高一期末) 函数f (x ) ＝2－log 1x 的零点所在的区间为( )
2
⎛1A. 0 ⎝4⎭⎛1⎫C. ，1⎪ ⎝2⎭
⎛11⎫B. ⎪ ⎝42⎭
D ．(1,2)
x
10．根据表格中的数据，可以判定方程e －x －2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(－1,0) C ．(1,2) 二、填空题
D ．(2,3)
11．方程2＝x 精确到0.1的一个近似解是________． 12．方程e －x －2＝0在实数范围内的解有________个． 三、解答题
13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2－x ＝0在区间(－1,0) 内的实数解(精确到0.01) ．
14．证明方程(x －2)(x －5) ＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2. 15．求函数y ＝x －2x －x ＋2的零点，并画出它的简图．
16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3) ＝1在区间(－1,0) 内的近似解．(精确到0.1)
17．若函数f (x ) ＝log 3(ax －x ＋a ) 有零点，求a 的取值范围．
18．判断方程x －x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1) ．
3
2
3
2
x 3
x
x 2
答案与解析
1.[答案] B
[解析] 因为f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f (x ) 的图象与
x 轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．
∴x 1＋x 2＋x 3＝0.
2. [答案] D
[解析] ∵f (x ) 为单调减函数，
x ∈[a ，b ]且f (a ) ·f (b )
∴f (x ) 在[a ，b ]内有惟一实根x ＝0.
3.[答案] D
1
[解析] ∵f (x ) ＝x －lnx (x ＞0) ，
31
∴f (e ) ＝e －1＜0，
3
f (1)＝0，f (＝＋1＞0，
3e 3e
1
∴f (x ) 在(1，e ) 内有零点，在(，1) 内无零点．故选D.
111
e
4.[答案] C
[解析] ∵f (0)＝－10， 即f (0)f (1)
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5.[答案] B
[解析] 设方程x ＋(m －3) x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，则有Δ＝(m －3) －4m ≥0，且x 1
＋x 2＝3－m >0，x 1·x 2＝m >0，解得0
6.[答案] A
(x －1)ln(x －2)
[解析] 令f (x ) ＝0得，＝0，
x －3∴x －1＝0或ln(x －2) ＝0，∴x ＝1或x ＝3， ∵x ＝1时，ln(x －2) 无意义，
2
2
x ＝3时，分母为零，
∴1和3都不是f (x ) 的零点，∴f (x ) 无零点，故选A.
7.[答案] B
[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．
8.[答案] C
[解析] 若a ＝0，则b ≠0，此时f (x ) ＝bx ＋c 为单调函数， ∵f (1)>0，f (2)
若a ≠0，则f (x ) 为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f (1)·f (2)>0，
∵f (1)>0，f (2)
9.[答案] B
114⎛1⎫1⎛1[解析] ∵f ⎪＝2log ＝2－20，f (x ) 在x >0时连续，∴选
24⎝4⎭4⎝2⎭B.
10.[答案] C
[解析] 令f (x ) ＝e －x －2，则f (1)·f (2)＝(e －3)(e －4)
11.[答案] 1.4
12.[答案] 2
1x 2－12
13.[解析] 令f (x ) ＝2－x ，∵f (－1) ＝2－(－1) ＝－0，
2说明方程f (x ) ＝0在区间(－1,0) 内有一个零点．
取区间(－1,0) 的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5) ≈0.46>0.因为f (－1) ·f (－0.5)
再取(－1，－0.5) 的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75) ≈－0.03>0.因为f (－1) ·f (－0.75)
同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75) ，x 0∈(－0.812 5，－0.75) ，x 0∈(－0.781 25，－0.75) ，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．
由于|(－0.765 625) －(0.773 437 5)|
x
2
x 2
为－0.77.
14.[解析] 令f (x ) ＝(x －2)(x －5) －1 ∵f (2)＝f (5)＝－1＜0，且f (0)＝9＞0.
f (6)＝3＞0.
∴f (x ) 在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f (x ) 为二次函数，故f (x ) 有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.
15.[解析] 因为x －2x －x ＋2＝x (x －2) －(x －2) ＝(x －2)(x －1) ＝(x －2)(x －1)(x ＋1) ， 所以函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x 轴分成4个区间：
(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．
在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点) ，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值) 表：
2
3
2
2
16.[解析] 原方程为x －4x ＋x ＋5＝0，令f (x ) ＝x －4x ＋x ＋5. ∵f (－1) ＝－1，f (0)＝5，f (－1) ·f (0)＜0，∴函数f (x ) 在(－1,0) 内有零点x 0.
取(－1,0) 作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下
3
2
3
2
∴原方程在(－1,0) 内精确到0.1的近似解为－0.9.
17.[解析] ∵f (x ) ＝log 3(ax －x ＋a ) 有零点， ∴log 3(ax －x ＋a ) ＝0有解．∴ax －x ＋a ＝1有解． 当a ＝0时，x ＝－1.
当a ≠0时，若ax －x ＋a －1＝0有解， 则Δ＝1－4a (a －1) ≥0，即4a －4a －1≤0， 1－212≤a ≤a ≠0.
22121＋2
综上所述，a ≤22
18.[解析] 设函数f (x ) ＝x －x －1，因为f (1)＝－10，且函数f (x ) ＝x －x －1的图象是连续的曲线，所以方程x －x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30
3
3
3
2
2
2
2
2
f (1.25)·f (1.5)
再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为
f (1.25)·f (1.375)
同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．
由于|1.343 75－1.312 5|
3
《用二分法求方程的近似解》习题
一、选择题
1．若函数f (x ) 是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 C ．3
3
B ．0 D ．不确定
2．已知f (x ) ＝－x －x ，x ∈[a ，b ]，且f (a ) ·f (b )
D ．有惟一实数根
3．(09·天津理) 设函数f (x ) 1
3
x －lnx (x ＞0) 则y ＝f (x )( )
A ．在区间⎛ 1⎝e ，1⎫⎪⎭，(1，e ) 内均有零点
B ．在区间⎝⎛ 1e ，1⎭⎫⎪， (1，e ) 内均无零点
C ．在区间⎝⎛ 1e ，1⎭⎫⎪内有零点；在区间(1，e ) 内无零点 D ．在区间⎝⎛ 1e
，1⎭
⎫⎪内无零点，在区间(1，e ) 内有零点
4．(2010·天津文，4) 函数f (x ) ＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
5．若方程x 2
－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞) 内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤1 B ．01
D ．0
6．函数f (x ) ＝(x －1)ln(x －2)
x －3的零点有( )
A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
7．函数y ＝3
x －1x
2( )
A ．－1 B ．1 C ．(－1,0)
D ．(1,0)
8．函数f (x ) ＝ax 2
＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)
B ．有一个或两个
)
C ．有且仅有一个 D ．一个也没有
x
9．(哈师大附中2009～2010高一期末) 函数f (x ) ＝2－log 1x 的零点所在的区间为( )
2
⎛1A. 0 ⎝4⎭⎛1⎫C. ，1⎪ ⎝2⎭
⎛11⎫B. ⎪ ⎝42⎭
D ．(1,2)
x
10．根据表格中的数据，可以判定方程e －x －2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(－1,0) C ．(1,2) 二、填空题
D ．(2,3)
11．方程2＝x 精确到0.1的一个近似解是________． 12．方程e －x －2＝0在实数范围内的解有________个． 三、解答题
13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2－x ＝0在区间(－1,0) 内的实数解(精确到0.01) ．
14．证明方程(x －2)(x －5) ＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2. 15．求函数y ＝x －2x －x ＋2的零点，并画出它的简图．
16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3) ＝1在区间(－1,0) 内的近似解．(精确到0.1)
17．若函数f (x ) ＝log 3(ax －x ＋a ) 有零点，求a 的取值范围．
18．判断方程x －x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1) ．
3
2
3
2
x 3
x
x 2
答案与解析
1.[答案] B
[解析] 因为f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f (x ) 的图象与
x 轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．
∴x 1＋x 2＋x 3＝0.
2. [答案] D
[解析] ∵f (x ) 为单调减函数，
x ∈[a ，b ]且f (a ) ·f (b )
∴f (x ) 在[a ，b ]内有惟一实根x ＝0.
3.[答案] D
1
[解析] ∵f (x ) ＝x －lnx (x ＞0) ，
31
∴f (e ) ＝e －1＜0，
3
f (1)＝0，f (＝＋1＞0，
3e 3e
1
∴f (x ) 在(1，e ) 内有零点，在(，1) 内无零点．故选D.
111
e
4.[答案] C
[解析] ∵f (0)＝－10， 即f (0)f (1)
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5.[答案] B
[解析] 设方程x ＋(m －3) x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，则有Δ＝(m －3) －4m ≥0，且x 1
＋x 2＝3－m >0，x 1·x 2＝m >0，解得0
6.[答案] A
(x －1)ln(x －2)
[解析] 令f (x ) ＝0得，＝0，
x －3∴x －1＝0或ln(x －2) ＝0，∴x ＝1或x ＝3， ∵x ＝1时，ln(x －2) 无意义，
2
2
x ＝3时，分母为零，
∴1和3都不是f (x ) 的零点，∴f (x ) 无零点，故选A.
7.[答案] B
[点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．
8.[答案] C
[解析] 若a ＝0，则b ≠0，此时f (x ) ＝bx ＋c 为单调函数， ∵f (1)>0，f (2)
若a ≠0，则f (x ) 为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f (1)·f (2)>0，
∵f (1)>0，f (2)
9.[答案] B
114⎛1⎫1⎛1[解析] ∵f ⎪＝2log ＝2－20，f (x ) 在x >0时连续，∴选
24⎝4⎭4⎝2⎭B.
10.[答案] C
[解析] 令f (x ) ＝e －x －2，则f (1)·f (2)＝(e －3)(e －4)
11.[答案] 1.4
12.[答案] 2
1x 2－12
13.[解析] 令f (x ) ＝2－x ，∵f (－1) ＝2－(－1) ＝－0，
2说明方程f (x ) ＝0在区间(－1,0) 内有一个零点．
取区间(－1,0) 的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5) ≈0.46>0.因为f (－1) ·f (－0.5)
再取(－1，－0.5) 的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75) ≈－0.03>0.因为f (－1) ·f (－0.75)
同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75) ，x 0∈(－0.812 5，－0.75) ，x 0∈(－0.781 25，－0.75) ，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．
由于|(－0.765 625) －(0.773 437 5)|
x
2
x 2
为－0.77.
14.[解析] 令f (x ) ＝(x －2)(x －5) －1 ∵f (2)＝f (5)＝－1＜0，且f (0)＝9＞0.
f (6)＝3＞0.
∴f (x ) 在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f (x ) 为二次函数，故f (x ) 有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.
15.[解析] 因为x －2x －x ＋2＝x (x －2) －(x －2) ＝(x －2)(x －1) ＝(x －2)(x －1)(x ＋1) ， 所以函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x 轴分成4个区间：
(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．
在这4个区间内，取x 的一些值(包括零点) ，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值) 表：
2
3
2
2
16.[解析] 原方程为x －4x ＋x ＋5＝0，令f (x ) ＝x －4x ＋x ＋5. ∵f (－1) ＝－1，f (0)＝5，f (－1) ·f (0)＜0，∴函数f (x ) 在(－1,0) 内有零点x 0.
取(－1,0) 作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下
3
2
3
2
∴原方程在(－1,0) 内精确到0.1的近似解为－0.9.
17.[解析] ∵f (x ) ＝log 3(ax －x ＋a ) 有零点， ∴log 3(ax －x ＋a ) ＝0有解．∴ax －x ＋a ＝1有解． 当a ＝0时，x ＝－1.
当a ≠0时，若ax －x ＋a －1＝0有解， 则Δ＝1－4a (a －1) ≥0，即4a －4a －1≤0， 1－212≤a ≤a ≠0.
22121＋2
综上所述，a ≤22
18.[解析] 设函数f (x ) ＝x －x －1，因为f (1)＝－10，且函数f (x ) ＝x －x －1的图象是连续的曲线，所以方程x －x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30
3
3
3
2
2
2
2
2
f (1.25)·f (1.5)
再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为
f (1.25)·f (1.375)
同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．
由于|1.343 75－1.312 5|
3