数学方法在高中物理中的应用
江苏省 新沂市第一中学 朱蕴
【摘要】：2010年江苏省高考考试说明（物理）中明确要求考生具备“应用数学处理物理问题的能力”。本文结合自己的教学经验从用“数学方法定义物理概念, 推导物理定律、原理”、“用数学方法处理物理问题”、以及“应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题”等方面进行论述。
【关键词】: 定义物理概念、推导物理定律原理 处理物理问题 注意问题
2010年江苏省高考考试说明（物理）中明确要求 “能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果做出物理判断、进行物理解释或得出物理结论„„”
本文仅就笔者多年教学实践的经验，着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。
一、数学知识是物理概念的定义工具，和物理定律、原理的推导工具
在物理中， 用数学知识来定义物理概念、表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言。许多物理概念和规律都要以数学形式（公式或图像）来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。 1. 用数学的方法来定义物理概念 在此仅以两例来说明.
(1) 在中学物理中常用到的比值定义法. 所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法。比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。如:密度、压强、速度、加速度, 功率、电场强度, 电容等物理量的定义. (2) 中学物理中的许多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。 2. 用数学知识来推导物理公式。
物理学中常常利用数学知识研究问题。以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。 二、用数学方法处理物理问题
在中学物理学习中常用的数学方法有图像法、极值法、近似计算法、微元法等。
1、图像法
物理图像是一种非常形象的数字语言和工具，利用它可以很好地描述物理过程，反映物理概念和规律，推导和验证新的规律。物理图像不仅可以使抽象的
概念形象化，还可以恰当地表示语言难以表达的内涵。用图像解物理问题，不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程。 例1、甲乙两地相距s =1. 6的加速度为a 2=6. 4m 的最大速度为多少？
解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为t 1，匀速运动时间为t 2，减速运动时间为t 3，总时间为t ，则： v m =a 1t 1=a 2t 3 , s 1= s 3=
12a 2t 3
2
，摩托车加速时的加速度为a 1=1. 6m
s
2
，减速时
s
2
摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中
12
a 1t 1
2
, s 2=v m t 2 ,
, s =s 1+s 2+s 3 , t 2=t -t 1-t 3
联立以上六式并代入数据得： t 12-1. 6tt 1-1600=0 要使以上方程有解，须判别式 ∆≥0，即：∆=(1. 6) 2-4⨯1600≥0, 所以t ≥50s ，即最短时间为50s 。
故有：t 12-80t 1+1600=0，解得：t 1=40s , t 2=0, t 3=10s 。
可见摩托车从甲地到乙地先加速40s , 后紧接着减速 10s 达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为： v m =a 1t 1=1. 6⨯40m s =64m s 。
解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象， 图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离， 在保证“面积”不变的情况下要使运动时间变小， 只有把梯形变成三角形。 s =
v m (t 1+t 2)
2
，a 1t 1=a 2t 2 ,
t =t 1+t 2
联立以上三式得：最短时间为t =50s ，最大速度为v m =64m s 。
归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。
2、极值法 极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，从数学的极值法角度进行分析、归纳的数学处理方法。物理极值问题的讨论中常用的极值法有:三角函数极值法, 二次函数的极值法, 一元二次方程的判别式法等.
例2:质量为m 的物体放在地面上，它们间的滑动摩擦系数为μ， 用力F 斜向上拉物体，使物体在水平面上作匀速直线运动， 求力与水平方向的夹角α为多大时最省力。
图2
析与解:由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样。而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等。以物体为研究对象，受力分析如图2所示。因为物体处于平衡状态， 根据∑F =0得： F cos α=μF N （1）， F sin α+F N =由（1）、（2）式得：
μmg
cos α+μsin α
（2）
F =
=
μmg
+μsin(α+φ)
2
（φ=arctan
1
μ
）
可见，当α+φ=900，即α=acr tan μ时，sin(α+φ) =1，F 有最小值为：
F min =
μmg
+μ
2
3、近似计算法.
物理计算中，常用一些数学近似公式： 如:当θ很小时：sin θ≈tan θ≈
借助上述公式结论，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。
例3:在水下1m 处放置一个小物块，问当从水面正上方向下看时，物体离水面为多少？ 解析:
水面下物体A 所发出的光线经水面折射， 其像点A ' ，光路如图3所示.
tan γ=
oo oA
' '
, tan α=
oo oA
'
当人眼从水面正上方往下看时，
γ、α两角都应接近零度。因此有： 图3
tan γ≈sin γ
，tan α≈sin α
oo
'
由光的折射定律，则有：
' oA n =≈== ' ' oo sin αtan αoA
sin γtan γ
oA
所以当从水面正上方向下看时，物体离水面深度为米
n
4. 微元法:
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
例4:用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系。
做匀变速直线运动的物体，其速度与时间图线下面四边形的面积可以表示其位移。这一结论的得出就需要用微元法思想。
我们研究以初速度v 0做做匀变速直线运动的物体，在时间t 内发生的位移。物体运动的v-t 图像如图4所示。
图4
把时间t 分割成无数多个小的时间间隔△t ，在v-t 图中，每一个时间间隔起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一个时间间隔内，我们认为物体做匀速直线运动。在v-t 图中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。每个小矩形的面积之和近似的代表物体在整个过程中的位移。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图乙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v-t 图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积
之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OAPQ 。梯形OAPQ 的面积就代表做匀变速直线运动的物体从0到t 这段时间间隔的位移。图中v-t 直线下面的梯形OAPQ 的面积(图丙) 是 s =s 1+s 2=OA ⨯OQ +AR ⨯RP 即位移：x =v 0+
12at
2
2
=v 0+
12
at
2
例5：（江苏，2009年高考卷15题）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B 、方向与导轨平面垂直。长度为2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m ，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I 的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d （d
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离χm 。
图5 解析:(1)、（3）问解省略
（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v 1，则接着向下运动2d
由动能定理 mg sin α⨯2d -BIL ⨯d =0-装置在磁场中运动时收到的合力
F =mg sin α-F '
12mv 1
2
感应电动势 ε=Bdυ
感应电流 I ' =
ε
R
安培力 F ' =B I ' d
由牛顿第二定律，在t 到t+∆t 时间内，有∆v =则
F m ∆t
∑
∆v =
∑
B 2d 2v ⎤⎡
g sin α-∆t ⎢mR ⎥⎣⎦
有v 1=gt 1sin α-
2B d m R
23
2B d R
2
3
解得
t 1=
m g sin α
三、 应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题 1. 理解物理公式或图像所表示的物理意义
物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。 如在电容的概念教学时笔者就发现有一大部分学生认为电容与电荷量成正比, 与电压成反比。 2. 表达物理概念或规律的公式都有自己的适应条件
在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如，真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。值得注意的是，如果从“纯数学化”观念来看，当r →0
时
F →∞
，但这样的讨论在
物理上是毫无意义的，因为这时 Q 1, Q 2不能看做点电荷，而且两者间的相互作用力变的很复杂的，库仑定律描述不了它们之间的相互作用。 3. 数学的解与物理的解的统一
如果由建立的数学模型，应用数学方法解出的数学的解都不符合物理实际意义，并不能只是简单下个无解的结论，而是应该对原数学模型作仔细的分析与反思，找到其潜在的问题，并对原数学模型进行修正。 例6:在平直公路上以20m s 匀速行驶的汽车，刹车后获得8m 问经过5秒钟，汽车发生的位移是多少? 错解根据匀变速直线运动的位移公式
s =v 0t +
12at
2
s
2
大小的加速度，
，代入数据得：s =20⨯5+
12
⨯(-8) ⨯5=0
2
。
讨论：汽车刹车后，没有向前移动，这是不可能的。为什么会出现这样的结果呢？进一步分析可以发现，汽车从开始刹车到停止所需时间为：
t =
v t -v 0
a
=25s
。如果以t =25s 代入上式求得s =50m 才是正确结果。
由此可见，求得数学的解后，再从物理的角度进行讨论分析，把数学的解还原成符合实际的物理的解这一过程，是十分重要的，这也是解题过程中最容易疏漏的地方。
“它山之石，可以攻玉”. 在现阶段大力提倡学生综合能力的时代浪潮中，强调在物理教学中有机结合数学知识，能很好地培养学生理解、掌握和运用所学知识的能力。也可将数学知识运用于物理教学作为现阶段各科知识大综合的演练平台，为提高学生的综合能力推波助澜。
数学方法在高中物理中的应用
江苏省 新沂市第一中学 朱蕴
【摘要】：2010年江苏省高考考试说明（物理）中明确要求考生具备“应用数学处理物理问题的能力”。本文结合自己的教学经验从用“数学方法定义物理概念, 推导物理定律、原理”、“用数学方法处理物理问题”、以及“应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题”等方面进行论述。
【关键词】: 定义物理概念、推导物理定律原理 处理物理问题 注意问题
2010年江苏省高考考试说明（物理）中明确要求 “能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果做出物理判断、进行物理解释或得出物理结论„„”
本文仅就笔者多年教学实践的经验，着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。
一、数学知识是物理概念的定义工具，和物理定律、原理的推导工具
在物理中， 用数学知识来定义物理概念、表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言。许多物理概念和规律都要以数学形式（公式或图像）来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。 1. 用数学的方法来定义物理概念 在此仅以两例来说明.
(1) 在中学物理中常用到的比值定义法. 所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法。比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。如:密度、压强、速度、加速度, 功率、电场强度, 电容等物理量的定义. (2) 中学物理中的许多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。 2. 用数学知识来推导物理公式。
物理学中常常利用数学知识研究问题。以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。 二、用数学方法处理物理问题
在中学物理学习中常用的数学方法有图像法、极值法、近似计算法、微元法等。
1、图像法
物理图像是一种非常形象的数字语言和工具，利用它可以很好地描述物理过程，反映物理概念和规律，推导和验证新的规律。物理图像不仅可以使抽象的
概念形象化，还可以恰当地表示语言难以表达的内涵。用图像解物理问题，不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程。 例1、甲乙两地相距s =1. 6的加速度为a 2=6. 4m 的最大速度为多少？
解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为t 1，匀速运动时间为t 2，减速运动时间为t 3，总时间为t ，则： v m =a 1t 1=a 2t 3 , s 1= s 3=
12a 2t 3
2
，摩托车加速时的加速度为a 1=1. 6m
s
2
，减速时
s
2
摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中
12
a 1t 1
2
, s 2=v m t 2 ,
, s =s 1+s 2+s 3 , t 2=t -t 1-t 3
联立以上六式并代入数据得： t 12-1. 6tt 1-1600=0 要使以上方程有解，须判别式 ∆≥0，即：∆=(1. 6) 2-4⨯1600≥0, 所以t ≥50s ，即最短时间为50s 。
故有：t 12-80t 1+1600=0，解得：t 1=40s , t 2=0, t 3=10s 。
可见摩托车从甲地到乙地先加速40s , 后紧接着减速 10s 达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为： v m =a 1t 1=1. 6⨯40m s =64m s 。
解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象， 图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离， 在保证“面积”不变的情况下要使运动时间变小， 只有把梯形变成三角形。 s =
v m (t 1+t 2)
2
，a 1t 1=a 2t 2 ,
t =t 1+t 2
联立以上三式得：最短时间为t =50s ，最大速度为v m =64m s 。
归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。
2、极值法 极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，从数学的极值法角度进行分析、归纳的数学处理方法。物理极值问题的讨论中常用的极值法有:三角函数极值法, 二次函数的极值法, 一元二次方程的判别式法等.
例2:质量为m 的物体放在地面上，它们间的滑动摩擦系数为μ， 用力F 斜向上拉物体，使物体在水平面上作匀速直线运动， 求力与水平方向的夹角α为多大时最省力。
图2
析与解:由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样。而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等。以物体为研究对象，受力分析如图2所示。因为物体处于平衡状态， 根据∑F =0得： F cos α=μF N （1）， F sin α+F N =由（1）、（2）式得：
μmg
cos α+μsin α
（2）
F =
=
μmg
+μsin(α+φ)
2
（φ=arctan
1
μ
）
可见，当α+φ=900，即α=acr tan μ时，sin(α+φ) =1，F 有最小值为：
F min =
μmg
+μ
2
3、近似计算法.
物理计算中，常用一些数学近似公式： 如:当θ很小时：sin θ≈tan θ≈
借助上述公式结论，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。
例3:在水下1m 处放置一个小物块，问当从水面正上方向下看时，物体离水面为多少？ 解析:
水面下物体A 所发出的光线经水面折射， 其像点A ' ，光路如图3所示.
tan γ=
oo oA
' '
, tan α=
oo oA
'
当人眼从水面正上方往下看时，
γ、α两角都应接近零度。因此有： 图3
tan γ≈sin γ
，tan α≈sin α
oo
'
由光的折射定律，则有：
' oA n =≈== ' ' oo sin αtan αoA
sin γtan γ
oA
所以当从水面正上方向下看时，物体离水面深度为米
n
4. 微元法:
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
例4:用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系。
做匀变速直线运动的物体，其速度与时间图线下面四边形的面积可以表示其位移。这一结论的得出就需要用微元法思想。
我们研究以初速度v 0做做匀变速直线运动的物体，在时间t 内发生的位移。物体运动的v-t 图像如图4所示。
图4
把时间t 分割成无数多个小的时间间隔△t ，在v-t 图中，每一个时间间隔起始时刻的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一个时间间隔内，我们认为物体做匀速直线运动。在v-t 图中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。每个小矩形的面积之和近似的代表物体在整个过程中的位移。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图乙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v-t 图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积
之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OAPQ 。梯形OAPQ 的面积就代表做匀变速直线运动的物体从0到t 这段时间间隔的位移。图中v-t 直线下面的梯形OAPQ 的面积(图丙) 是 s =s 1+s 2=OA ⨯OQ +AR ⨯RP 即位移：x =v 0+
12at
2
2
=v 0+
12
at
2
例5：（江苏，2009年高考卷15题）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B 、方向与导轨平面垂直。长度为2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m ，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I 的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d （d
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离χm 。
图5 解析:(1)、（3）问解省略
（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v 1，则接着向下运动2d
由动能定理 mg sin α⨯2d -BIL ⨯d =0-装置在磁场中运动时收到的合力
F =mg sin α-F '
12mv 1
2
感应电动势 ε=Bdυ
感应电流 I ' =
ε
R
安培力 F ' =B I ' d
由牛顿第二定律，在t 到t+∆t 时间内，有∆v =则
F m ∆t
∑
∆v =
∑
B 2d 2v ⎤⎡
g sin α-∆t ⎢mR ⎥⎣⎦
有v 1=gt 1sin α-
2B d m R
23
2B d R
2
3
解得
t 1=
m g sin α
三、 应用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的一些问题 1. 理解物理公式或图像所表示的物理意义
物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。 如在电容的概念教学时笔者就发现有一大部分学生认为电容与电荷量成正比, 与电压成反比。 2. 表达物理概念或规律的公式都有自己的适应条件
在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如，真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。值得注意的是，如果从“纯数学化”观念来看，当r →0
时
F →∞
，但这样的讨论在
物理上是毫无意义的，因为这时 Q 1, Q 2不能看做点电荷，而且两者间的相互作用力变的很复杂的，库仑定律描述不了它们之间的相互作用。 3. 数学的解与物理的解的统一
如果由建立的数学模型，应用数学方法解出的数学的解都不符合物理实际意义，并不能只是简单下个无解的结论，而是应该对原数学模型作仔细的分析与反思，找到其潜在的问题，并对原数学模型进行修正。 例6:在平直公路上以20m s 匀速行驶的汽车，刹车后获得8m 问经过5秒钟，汽车发生的位移是多少? 错解根据匀变速直线运动的位移公式
s =v 0t +
12at
2
s
2
大小的加速度，
，代入数据得：s =20⨯5+
12
⨯(-8) ⨯5=0
2
。
讨论：汽车刹车后，没有向前移动，这是不可能的。为什么会出现这样的结果呢？进一步分析可以发现，汽车从开始刹车到停止所需时间为：
t =
v t -v 0
a
=25s
。如果以t =25s 代入上式求得s =50m 才是正确结果。
由此可见，求得数学的解后，再从物理的角度进行讨论分析，把数学的解还原成符合实际的物理的解这一过程，是十分重要的，这也是解题过程中最容易疏漏的地方。
“它山之石，可以攻玉”. 在现阶段大力提倡学生综合能力的时代浪潮中，强调在物理教学中有机结合数学知识，能很好地培养学生理解、掌握和运用所学知识的能力。也可将数学知识运用于物理教学作为现阶段各科知识大综合的演练平台，为提高学生的综合能力推波助澜。