弹性动 力 中学哈密 顿 原 理 尔 拉 和格朗 日方 的程推
陈导树
勋
(基础 部 )
摘要
:
本文 弹从 性 力 学的 基本 方 程出发
,
。
,
对弹 动力 学性 中虚 功 的原 理。
、
密 尔
哈顿
原 理和拉 朗格 日程方
给
了出 严格的 明
证 些这 本 基 理原
,
各是种近 似 法方
的理 论 基 础
关健饲:
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拉格 朗日 数 ( 函L
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i)
引
言
,
若 干在结 沟 力动 学和 机 械 振动 的 作著
在 中 通过 广 义坐 标 法或有 限 单元 法 将 性弹系
,
离统散 之化后
值,
,
就
应用 哈密 尔顿 原理 建 立 征特方程
以 求
各 阶固 有频率 和 主 振型 近的
似,
或
者 应 用 拉格 朗日 方程 立建关于 广 义 坐 标 微 的分方程 ,
。以求 系 的 统态 响动应
,
。
此在
之
前。
通 是常从 质 点 出系 发 推来 导 哈密尔 顿 原 理 和拉 格 朗 日方 程
然
把后它 接直推 广应
用 , 于性弹体
但是,
。
,
质点 和系 弹性 体学力模 型 是 不同
的。
,
而 且
有些 量 具 有 同不 的 物理 含但 步骤
义
样这处 理
在 恐力学 原 理 的 严格性 上 所 有 不足
有 些
著作 虽 做 了部 分 证 明
简过 欠 完 或整
文 直本接 从弹 性体 出 发
。,
对
弹 性力动 学 中的 哈 密 顿尔 原 理 拉格和 朗 日
方程
给予 较 严格的 证 明
弹性 动 力 学 中 的虚功 原 理弹性 动 力 中的 学虚功 原 理 ,
可 以 从弹性 静 力 学中 虚的功 原 理加 以 推 广而得 到 。
。
下面
先 首推 导 性静 弹力 学中 的 虚 原 功
弹 性 体理 外在 力 包 ( 体括积 力和 表 面 力 )作 下 用处 于 平衡状 态
弹, 性 体 出内 现一 个 应
场 和应 力变 场
。
与此 相 应
,
弹 性 体 具 有 应的变能 U 等 于
弹
动 性力 学 哈中 密尔 原 顿 理和 拉 朗 格日方 程 推 导的\ u
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,
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物设 在体平 状衡 下态任 一
的点位移 成为 u ,
各: 实点际 发 生 位 的移为
,
u
,
v,
w
。
现
在设 假这些 位 移 量 分
发
, 生了为 位移 边 界 条 件 所容许 的微 小 改变
即 谓所虚 位移 或 位 移 变分 佃
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v
,
6
w
,
则
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u
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v ,
=
v
+
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w=+ w
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由 于
虚 移位是 极 其微 小的
故 认 为在 虚位 移过 程中
。
外力 的 小 和大 问方保 持 不 变
。
,
同
时 弹性
体应的 力状态 保 持不 变
另
外
,
此
:
过 程 不也 需 时 间
与 要上述 位 虚 移 对相 应 的应虚变 为
。。二
二
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”
”
二
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·
……
(
3)
6U 称 为 虚 应 能变
在。发 生虚 位 移 时 所 的 功做为
: 因 外 为力已 作 用在 物 体上
,
而
且保 持 变不
,
所
以 外力在 位 虚移上
“
w
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中
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,
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S
X,。
Y
z
—
N
是
单 位体 的积体积 力分 量
;
;
是 物在体 表 面 上 外 载 荷 应 分 量
力:
则 ,在虚 位移 过
中程
,
外
力 虚 在 移位上所 的做虚 功等 于 弹 性体 所 接受的 虚 应 能变6
U
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山工程 技 术学院 学
证报
年明
第
期
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·
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·
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对 上 式左 端前 几 中的项每 项一 进行 分部积 分
并
应用 一 奥高公 式
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·
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,
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n
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二
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端左第 一个 面分积的 分积域
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,
S
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所
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二
二
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二
2
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故 第 一 个
积 分 积 的 域分 由 可S改 为
:
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位移 已 知 边 界
。
2
为 因在5上
注
(
)
2和
性弹力 学中的 力 应边 条界
件
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_
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一3第 期
面上的推 导 程 过 明
说 从平 衡程 方和 应边力界条 件 可以 导推出 虚 功原 理
。。
颠 倒 上述,
推
过导
程
,
可以 从 虚 功原 理推导 出 平 方衡程 和 力 边应界条 件,
从这 个 意义上说
。功虚
原理 与平 衡方 程 和应力 边 界 条 件等价 将上 的面 功虚 原加理以 推 广
得 到就 弹 性 力动 学中 的功 虚 原理
在力动学 题 中问
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,
平 衡 方
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然后 行 进积分并相 加
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和 面 完前全 样 一为
:对上式 左端 几前项 都 进行 分 积部分 并应 用 一 高公 奥式
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性动 学 中哈力密 尔 顿理原 和 拉格 日朗方程 的 导推
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·
式
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·
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·是
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功弹性 动力 学 中 的 哈 密尔 顿 原
若 理 作 于 弹用性体 外 力为 的 势有 力
则 定 义 外 势力能V 为v
二
一
,
并 :假 外定 在
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·
·
…
…
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体
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十
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称 为 拉格 朗 日 (设在 时
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,。
L
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) 函 数
是 弹它性 体 动 能与 势总能 (
;U
V
)
之B
。
差。
弹
体 所性 处的运 动态状为 A
:,
在
瞬时
t
:
, 动运 态 状为
A
,
B
两状态
给定为
哈 密
尔顿 原 理可表 述 为
在a满
足
位 移 界条 件边的 情 下
在 所况 由有 状 态 到状A态 B 的 可 能 运 中
动,
弹
体 的性
实真 运动使 哈密 尔 顿 (H
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)作用 泛量 函 H
’
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、 山唐土 疲 术 寝 学 学院 报
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第3期
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明 证1 弹把 性动力 中学的 虚 功 理原( 1 )到
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对 时 间
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若 弹性 体 所 承 受 的外 力 部全为 有势
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式
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是 性 体 承 弹受的 力 为 外有 势 力时 哈 尔 密顿 理 原 的 表 达
式
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19承
。)
的
力外包 括 部 分 势 有 力和部 非分有势 时 力 是 部全 外力所 做 的虚 功
哈密 顿 尔原 理的 形
式 为 式(
其 中 W6
弹 性 体
的拉格 日 朗方程 应
用 密哈 尔顿 原 解理决 弹 动性力 学 问的 有题两 个 途
。径
一
是 所 谓个
“
间 法接
,”
就是列
欧 出方拉 程 (它 是 泛 困 取得值极的 必要 条 件
),
这
样 可就 以导 出弹 性 的体 运 动 分
微
,程方
。
直
接 法” 另 个一途 径是 所谓气
。
,
即
过 通 设 近 似假
解
把 泛 函的极 值 问题 化 转为多
,
元
函数 极的 值问 题
过 假 设近 解
,
似一
个弹 系统性经 过 适 的 简当 化 (例 如 义广坐标 或 法有限 单 元 ) 法将 其离 化散
再
通把 位
移 函
。数。
u
,v
,
w
表
广示义坐 标 的数
函
此 ,时 利再 用接间 法
,
,
欧则
方拉程 化 为格 拉 朗日 方 程义 坐标 常的 微 方 程分
必须 出
,指
拉 朗 日 方 格 不程再 是 关于位 移 数 函 偏的微 分 方 程 。
而是关于广
密哈尔 原顿理 欧 和拉方 代程表 同一 个物 理 问题
·,
所
以当假 设 了近 似 解 以。 。
后
,
用应 性 弹 体的 格 朗 日 方拉程 与变 分 原理的 直 接 下 面从 弹 法 性 体哈密的尔顿 原
理
,有相 同 效 的果
推 导 弹性体 的拉格 朗日 方
:
,程
设 近
似 解 为u ;
,· ·
=
·=,
; uvu ;
(
,
,x
y
,
2
;
。
q
L,
q
…
:,
q
,;
Z
,
t
)
(
i
,
=
l
。
,
2,
3)
·
·
·…
,…
(
2 1
。
)式中
u
,
=u
u :
,
2
u:
=
=
w
1
.
其 q
中2
,
q
…
…
为 时q 间的函数
。 称 广 义 坐标为
而且在 边
界5
上
(
i
:3 )
满足 位 移
边 界 条 件
) 据 式 (根 1
2肴
二
n
呼
0
[
夕
丝 李 占妙
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、、
(
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2
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.
.
·
……
,
·
.
o…
k
=
q
ok t
2
(
T则
)
1
将式
( 2 0 ) 和 (22 ) 代 入动 能 和 势能 表 达 式 ( 1 3 ) 和 (1 中
)
为:
,
U和 的形 式
丁
二 f ( “
’
,y
,
:
;
q
:
,
q:
,
…
q
,
。
;
Jc
;
,
Zq,
…
,
。
〔一
;
t
)
( 3)
U2
=U
(
x
,
y
,
:
;
q
: ,l
〔
:!
,
…,
〔i
。
;
) t
2 4)
(于 式 (
1是 )
9左端 一第项 可 表
为唐
山工 程 技术 学 院 学 报
t
一
一
年
第 期3
“
,
一=
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1
t
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k
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(t 2)5
应用 分 积部分 公 式
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k
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在 上述推证 中
19 ) 式
(,
( 片
应 注去 意
到
,)
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·
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由
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……
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26)
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k’
k
=
1、
第
三 项可 表
为。
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W
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1
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U
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u.
声 、
,
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q
k
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心
k
(
2 7)
式
中
:
P
;
二
X
,
P
:
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“
P
,3
“Z
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丁
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,
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+
。
,
艺
下
ǎ一 通八 d O一 U
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U
S
k(
=
1,2
,
…,
n
)
Q、 为广称义 力
。
式 将 2(5)
(6 2)
(
2 7 代)回式
.
( 19
)
,得出
性弹动 力 中学 哈密尔 顿原 理 和 格拉 朗日 方 程 的推导
,)瓮 器 创 去 {( +
登k=
二
一
一
kQ
1
。 从
盆 卜}
:
,
因今 为所 有 的分变 如
k
k
(=
1
,
2
,
一
),n
是都独 立 的
,
一所以到得`
~
异资
卜 盆
器 月U
k+
L
Q
(k
2 ·
,
一
n
)
( 29一
)
()8 2
或成写
:
(
典q己
)
一6
T
0耳
.
一
十q
一
己
U`
~
=
一
一叼
0
飞(
这 就 弹是性 的体拉 格朗 日 方 程它 与 质 点 的系拉 格朗 日 程方 形 式上 虽 相 同但力 学 意 义
,
不
。
同
。
式在( 2 9 )中
。
,
u
为 弹
性 体的应 变能
Q, 是、 全部 外 力( 包 括 有势 力和 非有势 力 )
对
应 的广 力
义
参
〔l 〕 清 大学 工 程 力 华学系 编 2 〕季 〔文美 〔3 〕RW
. .
..
考
文
献
1
9 08
机 械 振 动( 上 册 ) 机械工业 出版
方
同
陈
松 淇 著
J彭 津著
.
械 机动振
学 科版 社出王 光
远 译等
1
985
克 夫
拉
结构动力 学
科
出学版社 1 89
3。
〔4 〕 J S 普 齐尼米斯 基 著
矩阵 结构 析分 理
国 防论工业 出 版 社
王 德荣 译 校 等亮老
1
9 5
7
〔5 〕 鹜津 久 一 郎 著
弹
性 塑和性 学 力中的 变分法
松 郝 林译
科 出学 社版 19 84
6 〕 王 〔光 远编
〔 著7〕 J
l
应. 分 析用 力 学动
人
教 育民 出版社
世李 晋译
198
19
.
艾利 斯哥 尔 兹
变分著
法人
民教 育出版 社 19 8
5〔 〕钱 伟长 著
变 8分 法有及限 元讲 义19
78
东 工山学 院印 共三(册 )
De
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t
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s
弹性动 力 中学哈密 顿 原 理 尔 拉 和格朗 日方 的程推
陈导树
勋
(基础 部 )
摘要
:
本文 弹从 性 力 学的 基本 方 程出发
,
。
,
对弹 动力 学性 中虚 功 的原 理。
、
密 尔
哈顿
原 理和拉 朗格 日程方
给
了出 严格的 明
证 些这 本 基 理原
,
各是种近 似 法方
的理 论 基 础
关健饲:
变 (分V
函泛 f(
ar
1 at o1t
n
l)
m )i lt
n
u
ne
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o
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o
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m
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n
i
n
t u
d
e)
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(
E
ua
g
a
l
ge
e
f
o n
n c
u
iot
)
l
re
q
ua
t
i)
引
言
,
若 干在结 沟 力动 学和 机 械 振动 的 作著
在 中 通过 广 义坐 标 法或有 限 单元 法 将 性弹系
,
离统散 之化后
值,
,
就
应用 哈密 尔顿 原理 建 立 征特方程
以 求
各 阶固 有频率 和 主 振型 近的
似,
或
者 应 用 拉格 朗日 方程 立建关于 广 义 坐 标 微 的分方程 ,
。以求 系 的 统态 响动应
,
。
此在
之
前。
通 是常从 质 点 出系 发 推来 导 哈密尔 顿 原 理 和拉 格 朗 日方 程
然
把后它 接直推 广应
用 , 于性弹体
但是,
。
,
质点 和系 弹性 体学力模 型 是 不同
的。
,
而 且
有些 量 具 有 同不 的 物理 含但 步骤
义
样这处 理
在 恐力学 原 理 的 严格性 上 所 有 不足
有 些
著作 虽 做 了部 分 证 明
简过 欠 完 或整
文 直本接 从弹 性体 出 发
。,
对
弹 性力动 学 中的 哈 密 顿尔 原 理 拉格和 朗 日
方程
给予 较 严格的 证 明
弹性 动 力 学 中 的虚功 原 理弹性 动 力 中的 学虚功 原 理 ,
可 以 从弹性 静 力 学中 虚的功 原 理加 以 推 广而得 到 。
。
下面
先 首推 导 性静 弹力 学中 的 虚 原 功
弹 性 体理 外在 力 包 ( 体括积 力和 表 面 力 )作 下 用处 于 平衡状 态
弹, 性 体 出内 现一 个 应
场 和应 力变 场
。
与此 相 应
,
弹 性 体 具 有 应的变能 U 等 于
弹
动 性力 学 哈中 密尔 原 顿 理和 拉 朗 格日方 程 推 导的\ u
一 {
I士
,
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a
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+
一
+
一
,
二
+
…丫一
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二
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l()
物设 在体平 状衡 下态任 一
的点位移 成为 u ,
各: 实点际 发 生 位 的移为
,
u
,
v,
w
。
现
在设 假这些 位 移 量 分
发
, 生了为 位移 边 界 条 件 所容许 的微 小 改变
即 谓所虚 位移 或 位 移 变分 佃
6
v
,
6
w
,
则
=
u
占u+,
v ,
=
v
+
6v
w尹
w=+ w
,乙
由 于
虚 移位是 极 其微 小的
故 认 为在 虚位 移过 程中
。
外力 的 小 和大 问方保 持 不 变
。
,
同
时 弹性
体应的 力状态 保 持不 变
另
外
,
此
:
过 程 不也 需 时 间
与 要上述 位 虚 移 对相 应 的应虚变 为
。。二
二
李 0
盖(。u
。)
:
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(
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”
`
”
”
二
·`
·
……
(
3)
6U 称 为 虚 应 能变
在。发 生虚 位 移 时 所 的 功做为
: 因 外 为力已 作 用在 物 体上
,
而
且保 持 变不
,
所
以 外力在 位 虚移上
“
w
=
拼
v
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+
Y
枷十
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+
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`
( 4 )
式
中
:
X
,
YN,
,
N
Z
, 外 载— 作 用 的 荷面域 —虚 功 原 理表 明 设 一个 弹 性 在体 知 体 已 力 和 积表面 力 作的用 下 平 衡
S
X,。
Y
z
—
N
是
单 位体 的积体积 力分 量
;
;
是 物在体 表 面 上 外 载 荷 应 分 量
力:
则 ,在虚 位移 过
中程
,
外
力 虚 在 移位上所 的做虚 功等 于 弹 性体 所 接受的 虚 应 能变6
U
=
··· · ··
·
。
· 即
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年明
第
期
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+
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·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
.
·
,
……
` ,“:
对 上 式左 端前 几 中的项每 项一 进行 分部积 分
并
应用 一 奥高公 式
例
如
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· ·dd y d
一
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尔 顿 理原和 拉 格 朗 方日程 的 推导
…“
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’
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V
·
二·
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“ · , d ·
a,“
·
匆
式 (
6 ) 中的其他 各项都 进行 类 似 的处
理
,:
式则 (6 ) 为
成
(
·
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〔
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O
Z
式中
,
1
,
,
m,
n
是
物 体表面 外 法线的 方 余 问弦
二
。
端左第 一个 面分积的 分积域
,
S
为
体物 的
。;
部全 表
面 到式意
即
S
,
S
;
+5
。
,2
豁
一二
位 被移 定限
所
以在其 上加
6v
一
二
二
:T
应
力 知 已边界
6w
二
2
50
。
故 第 一 个
积 分 积 的 域分 由 可S改 为
:
S一
位移 已 知 边 界
。
2
为 因在5上
注
(
)
2和
性弹力 学中的 力 应边 条界
件
!礴
1、
1 卫 2L
..
1
a
1
二+
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m
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N则
式 ( )7可 写
成I丁
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一·
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_
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年81 ,
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一3第 期
面上的推 导 程 过 明
说 从平 衡程 方和 应边力界条 件 可以 导推出 虚 功原 理
。。
颠 倒 上述,
推
过导
程
,
可以 从 虚 功原 理推导 出 平 方衡程 和 力 边应界条 件,
从这 个 意义上说
。功虚
原理 与平 衡方 程 和应力 边 界 条 件等价 将上 的面 功虚 原加理以 推 广
得 到就 弹 性 力动 学中 的功 虚 原理
在力动学 题 中问
`丛)d
x
,
平 衡 方
程运 动方被程
J 三旦d
y圣
工
竺 旦
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若 理 作 于 弹用性体 外 力为 的 势有 力
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二
一
,
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…
…
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…
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L
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L
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V
)
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在
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t
:
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A
,
B
两状态
给定为
哈 密
尔顿 原 理可表 述 为
在a满
足
位 移 界条 件边的 情 下
在 所况 由有 状 态 到状A态 B 的 可 能 运 中
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弹
体 的性
实真 运动使 哈密 尔 顿 (H
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,
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若 弹性 体 所 承 受 的外 力 部全为 有势
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…
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是 性 体 承 弹受的 力 为 外有 势 力时 哈 尔 密顿 理 原 的 表 达
式
。,
。
当
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19承
。)
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力外包 括 部 分 势 有 力和部 非分有势 时 力 是 部全 外力所 做 的虚 功
哈密 顿 尔原 理的 形
式 为 式(
其 中 W6
弹 性 体
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用 密哈 尔顿 原 解理决 弹 动性力 学 问的 有题两 个 途
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一
是 所 谓个
“
间 法接
,”
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),
这
样 可就 以导 出弹 性 的体 运 动 分
微
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。
直
接 法” 另 个一途 径是 所谓气
。
,
即
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解
把 泛 函的极 值 问题 化 转为多
,
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过 假 设近 解
,
似一
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再
通把 位
移 函
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,v
,
w
表
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函
此 ,时 利再 用接间 法
,
,
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方拉程 化 为格 拉 朗日 方 程义 坐标 常的 微 方 程分
必须 出
,指
拉 朗 日 方 格 不程再 是 关于位 移 数 函 偏的微 分 方 程 。
而是关于广
密哈尔 原顿理 欧 和拉方 代程表 同一 个物 理 问题
·,
所
以当假 设 了近 似 解 以。 。
后
,
用应 性 弹 体的 格 朗 日 方拉程 与变 分 原理的 直 接 下 面从 弹 法 性 体哈密的尔顿 原
理
,有相 同 效 的果
推 导 弹性体 的拉格 朗日 方
:
,程
设 近
似 解 为u ;
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…
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(
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,
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.
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中2
,
q
…
…
为 时q 间的函数
。 称 广 义 坐标为
而且在 边
界5
上
(
i
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边 界 条 件
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(
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:
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…
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…
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,
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…,
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。
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1是 )
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山工 程 技术 学 院 学 报
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第 期3
“
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,
…,
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(
2 7 代)回式
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)
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:
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,
不
。
同
。
式在( 2 9 )中
。
,
u
为 弹
性 体的应 变能
Q, 是、 全部 外 力( 包 括 有势 力和 非有势 力 )
对
应 的广 力
义
参
〔l 〕 清 大学 工 程 力 华学系 编 2 〕季 〔文美 〔3 〕RW
. .
..
考
文
献
1
9 08
机 械 振 动( 上 册 ) 机械工业 出版
方
同
陈
松 淇 著
J彭 津著
.
械 机动振
学 科版 社出王 光
远 译等
1
985
克 夫
拉
结构动力 学
科
出学版社 1 89
3。
〔4 〕 J S 普 齐尼米斯 基 著
矩阵 结构 析分 理
国 防论工业 出 版 社
王 德荣 译 校 等亮老
1
9 5
7
〔5 〕 鹜津 久 一 郎 著
弹
性 塑和性 学 力中的 变分法
松 郝 林译
科 出学 社版 19 84
6 〕 王 〔光 远编
〔 著7〕 J
l
应. 分 析用 力 学动
人
教 育民 出版社
世李 晋译
198
19
.
艾利 斯哥 尔 兹
变分著
法人
民教 育出版 社 19 8
5〔 〕钱 伟长 著
变 8分 法有及限 元讲 义19
78
东 工山学 院印 共三(册 )
De
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