圆心角和圆周角关系

第二讲圆心角和圆周角关系

一、兴趣导入：无

二、复习讲评：复习垂径定理

三、教学目标：掌握圆心角和圆周角关系

四、教学过程：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

过点O作弦AB的垂线, 垂足为M, 则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 , 图1中，OM为AB弦的弦心距。

圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

命题：条件在同圆或等圆中，圆心角相等

结论：圆心角所对的弧相等；圆心角所对的弦相等；圆心角所对的弦的弦心距相等思考逆定理？

推论：(圆心角定理的逆定理)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。例题1：如图，在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠

AOC

例题2：如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN

上

一动点，求PA+PB的最小值。

例题3：如图，已知五边形ABCDE的各顶点都在⊙O上，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是弧AD的中点，求△ADE的面积是多少？

1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角 2. 圆周角的性质：

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论：（

1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所

对的弧相等。

（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

例题1、如图圆O中，弦AB=16，点

在圆O上且角C的正弦值=4/5，求圆O的半径

例题2、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB•CE=2DP•AD．

例题3、如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD=AE•AC，求证：CD=CB．

例题4、已知：如图，AB为圆O的直径，D为弧BC的中点，连接BC交AD于点E且DG⊥AB于点G。

练习：一、填空题:

1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是

________.

(1) (2) (3)

2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有___对全等三角形;___对相似比不等于1的相似三角形.

3.已知,如图3,∠BAC的邻角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 4.如图4,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°

(4) （5) (6) (7)

5.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

6.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°

8、如图，过点P、A、B的直线过圆心O，请你添加一个条件，使弦CD与EF相等。

9、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,

分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBF

10、如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.

11、如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD求弦AC的长.

1、如图1,A、B、C为⊙O

上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

(1) (2) (3) (5) 2、如图2,AB是⊙O的直径, BCBD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.

3、如图3,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 4、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°

5、如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°

6、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，BC＝4cm。（1）求证：AC⊥OD。（2）求OD的长。（3）若

7、如图M、N为AB、CD的中点

,且AB=CD. 求证：∠AMN＝∠CNM

，求⊙O的直径。

8、如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧BC=弧

BD 试比较线段PC、PD的大小关系.

9、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C （1）求证：CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM= 2/3，求⊙O的直径．