三角形重心性质定理
1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
证法1：（根据课本上的提示证明）
取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。
∵G是BF的中点，D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=
由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF FC
∴AG=FC，即GD=AG
点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，
D是斜边AB的中点，∴CD=AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG=CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=CG=2（cm）
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
又AD是△ABC的中线
S△ABC=2 S△ABD=30。
练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为 。
三角形重心性质定理
1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
证法1：（根据课本上的提示证明）
取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。
∵G是BF的中点，D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=
由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF FC
∴AG=FC，即GD=AG
点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，
D是斜边AB的中点，∴CD=AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG=CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=CG=2（cm）
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
又AD是△ABC的中线
S△ABC=2 S△ABD=30。
练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为 。