高考物理弹簧类问题专题
高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见. 应引起足够重视.
弹簧类命题突破要点
1. 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力. 当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应. 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.
2. 因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变. 因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.
3. 在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解. 同时要注意弹力做功的特点：W k =-（kx 22-kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值. 弹性势能的公式E p =kx 2，
2
2
2
1
1
1
高考不作定量要求，可作定性讨论. 因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.
下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年，全国) 如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向
上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )
A.m 1g/k 1 B.m2g/k 2 C.m1g/k 2 D.m2g/k 2
此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过
弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m 1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g ／k 2，而m l 刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m 2g ／k 2，因而m 2移动△x ＝(m1 + m 2) ·g ／k 2 - m 2g ／k 2＝m l g ／k 2．
此题若求m l 移动的距离又当如何求解?
参考答案:C
2. S1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >mB , 将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S 1在上，B 在上 C.S 2在上，A 在上 D.S 2在上，B 在上
参考答案:D
3. 一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k 1(大弹簧) 和k 2(小弹簧) 分别为多少?
(参考答案k 1=100N/m k2=200N/m)
4.(2001年上海高考) 如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．
(1)下面是某同学对该题的一种解法：
解 设L 1线上拉力为T l ，L 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡
T l cos θ=mg，T l sin θ=T2，T 2=mgtanθ，
剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度．
因为mgtan θ=ma，所以加速度a=g tan θ，方向在T 2反方向．你认为这个结果正确吗? 清对该解法作出评价并说明理由．
解答：错．因为L 2被剪断的瞬间，L 1上的张力大小发生了变化．此瞬间 T2=mgcosθ， a=gsinθ
(2)若将图中的细线L l 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗? 请说明理由．
解答：对，因为L 2被剪断的瞬间，弹簧L 1的长度未及发生变化，T 1大小和方向都不变．
二、与动力学相关的弹簧问题
5. 如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用) 则M 与m 之间的关系必定为 ( )
A.M>m B.M=m C.M
6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，
则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前) 重物的运动情况是 ( )
A. 一直加速运动 B．匀加速运动
C. 先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．参考答案：
C
7. 如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A 由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是( )
A. 小球加速度方向始终向上 B. 小球加速度方向始终向下 C. 小球加速度方向先向下后向上 D. 小球加速度方向先向上后向下
(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系) 参考答案:C
8. 如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点．今用一小物体m 把弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( )
A. 物体从A 到B 速度越来越大，从B 到C 速度越来越小
B. 物体从A 到B 速度越来越小，从B 到C 加速度不变
C. 物体从A 到B 先加速后减速，从B 一直减速运动 D. 物体在B 点受到的合外力为零
参考答案:C
9. 如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O 点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A 点，然后放手。物体向右运动至C 点而静止，AC 距离为L 。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s 可能为：
A.s=L B.s>L
C.s
(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑) 参考答案:AC
10. A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s2）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值； （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过
程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F 对 木块做的功.
分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的
临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.
解:
当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为
x ，有 kx =（m A +m B ）g
x =（m A +m B ）g /k ①
对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图 对A F +N -m A g =m A a ② 对B kx ′-N -m B g =m B a ′ ③
可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小
F 增大. 当N =0时，F 取得了最大值F m ,
即F m =m A （g +a ）=4.41 N
又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ）
x ′=m B （a +g ）/k ④ AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′） ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J 设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理
W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=1（m A +m B ）v 2
2
⑥
联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J 可知，W F =9.64×10-2
三、与能量相关的弹簧问题
11.(全国.1997) 质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上. 平衡时弹簧的压缩量为x 0，如图所示. 一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连. 它们到达最低点后又向上运动. 已知物块质量为m 时，它们恰能回到O 点. 若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度. 求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.
分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中运用动量守恒定律，机械能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可用Ep 表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变时，弹性势能不变．答案：1x
2
12. 如图，A 、B 、C 三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上. B 、C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展. 物块A 以初速度v 0沿B 、C 连线方向向B 运动，相碰后，A 与B 、C 粘合在一起，然后连接B 、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离，脱离弹簧后C 的速度为v 0. （1）求弹簧所释放的势能ΔE . （2）若更换B 、C 间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，物块C 在脱离弹簧后的速
度为2v 0，则弹簧所释放的势能ΔE ′是多少?
（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v 0，A 的初速度v 应为多大
?
（1）mv 02 （2）
3
1112
m （v -6v 0）2 （3）4v 0
13.. 某宇航员在太空站内做了如下实验：选取两个质量分别为m A =0.1kg、m B =0.20kg的小球A 、B 和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A 粘连，另一端与小球B 接触而不粘连．现使小球A 和B 之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度v 0=0.10m/s做匀速直线运动，如图所示．过一段时间，突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失) ，两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球B 刚刚分离开始计时，经时间t=3．0s 两球之间的距离增加了s=2．7m ，求弹簧被锁定时的弹性势能E 0?
取A 、B 为系统, 由动量守恒得:
( m A +m B )v 0=m A v A +mB v ;VA t+VB t=s
111222
E P +m A +m B ）
V 0=m A v B +m B v B
222
又A 、B 和弹簧构成系统，又动量守恒
解得:E
p
=0. 0275J
14. 如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A 连接在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B 恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N／m ，A 和B 的质量均为2kg 将A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm 后，从静止释放，不计阻力，A 和B
一起做竖直方向的简谐振动，g 取10m/s2
已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹
性势能只决定于其形变的大小．试求： (1)盒子A 的振幅；
(2)盒子A 运动到最高点时，A 对B 的作用力方向； (3)小球B 的最大速度
15. 如图所示，一弹簧振子．物块质量为m ，它与水平
桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状
态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v 1，当弹簧
再次回到原长时物块速度为v 2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．
16. 如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m
的小球，弹簧的劲度系数为k ，小球与水平面之间的摩擦
系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O 点，开始时小球位
于O 点右方的A 点，O 与A 之间的距离为l 0，从静止释放小球。
1．为使小球能通过O 点，而且只能通过O 点一次，试问μ值应在什么范围?
2．在上述条件下，小球在O 点左方的停住点B 点与O 点的最大距离l 1是多少?
分析 1、小球开始时在A 点静止，初始动能为零；弹簧拉长l o ，具有初始弹性势能k l 02/2释放后，小球在弹性力作用下向左运动，克服摩擦力作功，总机械能减小．为
使小球能通过O 点，要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的功μmg l 0，于是可得
出μ值的上限．当小球越过O 点向左运动，又从左方最远点B 往回(即向右) 运动时，为使小球不再越过O 点，要求初始弹性势能k l 02/2小于克服摩擦力作的功μ
mg
（l 0+2l 1），其中l 1是B 点与O 点的距离，于是可得出μ值的下限 即满足1的范围
kl 0
4mg
2mg .
2．设B 点为小球向左运动的最远点，且小球在B 点能够停住，则小球克服力作的功应等于弹性势能的减少．此外，小球在B 点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点B 点与O 点之间的最大距离． l
17. 图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B 相同的滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行．当A 滑过距离L 1时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连．已
知最后A 恰好返回到出发点P 并停止．滑块A
和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程
中弹簧最大形变量为L 2，重力加速度为g 。求
A 从P 点出发时的初速度v 0．
四、振动类问题
18. 如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧某处，此时拉力为F ，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后到达平衡位置O 处，此时振子的速度为v ，则在这过程中，振子的平均速度为
( )
1≤l 03 ．
A. v/2 B. F/（2k t ）
C. v D. F/（k t ）
19. 在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子质量为M ，振动的量大速度为v 0．如图所示，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放在其上，则(1)
要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少
多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?
二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能E P =kx2 ,x
为弹簧相对原长伸长量)
五、应用型问题
20.. 惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹
长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑
块两侧分别与劲度系数为K 的弹簧相连，弹簧处于自然
长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置
是怎样测出物体的加速度的?
[分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a
，
滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x 而相对静止，也具有相同的加速度a ，由牛顿第二定律可知：a ∝F 而F ∝x ，所以a ∝x 。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。
21. “加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A 、B 固定在待测系统上，滑块穿在A 、B 间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A 上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．
巳知：滑块质量为m ，弹簧劲度系数为k ，电源电动势
为E ，内阻为r 、滑动变阻器 的电阻随长度均匀变化，其
总电阻R=4r，有效总长度L ，当待测系统静止时，1、2
两接线柱输出的电压U 0=0．4 E，取A 到B 的方向为正方
向，
(1)确定“加速度计”的测量范围．
(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u ，导出加速度的计算式。
(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I ，导出加速度的计算式。
解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压 u0=E·R 12/（R+r）
由已知条件U 0=0.4E可推知，R 12=2r，此时滑片P 位于变阻器中点，待测系统沿水
平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P 点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：
a 1=kL/2m， a2=-kL/2m
所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m，·L/2m]，
(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P 由中点向左偏移x ，则与电压表并联部分 的电阻 R1=(L/2-x)·4r/L
由闭合电路欧姆定律得： I=E/(R+r)
故电压表的读数为： U=I·R1
根据牛顿第二定律得: k·x ＝m ·a
建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E ·m ），
(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P 由中点向左偏x ，变阻器接入电路的电阻为：
R 2=(L/2+x)·4r/L
由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)
根据牛顿第二定律得: k·x=m·a
联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)
高考物理弹簧类问题专题
高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见. 应引起足够重视.
弹簧类命题突破要点
1. 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力. 当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应. 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.
2. 因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变. 因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.
3. 在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解. 同时要注意弹力做功的特点：W k =-（kx 22-kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值. 弹性势能的公式E p =kx 2，
2
2
2
1
1
1
高考不作定量要求，可作定性讨论. 因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.
下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年，全国) 如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向
上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )
A.m 1g/k 1 B.m2g/k 2 C.m1g/k 2 D.m2g/k 2
此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过
弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m 1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g ／k 2，而m l 刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m 2g ／k 2，因而m 2移动△x ＝(m1 + m 2) ·g ／k 2 - m 2g ／k 2＝m l g ／k 2．
此题若求m l 移动的距离又当如何求解?
参考答案:C
2. S1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >mB , 将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S 1在上，B 在上 C.S 2在上，A 在上 D.S 2在上，B 在上
参考答案:D
3. 一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k 1(大弹簧) 和k 2(小弹簧) 分别为多少?
(参考答案k 1=100N/m k2=200N/m)
4.(2001年上海高考) 如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．
(1)下面是某同学对该题的一种解法：
解 设L 1线上拉力为T l ，L 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡
T l cos θ=mg，T l sin θ=T2，T 2=mgtanθ，
剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度．
因为mgtan θ=ma，所以加速度a=g tan θ，方向在T 2反方向．你认为这个结果正确吗? 清对该解法作出评价并说明理由．
解答：错．因为L 2被剪断的瞬间，L 1上的张力大小发生了变化．此瞬间 T2=mgcosθ， a=gsinθ
(2)若将图中的细线L l 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗? 请说明理由．
解答：对，因为L 2被剪断的瞬间，弹簧L 1的长度未及发生变化，T 1大小和方向都不变．
二、与动力学相关的弹簧问题
5. 如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用) 则M 与m 之间的关系必定为 ( )
A.M>m B.M=m C.M
6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，
则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前) 重物的运动情况是 ( )
A. 一直加速运动 B．匀加速运动
C. 先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．参考答案：
C
7. 如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A 由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是( )
A. 小球加速度方向始终向上 B. 小球加速度方向始终向下 C. 小球加速度方向先向下后向上 D. 小球加速度方向先向上后向下
(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系) 参考答案:C
8. 如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点．今用一小物体m 把弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( )
A. 物体从A 到B 速度越来越大，从B 到C 速度越来越小
B. 物体从A 到B 速度越来越小，从B 到C 加速度不变
C. 物体从A 到B 先加速后减速，从B 一直减速运动 D. 物体在B 点受到的合外力为零
参考答案:C
9. 如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O 点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A 点，然后放手。物体向右运动至C 点而静止，AC 距离为L 。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s 可能为：
A.s=L B.s>L
C.s
(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑) 参考答案:AC
10. A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s2）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值； （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过
程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F 对 木块做的功.
分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的
临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.
解:
当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为
x ，有 kx =（m A +m B ）g
x =（m A +m B ）g /k ①
对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图 对A F +N -m A g =m A a ② 对B kx ′-N -m B g =m B a ′ ③
可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小
F 增大. 当N =0时，F 取得了最大值F m ,
即F m =m A （g +a ）=4.41 N
又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ）
x ′=m B （a +g ）/k ④ AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′） ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J 设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理
W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=1（m A +m B ）v 2
2
⑥
联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J 可知，W F =9.64×10-2
三、与能量相关的弹簧问题
11.(全国.1997) 质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上. 平衡时弹簧的压缩量为x 0，如图所示. 一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连. 它们到达最低点后又向上运动. 已知物块质量为m 时，它们恰能回到O 点. 若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度. 求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.
分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中运用动量守恒定律，机械能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可用Ep 表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变时，弹性势能不变．答案：1x
2
12. 如图，A 、B 、C 三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上. B 、C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展. 物块A 以初速度v 0沿B 、C 连线方向向B 运动，相碰后，A 与B 、C 粘合在一起，然后连接B 、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离，脱离弹簧后C 的速度为v 0. （1）求弹簧所释放的势能ΔE . （2）若更换B 、C 间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，物块C 在脱离弹簧后的速
度为2v 0，则弹簧所释放的势能ΔE ′是多少?
（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v 0，A 的初速度v 应为多大
?
（1）mv 02 （2）
3
1112
m （v -6v 0）2 （3）4v 0
13.. 某宇航员在太空站内做了如下实验：选取两个质量分别为m A =0.1kg、m B =0.20kg的小球A 、B 和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A 粘连，另一端与小球B 接触而不粘连．现使小球A 和B 之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度v 0=0.10m/s做匀速直线运动，如图所示．过一段时间，突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失) ，两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球B 刚刚分离开始计时，经时间t=3．0s 两球之间的距离增加了s=2．7m ，求弹簧被锁定时的弹性势能E 0?
取A 、B 为系统, 由动量守恒得:
( m A +m B )v 0=m A v A +mB v ;VA t+VB t=s
111222
E P +m A +m B ）
V 0=m A v B +m B v B
222
又A 、B 和弹簧构成系统，又动量守恒
解得:E
p
=0. 0275J
14. 如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A 连接在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B 恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N／m ，A 和B 的质量均为2kg 将A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm 后，从静止释放，不计阻力，A 和B
一起做竖直方向的简谐振动，g 取10m/s2
已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹
性势能只决定于其形变的大小．试求： (1)盒子A 的振幅；
(2)盒子A 运动到最高点时，A 对B 的作用力方向； (3)小球B 的最大速度
15. 如图所示，一弹簧振子．物块质量为m ，它与水平
桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状
态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v 1，当弹簧
再次回到原长时物块速度为v 2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．
16. 如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m
的小球，弹簧的劲度系数为k ，小球与水平面之间的摩擦
系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O 点，开始时小球位
于O 点右方的A 点，O 与A 之间的距离为l 0，从静止释放小球。
1．为使小球能通过O 点，而且只能通过O 点一次，试问μ值应在什么范围?
2．在上述条件下，小球在O 点左方的停住点B 点与O 点的最大距离l 1是多少?
分析 1、小球开始时在A 点静止，初始动能为零；弹簧拉长l o ，具有初始弹性势能k l 02/2释放后，小球在弹性力作用下向左运动，克服摩擦力作功，总机械能减小．为
使小球能通过O 点，要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的功μmg l 0，于是可得
出μ值的上限．当小球越过O 点向左运动，又从左方最远点B 往回(即向右) 运动时，为使小球不再越过O 点，要求初始弹性势能k l 02/2小于克服摩擦力作的功μ
mg
（l 0+2l 1），其中l 1是B 点与O 点的距离，于是可得出μ值的下限 即满足1的范围
kl 0
4mg
2mg .
2．设B 点为小球向左运动的最远点，且小球在B 点能够停住，则小球克服力作的功应等于弹性势能的减少．此外，小球在B 点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点B 点与O 点之间的最大距离． l
17. 图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B 相同的滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行．当A 滑过距离L 1时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连．已
知最后A 恰好返回到出发点P 并停止．滑块A
和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程
中弹簧最大形变量为L 2，重力加速度为g 。求
A 从P 点出发时的初速度v 0．
四、振动类问题
18. 如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧某处，此时拉力为F ，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后到达平衡位置O 处，此时振子的速度为v ，则在这过程中，振子的平均速度为
( )
1≤l 03 ．
A. v/2 B. F/（2k t ）
C. v D. F/（k t ）
19. 在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子质量为M ，振动的量大速度为v 0．如图所示，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放在其上，则(1)
要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少
多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?
二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能E P =kx2 ,x
为弹簧相对原长伸长量)
五、应用型问题
20.. 惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹
长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑
块两侧分别与劲度系数为K 的弹簧相连，弹簧处于自然
长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置
是怎样测出物体的加速度的?
[分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a
，
滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x 而相对静止，也具有相同的加速度a ，由牛顿第二定律可知：a ∝F 而F ∝x ，所以a ∝x 。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。
21. “加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A 、B 固定在待测系统上，滑块穿在A 、B 间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A 上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．
巳知：滑块质量为m ，弹簧劲度系数为k ，电源电动势
为E ，内阻为r 、滑动变阻器 的电阻随长度均匀变化，其
总电阻R=4r，有效总长度L ，当待测系统静止时，1、2
两接线柱输出的电压U 0=0．4 E，取A 到B 的方向为正方
向，
(1)确定“加速度计”的测量范围．
(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u ，导出加速度的计算式。
(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I ，导出加速度的计算式。
解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压 u0=E·R 12/（R+r）
由已知条件U 0=0.4E可推知，R 12=2r，此时滑片P 位于变阻器中点，待测系统沿水
平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P 点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：
a 1=kL/2m， a2=-kL/2m
所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m，·L/2m]，
(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P 由中点向左偏移x ，则与电压表并联部分 的电阻 R1=(L/2-x)·4r/L
由闭合电路欧姆定律得： I=E/(R+r)
故电压表的读数为： U=I·R1
根据牛顿第二定律得: k·x ＝m ·a
建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E ·m ），
(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P 由中点向左偏x ，变阻器接入电路的电阻为：
R 2=(L/2+x)·4r/L
由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)
根据牛顿第二定律得: k·x=m·a
联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)