有质量的弹簧
放寒假回家，爸爸说要抱我，看看我长重了没有，我故意使劲想让他抱不动，我绷紧肌肉爸爸费了好大力量也没抱起我。“不要使劲，”爸爸说，“使劲我怎么抱得动！”我不想继续难为他，便放松了肌肉，他果然轻松的举起了我，“还要多锻炼呀！太轻了！”爸爸对我说。 突然，脑中忽然闪过那个词，使劲？我使得可是内力呀！为什么内力让自己显得更重了？于是便有了以下这些思考：
1． 有质量的弹簧
为了解决以上的问题，由于人体有弹性，不妨将人体看成一个有质量的弹簧，肌肉的收缩改变弹簧的倔系数。下面我们的讨论对象就是这个有长度有质量的弹簧。当我研究它时，发现这个由人体抽象而来的模型有很多很复杂的性质。
2． 质心的位置
设弹簧的原长为L ，质量为M ，倔强系数为K ，立于地面上，高为h ，线密度为p 是x 的函数，下面计算质心离顶端的高度d 。
考虑微元dm ，它上面的弹簧共重mg ，
则有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm a M
两边积分dx =
0⎰mg dm ，其中a 为弹簧在重力作用下收缩的长度。 ⎰kM 0
得到，a=Mg 2k
Mg ，因为此时的k 注：这里的计算不能对整个弹簧使用胡克定律，aK=Mg,从而得到a=
弹簧各个部位的压缩状况是不同的了！
M pdx K (L -dx ) , 即 g⎰pdx =KL-MK/p 又g ⎰pdx =pdx M 00
两边对x 求导：gp=
所以x x MK MKdp p 0，解此微分方程得到：p=, 其中p0=M/L. 22MK -2gp 0x p dx 心离顶端的高度质
1d=M l -a ⎰0xpdx =MK 3/2222((MK ) -MK MK -2g (L -a ) p 0-g (L -a ) p 0MK -2g (L -a ) p 0) ， 233g p 0M
其中a=Mg ，p0=M/L. 2k
容易看到当k 趋向无穷大时，d=L/2，此时弹簧可看作刚体，质心当然是在重点！求导后容易发现d/l（l=L-a），随着K 的增大减小，其实从p 的表达式可以直接观察到这一点，
因为当K 小时，p 随x 的增加变化快，相反当k 很大时，p 随x 的增加增加的较慢，故质心将更接近中点！
3． 举起有质量的弹簧
如图，设用恒力f 向上提弹簧的顶端，当底端刚好离开地面时弹簧的动能为零。弹簧举起前后的高度分别是h1和h2，故
f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分别是（2），（1）中弹簧的弹性势能，若用小于Mg 的力f, 去拉弹簧，则它将先做向上的加速度不断减小的加速运动，只到加速度变为向下，继续向上做减速运动，当底端脱离的瞬间速度为零，此时加速度仍向下，故（2）中弹簧的
‘Mg ‘拉伸长度a= ，其中g
所以f
回到本文开头提出的问题，当肌肉绷紧时近似将人体看作刚体，举起刚体的力显然是Mg, 但当肌肉松弛下来，将人体看作一个有质量的弹簧举起它所需要的力就大大减小了！
4． 几个问题
当我重新思考质量不能忽略的弹簧时，发现很多问题中如果考虑它将变得异常复杂，而有时弹簧的质量是确实不能忽略的。
（1） 能量的传递问题
曾经不止一次的碰到这样的物理模型，一个轻质弹簧连接一个小球，在光滑的
水平面上，将自己储存的弹性势能传递给小球使之获得动能，通常我们当然认为弹簧与物体脱离后无动能，能量完全传递给了物体，但如果考虑弹簧的质量情况就大不一样了
！
图（1）是不考虑弹簧质量的情况。图（2）中我们假设物体和弹簧的质量都是
M ，弹簧原长L ，倔强系数K ，我们将其看成两段长为L/2的轻质弹簧之间连着一个质量为M 的小球，不妨设物体的质量也为M 。对小球和物体列运动方程：
设小球，物体偏离平衡位置的长度分别为，x1,x2，弹簧本来压缩2A 。
M x 1=-2Kx 1, M x 2=2K (x 1-x 2) ;
解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=.. .. 2K 。物体与小球之间的距离x=Acoswt; M
12M （Aw ）， 2当wt=π/2时，物体与弹簧分离，而此时小球有速度Aw ，故具有动能E=
物体此时的动能为E0=12M （2Aw ），故仅有五分之四能量传递给了物体！小球随后做角2
频率为K 的简谐振动。容易发现采用（2）的假设，物体从开始运动到分离将经过更长M
的时间！
但是（2）的假设是很不精确的，真正准确的假设是应该将弹簧是为N 个质量为M/N的小球，之间连有倔强系数为N*K的轻质弹簧，然后考虑N 趋向无穷的极限情况。原则上通过微分方程组的求解可以求到具体的运动情况，但这种运动无疑将是十分复杂的由于数学知识有限本人在此无法给出一个解答。
（2） 简振模
以上的第二种假设实际上引出了一个更复杂更深刻的问题，那便是多自由度的振动！以下是作者的一些猜测与疑惑：
在图（1），（2）中N 个质量为m 的小球被弹簧（倔强系数k ）连接起来，分别挂在两面墙之间，和约束在一个球体上。由振动知识，当初始条件合适时，它们有N 个简振频率，可以做N 总不同模式的振动，当N 趋向无穷时，它们的角频率频谱是连续的从0到2w0的，其中w0=m ，若将有质量的弹簧抽象成无穷多个小球串上轻弹簧，是否意味着弹簧再一定初k
始条件下可以以某种模式振动，若可以考虑到m=M/N，k=K*N，w0将趋向无穷，那么它的角
频率将是可以趋向无穷的，这可能吗？
5． 总结
弹簧是一个质量连续分布的固体，讨论它的运动状态和内部应力需要更多的物理和数学知识，由于水平所限以上的很多推理不免有谬误。但有一点是很清楚的，那就是当考虑弹簧的质量时简单的问题变的不简单了。物理学习不正是这样一个不断提问，不断改进假设，不断深入学习的过程吗？
参考文献：1。《力学》杨维鸿
2．《物理学难题集》 舒幼生等
3．《新概念力学》赵凯华等
4．《新概念力学十讲》赵凯华等
PB04203197物理一班 胡凌志
有质量的弹簧
放寒假回家，爸爸说要抱我，看看我长重了没有，我故意使劲想让他抱不动，我绷紧肌肉爸爸费了好大力量也没抱起我。“不要使劲，”爸爸说，“使劲我怎么抱得动！”我不想继续难为他，便放松了肌肉，他果然轻松的举起了我，“还要多锻炼呀！太轻了！”爸爸对我说。 突然，脑中忽然闪过那个词，使劲？我使得可是内力呀！为什么内力让自己显得更重了？于是便有了以下这些思考：
1． 有质量的弹簧
为了解决以上的问题，由于人体有弹性，不妨将人体看成一个有质量的弹簧，肌肉的收缩改变弹簧的倔系数。下面我们的讨论对象就是这个有长度有质量的弹簧。当我研究它时，发现这个由人体抽象而来的模型有很多很复杂的性质。
2． 质心的位置
设弹簧的原长为L ，质量为M ，倔强系数为K ，立于地面上，高为h ，线密度为p 是x 的函数，下面计算质心离顶端的高度d 。
考虑微元dm ，它上面的弹簧共重mg ，
则有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm a M
两边积分dx =
0⎰mg dm ，其中a 为弹簧在重力作用下收缩的长度。 ⎰kM 0
得到，a=Mg 2k
Mg ，因为此时的k 注：这里的计算不能对整个弹簧使用胡克定律，aK=Mg,从而得到a=
弹簧各个部位的压缩状况是不同的了！
M pdx K (L -dx ) , 即 g⎰pdx =KL-MK/p 又g ⎰pdx =pdx M 00
两边对x 求导：gp=
所以x x MK MKdp p 0，解此微分方程得到：p=, 其中p0=M/L. 22MK -2gp 0x p dx 心离顶端的高度质
1d=M l -a ⎰0xpdx =MK 3/2222((MK ) -MK MK -2g (L -a ) p 0-g (L -a ) p 0MK -2g (L -a ) p 0) ， 233g p 0M
其中a=Mg ，p0=M/L. 2k
容易看到当k 趋向无穷大时，d=L/2，此时弹簧可看作刚体，质心当然是在重点！求导后容易发现d/l（l=L-a），随着K 的增大减小，其实从p 的表达式可以直接观察到这一点，
因为当K 小时，p 随x 的增加变化快，相反当k 很大时，p 随x 的增加增加的较慢，故质心将更接近中点！
3． 举起有质量的弹簧
如图，设用恒力f 向上提弹簧的顶端，当底端刚好离开地面时弹簧的动能为零。弹簧举起前后的高度分别是h1和h2，故
f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分别是（2），（1）中弹簧的弹性势能，若用小于Mg 的力f, 去拉弹簧，则它将先做向上的加速度不断减小的加速运动，只到加速度变为向下，继续向上做减速运动，当底端脱离的瞬间速度为零，此时加速度仍向下，故（2）中弹簧的
‘Mg ‘拉伸长度a= ，其中g
所以f
回到本文开头提出的问题，当肌肉绷紧时近似将人体看作刚体，举起刚体的力显然是Mg, 但当肌肉松弛下来，将人体看作一个有质量的弹簧举起它所需要的力就大大减小了！
4． 几个问题
当我重新思考质量不能忽略的弹簧时，发现很多问题中如果考虑它将变得异常复杂，而有时弹簧的质量是确实不能忽略的。
（1） 能量的传递问题
曾经不止一次的碰到这样的物理模型，一个轻质弹簧连接一个小球，在光滑的
水平面上，将自己储存的弹性势能传递给小球使之获得动能，通常我们当然认为弹簧与物体脱离后无动能，能量完全传递给了物体，但如果考虑弹簧的质量情况就大不一样了
！
图（1）是不考虑弹簧质量的情况。图（2）中我们假设物体和弹簧的质量都是
M ，弹簧原长L ，倔强系数K ，我们将其看成两段长为L/2的轻质弹簧之间连着一个质量为M 的小球，不妨设物体的质量也为M 。对小球和物体列运动方程：
设小球，物体偏离平衡位置的长度分别为，x1,x2，弹簧本来压缩2A 。
M x 1=-2Kx 1, M x 2=2K (x 1-x 2) ;
解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=.. .. 2K 。物体与小球之间的距离x=Acoswt; M
12M （Aw ）， 2当wt=π/2时，物体与弹簧分离，而此时小球有速度Aw ，故具有动能E=
物体此时的动能为E0=12M （2Aw ），故仅有五分之四能量传递给了物体！小球随后做角2
频率为K 的简谐振动。容易发现采用（2）的假设，物体从开始运动到分离将经过更长M
的时间！
但是（2）的假设是很不精确的，真正准确的假设是应该将弹簧是为N 个质量为M/N的小球，之间连有倔强系数为N*K的轻质弹簧，然后考虑N 趋向无穷的极限情况。原则上通过微分方程组的求解可以求到具体的运动情况，但这种运动无疑将是十分复杂的由于数学知识有限本人在此无法给出一个解答。
（2） 简振模
以上的第二种假设实际上引出了一个更复杂更深刻的问题，那便是多自由度的振动！以下是作者的一些猜测与疑惑：
在图（1），（2）中N 个质量为m 的小球被弹簧（倔强系数k ）连接起来，分别挂在两面墙之间，和约束在一个球体上。由振动知识，当初始条件合适时，它们有N 个简振频率，可以做N 总不同模式的振动，当N 趋向无穷时，它们的角频率频谱是连续的从0到2w0的，其中w0=m ，若将有质量的弹簧抽象成无穷多个小球串上轻弹簧，是否意味着弹簧再一定初k
始条件下可以以某种模式振动，若可以考虑到m=M/N，k=K*N，w0将趋向无穷，那么它的角
频率将是可以趋向无穷的，这可能吗？
5． 总结
弹簧是一个质量连续分布的固体，讨论它的运动状态和内部应力需要更多的物理和数学知识，由于水平所限以上的很多推理不免有谬误。但有一点是很清楚的，那就是当考虑弹簧的质量时简单的问题变的不简单了。物理学习不正是这样一个不断提问，不断改进假设，不断深入学习的过程吗？
参考文献：1。《力学》杨维鸿
2．《物理学难题集》 舒幼生等
3．《新概念力学》赵凯华等
4．《新概念力学十讲》赵凯华等
PB04203197物理一班 胡凌志