学科教师辅导讲义
在小学，我们认识了自然数和分数，但日常生活中，在与数打交道时，经常会遇见零上9℃与零下15℃，收入1万元与支出3千元，上升30米与下降23米，盈利300元与亏损50元等相反意义的量，我们要如何区别而又形象地表示这些数呢？
我们认识了正负数和0，他们都属于有理数，你知道什么是有理数吗？有理数有哪些意义呢？当负数加入数的大家庭后，又该如何比较两个数的大小呢？
新课知识
知识点一：正数和负数
1. 正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
负数：像-3.-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
2. 数0的意义。数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界. （例1）
判断一个数是正数还是负数的方法：可以根据定义来判断一个数的正数还是负数，还可以和0去比较；在正数前面加上“-”号就是负数.
知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量
1. 相反意义的量包含两层含义：
①具有相反意义；②具有数量；
2. 常见的表示具有相反意义的名词：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等；
知识点七：数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数. 具体如下：
1. 正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示.
2. 负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示.
3.0用原点表示
.
4. 原点左边（或下边）的点表示负数，右边（或上边）的点表示正数. （例8)
把有理数表示在数轴上的步骤：（1）确定所找点与原点的位置关系（左负右正原点零）；
（2）确定具体位置，即去掉符号后的数值为这点到原点的距离.
知识点八：相反数的概念及其表示（重点）
1.
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数.
2. 代数意义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫为互为相反数.
3. 相反数的表示：一般地，a 和-a 互为相反数. 特别地，0的相反数是0，这里a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可是0.
求一个数的相反数的方法：只改变它前面的符号，其他的都不改变. （例9）
知识点九：多重符号的化简（重点、难点）
多重符号化简的两种方法：（1）采用同号得正，异号得负逐步由内向外化简.
（2）把所有的“+”号去掉，由“-”号的个数决定. 如果“-”号的个数是奇数，则结果为“-”；如果“-”号的个数是偶数，则结果为“+”. （例
10）
知识点十：绝对值的概念（重点）
1. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作
1. 任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数；
2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数的非正数.0是绝对值最小的数.
3. 绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数.
4. 互为相反数的两个数绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数. （例12、例13）
知识点十二：比较有理数的大小（难点）
1. 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
2. 利用数的性质比较异号两数及与0的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数.
3. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
方法：比较两个数的大小时要先看清符号：异号时，正数大于负数；同号时，要比较绝对值的大小. （例14）
例题精讲
正整数集 有理数集 负有理数集 负分数集
则代数式 a
a +b
b +c
c 的值等于（ ）
A ．1 B ． -1 C ．0 D ．±1
1．下列四个数中，在-1和2之间的数是（ ）
A ．0 B ．-2 C ．-3 D ．3
2．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 ________________.
（3）结合数轴求得x -2+x +3的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.
（4） 满足x ++x +4>3的x 的取值范围为 ______ .
3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
4. 如果规定收入为正，支出为负，收入500元记作500元，那么支出237元应记作（ ）
A.-500元 B.-237元 C.237元 D.500元
5. 下列说法错误的是（ ）
A.-0.5是负分数 B. 零不是正数也不是负数
C. 整数和分数称为有理数 D. 正有理数与负有理数组成全体有理数
6. 如图，在数轴上点M 表示的数可能是（ ）.
A.1.5 B-1.5 C.-2.4 D.2.4
7. 小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250米到小明家，后又向东走350米到小兵家，在向西行800米到小颖家，最后又回到学校。
（1）以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵、小颖家的位置.
（2）小明家距离小颖家多远？
（3）这次家访，老师共行走了多少千米的路程？
8. 一个数a 的相反数是5，则a 等于（ ）
A.5 B.-5 C. 11 D.- 55
9. 若a,b 表示有理数。且a=-b，那么在数轴上表示数a 与数b 的点到原点的距离（ ）
A. 表示数a 的点到原点的距离较远
B. 表示数b 的点到原点的距离较远
C. 一样远 D. 无法比较
随堂巩固
1. 如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么|a -b |+|a
+b |化简的结
果等于（ ）
A. 2a B. -2a C.0 D. 2b
2. （1）设向东走为正，向东走30米记作米，向西走20米记作米，原地不动记作 米，记作-25米表示向 走25米.
（2）比海平面高200米的地方，它的高度记作海拔 米，比海拔低100米的地方，它的高度记作海拔 米.
3. 用正数和负数表示下面各组里具有相反意义的量.
（1）向东运动5m 与向西运动6m;
(2) 零上7℃与零下7℃；
（3）高于海平面50m 与低于海平面80m.
4. 在某班举行的智力竞赛中，五位同学的得分如下：96分，92分，99分，90分，98分.
（1）试求这五位同学的平均成绩；
（2）把平均成绩记为0，超过的记为正，不足的记为负，则这五位同学的得分分别是多少？
5. 有最 的正整数，是 ；有最 的负整数，是 ；最小的非负数是 ，最大的非正数是 .
6. 填空：⑴绝对值小于4的整数为 .
⑵若a =3, b =4，且a>b，则a= ,b= ;
⑶若a =a ，a 0;若a =-a ，则a 0;
⑷若a =b ，则a 与b 的关系是 .
7. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“
2， -4,5， -1.5, 3.5, 1.6, 0， -2
8.A 为数轴上表示-1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到达B 点，B 点所表示的数为（ ）
A.-3 B.3 C.1 D.1或-3
学科教师辅导讲义
在小学，我们认识了自然数和分数，但日常生活中，在与数打交道时，经常会遇见零上9℃与零下15℃，收入1万元与支出3千元，上升30米与下降23米，盈利300元与亏损50元等相反意义的量，我们要如何区别而又形象地表示这些数呢？
我们认识了正负数和0，他们都属于有理数，你知道什么是有理数吗？有理数有哪些意义呢？当负数加入数的大家庭后，又该如何比较两个数的大小呢？
新课知识
知识点一：正数和负数
1. 正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
负数：像-3.-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
2. 数0的意义。数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界. （例1）
判断一个数是正数还是负数的方法：可以根据定义来判断一个数的正数还是负数，还可以和0去比较；在正数前面加上“-”号就是负数.
知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量
1. 相反意义的量包含两层含义：
①具有相反意义；②具有数量；
2. 常见的表示具有相反意义的名词：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等；
知识点七：数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数. 具体如下：
1. 正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示.
2. 负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示.
3.0用原点表示
.
4. 原点左边（或下边）的点表示负数，右边（或上边）的点表示正数. （例8)
把有理数表示在数轴上的步骤：（1）确定所找点与原点的位置关系（左负右正原点零）；
（2）确定具体位置，即去掉符号后的数值为这点到原点的距离.
知识点八：相反数的概念及其表示（重点）
1.
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数.
2. 代数意义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫为互为相反数.
3. 相反数的表示：一般地，a 和-a 互为相反数. 特别地，0的相反数是0，这里a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可是0.
求一个数的相反数的方法：只改变它前面的符号，其他的都不改变. （例9）
知识点九：多重符号的化简（重点、难点）
多重符号化简的两种方法：（1）采用同号得正，异号得负逐步由内向外化简.
（2）把所有的“+”号去掉，由“-”号的个数决定. 如果“-”号的个数是奇数，则结果为“-”；如果“-”号的个数是偶数，则结果为“+”. （例
10）
知识点十：绝对值的概念（重点）
1. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作
1. 任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数；
2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数的非正数.0是绝对值最小的数.
3. 绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数.
4. 互为相反数的两个数绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数. （例12、例13）
知识点十二：比较有理数的大小（难点）
1. 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
2. 利用数的性质比较异号两数及与0的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数.
3. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
方法：比较两个数的大小时要先看清符号：异号时，正数大于负数；同号时，要比较绝对值的大小. （例14）
例题精讲
正整数集 有理数集 负有理数集 负分数集
则代数式 a
a +b
b +c
c 的值等于（ ）
A ．1 B ． -1 C ．0 D ．±1
1．下列四个数中，在-1和2之间的数是（ ）
A ．0 B ．-2 C ．-3 D ．3
2．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 ________________.
（3）结合数轴求得x -2+x +3的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.
（4） 满足x ++x +4>3的x 的取值范围为 ______ .
3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
4. 如果规定收入为正，支出为负，收入500元记作500元，那么支出237元应记作（ ）
A.-500元 B.-237元 C.237元 D.500元
5. 下列说法错误的是（ ）
A.-0.5是负分数 B. 零不是正数也不是负数
C. 整数和分数称为有理数 D. 正有理数与负有理数组成全体有理数
6. 如图，在数轴上点M 表示的数可能是（ ）.
A.1.5 B-1.5 C.-2.4 D.2.4
7. 小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250米到小明家，后又向东走350米到小兵家，在向西行800米到小颖家，最后又回到学校。
（1）以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵、小颖家的位置.
（2）小明家距离小颖家多远？
（3）这次家访，老师共行走了多少千米的路程？
8. 一个数a 的相反数是5，则a 等于（ ）
A.5 B.-5 C. 11 D.- 55
9. 若a,b 表示有理数。且a=-b，那么在数轴上表示数a 与数b 的点到原点的距离（ ）
A. 表示数a 的点到原点的距离较远
B. 表示数b 的点到原点的距离较远
C. 一样远 D. 无法比较
随堂巩固
1. 如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么|a -b |+|a
+b |化简的结
果等于（ ）
A. 2a B. -2a C.0 D. 2b
2. （1）设向东走为正，向东走30米记作米，向西走20米记作米，原地不动记作 米，记作-25米表示向 走25米.
（2）比海平面高200米的地方，它的高度记作海拔 米，比海拔低100米的地方，它的高度记作海拔 米.
3. 用正数和负数表示下面各组里具有相反意义的量.
（1）向东运动5m 与向西运动6m;
(2) 零上7℃与零下7℃；
（3）高于海平面50m 与低于海平面80m.
4. 在某班举行的智力竞赛中，五位同学的得分如下：96分，92分，99分，90分，98分.
（1）试求这五位同学的平均成绩；
（2）把平均成绩记为0，超过的记为正，不足的记为负，则这五位同学的得分分别是多少？
5. 有最 的正整数，是 ；有最 的负整数，是 ；最小的非负数是 ，最大的非正数是 .
6. 填空：⑴绝对值小于4的整数为 .
⑵若a =3, b =4，且a>b，则a= ,b= ;
⑶若a =a ，a 0;若a =-a ，则a 0;
⑷若a =b ，则a 与b 的关系是 .
7. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“
2， -4,5， -1.5, 3.5, 1.6, 0， -2
8.A 为数轴上表示-1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到达B 点，B 点所表示的数为（ ）
A.-3 B.3 C.1 D.1或-3