三次方程的解法

三次方程解法——盛金公式法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．

盛金公式

对于任意一元三次方程ax3bx2cxd0

有重根判别式： (a,b,c,dR,a0)

Ab23ac

Bbc9ad

Cc23bd

总判别式：

B24AC

当AB0时，有盛金公式①：

x1x2x3

2bc3d 3abc当B4AC＞0时，有盛金公式②：

b(12) x13a

2b123(12)i x2、36a

其中：Y1、2BB24AC2，i1 Ab3a2

2也可写为Y1、2A(b3aZ),Z为方程AZBZC0的两根

当B4AC0时，有盛金公式③： 2

x1bKK,x2x3 a2

B,A0 A其中K

2当B4AC＜0时，有盛金公式④：

b2Acos

x13a

bA(cos3sin) x2、33a

其中arccosT,T2Ab3aB

2A2(A＞0，1＜T＜1)

盛金判别法

①：当AB0时，方程有一个三重实根；

②：当B4AC＞0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当B4AC0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当B4AC＜0时，方程有三个不相等的实根。

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盛金定理

当b0，c0时盛金公式①无意义；当A0，盛金公式③无意义；当A0时，盛金公式④无意义；当T＜1或T＞1时盛金公式④无意义。

当b0，c0时盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A0的值？盛金公式④是否存在T1或T1的值？

盛金定理给出如下解答：

盛金定理1：当AB0时，若b0，则必定有cd0(此时，方程有一个三重实根盛金公式①仍然成立) 盛金定理2：当AB0时，若b0，则必定有c0(此时，适用盛金公式①解题)

盛金定理3：当AB0时，则必定有C0(此时，适用盛金公式①解题)

盛金定理4：当A0时，若B0，则必定有＞0(此时，适用盛金公②式解题)

盛金定理5：当A＜0时，则必定有＞0(此时，适用盛金公②式解题)

盛金定理6：当0时，若B0，则必定有A0(此时，适用盛金公式①解题)

盛金定理7：当0时，若B0，盛金公式③一定不存在A0的值(此时，适用盛金公③式解题)

盛金定理8：当＜0时，盛金公式④一定不存在A0的值(此时，适用盛金公④式解题)

盛金定理9：当＜0时，盛金公式④一定不存在T1或T1的值(此时，适用盛金公④式解题)

显然，当A0时都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可运用盛金公式直观解出。

一元三次方程的伟达定理

对于任意一元三次方程axbxcxd032(a,b,c,dR,a0)有：

x1x2x3d a

c a x1x2x1x3x2x3

x1x2x3b a