等比数列
1、等比数列的定义：2、通项公式：
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)，首项：a 1；公比：q
q
a n ⇔q =n a m a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
推广：a n =a m q n -m ⇔q n -m =3、等比中项：
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=
ab 或
A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1 （2）当q ≠1时，S n =
=
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为1-q 1-q
常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或为等比数列
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) ⇔{a n }为等比数列 （3）通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列 6、等比数列的证明方法：
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }a n
依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
（4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{，{k ⋅a n }，{a n k }，{k ⋅a n ⋅b n }，{n b n a n
（k 为非零常数）均为等比数列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列 （7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列 （8）若{a n }为等比数列，则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ，a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ，a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
a 1>0，则{a n }为递增数列
{（9）①当q >1时，a 10，则{a n }为递减数列
②当0
{
③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q
S 奇1（10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N ) 时，=
S 偶q
*
二 例题解析
【例1】 已知S n 是数列{an }的前n 项和，S n ＝p n (p∈R ，n ∈N*)，那么数列{an }．（ ）
A ．是等比数列 B．当p ≠0时是等比数列 B ．C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列 D．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．
【例3】 等比数列{an }中，(1)已知a 2=4，a 5＝－
1
，求通项公 2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
【例4】 求数列的通项公式：
(1){an }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){an }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0
三、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
14
1、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，则a 4=_________．
33
2、在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，则该数列的通项
a n =______________． 考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ）
A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10
2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1 C．2
D ．不确定
3、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 1、若公比为
20
，求{a n }的通项公式． 3
291
的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383
A ．3 B．4 C．5 D．6 2、已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项
a n =_________________．
3、若{a n }为等比数列，且2a 4=a 6-a 5，则公比q =________． 4、设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则
1
A ．
4
2a 1+a 2
的值为（ ）
2a 3+a 4
11
C． D．1 28
1
5、等比数列{an }中，公比q=且a 2+a4+…+a100=30，则a 1+a2+…
2
B ．
+a100=______________.
考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用
1、在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3为（ ）
316
A ．4 B． C． D．2
29
2、如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A ．b =3，ac =9
B ．b =-3，ac =9
C ．b =3，ac =-9 D．b =-3，ac =-9
3、在等比数列{a n }中，a 1=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于（ ） A ．81
B
．C
D ．243
4、在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a (a ≠0)，a 19+a 20=b ，则a 99+a （ ） 100等于
b 9b 10⎛b ⎫⎛b ⎫A 8 B． C D． ⎪ ⎪ 9
a a a ⎝⎭⎝a ⎭
9
10
5、在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2+kx +5=0的两个根，则a 2a 4a 6的值为（ ） A ．25
B
．C
．-
D
．±
6、若{a n }是等比数列，且a n >0，若a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于
⎧S , (n =1)
考点五：公式a n =⎨1的应用
⎩S n -S n -1, (n ≥2)
1、若数列的前n 项和S n =a1+a2+…+an ，满足条件log 2S n =n，那么{an }是( ) A. 公比为2的等比数列 B.公比为
1
的等比数列 2
C. 公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )
11
A.(2n -1) 2 B. (2n -1) 2 C.4n -1 D.(4n -1)
33
3、设等比数列{an }的前n 项和为S n =3n +r，那么r 的值为______________.
一、等差和等比数列比较：
二、等差数列的定义与性质
定义：a n +1-a n =d （d 为常数）， 通项：a n =a 1+(n -1)d 等差中项：x ，A ，y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和：S n =
(a 1+a n )n =na
2
1+
n (n -1)
d 2
性质：{a n }是等差数列
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；
（2）数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等差数列，S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等差数列，公差为n d ；
（3）若a n ，b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n ，T n ，则
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
（4）{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值） （5）项数为偶数2n 的等差数列{a n }
，有
S 2n =n (a 1+a 2n ) =n (a 2+a 2n -1) = =n (a n +a n +1)(a n , a n +1为中间两项)
S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=
a n
. a n +1
，有
(6)项数为奇数2n -1的等差数列{a n }
S 2n -1=(2n -1) a n (a n 为中间项) ， S 奇-S 偶=a n ，
S 奇S 偶
=
n .
n -1
三、等比数列的定义与性质
定义：
a n +1
，通项：a n =a 1q n -1. =q （q 为常数，q ≠0）
a n
等比中项：x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=
xy ，或G =
⎧na 1(q =1) ⎪
前n 项和：S n =⎨a 1(1-q n )（要注意q ！）
(q ≠1) ⎪
⎩1-q
性质：{a n }是等比数列
（1）若m +n =p +q ，则a m ·a n =a p ·a q
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等比数列, 公比为q n .
四、数列求和的常用方法：
1 、裂项分组法：
1111
++++1⋅22⋅33⋅4（n n +1）11111111=(-) +(-) +(-) ++(-) 122334n n +111n =-=
1n +1n +1
、
1111
1,2,3,4, 的前n 和是：392781
1111
（+12+3+4+）+（++++）
392781
2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 例
：
求
：
S n =x+3x 2+5x 3+
解：
S n =x+3x 2+5x 3+xS n =x2+3x 3+5x 4
+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn (x≠1)
+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn (x≠1) ① +(2n-5)xn-1+(2n-3)xn +(2n-1)xn+1 (x≠1) ②
① 减 ② 得：
(1-x)S n =x+(2x 2+2x 3+
+2x n-1+2x n )-(2n -1)x n+1
n+1
=x +
2x 2(1-x n-1)1-x
-(2n -1)x
从而求出S n 。
错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式；(3)用①-②，错位相减；(4)化简计算。 3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：
S n =a1+a 2+a 3+
两式相加可得：
+a n -2+a n -1+a n
+a 3+a 2+a 1
S n =an +a n -1+a n -2+
2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)+
即 ：2S n =n (a 1+a n )
所以
+(a 3+a n -2)+(a 2+a n -1)+(a 1+a n )
S n =
n (a 1+a n )2
等比数列
1、等比数列的定义：2、通项公式：
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)，首项：a 1；公比：q
q
a n ⇔q =n a m a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
推广：a n =a m q n -m ⇔q n -m =3、等比中项：
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=
ab 或
A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1 （2）当q ≠1时，S n =
=
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为1-q 1-q
常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或为等比数列
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) ⇔{a n }为等比数列 （3）通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列 6、等比数列的证明方法：
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }a n
依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
（4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{，{k ⋅a n }，{a n k }，{k ⋅a n ⋅b n }，{n b n a n
（k 为非零常数）均为等比数列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列 （7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列 （8）若{a n }为等比数列，则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ，a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ，a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
a 1>0，则{a n }为递增数列
{（9）①当q >1时，a 10，则{a n }为递减数列
②当0
{
③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q
S 奇1（10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N ) 时，=
S 偶q
*
二 例题解析
【例1】 已知S n 是数列{an }的前n 项和，S n ＝p n (p∈R ，n ∈N*)，那么数列{an }．（ ）
A ．是等比数列 B．当p ≠0时是等比数列 B ．C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列 D．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．
【例3】 等比数列{an }中，(1)已知a 2=4，a 5＝－
1
，求通项公 2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
【例4】 求数列的通项公式：
(1){an }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){an }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0
三、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
14
1、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，则a 4=_________．
33
2、在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，则该数列的通项
a n =______________． 考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ）
A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10
2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1 C．2
D ．不确定
3、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 1、若公比为
20
，求{a n }的通项公式． 3
291
的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383
A ．3 B．4 C．5 D．6 2、已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项
a n =_________________．
3、若{a n }为等比数列，且2a 4=a 6-a 5，则公比q =________． 4、设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则
1
A ．
4
2a 1+a 2
的值为（ ）
2a 3+a 4
11
C． D．1 28
1
5、等比数列{an }中，公比q=且a 2+a4+…+a100=30，则a 1+a2+…
2
B ．
+a100=______________.
考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用
1、在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3为（ ）
316
A ．4 B． C． D．2
29
2、如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A ．b =3，ac =9
B ．b =-3，ac =9
C ．b =3，ac =-9 D．b =-3，ac =-9
3、在等比数列{a n }中，a 1=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于（ ） A ．81
B
．C
D ．243
4、在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a (a ≠0)，a 19+a 20=b ，则a 99+a （ ） 100等于
b 9b 10⎛b ⎫⎛b ⎫A 8 B． C D． ⎪ ⎪ 9
a a a ⎝⎭⎝a ⎭
9
10
5、在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2+kx +5=0的两个根，则a 2a 4a 6的值为（ ） A ．25
B
．C
．-
D
．±
6、若{a n }是等比数列，且a n >0，若a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于
⎧S , (n =1)
考点五：公式a n =⎨1的应用
⎩S n -S n -1, (n ≥2)
1、若数列的前n 项和S n =a1+a2+…+an ，满足条件log 2S n =n，那么{an }是( ) A. 公比为2的等比数列 B.公比为
1
的等比数列 2
C. 公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )
11
A.(2n -1) 2 B. (2n -1) 2 C.4n -1 D.(4n -1)
33
3、设等比数列{an }的前n 项和为S n =3n +r，那么r 的值为______________.
一、等差和等比数列比较：
二、等差数列的定义与性质
定义：a n +1-a n =d （d 为常数）， 通项：a n =a 1+(n -1)d 等差中项：x ，A ，y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和：S n =
(a 1+a n )n =na
2
1+
n (n -1)
d 2
性质：{a n }是等差数列
（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；
（2）数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等差数列，S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等差数列，公差为n d ；
（3）若a n ，b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n ，T n ，则
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
（4）{a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn （a ，b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值） （5）项数为偶数2n 的等差数列{a n }
，有
S 2n =n (a 1+a 2n ) =n (a 2+a 2n -1) = =n (a n +a n +1)(a n , a n +1为中间两项)
S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=
a n
. a n +1
，有
(6)项数为奇数2n -1的等差数列{a n }
S 2n -1=(2n -1) a n (a n 为中间项) ， S 奇-S 偶=a n ，
S 奇S 偶
=
n .
n -1
三、等比数列的定义与性质
定义：
a n +1
，通项：a n =a 1q n -1. =q （q 为常数，q ≠0）
a n
等比中项：x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=
xy ，或G =
⎧na 1(q =1) ⎪
前n 项和：S n =⎨a 1(1-q n )（要注意q ！）
(q ≠1) ⎪
⎩1-q
性质：{a n }是等比数列
（1）若m +n =p +q ，则a m ·a n =a p ·a q
（2）S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ……仍为等比数列, 公比为q n .
四、数列求和的常用方法：
1 、裂项分组法：
1111
++++1⋅22⋅33⋅4（n n +1）11111111=(-) +(-) +(-) ++(-) 122334n n +111n =-=
1n +1n +1
、
1111
1,2,3,4, 的前n 和是：392781
1111
（+12+3+4+）+（++++）
392781
2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 例
：
求
：
S n =x+3x 2+5x 3+
解：
S n =x+3x 2+5x 3+xS n =x2+3x 3+5x 4
+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn (x≠1)
+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn (x≠1) ① +(2n-5)xn-1+(2n-3)xn +(2n-1)xn+1 (x≠1) ②
① 减 ② 得：
(1-x)S n =x+(2x 2+2x 3+
+2x n-1+2x n )-(2n -1)x n+1
n+1
=x +
2x 2(1-x n-1)1-x
-(2n -1)x
从而求出S n 。
错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式；(3)用①-②，错位相减；(4)化简计算。 3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：
S n =a1+a 2+a 3+
两式相加可得：
+a n -2+a n -1+a n
+a 3+a 2+a 1
S n =an +a n -1+a n -2+
2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)+
即 ：2S n =n (a 1+a n )
所以
+(a 3+a n -2)+(a 2+a n -1)+(a 1+a n )
S n =
n (a 1+a n )2