21.2 二次根式的乘除
一、教学目标
知识技能：掌握二次根式的乘除运算法则和化简二次根式的常用方法．
数学思考：培养学生用由特殊到一般的方法，归纳出二次根式的乘除法法则，体验法则的形成过程，并且完善规范书写, 建立符号意识，并提高学生的计算能力.
问题解决：通过对不同计算法则的探索，进一步完善化简二次根式的方法，明确二次根式的化简方向，为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫. 同时学会具体问题具体分析，能选择恰当的方法进行准确的运算.
情感态度：培养学生严谨的思维品质，提高学生解决实际问题的能力 .
二、重难点分析
教学重点：理解二次根式乘除法法则及利用它们进行计算和化简；最简二次根式的运用. 二次根式乘除法法则都是让学生经历了由特殊到一般的方法归纳给出的，学生在新知识的接受上应该没有问题. 但是怎样使学生利用它们进行准确的计算则需要以往运算知识的大融合. 另外也考察了学生的数感. 因此，突出重点知识之后应该以不同形式的训练作为补充，强化学生对法则灵活使用，熟能生巧，达到准确计算的目的.
教学难点：发现规律，导出法则，并且利用它们进行计算和化简，最简二次根式的判断和二次根式的化简.
二次根式的乘除法的运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式. 因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容. 可以用不同的活动交流方式进行师生互动，使学生掌握计算的内涵，顺利进行新知识的内化.
三、学习者学习特征分析
九年级学生对实数运算已经有了一定的经验积累，应该让学生尝试不同的方法对同一道题进行计算，达到不仅会而对而且会而巧的计算能力. 因此，在选择合适方法计算时，应让学生自主探究，分析比较，满足学生的好奇心和学习热情，完善实数运算.
四、教学过程
（一）复习引入
本节课是在学生学习了二次根式的相关概念及性质之后的一节课，主要内容是二次根式的乘除运算和二次根式的化简. 是一节以计算为主的学习课. 主要方法是以由特殊到一般地从具体例子出发探究二次根式的乘法法则. 因此，首先让学生参与下列探究活动：（设计意图：让学生通过计算发现规律，并且对规律进行验证. ）
请同学们完成下列各题：（PPT 显示）
1. 填空：
（1）
（2） ___________， ___________， ___________； ____________.
2. 利用计算器填空：
（1） ______ ； （2） ________ .
老师点评，纠正学生练习中的错误.
（二）探索新知
1.乘法法则的学习
可以让学生根据自己的运算结果，大胆发表自己的想法，总结出二次根式的乘法运算规律. 老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的相乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为结果中二次根式的被开方数. 得到
反过来：
【多媒体动画《二次根式的乘法》】
教师要强调以下几点：
（1） 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
（2） 不能忽略被开方数a,b 均为非负数.
（3） 可以推广到多个二次根式进行相乘的运算.
（4） 当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
2.乘法法则的例题演练
例1. 计算：（1）
. （PPT 演示）
（设计意图：前2题是利用对乘法法则进行具体运算，第（2）小题是让学生感受到两个无理数相乘的结果是有理数的情况，也为后面学习二次根式的化简作了铺垫. 后2题是把二次根式的乘法法则反过来，对二次根式进行化简. 领会到化简二次根式，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来. 此处可以先让学生谈一谈对化简的理解，再组织小组讨论，使他们真正领悟算理，才能熟练应用. ）
学生在刚才的计算经验的基础上进一步强化计算能力，深化对法则的理解. 接下来，做 ； （2） ； （3） ； （4
） 例2. 计算：（1）
演示） ； （2） ； （3） . （PPT
（设计意图：本例题既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简，因此，是在例1的基础上继续强化训练）
教师在本例题的讲解上要进行板演，每一步的计算要讲清楚算理，并且要强化书写的规范性. 对于有些例题，可以让学生讨论它们不同的解法，以便比较优劣，选择较好的运算方法.
3.除法法则的学习
对于二次根式的除法运算，学习方法类似于乘法，也是采用由特殊到一般归纳给出除法法则的方式. 因此，先让学生探究如下问题：（PPT 显示）
（1） ____________，
__________；
（2） ____________，
__________；
【多媒体动画《二次根式的除法》和拓展资源动画《商的算术平方根》】
可以让学生以小组为单位交流所发现的规律.(设计意图：因为被开方数都是完全平方数，这样有助于规律的发现)
提问：规律适用于无理数的计算吗？请同学们用计算器去体验所发现的规律. 计算下面各题.(PPT 显示)
（1） ____________， （2）__________；
（3）____________， （4）__________；
经过学生的验证，得到：
反过来：
教师在肯定学生总结出规律的同时，应提醒以下几点：
（1） 公式中限制被开方数的条件.
（2） 利用第二个公式可进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母.
（3） 被开方数是带分数，应先化成假分数.
【此处链接多媒体动画《最简二次根式》】
学生在接触法则后，一定会产生应用的欲望，而法则的熟练应用也是在做题过程中通过学生的积极内化来达到目的的. 因此，下面利用这个法则来计算和化简一些题目.
4.除法法则的例题演练 (PPT 显示)
例3. 计算： （1） ； （2） .
例4. 化简： （1） ； （2） .
（设计意图：此两道例题都可利用公式达到计算和化简的目的）
在法则学习后，很多相应的练习中，学生运算的自由度加大，可以选择不同的方法，进行不同方式的计算.
例5. 计算：（1） ； （2） ； （3） .(PPT 显示)
在此道例题的计算中，学生会选择自己的方法进行合理的计算，教师应鼓励学生用多种方法进行运算. 要强调最后结果一般要求分母中不含二次根式. 同时观察上面例题的计算结
果，让学生发现二次根式的共同特点，学生可以小组的形式进行交流和讨论，总结出：
（1） 被开方数不含分母.
（2） 被开方数中不含能开得尽方得因数或因式.
进而得到最简二次根式的概念.
（三）应用新知，体验成功
利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学．
（四）课堂小结，体验收获（PPT 显示）
这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）
1.
2.
3. 最简二次根式的概念.
（五）拓展延伸，布置作业
（1）必做题：习题21.2第1、2、3、4、5、6题
（2）选做题：习题21.2第9、10题
五、学习评价：
(一) 选择题
1．下列各式中，最简二次根式是（）
（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（）
（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.
3. 下面各组二次根式化简后被开方数相同的是（）
（A ）与. （B ）与. （C ）与. （D ）与.
(二) 填空题
4．已知 ，那么ab=_________.
5．若 ,则
≈_________.
cm和 cm，•那么此直角三角形斜 6．若直角三角形两条直角边的边长分别为
边长是___________.
7．化简
8．化简 =___________. _________．（x≥0）
9．
(三) 解答题
10. 计算：
（1）
（2）化简二次根式后的结果是_________． ； ；
（3） ；
11．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？
12．观察下列各式：
的等式表示出来__________________________．
答案：
(一) 选择题
1．D ； 2．A ； 3．A.
(二) 填空题
4. -1. 5. 0.707. 6.
9. . cm . 7. 请你将发现的规律用含自然数n(n≥1) . 8. . (三) 解答题
10. （1）6； （2） ； （3）1.
11. 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，
则×10=30×30×20，=30×30×2，
. 12.
.
21.2 二次根式的乘除
一、教学目标
知识技能：掌握二次根式的乘除运算法则和化简二次根式的常用方法．
数学思考：培养学生用由特殊到一般的方法，归纳出二次根式的乘除法法则，体验法则的形成过程，并且完善规范书写, 建立符号意识，并提高学生的计算能力.
问题解决：通过对不同计算法则的探索，进一步完善化简二次根式的方法，明确二次根式的化简方向，为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫. 同时学会具体问题具体分析，能选择恰当的方法进行准确的运算.
情感态度：培养学生严谨的思维品质，提高学生解决实际问题的能力 .
二、重难点分析
教学重点：理解二次根式乘除法法则及利用它们进行计算和化简；最简二次根式的运用. 二次根式乘除法法则都是让学生经历了由特殊到一般的方法归纳给出的，学生在新知识的接受上应该没有问题. 但是怎样使学生利用它们进行准确的计算则需要以往运算知识的大融合. 另外也考察了学生的数感. 因此，突出重点知识之后应该以不同形式的训练作为补充，强化学生对法则灵活使用，熟能生巧，达到准确计算的目的.
教学难点：发现规律，导出法则，并且利用它们进行计算和化简，最简二次根式的判断和二次根式的化简.
二次根式的乘除法的运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式. 因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容. 可以用不同的活动交流方式进行师生互动，使学生掌握计算的内涵，顺利进行新知识的内化.
三、学习者学习特征分析
九年级学生对实数运算已经有了一定的经验积累，应该让学生尝试不同的方法对同一道题进行计算，达到不仅会而对而且会而巧的计算能力. 因此，在选择合适方法计算时，应让学生自主探究，分析比较，满足学生的好奇心和学习热情，完善实数运算.
四、教学过程
（一）复习引入
本节课是在学生学习了二次根式的相关概念及性质之后的一节课，主要内容是二次根式的乘除运算和二次根式的化简. 是一节以计算为主的学习课. 主要方法是以由特殊到一般地从具体例子出发探究二次根式的乘法法则. 因此，首先让学生参与下列探究活动：（设计意图：让学生通过计算发现规律，并且对规律进行验证. ）
请同学们完成下列各题：（PPT 显示）
1. 填空：
（1）
（2） ___________， ___________， ___________； ____________.
2. 利用计算器填空：
（1） ______ ； （2） ________ .
老师点评，纠正学生练习中的错误.
（二）探索新知
1.乘法法则的学习
可以让学生根据自己的运算结果，大胆发表自己的想法，总结出二次根式的乘法运算规律. 老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的相乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为结果中二次根式的被开方数. 得到
反过来：
【多媒体动画《二次根式的乘法》】
教师要强调以下几点：
（1） 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
（2） 不能忽略被开方数a,b 均为非负数.
（3） 可以推广到多个二次根式进行相乘的运算.
（4） 当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
2.乘法法则的例题演练
例1. 计算：（1）
. （PPT 演示）
（设计意图：前2题是利用对乘法法则进行具体运算，第（2）小题是让学生感受到两个无理数相乘的结果是有理数的情况，也为后面学习二次根式的化简作了铺垫. 后2题是把二次根式的乘法法则反过来，对二次根式进行化简. 领会到化简二次根式，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来. 此处可以先让学生谈一谈对化简的理解，再组织小组讨论，使他们真正领悟算理，才能熟练应用. ）
学生在刚才的计算经验的基础上进一步强化计算能力，深化对法则的理解. 接下来，做 ； （2） ； （3） ； （4
） 例2. 计算：（1）
演示） ； （2） ； （3） . （PPT
（设计意图：本例题既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简，因此，是在例1的基础上继续强化训练）
教师在本例题的讲解上要进行板演，每一步的计算要讲清楚算理，并且要强化书写的规范性. 对于有些例题，可以让学生讨论它们不同的解法，以便比较优劣，选择较好的运算方法.
3.除法法则的学习
对于二次根式的除法运算，学习方法类似于乘法，也是采用由特殊到一般归纳给出除法法则的方式. 因此，先让学生探究如下问题：（PPT 显示）
（1） ____________，
__________；
（2） ____________，
__________；
【多媒体动画《二次根式的除法》和拓展资源动画《商的算术平方根》】
可以让学生以小组为单位交流所发现的规律.(设计意图：因为被开方数都是完全平方数，这样有助于规律的发现)
提问：规律适用于无理数的计算吗？请同学们用计算器去体验所发现的规律. 计算下面各题.(PPT 显示)
（1） ____________， （2）__________；
（3）____________， （4）__________；
经过学生的验证，得到：
反过来：
教师在肯定学生总结出规律的同时，应提醒以下几点：
（1） 公式中限制被开方数的条件.
（2） 利用第二个公式可进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母.
（3） 被开方数是带分数，应先化成假分数.
【此处链接多媒体动画《最简二次根式》】
学生在接触法则后，一定会产生应用的欲望，而法则的熟练应用也是在做题过程中通过学生的积极内化来达到目的的. 因此，下面利用这个法则来计算和化简一些题目.
4.除法法则的例题演练 (PPT 显示)
例3. 计算： （1） ； （2） .
例4. 化简： （1） ； （2） .
（设计意图：此两道例题都可利用公式达到计算和化简的目的）
在法则学习后，很多相应的练习中，学生运算的自由度加大，可以选择不同的方法，进行不同方式的计算.
例5. 计算：（1） ； （2） ； （3） .(PPT 显示)
在此道例题的计算中，学生会选择自己的方法进行合理的计算，教师应鼓励学生用多种方法进行运算. 要强调最后结果一般要求分母中不含二次根式. 同时观察上面例题的计算结
果，让学生发现二次根式的共同特点，学生可以小组的形式进行交流和讨论，总结出：
（1） 被开方数不含分母.
（2） 被开方数中不含能开得尽方得因数或因式.
进而得到最简二次根式的概念.
（三）应用新知，体验成功
利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学．
（四）课堂小结，体验收获（PPT 显示）
这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）
1.
2.
3. 最简二次根式的概念.
（五）拓展延伸，布置作业
（1）必做题：习题21.2第1、2、3、4、5、6题
（2）选做题：习题21.2第9、10题
五、学习评价：
(一) 选择题
1．下列各式中，最简二次根式是（）
（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.
2. 下列根式中属最简二次根式的是（）
（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.
3. 下面各组二次根式化简后被开方数相同的是（）
（A ）与. （B ）与. （C ）与. （D ）与.
(二) 填空题
4．已知 ，那么ab=_________.
5．若 ,则
≈_________.
cm和 cm，•那么此直角三角形斜 6．若直角三角形两条直角边的边长分别为
边长是___________.
7．化简
8．化简 =___________. _________．（x≥0）
9．
(三) 解答题
10. 计算：
（1）
（2）化简二次根式后的结果是_________． ； ；
（3） ；
11．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？
12．观察下列各式：
的等式表示出来__________________________．
答案：
(一) 选择题
1．D ； 2．A ； 3．A.
(二) 填空题
4. -1. 5. 0.707. 6.
9. . cm . 7. 请你将发现的规律用含自然数n(n≥1) . 8. . (三) 解答题
10. （1）6； （2） ； （3）1.
11. 解：设底面正方形铁桶的底面边长为x ，
则×10=30×30×20，=30×30×2，
. 12.
.