1997年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
2（ ）
）
3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（ ）
，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣
4．（4
分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=
5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（ ）
7
．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的
8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表9．（4分）曲线的参数方程是
（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
211．
（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ）
） 13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）； ④f （a ）﹣f （﹣b
）＜g （b ）﹣g （﹣a ）， 14．（
5分）不等式组
的解集是（ ）
则不同的取法共有（ ） 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知
17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是
_________ ．
18．（4分）
的值为
，则极点到该直线的距
的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为 _________ ．
19．（4分）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行于α内所有的直线；③若m ⊊α，l ⊊β且l ⊥m ，则α⊥β；④若l ⊊β且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊊α，l ⊊β且α∥β，则l ∥m ．其中正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（10
分）已知复数
，
．复数
，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别为P ，
Q ．
证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）． 21．（11分）已知数列{an }，{bn }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中p ＞q ，且p≠1，q≠1．设c n =an +bn ，S n 为数列{cn }的前n 项和．求
．
22．（12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）证明AD ⊥D 1F ；
（2）求AE 与D 1F 所成的角．
24．（12分）设二次函数f （x ）=ax2+bx+c（a ＞0），方程f （x ）﹣x=0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜．
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1； （2）设函数f （x ）的图象关于直线x=x0对称，证明x 0＜
．
25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离最小的圆的方程．
1997年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
2（ ）
）
）在一个周期内的图象是（ ）
3．（4分）函数y=tan（
4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=
，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣
）+cos2x的最小正周期是（ ）
5．（4分）函数y=sin（
7
．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的
8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表
9．（4分）曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
2
11．（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ）
）
13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）
； ④f （a ）﹣f （﹣b ）＜g （b ）﹣g （﹣a ），
14．（5分）不等式组的解集是（ ）
则不同的取法共有（ ）
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为 4 ．
，则极点到该直线的距
17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是
．
18．（4分）的值为
19．（4分）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行于α内所有的直线；③若m ⊊α，l ⊊β且l ⊥m ，则α⊥β；④若l ⊊β且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊊α，l ⊊β且α∥β，则l ∥m ．其中正确命题的序号是 ①④ ．
三、解答题（共6小题，满分69分）
20．（10
分）已知复数，
．复数
，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别为P ，
Q ．
证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）．
21．（11分）已知数列{an }，{bn }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中p ＞q ，且p≠1，q≠1．设c n =an +bn ，S n 为数列{cn }的前n 项和．求．
22．（12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
23．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）证明AD ⊥D 1F ；
（2）求AE 与D 1F 所成的角．
24．（12分）设二次函数f （x ）=ax2+bx+c（a ＞0），方程f （x ）﹣x=0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜．
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1； （2）设函数f （x ）的图象关于直线x=x0对称，证明x 0＜．
25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离最小的圆的方程．
1997年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
2（ ）
）
3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（ ）
，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣
4．（4
分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=
5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（ ）
7
．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的
8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表9．（4分）曲线的参数方程是
（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
211．
（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ）
） 13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）； ④f （a ）﹣f （﹣b
）＜g （b ）﹣g （﹣a ）， 14．（
5分）不等式组
的解集是（ ）
则不同的取法共有（ ） 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知
17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是
_________ ．
18．（4分）
的值为
，则极点到该直线的距
的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为 _________ ．
19．（4分）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行于α内所有的直线；③若m ⊊α，l ⊊β且l ⊥m ，则α⊥β；④若l ⊊β且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊊α，l ⊊β且α∥β，则l ∥m ．其中正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（10
分）已知复数
，
．复数
，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别为P ，
Q ．
证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）． 21．（11分）已知数列{an }，{bn }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中p ＞q ，且p≠1，q≠1．设c n =an +bn ，S n 为数列{cn }的前n 项和．求
．
22．（12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）证明AD ⊥D 1F ；
（2）求AE 与D 1F 所成的角．
24．（12分）设二次函数f （x ）=ax2+bx+c（a ＞0），方程f （x ）﹣x=0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜．
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1； （2）设函数f （x ）的图象关于直线x=x0对称，证明x 0＜
．
25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离最小的圆的方程．
1997年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
2（ ）
）
）在一个周期内的图象是（ ）
3．（4分）函数y=tan（
4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=
，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣
）+cos2x的最小正周期是（ ）
5．（4分）函数y=sin（
7
．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的
8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表
9．（4分）曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）
2
11．（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ）
）
13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）
； ④f （a ）﹣f （﹣b ）＜g （b ）﹣g （﹣a ），
14．（5分）不等式组的解集是（ ）
则不同的取法共有（ ）
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为 4 ．
，则极点到该直线的距
17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是
．
18．（4分）的值为
19．（4分）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行于α内所有的直线；③若m ⊊α，l ⊊β且l ⊥m ，则α⊥β；④若l ⊊β且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊊α，l ⊊β且α∥β，则l ∥m ．其中正确命题的序号是 ①④ ．
三、解答题（共6小题，满分69分）
20．（10
分）已知复数，
．复数
，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别为P ，
Q ．
证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）．
21．（11分）已知数列{an }，{bn }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中p ＞q ，且p≠1，q≠1．设c n =an +bn ，S n 为数列{cn }的前n 项和．求．
22．（12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
23．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）证明AD ⊥D 1F ；
（2）求AE 与D 1F 所成的角．
24．（12分）设二次函数f （x ）=ax2+bx+c（a ＞0），方程f （x ）﹣x=0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜．
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1； （2）设函数f （x ）的图象关于直线x=x0对称，证明x 0＜．
25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离最小的圆的方程．