论不确定性原理及应用
作者：杨伟松 方晓葵
来源：《科技创新导报》2011年第22期
摘 要:本论文给出不确定性原理的精确推导,说明不确定性原理是关于量子力学测量问题的一个重要原理,探讨不确定性原理的物理涵义,列举二个应用不确定性原理的例子。 关键词:不确定性原理位置与动量的不确定度关系能量与时间的不确定度关系 中图分类号:O159 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0226-02
1 引言
19世纪末,经典物理大厦已经建成,当时人们基本认为对物理规律的探索已经基本告成,剩下的只是使实验数据更精确。开尔文便是饱含着这种乐观情绪提出物理学晴朗的天空上存在两种乌云的看法。这两朵乌云分别是“以太漂移”假说及紫外灾难,而正是这两朵乌云酝酿出20世纪的物理学革命。
德国物理学家普朗克通过对黑体辐射的研究于1900年提出能量是一份一份的能量子假说,解决了紫外灾难所提出的理论与现实的矛盾。后经爱因斯坦、玻尔等人的发展,形成量子论。利用量子论的光量子、定态、跃迁等概念及原理能够解释微观世界的一些现象,但对于越来越多的新现象,量子论却无法给予满意的解释,如对比氢原子及类氢原子复杂的原子的光谱的解释。
面对量子论的困难,海森堡等人思考通过新的途径来解释微观世界的现象,终于在1925年和1926年海森堡、玻恩和约旦先后发表四篇论文,创建了矩阵力学,标志了理论物理在对微观世界规律的探索上前进了一大步。1926年薛定谔一连发表四篇论文,建立了波动力学,后来又证明矩阵力学与波动力学是互相等价的,于是矩阵力学与波动力学统称为量子力学。
在创建矩阵力学的论文中,海森堡强调任何物理理论只应出现可以观测的物理量,对于没有实验根据的传统概念,例如粒子轨道的概念则必须摒弃。那么量子理论本身决定哪些物理量能被实验观测到呢？海森堡通过对实验的观察和对数据的思考得出结论,即人们无法同时知道一个粒子的坐标和动量,对其中一个物理量的测量必然会对另一个物理量造成影响,对坐标的动量的测量会给出坐标和动量的不确定度,其不确定度满足
上式称为位置—动量不确定度关系。这个关系说明经典物理学中的坐标和动量概念并不完全适用于微观世界中。
互为共轭的物理量之间都具有不确定度关系,如能量—时间不确定度关系,这些统称为海森堡不确定性原理。
2 对不确定性原理物理涵义的探讨
对于不确定性原理物理涵义的理解,有两种不同的观点。一种是以海森堡为代表,认为“不确定关系所讨论的是在量子力学中同时测量几个力学量的精度问题。”是对不确定性原理的传统解释。另一种是由1950年马根瑙(H.Margernau)提出的观点,认为不确定性原理所讨论的是几个物理量的统计涨落所满足得公式,讲的是系统的离散。“此原理从未提出过任一种类的单次测量出现的精确度。”
事实上,不确定性原理中的不确定量既可以是单次测量的精确度,也可以是多次精确测量的统计涨落。
同时测量粒子的一对不对易力学量(如位置、动量等),因粒子具有波粒二象性,所得到的关于粒子不对易力学量的信息必存在精确度问题,且服从不确定性原理。
对于束缚态,在保证粒子不发生跃迁的情况下,可以分别测量粒子的一对不对易力学量,根据所得信息,计算出不对易力学量各自的平均值和统计涨落,且不对易力学量的统计涨落也服从不确定性原理。
例如,对处于一维谐振子势某能级的粒子,分别测量位置和动量的概率分布,计算其平均值和统计涨落,发现位置和动量的统计涨落服从不确定性原理。
用数学形式表示,即设谐振子处于态下,其位置和动量的统计涨落
其中,得到
符合不确定性原理。
从上面探讨来看,不确定性原理中的不确定量在单次测量中指的是同时测量一对不对易力学量的精确度,而在束缚态中也可以指一对不对易力学量的统计涨落,而且不需同时测量这一对不对易力学量。
3 不确定性原理的应用
物理学是一门定量程度很高的学科,它推理性强,逻辑严密,实验测量和理论计算都达到了很高的精度。然而,在某些情况下却需要定性或半定量分析,例如理论物理学家进行详细计算之前,为了选择和建立恰当的物理模型和数学模型,首先进行定性分析或进行某种估算,这样可以粗略知道各参量的大小和各种可能效应的相对重要性,以判断什么是决定现象的主要机制。同样,实验物理学家在着手准备精密的测量之前,为了选择合适的仪器和测量方法,也需要对各个有关物理量先做一番估计。又如在有些时候,我们并不一定需要准确知道某个量,只需大致了解发生现象的物理机制并估算此量。而不确定性原理的应用范围主要就是半定量分析。
3.1 无限深对称方势阱
有一无限深对称方势阱,其阱宽为。易知,该势阱中粒子的平均位置
平均动量
粒子的位置不确定度
根据海森堡不确定性原理
得
粒子的能量
粒子从势阱一侧运动到另一侧的时间
得
满足能量—时间不确定性。
3.2 用不确定性原理算一维谐振子零点能
量子力学零点能的出现可以用不确定性原理来说明,以一维谐振子为例。
一维谐振子势为
因为一维谐振子势是关于的偶函数,所以粒子在一维谐振子势的波函数必为偶函数,即 粒子在一维谐振子势中的平均能量为
位置的平均值和动量的平均值分别为
因为是偶函数,所以被积函数与都为奇函数,故
则
位置与动量的不确定度关系为
为求的最小值,取
取最小值,有
得
则
这正是一维谐振子的零点能。
4 结语
不确定性原理集中表现了微观粒子的波粒二象性,是反映微观粒子运动的基本规律,是量子力学中一条重要的原理,对其深入研究,阐明其丰富的内在意义将有助于我们更正确地认识量子世界。
参考文献
[1] 曾谨言.量子力学教程(第二版)[M]．北京:科学出版社,2008.
[2] 郭奕玲,沈慧君.物理学史(第二版)[M].北京:清华出版社,2005
[3] 朗道.量子力学(非相对论理论)[M].高等教育出版社,2008.
[4] 费恩曼,莱顿,桑兹.费恩曼物理学讲义(第3卷)[M].上海:上海科学技术出版社,2005.
[5] 苏汝铿.量子力学[Ｍ].上海:复旦大学出版社,1997.
[6] 杨桂林,江兴方,柯善哲.近代物理[Ｍ].北京:科学出版社,2008.
[7] [7] Jimmy Wales, Larry Sanger.不确定性原理[ＥＢ/ＯＬ].
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%8D%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E6
%80%A7%E5%8E%9F%E7%90%86，2009—12—29/2010—1—21.
[8] David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[Ｍ].CHINA MACHINE PRESS,2006.
[9] 刘华祥.关于测不准关系[J].长春师院学报,1995(2).
[10] 唐建辉,何维杰.对不确定关系物理基础及物理涵义的探讨[J].邵阳学院学报(自然科学版),2008,5(3).
[11] 刘洪.关于同时测量和不确定性关系之我见[J].陕西教育学院学报,1995,11(2).
论不确定性原理及应用
作者：杨伟松 方晓葵
来源：《科技创新导报》2011年第22期
摘 要:本论文给出不确定性原理的精确推导,说明不确定性原理是关于量子力学测量问题的一个重要原理,探讨不确定性原理的物理涵义,列举二个应用不确定性原理的例子。 关键词:不确定性原理位置与动量的不确定度关系能量与时间的不确定度关系 中图分类号:O159 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0226-02
1 引言
19世纪末,经典物理大厦已经建成,当时人们基本认为对物理规律的探索已经基本告成,剩下的只是使实验数据更精确。开尔文便是饱含着这种乐观情绪提出物理学晴朗的天空上存在两种乌云的看法。这两朵乌云分别是“以太漂移”假说及紫外灾难,而正是这两朵乌云酝酿出20世纪的物理学革命。
德国物理学家普朗克通过对黑体辐射的研究于1900年提出能量是一份一份的能量子假说,解决了紫外灾难所提出的理论与现实的矛盾。后经爱因斯坦、玻尔等人的发展,形成量子论。利用量子论的光量子、定态、跃迁等概念及原理能够解释微观世界的一些现象,但对于越来越多的新现象,量子论却无法给予满意的解释,如对比氢原子及类氢原子复杂的原子的光谱的解释。
面对量子论的困难,海森堡等人思考通过新的途径来解释微观世界的现象,终于在1925年和1926年海森堡、玻恩和约旦先后发表四篇论文,创建了矩阵力学,标志了理论物理在对微观世界规律的探索上前进了一大步。1926年薛定谔一连发表四篇论文,建立了波动力学,后来又证明矩阵力学与波动力学是互相等价的,于是矩阵力学与波动力学统称为量子力学。
在创建矩阵力学的论文中,海森堡强调任何物理理论只应出现可以观测的物理量,对于没有实验根据的传统概念,例如粒子轨道的概念则必须摒弃。那么量子理论本身决定哪些物理量能被实验观测到呢？海森堡通过对实验的观察和对数据的思考得出结论,即人们无法同时知道一个粒子的坐标和动量,对其中一个物理量的测量必然会对另一个物理量造成影响,对坐标的动量的测量会给出坐标和动量的不确定度,其不确定度满足
上式称为位置—动量不确定度关系。这个关系说明经典物理学中的坐标和动量概念并不完全适用于微观世界中。
互为共轭的物理量之间都具有不确定度关系,如能量—时间不确定度关系,这些统称为海森堡不确定性原理。
2 对不确定性原理物理涵义的探讨
对于不确定性原理物理涵义的理解,有两种不同的观点。一种是以海森堡为代表,认为“不确定关系所讨论的是在量子力学中同时测量几个力学量的精度问题。”是对不确定性原理的传统解释。另一种是由1950年马根瑙(H.Margernau)提出的观点,认为不确定性原理所讨论的是几个物理量的统计涨落所满足得公式,讲的是系统的离散。“此原理从未提出过任一种类的单次测量出现的精确度。”
事实上,不确定性原理中的不确定量既可以是单次测量的精确度,也可以是多次精确测量的统计涨落。
同时测量粒子的一对不对易力学量(如位置、动量等),因粒子具有波粒二象性,所得到的关于粒子不对易力学量的信息必存在精确度问题,且服从不确定性原理。
对于束缚态,在保证粒子不发生跃迁的情况下,可以分别测量粒子的一对不对易力学量,根据所得信息,计算出不对易力学量各自的平均值和统计涨落,且不对易力学量的统计涨落也服从不确定性原理。
例如,对处于一维谐振子势某能级的粒子,分别测量位置和动量的概率分布,计算其平均值和统计涨落,发现位置和动量的统计涨落服从不确定性原理。
用数学形式表示,即设谐振子处于态下,其位置和动量的统计涨落
其中,得到
符合不确定性原理。
从上面探讨来看,不确定性原理中的不确定量在单次测量中指的是同时测量一对不对易力学量的精确度,而在束缚态中也可以指一对不对易力学量的统计涨落,而且不需同时测量这一对不对易力学量。
3 不确定性原理的应用
物理学是一门定量程度很高的学科,它推理性强,逻辑严密,实验测量和理论计算都达到了很高的精度。然而,在某些情况下却需要定性或半定量分析,例如理论物理学家进行详细计算之前,为了选择和建立恰当的物理模型和数学模型,首先进行定性分析或进行某种估算,这样可以粗略知道各参量的大小和各种可能效应的相对重要性,以判断什么是决定现象的主要机制。同样,实验物理学家在着手准备精密的测量之前,为了选择合适的仪器和测量方法,也需要对各个有关物理量先做一番估计。又如在有些时候,我们并不一定需要准确知道某个量,只需大致了解发生现象的物理机制并估算此量。而不确定性原理的应用范围主要就是半定量分析。
3.1 无限深对称方势阱
有一无限深对称方势阱,其阱宽为。易知,该势阱中粒子的平均位置
平均动量
粒子的位置不确定度
根据海森堡不确定性原理
得
粒子的能量
粒子从势阱一侧运动到另一侧的时间
得
满足能量—时间不确定性。
3.2 用不确定性原理算一维谐振子零点能
量子力学零点能的出现可以用不确定性原理来说明,以一维谐振子为例。
一维谐振子势为
因为一维谐振子势是关于的偶函数,所以粒子在一维谐振子势的波函数必为偶函数,即 粒子在一维谐振子势中的平均能量为
位置的平均值和动量的平均值分别为
因为是偶函数,所以被积函数与都为奇函数,故
则
位置与动量的不确定度关系为
为求的最小值,取
取最小值,有
得
则
这正是一维谐振子的零点能。
4 结语
不确定性原理集中表现了微观粒子的波粒二象性,是反映微观粒子运动的基本规律,是量子力学中一条重要的原理,对其深入研究,阐明其丰富的内在意义将有助于我们更正确地认识量子世界。
参考文献
[1] 曾谨言.量子力学教程(第二版)[M]．北京:科学出版社,2008.
[2] 郭奕玲,沈慧君.物理学史(第二版)[M].北京:清华出版社,2005
[3] 朗道.量子力学(非相对论理论)[M].高等教育出版社,2008.
[4] 费恩曼,莱顿,桑兹.费恩曼物理学讲义(第3卷)[M].上海:上海科学技术出版社,2005.
[5] 苏汝铿.量子力学[Ｍ].上海:复旦大学出版社,1997.
[6] 杨桂林,江兴方,柯善哲.近代物理[Ｍ].北京:科学出版社,2008.
[7] [7] Jimmy Wales, Larry Sanger.不确定性原理[ＥＢ/ＯＬ].
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%8D%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E6
%80%A7%E5%8E%9F%E7%90%86，2009—12—29/2010—1—21.
[8] David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[Ｍ].CHINA MACHINE PRESS,2006.
[9] 刘华祥.关于测不准关系[J].长春师院学报,1995(2).
[10] 唐建辉,何维杰.对不确定关系物理基础及物理涵义的探讨[J].邵阳学院学报(自然科学版),2008,5(3).
[11] 刘洪.关于同时测量和不确定性关系之我见[J].陕西教育学院学报,1995,11(2).