一、二次函数中的最值问题：
例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt ⊿AOB 与Rt A’OC ’如图放置，点B 、C ’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A ’ C’相交于D, 若⊿A ’OC ’绕点O 旋转90°至⊿AOC ，如图所示（1）若抛物线过C 、 A 、A ’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴ y=-x2+2x+3
（2）、若点P 是第一象限内抛物线线上的一动点，问P 在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是
多少？并求出此时的点P 的坐标。
（3）、设抛物线的顶点为N, 在抛物线上是否存在点P, 使△ A ’AN 与△ A ’AP 的面积相等?, 若存在, 请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax+bx+c，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A ．E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．
2
解答：解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt △OCD 中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A （﹣2，0）、B （﹣5，4）、C （0，4）、D （3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x ﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣；
∴抛物线：y=﹣x +x+4．
（2）由A （﹣2，0）、B （﹣5，4）得直线AB ：y 1=﹣x ﹣；
由（1）得：y 2=﹣x +x+4，则： 22，
解得：，；
由图可知：当y 1＜y 2时，﹣2＜x ＜5．
（3）∵S △APE =AE •h ，
∴当P 到直线AB 的距离最远时，S △ABC 最大；
若设直线L ∥AB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ；
设直线L ：y=﹣x+b，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时， ﹣x+b=﹣x +x+4，且△=0； 2
求得：b=，即直线L ：y=﹣x+；
可得点P （，）．
由（2）得：E （5
，﹣
则点F （），则直线PE ：y=﹣；
×（+）=
．
． x+9； ，0），AF=OA+OF=∴△PAE 的最大值：S △PAE =S△PAF +S△AEF =×综上所述，当P （，）时，△PAE 的面积最大，为
针对训练：
2 1、（2013宜宾）如图，抛物线y 1=x﹣1交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位
得抛物线y 2，两条抛物线相交于点C ．
（1）请直接写出抛物线y 2的解析式；
（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）抛物线y 1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），
2所以，抛物线y 2的解析式为y 2=（x ﹣4）﹣1；
（2）x=0时，y=﹣1，
y=0时，x ﹣1=0，解得x 1=1，x 2=﹣1，
所以，点A （1，0），B （0，﹣1），
∴∠OBA=45°， 22
联立， 解得，
∴点C 的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA ，
∴点P 在点A 的左边时，坐标为（﹣1，0），
在点A 的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）存在．
∵点C （2，3），
∴直线OC 的解析式为y=x ，
设与OC 平行的直线y=x+b， 联立
2， 消掉y 得，2x ﹣19x+30﹣2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC 中OC 边上的高h 有最大值，
此时x 1=x2=×（﹣
此时y=（2）=， ， ﹣4）﹣1=
﹣
∴存在第四象限的点Q （2，﹣），使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值， 此时△=19﹣4×2×（30﹣2b ）=0，
解得b=﹣，
， ∴过点Q 与OC 平行的直线解析式为y=x ﹣
令y=0，则x ﹣=0，解得x=，
，0）， 设直线与x 轴的交点为E ，则E （
过点C 作CD ⊥x 轴于D ，根据勾股定理，OC=则sin ∠COD=解得h 最大=
2、如图，抛物线y =ax -2=， =×=， ． 3x -2(a ≠0) 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为2
(4
, 0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究∆ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求∆MBC 的面积的最大值，并类型一、最值问题：
类型一、最值问题：
（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
2
类型二、探索三角形的存在性。
2例1、（2013•绵阳）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点C 的坐标为（0，﹣2），交x 轴于A 、B 两点，其
中A （﹣1，0），直线l ：x=m（m ＞1）与x 轴交于D ．
（1）求二次函数的解析式和B 的坐标；
（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
类型三、探究二次函数与圆：
（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（﹣1，0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．
1、）（2013•湘西州）如图，已知抛物线y =﹣x +bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； 2
（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
（5）、点M 是抛物线上位于第一象限内的动点，当△BCM 的面积达到最大值时，求点M 的坐标及最大值？
（6）、求△BAC 的外接圆圆心E 点的坐标？
（7）、求证圆E 与直线：y=3x/4+4相切。在该直线上找一点F ，使△BCF 为直角三角形，求F 的坐标？
（8）、l 是过点A 且平行于BC 的直线，在该直线上找一点D ，使A,B,C,D 所在的四边形为平行四边形，求D 的坐标？
（9）、将△BAC 绕点B 顺时针旋转90°得到△BA ′C ′，求点A ′和点C ′的坐标及线段BC 所扫过的区域的面积？
（10）、在x 轴上找一点G ，使△CFG 的周长最小，求G 点坐标及周长最小值？求此时△CFG 的面积？
（11）、在抛物线上找一点H ，使△ABH 的面积=△AOC 的面积. 。求点H 的坐标？
（12）、求抛物线关于直线：x=10,对称的抛物线的解析式？
（13）、N 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点N 作NP ∥AC 交线段BC 于点P ，连接CN ，记△CNP 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的
最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、（2013四川南充，21，8分）如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；
（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标
.
解：（1）把点（b －2，2b 2－5b －1）代入解析式，得
2b 2－5b －1=（b －2）2+b （b －2）－3b +3， ……………1′
解得b =2.
∴抛物线的解析式为y =x 2+2x －3. ……………2′
（2）由x 2+2x －3=0，得x =－3或x=1.
∴A （－3，0）、B （1，0）、C （0，－3）.
抛物线的对称轴是直线x =－1，圆心M 在直线x =－1上. ……………3′
∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .
∴MH =1，BG =2. ……………4′
∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，
即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′
（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .
∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .
若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′
设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：
①AE =AM =，则x=－3，∴E （5－3，0）；
②∵M 在AB 的垂直平分线上，
∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′
③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .
AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解
得x =-77，∴E （-，0）. 44
7，0） ……………4∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（-
8′
求出此时M 点的坐标.
一、二次函数中的最值问题：
例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt ⊿AOB 与Rt A’OC ’如图放置，点B 、C ’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A ’ C’相交于D, 若⊿A ’OC ’绕点O 旋转90°至⊿AOC ，如图所示（1）若抛物线过C 、 A 、A ’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴ y=-x2+2x+3
（2）、若点P 是第一象限内抛物线线上的一动点，问P 在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是
多少？并求出此时的点P 的坐标。
（3）、设抛物线的顶点为N, 在抛物线上是否存在点P, 使△ A ’AN 与△ A ’AP 的面积相等?, 若存在, 请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax+bx+c，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A ．E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．
2
解答：解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt △OCD 中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A （﹣2，0）、B （﹣5，4）、C （0，4）、D （3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x ﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣；
∴抛物线：y=﹣x +x+4．
（2）由A （﹣2，0）、B （﹣5，4）得直线AB ：y 1=﹣x ﹣；
由（1）得：y 2=﹣x +x+4，则： 22，
解得：，；
由图可知：当y 1＜y 2时，﹣2＜x ＜5．
（3）∵S △APE =AE •h ，
∴当P 到直线AB 的距离最远时，S △ABC 最大；
若设直线L ∥AB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ；
设直线L ：y=﹣x+b，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时， ﹣x+b=﹣x +x+4，且△=0； 2
求得：b=，即直线L ：y=﹣x+；
可得点P （，）．
由（2）得：E （5
，﹣
则点F （），则直线PE ：y=﹣；
×（+）=
．
． x+9； ，0），AF=OA+OF=∴△PAE 的最大值：S △PAE =S△PAF +S△AEF =×综上所述，当P （，）时，△PAE 的面积最大，为
针对训练：
2 1、（2013宜宾）如图，抛物线y 1=x﹣1交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位
得抛物线y 2，两条抛物线相交于点C ．
（1）请直接写出抛物线y 2的解析式；
（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）抛物线y 1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），
2所以，抛物线y 2的解析式为y 2=（x ﹣4）﹣1；
（2）x=0时，y=﹣1，
y=0时，x ﹣1=0，解得x 1=1，x 2=﹣1，
所以，点A （1，0），B （0，﹣1），
∴∠OBA=45°， 22
联立， 解得，
∴点C 的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA ，
∴点P 在点A 的左边时，坐标为（﹣1，0），
在点A 的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）存在．
∵点C （2，3），
∴直线OC 的解析式为y=x ，
设与OC 平行的直线y=x+b， 联立
2， 消掉y 得，2x ﹣19x+30﹣2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC 中OC 边上的高h 有最大值，
此时x 1=x2=×（﹣
此时y=（2）=， ， ﹣4）﹣1=
﹣
∴存在第四象限的点Q （2，﹣），使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值， 此时△=19﹣4×2×（30﹣2b ）=0，
解得b=﹣，
， ∴过点Q 与OC 平行的直线解析式为y=x ﹣
令y=0，则x ﹣=0，解得x=，
，0）， 设直线与x 轴的交点为E ，则E （
过点C 作CD ⊥x 轴于D ，根据勾股定理，OC=则sin ∠COD=解得h 最大=
2、如图，抛物线y =ax -2=， =×=， ． 3x -2(a ≠0) 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为2
(4
, 0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究∆ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求∆MBC 的面积的最大值，并类型一、最值问题：
类型一、最值问题：
（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
2
类型二、探索三角形的存在性。
2例1、（2013•绵阳）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点C 的坐标为（0，﹣2），交x 轴于A 、B 两点，其
中A （﹣1，0），直线l ：x=m（m ＞1）与x 轴交于D ．
（1）求二次函数的解析式和B 的坐标；
（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
类型三、探究二次函数与圆：
（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（﹣1，0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．
1、）（2013•湘西州）如图，已知抛物线y =﹣x +bx +4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； 2
（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
（5）、点M 是抛物线上位于第一象限内的动点，当△BCM 的面积达到最大值时，求点M 的坐标及最大值？
（6）、求△BAC 的外接圆圆心E 点的坐标？
（7）、求证圆E 与直线：y=3x/4+4相切。在该直线上找一点F ，使△BCF 为直角三角形，求F 的坐标？
（8）、l 是过点A 且平行于BC 的直线，在该直线上找一点D ，使A,B,C,D 所在的四边形为平行四边形，求D 的坐标？
（9）、将△BAC 绕点B 顺时针旋转90°得到△BA ′C ′，求点A ′和点C ′的坐标及线段BC 所扫过的区域的面积？
（10）、在x 轴上找一点G ，使△CFG 的周长最小，求G 点坐标及周长最小值？求此时△CFG 的面积？
（11）、在抛物线上找一点H ，使△ABH 的面积=△AOC 的面积. 。求点H 的坐标？
（12）、求抛物线关于直线：x=10,对称的抛物线的解析式？
（13）、N 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点N 作NP ∥AC 交线段BC 于点P ，连接CN ，记△CNP 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的
最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、（2013四川南充，21，8分）如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；
（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标
.
解：（1）把点（b －2，2b 2－5b －1）代入解析式，得
2b 2－5b －1=（b －2）2+b （b －2）－3b +3， ……………1′
解得b =2.
∴抛物线的解析式为y =x 2+2x －3. ……………2′
（2）由x 2+2x －3=0，得x =－3或x=1.
∴A （－3，0）、B （1，0）、C （0，－3）.
抛物线的对称轴是直线x =－1，圆心M 在直线x =－1上. ……………3′
∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .
∴MH =1，BG =2. ……………4′
∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，
即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′
（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .
∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .
若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′
设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：
①AE =AM =，则x=－3，∴E （5－3，0）；
②∵M 在AB 的垂直平分线上，
∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′
③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .
AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解
得x =-77，∴E （-，0）. 44
7，0） ……………4∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（-
8′
求出此时M 点的坐标.