第３３卷第３期
２００８年５月
测绘科学
ＳｃｉｅｎｃｅｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄＭａｐｐｉｎｇ
Ｖ０１．３３Ｎｏ．３
Ｍａｖ．
最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
鲁铁定①②，宁津生①，周世健鳓，臧德彦②
（①武汉大学测绘学院，武汉４３００７９；②东华理工大学地球科学与测绘工程学院，
江西抚州３４４０００；③江西省科学院，南昌３３００２９）
【摘要】最小二乘配置最初是在组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法，目前最小二乘配置已经在测绘数据处理中得到广泛应用。本文首先分析了目前采用的最小二乘配置法解算方法，在讨论了矩阵的奇异值分解（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）方法的基础上，推导得出了矩阵ＳＶＤ分解与广义逆矩阵的关系，得出了可以直接利用ＳＶＤ分解求解矩阵的Ｍｏｏｒｅ．Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆，并推导了应用ＳＶＤ分解求解最小二乘配置的估值计算公式和精度估算公式，最后通过重力异常实例进行了计算，得出矩阵的ＳＶＤ分解用于最小二乘配置解算的正确性和可行性，为最小二乘配置的求解提供了一种新方法。
【关键词】最小二乘配置；奇异值分解（ＳＶＤ）；重力异常
【文章编号】１００９－２３０７（２００８）０３－００４７－０５【中图分类号】Ｐ２２【文献标识码】Ａ
ＤＯＩ：１０．３７７１／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－２３０７．２００８．０３．０１６
１
引言
最小二乘配置起源于根据最小二乘推估来内插和外推重
力异常的课题¨．２Ｊ。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是其函数模型中除包含随机部分外，还包含非随机的系统部分（也称为倾向）。１９６９年，克拉鲁普（Ｔ．Ｋｒａｒｕｐ）把推估重力异常的方法，发展为用不同类型的数据，例如重力异常，垂线偏差等，去估计异常引力场中的任一元素，例如扰动位。大地水准面差距等，提出了最小二乘配置法。莫里兹（｝ＬＭｏｒｉｔｚ）对最小二乘配置进行了系统深入的研究，提出了带系统参数的最ｉｂ－乘配置，并概述了这种方法在大地测量其他方面的应用，进而导致几何位置和重力场的最小二乘联合求定，为整体大地测量奠定了理论基础。从２０世纪６０年代以来，国内外测绘专家学者对最小二乘配置法进行了广泛深入研究，汪洪海、罗志才、罗佳等对不同分辨率的重力数据融合问题，推导了多分辨率最小二乘配置法的具体公式，并通过算例与传统最小二乘配置法的结果进行了比较‘３１；罗志才、宁津生、晁定波研究了频域最ｔＪ、Ｚ．乘配置法，并与空域最小二乘配置法进行了比较，其方法可有效提高稳定性【４ｏ；姚宜斌、陶本藻从最／ｊ．，－－乘配置出发，推导了附加先验约束的高精度ＧＰＳ网平差的参数估计和精度估计公式一１；张继贤等讨论了顾及线性化残差相关性的最小二乘配置法地形迭代线性化技术№１；篮悦明、陶本藻讨论了数字化曲线拟合的最小二乘配置法＂ｏ；张希、江在森研究了最／ｊ，－－
乘配置法用于地壳形变的问题，并将空间域最小二乘配置内插推广到时间域‘副；张献州根据高斯马尔可夫模型两个备选假设理论，给出了最ｔＪ、－－乘配置模型中观测粗差的可区分且可发现的表达式一１；潘雄、孙海燕导出了最小二乘配置模型中正规化矩阵正定时参数平差的计算方法，得到了参数和信
号的估计茸ｍ１。
矩阵的分解（ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）是通过线性变换，将某个给定或者已知的矩阵分解为二个或三个矩阵标准型的乘积（个别情况下分解为两个矩阵标准型之和）。根据矩阵分解后的矩阵的标准型，其分解大致分为对角化分解、三角化分解、三角．对角化分解和三对角化分解四大类型。矩阵的奇异值分解（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）是矩阵对角化分解的一种类型。矩阵奇异值分解自从Ｂｅｈｒａｍｉ和Ｊｏｒｄａｎ两位学者创立以来…。…，已经成为数值线性代数的最有用和最有效的工具之一，它已在最优化问题、统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制等很多领域被广泛地应用¨“。本文在分析最小二乘配置法解算方法的基础上，推出一种基于ＳＶＤ矩阵分解的解算算法，并通过实例进行了分析，得出方法的可行性。
２最小二乘配置的估值公式
２．１最小二乘配置的数学模型
最小二乘配置的函数模型¨二１一般为
Ｌ＝ＢＸ４－ＧＹ＋４
（１）
式中Ｌ为观测向量，４为观测噪声，】，为倾向参数，ｘ为滤波信号，另外还有推估信号∥，其随机模型是：
作者简介：鲁铁定（１９７４一），男，陕西富平人，副教授，博士生，主要研究方向：测绘数据处理理论和物理大地测量。
Ｅ．ｍａｉｌ：ｔｄｌｕ＠ｅｃｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
１２，１
Ｘ和ｘ’的先验期望：Ｅ（Ｘ）＝脚，Ｅ（ｘ’）＝／．ｔ掣
Ｘ和Ｘ’的先验方差和办方差：ｖａｌ＂（Ｘ）＝Ｄ，，ｖａｒ（Ｆ）＝Ｄｒ，ＣＯＹ（Ｘ，Ｘ’）＝Ｄｗ
△的数学期望和方差：Ｅ（ａ）＝０，ｖａｒ（ａ）＝Ｄ△
△关于Ｘ和Ｘ’的协方差：ｃｏｖ（ａ，Ｘ）＝Ｄａｘ，ＣＯＹ（４，Ｘ’）
＝Ｄｄｒ
收稿日期：２００７－０ｌ一２２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（４０５７４００８）；江西省自然科学基金资助
项目（０４１１００５．０６５０００７）；江西省教育厅科技资助项目（赣教啦ｔ２００６［２０８］）；地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金资助项目（０４－０１－０７）；数字国土江西省重点实验窜开放基金资助项目（ＤＬＬＪ２００５０６）；地理空间信息工程国家测绘局重点实验室开放基金资助项目
２．２最小二乘配置的估值公式
将信号ｘ，ｘ’的先验期望脚，肛ｒ作为虚拟观测值ｋ，Ｌｎ并将信号ｘ，ｘ’当作非随机参数，按照广义最／ｂ－乘原理，可写出观测方程¨工ｏ
ＪＬＴ＝Ｘ＋△。Ｌｒ＝ｘ’＋△ｒ
１
｝
（２）
￡』口ｘ＋Ｇｙ：△Ｊ
测绘科学第３３卷
蠹＝ＩＴｌｔ引，
则（３）式可以写为观测值的方差阵为
【阢址】；⑥于是有矩阵的奇异值分解Ａ＝叫言：］∥
Ｉ
（），
３．３奇异值分解与广义逆矩阵的关系
Ｅ
ｙ，，＝Ａ—Ｌ，，
＝ＢＸ＋Ｖ３ｃＧＰ一工Ｊ
定义：设ｒｒＬ×，ｌ矩阵Ａ∈Ｃ“４，如果存在１２×ｍ矩阵Ｇ
Ｃ““满足关系
Ｌ。＝【三：，】，屹＝［瓷，】，２＝【萎，】，Ｂ。＝Ｉ
Ｂ
ｏ，ｃ４，
ＡＧＡ＝Ａ，ＧＡＧ＝Ｇ，（ＡＧ）”＝ＡＧ，（ＧＡ）”＝ＧＡ（９）则称矩阵Ｇ为Ａ的Ｍｏｏｒｅ・Ｐｅｎｒｏｓｅ（Ｍ－Ｐ）广义逆，并且记为Ａ＋。
从前面定理可以得到矩阵Ａ的奇异值分解为Ａ＝
Ｖ＝嘲＝［爰撕】－【２】西＝【盖：０卜＝【象Ｄｘ：ｘＤＬ一见ｚ见Ｊ
７‘
㈣
Ｌ舢
Ｄ】＇
∥Ｊ
ｕ【；・・：】∥，ｕ为ｍ阶酉矩阵和ｙ为凡阶酉矩阵，设矩阵
Ｇ＝ｑｉｌ：】扩
㈣，
对于矩阵Ｇ和矩阵Ａ之间的关系，可以推导得到
Ｄ豇＝【；：】，Ｄ凹＝【Ｄｕ
根据广义最小二乘原理
矿西一矿＝ｒａｉｎ推导可得配置法求估值的公式
Ｄ“，】
（６）
（７）
ＡＧＡ＝ｕ［互０：幅瓣妒＝ｕ【三０：］俨＝Ａ
（１１）
Ｐ＝｛ＧＴ（ＢＤｘＢＴ＋Ｄｄ＋ＢＤ船＋Ｄ甜ＢＴ）一１Ｇ）一１ＧＴ（ＢＤＪＢＴ＋
Ｄｄ＋ＢＤｘａ＋ＤａＪＢ。）“（Ｌ—ＢＬＪ）
量＝Ｌｘ＋（ＤｘＢ７＋Ｄ船）
（ＢＤｘＢＴ＋Ｄ▲＋ＢＤ地＋Ｄ直工ＢＴ）－１（Ｌ—ＧＰ—ＢＬｘ）岩７＝Ｌｒ＋（Ｄ工，ＪＢ‘＋Ｄｘ，Ａ）（ＢＤｘＢｌ＋Ｄ▲＋日Ｄ池＋Ｄ吖口１）。（Ｌ—ＧＰ—ＢＬＪ）
估值的方差公式
ＧＡＧ＝ｙ【专１：】【＝０：】［ｉ１：】矿＝叫ｉ１：】矿＝Ｇ
（１２）
ｃＡＧ，”＝（Ａｙ【专１嗣矿）口＝（ｕ【：嗣∥）Ⅳ＝ｕ【：宙矿
＝ｕ晤瑚［ｉ。鄹矿＝Ａ吖ｉ‘羽矿＝ＡＧｃ－ｓ，
Ｄｔ＝｛Ｇ７（ＢＤＪＢｌ＋见＋ＢＤ肛＋ＤａｘＢ７）’１Ｇ）－Ｉ
Ｄｘ＝ＤＴ一（ＤｒＢＴ＋Ｄ胎）（ＢＤⅣＢＴ＋Ｄｄ＋ＢＤ地＋ｐ“曰Ｔ）‘１
ｃ酬＝（ｙ晤羽批）”＝（ｙ眨∽圩＝ｙ眨驴
＝ｙ【ｉ‘蛳驴＝ｙ啄：ｔｆＡ＝ＧＡ㈣，
由Ｍ－Ｐ广义逆定义可以看出，矩阵（１０）就是矩阵Ａ
｛Ｅ—ＧＤＰＧ７（ＢｏⅣＢ７＋见＋ＢＤ船＋Ｄ¨Ｂ’）以｝（Ｄ甜＋ＢＤＪ）
Ｄｒ＝Ｄ∥一（Ｄ珊ＢＴ＋Ｄｘ么）（ＢＤｘＢＴ＋Ｄ４＋ＢＤ柚＋％口Ｔ）一１
｛Ｅ—ＧＤＰＧ７（ＢＯｘＢ’＋见＋ＢＤ如＋ＤａｘＢ’）一１｝（Ｄａｘ，＋ＢＤ朋，）３矩阵奇异值分解（ＳＶＤ）
矩阵奇异值分解（ＳＶＤ）属于矩阵对角化分解的一种类型，它是通过正交变换，将矩阵Ａ分解为Ａ＝Ｕ，Ｙ伊，其中ｕ和ｙ二者为酉矩阵，三为对角矩阵。奇异值分解是针对一般矩阵的对角化分解算法。３．１矩阵的奇异值分解定理
矩阵的奇异值分解定理：设ｍ×ｒｔ矩阵Ａ
Ｅ
４最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
４．１独立等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
Ｖ＝［？】＝［爰珧】＿【２】
设Ｄ＝Ｅ，则广义最小二乘原理可以表示为
矿西叫甲＝矿Ｖ：ｍｉｎ上式等价与最小二乘问题
ｃ爪“，矩
阵Ａ的秩ｒａｎｋ（Ａ）＝ｒ（ｒ＞０），则存在ｍ阶酉矩阵Ｕ和ｒｔ阶酉矩阵ｙ，使得
Ａ：ｕｆ三Ｏｌｖ．０
Ｌ
（８）
ｍｉ玎ｌＩ［曰Ｅ。２】［；】一［Ｌ工ｚ】”：
范数㈦。
对系数矩阵进行ＳＶＤ分解有
ｃ－ｓ，
Ｕ１
其中三＝ｄｉａｇ（盯Ｉ，矿２，…，ｏｒ，），且ｏｒｌ≥ｏｒ２≥…≥盯，＞０，而矿：（ｉ＝１，２，…，ｒ）为矩阵Ａ的正奇异值。矿表示以复矩阵ｙ的元素的共轭复数为元素的矩阵Ｖ的转置矿’＝＇，“，其满足∥Ｖ＝Ｉ，ｙ∥＝１。（８）式称为矩阵Ａ的奇异
值分解式。
上述定理最早由Ｅｃｋａｒｔ和Ｙｏｕｎｇ于１９３９年证明¨２．１４］。３．２矩阵奇异值分解步骤
根据定理的证明过程，可以总结归纳矩阵奇异值分解的具体步骤和过程：
①计算矩阵Ａ”Ａ的特征值Ａ。≥Ａ：≥…≥Ａ，＞Ａ。＝…＝Ａ。＝０；②计算特征值对应的特征向量，并组成正交
式中ＩＩ・０：称为Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数，也称为Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ
【主小ｕ眩：】矿
㈣，
由前面的证明可胤【吃Ｅ玎＝ｙ【ｉ１妒为上
式的Ｍ－Ｐ广义逆。根据定理，不相容方程组Ａｘ＝ｂ有最小二乘解的充要条件是善＝Ａｉｌ６，式中＾ｉ１是矩阵Ａ的最小二乘广义逆，矩阵的Ｍ－Ｐ广义逆属于最小二乘广义逆Ⅲ－１引。于是有
矩阵Ｖ，矿（∥Ａ）ｙ＝［吾：】；③将ｙ写为分块矩阵Ｖ
。
Ｌ
００Ｊ’
【；】＝【乏三】ｊ１【２】＝ｙ【ｉ１：】盯”【ＬＬ２】ｃｔ７，
估值的方差计算公式
＝【矿．Ｋｎ－ｒ】；④计算Ｕ。，Ｕ，＝Ａｙ。：～；⑤将其扩充为
酉空间ｃ吼的标准正交基，组成ｍ阶酉矩阵ｕ，Ｕ＝
Ｄ【；】＝叫≮１：卜ｕ啄：】矿
（１８）
第３期
４．２不等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
鲁铁定等最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法４９
估值的方差计算公式
可＝【？】：【口Ｅ：ＧｏＪ【Ｐ］一［ＬＬｚ】
观测值的方差阵为
。［；】＝ｙ【ｉ‘：】∥ｗ“Ｄ（Ｗ。）’ｕ【ｉ１：】矿
（２４）
５算例
ＤＪ－Ｊ∥Ｊ
西＝【戋一？ｈ＝［篆Ｄｘ：ｘＤ△Ｊ”ＬＤ】，Ｄ髓＝瞬】，％＝‰驯
Ｌ—Ｄ业
为了验证分解方法，现以文献［２］中的［例２－５－１］数据为例，设已知Ｐ。一Ｐ４四个观测点的重力异常观测值和它们的坐标，观测误差的方差为优＝（０．０３）２Ｅ，信号的
求解上述误差方程的方法是在广义最小二乘原理ＩＴ西“可＝ｍｉｎ下，其协方差矩阵Ｄ为正定，对于某矩阵Ｗ
方差巩，Ｄｒ和协方差Ｄ。，按希尔沃年公式Ｄ（。）：旦塑；，
￡Ｃ“４有西＝删’。Ｗ可以是豆的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ三角阵，是
１＋≥
取Ｏ（０）＝０．０１ｒｅＧａｌ，ｄ＝２００ｍ计算，重力异常观测值和坐标见文献［２］。
观测值的误差方程式
Ｖ＝爱＋Ｇ譬一△ｇ
ｖｘ＝盒一ＬｘＫ，＝分一工掣
带人数据有
一个实非奇异下三角阵，则加权最小二乘问题
令
ｍ…阿１（【爰Ｇｏ儿ｊｒ】．【铷忆君＝Ｗ－Ｉ【乏ｏＩ小叫２】
则式（１９）可表示为
（１９）（∞）
ｒａｉｎ恻考１．Ｌ
ｌＩｚ（２１）
ｌＯＯＯ
Ｏ１ＯＯＯＯＯｌＯＯ
ＯＯｌＯＯＯＯＯｌＯ
ＯＯＯ１ＯＯＯＯＯ１
ＯＯＯ０１Ｏ０ＯＯＯ
０ＯＯＯＯｌ０ＯＯＯ
ＯＯＯＯ０Ｏｌ１ｌ１
一
ＯＯＯ０Ｏ
ＯＯＯ０Ｏ０１．８２２
１．Ｏ一１．６—１ｆ２
分析（２１）式可以看出，其解算即化为一般等精度的最小二乘配置问题，因此对于不等精度的观测值，在应用广义最小二乘法时，就可以用（１９）式的方法将其转换为等精度情况进行解算。
对系数矩阵进行ＳＶＤ分解有
》
ＯＯｌ
雪＝叫言：】矿
于是有
（２２）
ＯＯ０
嘲啦饥ｙＦ０１：Ｐ叫２】
１０．４６４０．０９９ｏ．３０６
０．４６４
１０．２０２ｏ．３３ｌｏ－７４５０．７９４
ＯＯＯ０
一ｌＯ灌ｍ生巧
㈤，
０．０９９ｏ．２０２
１０．１４７ｏ．２０５０．２３８
ＯＯＯＯ
０．３０６Ｏ．３３１０．１４７
ｌｏ．５８１０．５０００Ｏ００
观测值的协方差阵为
０．４３５０．７４５０．２０５０．５８１
１０．９６２０００Ｏ
０．３８１０．７９４０．２３８０．５００ｏ．９６２
１Ｏ０Ｏ０
０００ＯＯ００．０９００Ｏ
００００Ｏ０００．０９Ｏ０
００００Ｏ０００ｏ．０９０
Ｏｏｏｏｏｏｏｏｏ
西：ｆ
Ｄｚ
—Ｄ如１：
见Ｊ
ｏ．４３５０．３８１
Ｏ０Ｏ０
Ｌ—Ｄ血
ｏ埘
嘲＝ｃ。。。。。。－０．５５一蚴ｏ．ｓｓ乩８０，Ｔ
对协方差阵进行进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ三角阵分解，得到矩阵ｗ为下三角阵
０．４６４００．８８５８
０
０．０９９００．１７６２０。９７９４
０００ＯＯＯＯ
Ｏ．３０６０Ｏ．２１３４０。０８０８０．９２４３
Ｏ００ＯＯＯ
０．４３５００．６１３２Ｏ．０５５００．３３８２０．５６３４
ＯＯＯＯ０
０．３８１００．６９６８Ｏ。０７９２Ｏ．２４７ｌ０．４９９００．２３０３
ＯＯ０Ｏ
Ｏ００Ｏ０Ｏ０．３０００
ＯＯＯ
０ＯＯ００Ｏ０Ｏ．３０００
Ｏ０
０ＯＯ０Ｏ０ＯＯＯ．３０００
Ｏ
Ｏ０ＯＯ０Ｏ００ＯＯ．３０００
矿：
詈。：ｏ
ｏ：ｏ
ｏ
０ＯＯ０ＯＯＯ
根据公式计算面＝ｗ一【主三】，厄＝Ⅳ一【２】，对矩阵秀进行ｓＶ。分解有
测绘科学
一０．００８ｌＯ．００３１Ｏ．０１２４一Ｏ．００２ｌ
Ｕ＝
Ｏ．００３ｌ—０．００５２一０．５５３５—０．０６９８０．８０８８—０．１８５５
Ｏ．０１６５０．０１８４—０．００１３一０．０５７２Ｏ．００７７—０．０５３５０．３１９９０．４４４３０．０６６４—０．８３０１
０．０２９９０．０１９８０．０２４２０．０１６７一Ｏ．０５８９—０．０１２３０．４９６１Ｏ．５０１３０．４９７４０．４９９４
０８．０４１９
Ｏ００００００００．２２３５０．２３５００．２２５６０．２２９８—０．００７７一Ｏ．００７ｌ０．８８９４Ｏ．ｏｏＯｌ
—０．０１５５Ｏ．０３０５—０．００２９—０．００７ｌ０．１８６５—０．９７７４—０．０５９ｌ０．０３１４—０．０３１９０．０５７０
Ｏ０７．４７４１
０００ＯＯ００
—０．０９２９０．１１８３０．００５７—０．０３０１０．６８４ｌ
０．１４６０—０．３０４８Ｏ．１１５８一０．０３７６０．３１０９—０．０２０６０．５２３４
０．２６６９０．００９４０．１１８００．０７２７—０，８９４１—０．１９５３０．１１５７
—０．２０２８—０．２８５８
０．４７２６—０．１９５８
０．７４９９０．３９８６Ｏ．３２６６０．３０３４０．２５５７Ｏ．０５４３—０．０７６１Ｏ．０６２９一Ｏ．０４５００．００２０
０００００Ｏ０００．５４１５
０
、
第３３卷
０．２８１４—０．７９１５０．３５４８一Ｏ．１６７２Ｏ．００００Ｏ．Ｏ０００一Ｏ．２１８６Ｏ．２７７５—０．１１３２０．０５４３
一０．０５７３—０．８５７９０．９３２５０．００２２—０．０１３８０．００６４０．０３９９—０．００１４—０．０５０００００００
ＯＯ０Ｏ０
—０．０１０４０．０１３９—０．００５０—０．０２７５０．０３０８０．００５５０．０１３９
０００ＯＯＯ
ｌ
—０．６４０６—０．２２７１０．２７５７—０．Ｊ１６３
０００５．９７７８
０００Ｏ００
０．０４７１—０．０６８６００００３．７２６３
００Ｏ００
０．５４４１—０．７５３６０．２７６２—０．１７０５０．１６９４
，１５．１０５０
０００
晤：］．
Ｌ
Ｏ００ＯＯ０
１．５４４１
０Ｏ０００．４１２２０．２０４２０．２２１８０．２４７８—０．５４１５
舳Ｏ∞Ｏ
ＯＯ
Ｏ１．０１７１
Ｏ０
０．４８０６
／１
０．４０６００．３７９６Ｏ．２５１５Ｏ．３３６４０．４５２３０．４３５５—０．３４５７一Ｏ．０１３９一Ｏ．０２６５
一０．１２２９—０．０１５３０．１７９４—０．０４１３
Ｖ＝
Ｏ．００１７—０．００１５—０．００００—０．８５３４—０．４７１７
０．１３２７０．１９２７０．０２９０—０．３５４０Ｏ．０２７３—０．０２８９Ｏ．０００２—０．４３６８０．７９１７
一Ｏ，２１６６—０．３７０９一Ｏ．１３５１０．７８４２０．０５３４—０．０５６２一Ｏ．０１５８一Ｏ．２２４３Ｏ．３５４６
０．０４６６
—０．８４２１Ｏ．０２４３０．０４３３—０．０２１５Ｏ．０７４４一Ｏ．１６７９—０．１４５ｌ
一０．７０９８—０．０２４０一０．５４９０—０．００１４０．０４５０
０．０３７８０．００１８Ｏ．０００ｌ
—０．２８６９—０．０１４５一０．０２５４
—０．０００３—０．０５１５
带入公式（２３）有
嗡＝列乞＝ｙ【≮１扩叫２】
＝［０．１００２７—０．２０３３０
０．０８４０６—０．０７４３４—０．１４２４９—０．１６３０１
—０．４７６６７—０．４９０８９
０．３８１４６］’
根据前面推导的估值的方差计算公式
Ｄ【；∥［铷…ｃ州叫锄叫蚕乏Ｄｘｙｇ，，
０．９２０８ｏ．６２４６０．０３２６０．３６４７ｏ．５４７５０．５０９７—０．４８５７—０．０５７６—０．１７３８
Ｏ．６２４６０．６７４５Ｏ．３３６６０．２１２００．５１６８０．５３３０一Ｏ．４６１９０．０４４９—０．１５６１
０．０３２６０．３３６６０．９４４３０．１９６２０．２９９３０．３４５９—０．３７７４０．１４９１Ｏ．０５１０
０．３６４７０．２１２００．１９６２０．９５６５０．４９７６０．４０４６一ｏ．４３２３—０．１７３１０．２０３ｌ
０．５４７５Ｏ．５１６８０．２９９３０．４９７６０．８４０ｌ０．７７９ｌ一ｏ．４６５３—０．０３５０
０．５０９７０．５３３０ｏ．３４５９０．４０４６０．７７９１０．７９０７一Ｏ．４４８３—０．００３５
—０．４８５７—０．４６１９—０．３７７４—０．４３２３—０．４６５３一ｏ．４４８３０．４６１８０．００９２ｏ．０１８９
Ｄｘｒｌ
Ｄ肿Ｉ
Ｄ。Ｊ
一０．０５７６—０．１７３８０．０４４９ｏ．１４９１—０．１７３１
—０．１５６１ｏ．０５１００．２０３１
—０．０３５０一ｏ．０２５２一Ｏ．００３５一Ｏ．０４７３Ｏ．００９２０．０７８３
Ｏ．０１８９—０．０４８４０．１４４０
一０．０２５２—０．０４７３
一ｏ．０４８４
进而可得
越
＝ａｌ＂＋宴＝【一ｏ．５７３４一ｏ．２００３
厂
ｏ．５６７９—１．７９４２］ｒ
厶ｇ’＝Ｇ，Ｐ＋２’＝【一０．８１５５—０．６３９７１７
．
．
一０．００２２ｏ．００２８０．０８８８Ｏ．０００６Ｏ・３２４５１０．３５６０ｊ
％…别＂Ｄｒ
２】旧＝Ｉ裟００８５７２＆０愁００５５
Ｌ
ｎ“ｎ
ｎ
０．００ｉ１—０．００１４
洲～嘶蝴
蹦＝［Ｇｐ
６结束语
Ｅ，唆％嗡＝０…．３６３，１
比较可以看出，其解算结果和书上结果完全一致。
本文主要分析了矩阵的奇异值分解（ＳＶＤ分解）原理和方法以及在最小二乘配置中的应用，通过分析探讨得到以
下结论：
①推导证明了矩阵的奇异值分解和Ｍ—Ｐ广义逆矩阵之间的关系；②推导了应用奇异值分解进行最小二乘配置的平差解算公式和精度估算公式；③通过实例分析，得出这种方法的可行性和正确性。
第３期鲁铁定等最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
１９９８，２８（５），４６－４８．
５ｌ
应用矩阵的ＳＶＤ分解解算最小二乘配置和传统的解算比较，ＳＶＤ算法是否具有更好的稳定性等等问题还需做进一步的研究探讨。
参考文献
ｎ１Ｊ心１Ｊ口１ＪＨ１Ｊ
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Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＬｅａｓｔＳｑｕａｒｅＣｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄｔｈａｔｉｓｉｎｉｔｉａｌｌｙｕｓｅｄｓｔｕｄｙｔｈｅｅａｒｔｈｓｈａｐｅａｎｄｇｒａｖｉｔｙｆｉｅｌｄ
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Ｓｃｆｕａ肥ＣｏｌｌｏｃａｔｉｏｎａｎｄＭｏｏｒｅ—ＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｂａｓｅｄｏｎＳＶＤｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄ．ＦｉｎａｌｌｙｐｒａｃｔｉｃａｌｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｇｒａｖｉｔｙａｎｏｍａｌｙｈａｖｅｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅＳＶＤｍｅｔｈｏｄｉｓｃｏｒｒｅｃｔａｎｄｖａｌｉｄｉｔｙｉｎＬｅａｓｔ—Ｓｑｕａｒｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｆｒｏｍｔｈｉｓｎｅｗ
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ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｍａｔｒｉｘｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｓｕｒｖｅｙｉｎｇｄａｔａｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ａｓｗｅｌｌＰｂｅｔｗｅｅｎｍａｔｒｉｘｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ，ａｒｅｆｏｕｎｄｏｕＬ
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ｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７９，Ｃｈｉｎａ；②ＳｃｈｏｏｌｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＳｕｒｖｅｙｉｎｇＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥａｓｔＣｈｉｎａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
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ｒｅｍｏｔｅ
ｃａｎｂｅｕｓｅｄｉｎｄｅｔｅｃｔｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｃｈａｎｇｉｎｇｉｎｔｈｉｓａｒｅａ．Ｉｎｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈ，
ｗｅｉｎｔｅｇｒａｔｅｔｈｅｐｏｗｅｒｓｕｐｐｌｙｓｙｓｔｅｍ（ｏｕｔ－ｄｏｏｒａｎｄｉｎ－ｄｏｏｒｓｙｓｔｅｍｓ），ＧＳＭｃｅｌｌｕｌａｒｗｉｔｈＳＭＳｐｒｏｔｏｃｏｌ，ｐｏｓｔ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｓｏｆｔｗａｒｅ，ａｎｄｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｒｅｓｅｔａｒｅｍｏｔｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｍｏｄｔｄｅ．Ｔｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅｌｏｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｎｄｌａｎｄｓｌｉｄｅｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉ－
ｄｙｎａｍｉｃｌａｎｄｓｌｉｄｅａｒｅａ．ＧＰＳ
ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ
ｓｙｓｔｅｍ
ｗｉｌｌｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｗｅａｒｅｔｒｙｉｎｇｔｏｆｉｇｕｒｅｏｕｔ
ｔｌｌｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆａｃｃｕｒａｃｙｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌｏｎｇ・ｄｉｓｔａｎｃｅｂａｓｅｌｉｎｅｓ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓｏｆｔｈｏｓｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓＣａｌｌｂｅｕｓｅｄａｓｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｂａｓｅｌｉｎｅｓｅｔｔｉｎｇ－ｕｐｗｏｒｋ．１１１ｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｉｔｉｓｆｅａｓｉｂｌｅｔｏｕｓｅＧＰｓｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍｆｏｒ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＧＰＳ；ｒｅｍｏｔｅ／２Ｚｈｉ－ｐｅｎｇ，ＳＨＡＮＧ
Ｙａｈ—ｌ／ａｎｇ，磊『ｏ“Ｙｏｎｇ。＾以（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇＲａｉｌｗａｙＩｎｓｔｉｔｕｔｅ．Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ
０５００４３，Ｃｈｉｎａ）
最小二乘配置的SVD分解解法
作者：作者单位：
鲁铁定， 宁津生， 周世健， 臧德彦， LU Tie-ding， NING Jin-sheng， ZHOU Shi-jian， ZANG De-yan
鲁铁定,LU Tie-ding(武汉大学测绘学院,武汉,430079;东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000)， 宁津生,NING Jin-sheng(武汉大学测绘学院,武汉,430079)， 周世健,ZHOU Shi-jian(东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000;江西省科学院,南昌,330029)， 臧德彦,ZANG De-yan(东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000)
测绘科学
SCIENCE OF SURVEYING AND MAPPING2008,33(3)
刊名：英文刊名：年，卷(期)：
参考文献(14条)
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本文读者也读过(4条)
1. 鲁铁定. 宁津生. 周世健. 张立亭. 赵煦. LU Tieding. NING Jinsheng. ZHOU Shijian. ZHANG Liting. ZHAO Xu 最小二乘配置的QR分解解法[期刊论文]-辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2009,28(4)
2. 施吕蓉. SHI lv-rong 应用奇异值分解求解最小二乘法问题[期刊论文]-芜湖职业技术学院学报2008,10(4)3. 潘雄. 孙海燕 最小二乘配置模型的参数估计[期刊论文]-测绘工程2004,13(2)
4. 鲁铁定. 陶本藻. 周世健. Lu Tieding. Tao Benzao. Zhou Shijian 矩阵的SVD分解性质及其在秩亏网平差中的应用[期刊论文]-大地测量与地球动力学2007,27(5)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_chkx200803016.aspx
第３３卷第３期
２００８年５月
测绘科学
ＳｃｉｅｎｃｅｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄＭａｐｐｉｎｇ
Ｖ０１．３３Ｎｏ．３
Ｍａｖ．
最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
鲁铁定①②，宁津生①，周世健鳓，臧德彦②
（①武汉大学测绘学院，武汉４３００７９；②东华理工大学地球科学与测绘工程学院，
江西抚州３４４０００；③江西省科学院，南昌３３００２９）
【摘要】最小二乘配置最初是在组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法，目前最小二乘配置已经在测绘数据处理中得到广泛应用。本文首先分析了目前采用的最小二乘配置法解算方法，在讨论了矩阵的奇异值分解（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）方法的基础上，推导得出了矩阵ＳＶＤ分解与广义逆矩阵的关系，得出了可以直接利用ＳＶＤ分解求解矩阵的Ｍｏｏｒｅ．Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆，并推导了应用ＳＶＤ分解求解最小二乘配置的估值计算公式和精度估算公式，最后通过重力异常实例进行了计算，得出矩阵的ＳＶＤ分解用于最小二乘配置解算的正确性和可行性，为最小二乘配置的求解提供了一种新方法。
【关键词】最小二乘配置；奇异值分解（ＳＶＤ）；重力异常
【文章编号】１００９－２３０７（２００８）０３－００４７－０５【中图分类号】Ｐ２２【文献标识码】Ａ
ＤＯＩ：１０．３７７１／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－２３０７．２００８．０３．０１６
１
引言
最小二乘配置起源于根据最小二乘推估来内插和外推重
力异常的课题¨．２Ｊ。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是其函数模型中除包含随机部分外，还包含非随机的系统部分（也称为倾向）。１９６９年，克拉鲁普（Ｔ．Ｋｒａｒｕｐ）把推估重力异常的方法，发展为用不同类型的数据，例如重力异常，垂线偏差等，去估计异常引力场中的任一元素，例如扰动位。大地水准面差距等，提出了最小二乘配置法。莫里兹（｝ＬＭｏｒｉｔｚ）对最小二乘配置进行了系统深入的研究，提出了带系统参数的最ｉｂ－乘配置，并概述了这种方法在大地测量其他方面的应用，进而导致几何位置和重力场的最小二乘联合求定，为整体大地测量奠定了理论基础。从２０世纪６０年代以来，国内外测绘专家学者对最小二乘配置法进行了广泛深入研究，汪洪海、罗志才、罗佳等对不同分辨率的重力数据融合问题，推导了多分辨率最小二乘配置法的具体公式，并通过算例与传统最小二乘配置法的结果进行了比较‘３１；罗志才、宁津生、晁定波研究了频域最ｔＪ、Ｚ．乘配置法，并与空域最小二乘配置法进行了比较，其方法可有效提高稳定性【４ｏ；姚宜斌、陶本藻从最／ｊ．，－－乘配置出发，推导了附加先验约束的高精度ＧＰＳ网平差的参数估计和精度估计公式一１；张继贤等讨论了顾及线性化残差相关性的最小二乘配置法地形迭代线性化技术№１；篮悦明、陶本藻讨论了数字化曲线拟合的最小二乘配置法＂ｏ；张希、江在森研究了最／ｊ，－－
乘配置法用于地壳形变的问题，并将空间域最小二乘配置内插推广到时间域‘副；张献州根据高斯马尔可夫模型两个备选假设理论，给出了最ｔＪ、－－乘配置模型中观测粗差的可区分且可发现的表达式一１；潘雄、孙海燕导出了最小二乘配置模型中正规化矩阵正定时参数平差的计算方法，得到了参数和信
号的估计茸ｍ１。
矩阵的分解（ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）是通过线性变换，将某个给定或者已知的矩阵分解为二个或三个矩阵标准型的乘积（个别情况下分解为两个矩阵标准型之和）。根据矩阵分解后的矩阵的标准型，其分解大致分为对角化分解、三角化分解、三角．对角化分解和三对角化分解四大类型。矩阵的奇异值分解（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）是矩阵对角化分解的一种类型。矩阵奇异值分解自从Ｂｅｈｒａｍｉ和Ｊｏｒｄａｎ两位学者创立以来…。…，已经成为数值线性代数的最有用和最有效的工具之一，它已在最优化问题、统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制等很多领域被广泛地应用¨“。本文在分析最小二乘配置法解算方法的基础上，推出一种基于ＳＶＤ矩阵分解的解算算法，并通过实例进行了分析，得出方法的可行性。
２最小二乘配置的估值公式
２．１最小二乘配置的数学模型
最小二乘配置的函数模型¨二１一般为
Ｌ＝ＢＸ４－ＧＹ＋４
（１）
式中Ｌ为观测向量，４为观测噪声，】，为倾向参数，ｘ为滤波信号，另外还有推估信号∥，其随机模型是：
作者简介：鲁铁定（１９７４一），男，陕西富平人，副教授，博士生，主要研究方向：测绘数据处理理论和物理大地测量。
Ｅ．ｍａｉｌ：ｔｄｌｕ＠ｅｃｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
１２，１
Ｘ和ｘ’的先验期望：Ｅ（Ｘ）＝脚，Ｅ（ｘ’）＝／．ｔ掣
Ｘ和Ｘ’的先验方差和办方差：ｖａｌ＂（Ｘ）＝Ｄ，，ｖａｒ（Ｆ）＝Ｄｒ，ＣＯＹ（Ｘ，Ｘ’）＝Ｄｗ
△的数学期望和方差：Ｅ（ａ）＝０，ｖａｒ（ａ）＝Ｄ△
△关于Ｘ和Ｘ’的协方差：ｃｏｖ（ａ，Ｘ）＝Ｄａｘ，ＣＯＹ（４，Ｘ’）
＝Ｄｄｒ
收稿日期：２００７－０ｌ一２２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（４０５７４００８）；江西省自然科学基金资助
项目（０４１１００５．０６５０００７）；江西省教育厅科技资助项目（赣教啦ｔ２００６［２０８］）；地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金资助项目（０４－０１－０７）；数字国土江西省重点实验窜开放基金资助项目（ＤＬＬＪ２００５０６）；地理空间信息工程国家测绘局重点实验室开放基金资助项目
２．２最小二乘配置的估值公式
将信号ｘ，ｘ’的先验期望脚，肛ｒ作为虚拟观测值ｋ，Ｌｎ并将信号ｘ，ｘ’当作非随机参数，按照广义最／ｂ－乘原理，可写出观测方程¨工ｏ
ＪＬＴ＝Ｘ＋△。Ｌｒ＝ｘ’＋△ｒ
１
｝
（２）
￡』口ｘ＋Ｇｙ：△Ｊ
测绘科学第３３卷
蠹＝ＩＴｌｔ引，
则（３）式可以写为观测值的方差阵为
【阢址】；⑥于是有矩阵的奇异值分解Ａ＝叫言：］∥
Ｉ
（），
３．３奇异值分解与广义逆矩阵的关系
Ｅ
ｙ，，＝Ａ—Ｌ，，
＝ＢＸ＋Ｖ３ｃＧＰ一工Ｊ
定义：设ｒｒＬ×，ｌ矩阵Ａ∈Ｃ“４，如果存在１２×ｍ矩阵Ｇ
Ｃ““满足关系
Ｌ。＝【三：，】，屹＝［瓷，】，２＝【萎，】，Ｂ。＝Ｉ
Ｂ
ｏ，ｃ４，
ＡＧＡ＝Ａ，ＧＡＧ＝Ｇ，（ＡＧ）”＝ＡＧ，（ＧＡ）”＝ＧＡ（９）则称矩阵Ｇ为Ａ的Ｍｏｏｒｅ・Ｐｅｎｒｏｓｅ（Ｍ－Ｐ）广义逆，并且记为Ａ＋。
从前面定理可以得到矩阵Ａ的奇异值分解为Ａ＝
Ｖ＝嘲＝［爰撕】－【２】西＝【盖：０卜＝【象Ｄｘ：ｘＤＬ一见ｚ见Ｊ
７‘
㈣
Ｌ舢
Ｄ】＇
∥Ｊ
ｕ【；・・：】∥，ｕ为ｍ阶酉矩阵和ｙ为凡阶酉矩阵，设矩阵
Ｇ＝ｑｉｌ：】扩
㈣，
对于矩阵Ｇ和矩阵Ａ之间的关系，可以推导得到
Ｄ豇＝【；：】，Ｄ凹＝【Ｄｕ
根据广义最小二乘原理
矿西一矿＝ｒａｉｎ推导可得配置法求估值的公式
Ｄ“，】
（６）
（７）
ＡＧＡ＝ｕ［互０：幅瓣妒＝ｕ【三０：］俨＝Ａ
（１１）
Ｐ＝｛ＧＴ（ＢＤｘＢＴ＋Ｄｄ＋ＢＤ船＋Ｄ甜ＢＴ）一１Ｇ）一１ＧＴ（ＢＤＪＢＴ＋
Ｄｄ＋ＢＤｘａ＋ＤａＪＢ。）“（Ｌ—ＢＬＪ）
量＝Ｌｘ＋（ＤｘＢ７＋Ｄ船）
（ＢＤｘＢＴ＋Ｄ▲＋ＢＤ地＋Ｄ直工ＢＴ）－１（Ｌ—ＧＰ—ＢＬｘ）岩７＝Ｌｒ＋（Ｄ工，ＪＢ‘＋Ｄｘ，Ａ）（ＢＤｘＢｌ＋Ｄ▲＋日Ｄ池＋Ｄ吖口１）。（Ｌ—ＧＰ—ＢＬＪ）
估值的方差公式
ＧＡＧ＝ｙ【专１：】【＝０：】［ｉ１：】矿＝叫ｉ１：】矿＝Ｇ
（１２）
ｃＡＧ，”＝（Ａｙ【专１嗣矿）口＝（ｕ【：嗣∥）Ⅳ＝ｕ【：宙矿
＝ｕ晤瑚［ｉ。鄹矿＝Ａ吖ｉ‘羽矿＝ＡＧｃ－ｓ，
Ｄｔ＝｛Ｇ７（ＢＤＪＢｌ＋见＋ＢＤ肛＋ＤａｘＢ７）’１Ｇ）－Ｉ
Ｄｘ＝ＤＴ一（ＤｒＢＴ＋Ｄ胎）（ＢＤⅣＢＴ＋Ｄｄ＋ＢＤ地＋ｐ“曰Ｔ）‘１
ｃ酬＝（ｙ晤羽批）”＝（ｙ眨∽圩＝ｙ眨驴
＝ｙ【ｉ‘蛳驴＝ｙ啄：ｔｆＡ＝ＧＡ㈣，
由Ｍ－Ｐ广义逆定义可以看出，矩阵（１０）就是矩阵Ａ
｛Ｅ—ＧＤＰＧ７（ＢｏⅣＢ７＋见＋ＢＤ船＋Ｄ¨Ｂ’）以｝（Ｄ甜＋ＢＤＪ）
Ｄｒ＝Ｄ∥一（Ｄ珊ＢＴ＋Ｄｘ么）（ＢＤｘＢＴ＋Ｄ４＋ＢＤ柚＋％口Ｔ）一１
｛Ｅ—ＧＤＰＧ７（ＢＯｘＢ’＋见＋ＢＤ如＋ＤａｘＢ’）一１｝（Ｄａｘ，＋ＢＤ朋，）３矩阵奇异值分解（ＳＶＤ）
矩阵奇异值分解（ＳＶＤ）属于矩阵对角化分解的一种类型，它是通过正交变换，将矩阵Ａ分解为Ａ＝Ｕ，Ｙ伊，其中ｕ和ｙ二者为酉矩阵，三为对角矩阵。奇异值分解是针对一般矩阵的对角化分解算法。３．１矩阵的奇异值分解定理
矩阵的奇异值分解定理：设ｍ×ｒｔ矩阵Ａ
Ｅ
４最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
４．１独立等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
Ｖ＝［？】＝［爰珧】＿【２】
设Ｄ＝Ｅ，则广义最小二乘原理可以表示为
矿西叫甲＝矿Ｖ：ｍｉｎ上式等价与最小二乘问题
ｃ爪“，矩
阵Ａ的秩ｒａｎｋ（Ａ）＝ｒ（ｒ＞０），则存在ｍ阶酉矩阵Ｕ和ｒｔ阶酉矩阵ｙ，使得
Ａ：ｕｆ三Ｏｌｖ．０
Ｌ
（８）
ｍｉ玎ｌＩ［曰Ｅ。２】［；】一［Ｌ工ｚ】”：
范数㈦。
对系数矩阵进行ＳＶＤ分解有
ｃ－ｓ，
Ｕ１
其中三＝ｄｉａｇ（盯Ｉ，矿２，…，ｏｒ，），且ｏｒｌ≥ｏｒ２≥…≥盯，＞０，而矿：（ｉ＝１，２，…，ｒ）为矩阵Ａ的正奇异值。矿表示以复矩阵ｙ的元素的共轭复数为元素的矩阵Ｖ的转置矿’＝＇，“，其满足∥Ｖ＝Ｉ，ｙ∥＝１。（８）式称为矩阵Ａ的奇异
值分解式。
上述定理最早由Ｅｃｋａｒｔ和Ｙｏｕｎｇ于１９３９年证明¨２．１４］。３．２矩阵奇异值分解步骤
根据定理的证明过程，可以总结归纳矩阵奇异值分解的具体步骤和过程：
①计算矩阵Ａ”Ａ的特征值Ａ。≥Ａ：≥…≥Ａ，＞Ａ。＝…＝Ａ。＝０；②计算特征值对应的特征向量，并组成正交
式中ＩＩ・０：称为Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数，也称为Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ
【主小ｕ眩：】矿
㈣，
由前面的证明可胤【吃Ｅ玎＝ｙ【ｉ１妒为上
式的Ｍ－Ｐ广义逆。根据定理，不相容方程组Ａｘ＝ｂ有最小二乘解的充要条件是善＝Ａｉｌ６，式中＾ｉ１是矩阵Ａ的最小二乘广义逆，矩阵的Ｍ－Ｐ广义逆属于最小二乘广义逆Ⅲ－１引。于是有
矩阵Ｖ，矿（∥Ａ）ｙ＝［吾：】；③将ｙ写为分块矩阵Ｖ
。
Ｌ
００Ｊ’
【；】＝【乏三】ｊ１【２】＝ｙ【ｉ１：】盯”【ＬＬ２】ｃｔ７，
估值的方差计算公式
＝【矿．Ｋｎ－ｒ】；④计算Ｕ。，Ｕ，＝Ａｙ。：～；⑤将其扩充为
酉空间ｃ吼的标准正交基，组成ｍ阶酉矩阵ｕ，Ｕ＝
Ｄ【；】＝叫≮１：卜ｕ啄：】矿
（１８）
第３期
４．２不等精度条件下的解算公式
最小二乘配置法的误差方程式为
鲁铁定等最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法４９
估值的方差计算公式
可＝【？】：【口Ｅ：ＧｏＪ【Ｐ］一［ＬＬｚ】
观测值的方差阵为
。［；】＝ｙ【ｉ‘：】∥ｗ“Ｄ（Ｗ。）’ｕ【ｉ１：】矿
（２４）
５算例
ＤＪ－Ｊ∥Ｊ
西＝【戋一？ｈ＝［篆Ｄｘ：ｘＤ△Ｊ”ＬＤ】，Ｄ髓＝瞬】，％＝‰驯
Ｌ—Ｄ业
为了验证分解方法，现以文献［２］中的［例２－５－１］数据为例，设已知Ｐ。一Ｐ４四个观测点的重力异常观测值和它们的坐标，观测误差的方差为优＝（０．０３）２Ｅ，信号的
求解上述误差方程的方法是在广义最小二乘原理ＩＴ西“可＝ｍｉｎ下，其协方差矩阵Ｄ为正定，对于某矩阵Ｗ
方差巩，Ｄｒ和协方差Ｄ。，按希尔沃年公式Ｄ（。）：旦塑；，
￡Ｃ“４有西＝删’。Ｗ可以是豆的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ三角阵，是
１＋≥
取Ｏ（０）＝０．０１ｒｅＧａｌ，ｄ＝２００ｍ计算，重力异常观测值和坐标见文献［２］。
观测值的误差方程式
Ｖ＝爱＋Ｇ譬一△ｇ
ｖｘ＝盒一ＬｘＫ，＝分一工掣
带人数据有
一个实非奇异下三角阵，则加权最小二乘问题
令
ｍ…阿１（【爰Ｇｏ儿ｊｒ】．【铷忆君＝Ｗ－Ｉ【乏ｏＩ小叫２】
则式（１９）可表示为
（１９）（∞）
ｒａｉｎ恻考１．Ｌ
ｌＩｚ（２１）
ｌＯＯＯ
Ｏ１ＯＯＯＯＯｌＯＯ
ＯＯｌＯＯＯＯＯｌＯ
ＯＯＯ１ＯＯＯＯＯ１
ＯＯＯ０１Ｏ０ＯＯＯ
０ＯＯＯＯｌ０ＯＯＯ
ＯＯＯＯ０Ｏｌ１ｌ１
一
ＯＯＯ０Ｏ
ＯＯＯ０Ｏ０１．８２２
１．Ｏ一１．６—１ｆ２
分析（２１）式可以看出，其解算即化为一般等精度的最小二乘配置问题，因此对于不等精度的观测值，在应用广义最小二乘法时，就可以用（１９）式的方法将其转换为等精度情况进行解算。
对系数矩阵进行ＳＶＤ分解有
》
ＯＯｌ
雪＝叫言：】矿
于是有
（２２）
ＯＯ０
嘲啦饥ｙＦ０１：Ｐ叫２】
１０．４６４０．０９９ｏ．３０６
０．４６４
１０．２０２ｏ．３３ｌｏ－７４５０．７９４
ＯＯＯ０
一ｌＯ灌ｍ生巧
㈤，
０．０９９ｏ．２０２
１０．１４７ｏ．２０５０．２３８
ＯＯＯＯ
０．３０６Ｏ．３３１０．１４７
ｌｏ．５８１０．５０００Ｏ００
观测值的协方差阵为
０．４３５０．７４５０．２０５０．５８１
１０．９６２０００Ｏ
０．３８１０．７９４０．２３８０．５００ｏ．９６２
１Ｏ０Ｏ０
０００ＯＯ００．０９００Ｏ
００００Ｏ０００．０９Ｏ０
００００Ｏ０００ｏ．０９０
Ｏｏｏｏｏｏｏｏｏ
西：ｆ
Ｄｚ
—Ｄ如１：
见Ｊ
ｏ．４３５０．３８１
Ｏ０Ｏ０
Ｌ—Ｄ血
ｏ埘
嘲＝ｃ。。。。。。－０．５５一蚴ｏ．ｓｓ乩８０，Ｔ
对协方差阵进行进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ三角阵分解，得到矩阵ｗ为下三角阵
０．４６４００．８８５８
０
０．０９９００．１７６２０。９７９４
０００ＯＯＯＯ
Ｏ．３０６０Ｏ．２１３４０。０８０８０．９２４３
Ｏ００ＯＯＯ
０．４３５００．６１３２Ｏ．０５５００．３３８２０．５６３４
ＯＯＯＯ０
０．３８１００．６９６８Ｏ。０７９２Ｏ．２４７ｌ０．４９９００．２３０３
ＯＯ０Ｏ
Ｏ００Ｏ０Ｏ０．３０００
ＯＯＯ
０ＯＯ００Ｏ０Ｏ．３０００
Ｏ０
０ＯＯ０Ｏ０ＯＯＯ．３０００
Ｏ
Ｏ０ＯＯ０Ｏ００ＯＯ．３０００
矿：
詈。：ｏ
ｏ：ｏ
ｏ
０ＯＯ０ＯＯＯ
根据公式计算面＝ｗ一【主三】，厄＝Ⅳ一【２】，对矩阵秀进行ｓＶ。分解有
测绘科学
一０．００８ｌＯ．００３１Ｏ．０１２４一Ｏ．００２ｌ
Ｕ＝
Ｏ．００３ｌ—０．００５２一０．５５３５—０．０６９８０．８０８８—０．１８５５
Ｏ．０１６５０．０１８４—０．００１３一０．０５７２Ｏ．００７７—０．０５３５０．３１９９０．４４４３０．０６６４—０．８３０１
０．０２９９０．０１９８０．０２４２０．０１６７一Ｏ．０５８９—０．０１２３０．４９６１Ｏ．５０１３０．４９７４０．４９９４
０８．０４１９
Ｏ００００００００．２２３５０．２３５００．２２５６０．２２９８—０．００７７一Ｏ．００７ｌ０．８８９４Ｏ．ｏｏＯｌ
—０．０１５５Ｏ．０３０５—０．００２９—０．００７ｌ０．１８６５—０．９７７４—０．０５９ｌ０．０３１４—０．０３１９０．０５７０
Ｏ０７．４７４１
０００ＯＯ００
—０．０９２９０．１１８３０．００５７—０．０３０１０．６８４ｌ
０．１４６０—０．３０４８Ｏ．１１５８一０．０３７６０．３１０９—０．０２０６０．５２３４
０．２６６９０．００９４０．１１８００．０７２７—０，８９４１—０．１９５３０．１１５７
—０．２０２８—０．２８５８
０．４７２６—０．１９５８
０．７４９９０．３９８６Ｏ．３２６６０．３０３４０．２５５７Ｏ．０５４３—０．０７６１Ｏ．０６２９一Ｏ．０４５００．００２０
０００００Ｏ０００．５４１５
０
、
第３３卷
０．２８１４—０．７９１５０．３５４８一Ｏ．１６７２Ｏ．００００Ｏ．Ｏ０００一Ｏ．２１８６Ｏ．２７７５—０．１１３２０．０５４３
一０．０５７３—０．８５７９０．９３２５０．００２２—０．０１３８０．００６４０．０３９９—０．００１４—０．０５０００００００
ＯＯ０Ｏ０
—０．０１０４０．０１３９—０．００５０—０．０２７５０．０３０８０．００５５０．０１３９
０００ＯＯＯ
ｌ
—０．６４０６—０．２２７１０．２７５７—０．Ｊ１６３
０００５．９７７８
０００Ｏ００
０．０４７１—０．０６８６００００３．７２６３
００Ｏ００
０．５４４１—０．７５３６０．２７６２—０．１７０５０．１６９４
，１５．１０５０
０００
晤：］．
Ｌ
Ｏ００ＯＯ０
１．５４４１
０Ｏ０００．４１２２０．２０４２０．２２１８０．２４７８—０．５４１５
舳Ｏ∞Ｏ
ＯＯ
Ｏ１．０１７１
Ｏ０
０．４８０６
／１
０．４０６００．３７９６Ｏ．２５１５Ｏ．３３６４０．４５２３０．４３５５—０．３４５７一Ｏ．０１３９一Ｏ．０２６５
一０．１２２９—０．０１５３０．１７９４—０．０４１３
Ｖ＝
Ｏ．００１７—０．００１５—０．００００—０．８５３４—０．４７１７
０．１３２７０．１９２７０．０２９０—０．３５４０Ｏ．０２７３—０．０２８９Ｏ．０００２—０．４３６８０．７９１７
一Ｏ，２１６６—０．３７０９一Ｏ．１３５１０．７８４２０．０５３４—０．０５６２一Ｏ．０１５８一Ｏ．２２４３Ｏ．３５４６
０．０４６６
—０．８４２１Ｏ．０２４３０．０４３３—０．０２１５Ｏ．０７４４一Ｏ．１６７９—０．１４５ｌ
一０．７０９８—０．０２４０一０．５４９０—０．００１４０．０４５０
０．０３７８０．００１８Ｏ．０００ｌ
—０．２８６９—０．０１４５一０．０２５４
—０．０００３—０．０５１５
带入公式（２３）有
嗡＝列乞＝ｙ【≮１扩叫２】
＝［０．１００２７—０．２０３３０
０．０８４０６—０．０７４３４—０．１４２４９—０．１６３０１
—０．４７６６７—０．４９０８９
０．３８１４６］’
根据前面推导的估值的方差计算公式
Ｄ【；∥［铷…ｃ州叫锄叫蚕乏Ｄｘｙｇ，，
０．９２０８ｏ．６２４６０．０３２６０．３６４７ｏ．５４７５０．５０９７—０．４８５７—０．０５７６—０．１７３８
Ｏ．６２４６０．６７４５Ｏ．３３６６０．２１２００．５１６８０．５３３０一Ｏ．４６１９０．０４４９—０．１５６１
０．０３２６０．３３６６０．９４４３０．１９６２０．２９９３０．３４５９—０．３７７４０．１４９１Ｏ．０５１０
０．３６４７０．２１２００．１９６２０．９５６５０．４９７６０．４０４６一ｏ．４３２３—０．１７３１０．２０３ｌ
０．５４７５Ｏ．５１６８０．２９９３０．４９７６０．８４０ｌ０．７７９ｌ一ｏ．４６５３—０．０３５０
０．５０９７０．５３３０ｏ．３４５９０．４０４６０．７７９１０．７９０７一Ｏ．４４８３—０．００３５
—０．４８５７—０．４６１９—０．３７７４—０．４３２３—０．４６５３一ｏ．４４８３０．４６１８０．００９２ｏ．０１８９
Ｄｘｒｌ
Ｄ肿Ｉ
Ｄ。Ｊ
一０．０５７６—０．１７３８０．０４４９ｏ．１４９１—０．１７３１
—０．１５６１ｏ．０５１００．２０３１
—０．０３５０一ｏ．０２５２一Ｏ．００３５一Ｏ．０４７３Ｏ．００９２０．０７８３
Ｏ．０１８９—０．０４８４０．１４４０
一０．０２５２—０．０４７３
一ｏ．０４８４
进而可得
越
＝ａｌ＂＋宴＝【一ｏ．５７３４一ｏ．２００３
厂
ｏ．５６７９—１．７９４２］ｒ
厶ｇ’＝Ｇ，Ｐ＋２’＝【一０．８１５５—０．６３９７１７
．
．
一０．００２２ｏ．００２８０．０８８８Ｏ．０００６Ｏ・３２４５１０．３５６０ｊ
％…别＂Ｄｒ
２】旧＝Ｉ裟００８５７２＆０愁００５５
Ｌ
ｎ“ｎ
ｎ
０．００ｉ１—０．００１４
洲～嘶蝴
蹦＝［Ｇｐ
６结束语
Ｅ，唆％嗡＝０…．３６３，１
比较可以看出，其解算结果和书上结果完全一致。
本文主要分析了矩阵的奇异值分解（ＳＶＤ分解）原理和方法以及在最小二乘配置中的应用，通过分析探讨得到以
下结论：
①推导证明了矩阵的奇异值分解和Ｍ—Ｐ广义逆矩阵之间的关系；②推导了应用奇异值分解进行最小二乘配置的平差解算公式和精度估算公式；③通过实例分析，得出这种方法的可行性和正确性。
第３期鲁铁定等最小二乘配置的ＳＶＤ分解解法
１９９８，２８（５），４６－４８．
５ｌ
应用矩阵的ＳＶＤ分解解算最小二乘配置和传统的解算比较，ＳＶＤ算法是否具有更好的稳定性等等问题还需做进一步的研究探讨。
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ｔｏ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＬｅａｓｔＳｑｕａｒｅＣｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄｔｈａｔｉｓｉｎｉｔｉａｌｌｙｕｓｅｄｓｔｕｄｙｔｈｅｅａｒｔｈｓｈａｐｅａｎｄｇｒａｖｉｔｙｆｉｅｌｄ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ｔｏ－
ｇｅｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｖａｒｉｏｕｓｇｒａｖｉｔｙｄａｔａ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ＬｅａｓｔＳｑｕａｒｅＣｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｈａｓｂｅｅｎｗｉｄｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎ
ｏｎ
ｄａｔａ
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｂａｓｅｄ
ｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｌｅａｓｔ
ｓｑｕａｒｅ
ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅ
ｍａｔｒｉｘ
ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌＲｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）．ｔｈｅｒｅｌａ－
ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄＭｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｉｓｄｅｄｕｃｅｄ．ＴｈｅｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｅｓｏｆＬｅａｓｔ
Ｓｃｆｕａ肥ＣｏｌｌｏｃａｔｉｏｎａｎｄＭｏｏｒｅ—ＰｅｎｒｏｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｂａｓｅｄｏｎＳＶＤｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄ．ＦｉｎａｌｌｙｐｒａｃｔｉｃａｌｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｇｒａｖｉｔｙａｎｏｍａｌｙｈａｖｅｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅＳＶＤｍｅｔｈｏｄｉｓｃｏｒｒｅｃｔａｎｄｖａｌｉｄｉｔｙｉｎＬｅａｓｔ—Ｓｑｕａｒｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｆｒｏｍｔｈｉｓｎｅｗ
ｔｉｏｎｓｈｉＰｂｅｔｗｅｅｎＳＶＤ
ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｍａｔｒｉｘｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｓｕｒｖｅｙｉｎｇｄａｔａｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ａｓｗｅｌｌＰｂｅｔｗｅｅｎｍａｔｒｉｘｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ，ａｒｅｆｏｕｎｄｏｕＬ
Ｋｅｙ
ａｓ
ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉ
ｗｏｒｄｓ：ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ；ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）；ｇｒａｖｉｔｙａｎｏｍａｌｙ
Ｊｉｎ－ｓｈｅｎｇＱ。ｚＨｏＵ
ｌ即Ｔｋ—ａｉｎｇｐ雹，ＮｌＮＧ
Ｆｕｚｈｏｕ
Ｓｈｉ－ｊｉａｎ∞．ｚＡＮＧＤｅ－ｙａｎ雹０①ＳｃｈｏｏｌｏｆＧｅｏｄｅｓｙａｎｄＧｅｏｍａｔｉｃｓ．Ｗｕｈａｎ
ｕｎｉ．
ｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７９，Ｃｈｉｎａ；②ＳｃｈｏｏｌｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＳｕｒｖｅｙｉｎｇＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥａｓｔＣｈｉｎａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
３４４０００，Ｃｈｉｎａ；３ＪｉａｎｇｘｉＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｎａｎｅｈａｎｇ３３００２９，Ｃｈｉｎａ）
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ｉｎｇ
ｔｏ
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ｔｏｒｅｓｅｔ
ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｗｉｔｈＧＰＳｓａｔｅｌｌｉｔｅｓｕｒｖｅｙ
ｂｅｔｔｅｒｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｐｅｏｐｌｅａｒｅｔｒｙ—
ａｂｒａｎｄ・ｎｅｗｒｅｍｏｔｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍ．Ｐｅｏｐｌｅｃａｎａｌｓｏｇｅｔｓｏｍｅａｄ—
ｖａｎｔａｇｅｓ
ｆｒｏｍｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＧＰｓ，ｓｕｃｈａｓａｕｔｏｍａｔｉｃｒｅｃｅｉｖｉｎｇ，２Ａｈｏｕｒｓｄｅｔｅｃｔｉｎｇ，ｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｉｏｎｄａｔａｃｏｌｌｅｃｔｉｎｇ．Ｓｏ，ｉｎｔｈｅｌｏｗ
ｒｅｍｏｔｅ
ｃａｎｂｅｕｓｅｄｉｎｄｅｔｅｃｔｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｃｈａｎｇｉｎｇｉｎｔｈｉｓａｒｅａ．Ｉｎｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈ，
ｗｅｉｎｔｅｇｒａｔｅｔｈｅｐｏｗｅｒｓｕｐｐｌｙｓｙｓｔｅｍ（ｏｕｔ－ｄｏｏｒａｎｄｉｎ－ｄｏｏｒｓｙｓｔｅｍｓ），ＧＳＭｃｅｌｌｕｌａｒｗｉｔｈＳＭＳｐｒｏｔｏｃｏｌ，ｐｏｓｔ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｓｏｆｔｗａｒｅ，ａｎｄｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｒｅｓｅｔａｒｅｍｏｔｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｍｏｄｔｄｅ．Ｔｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅｌｏｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｎｄｌａｎｄｓｌｉｄｅｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉ－
ｄｙｎａｍｉｃｌａｎｄｓｌｉｄｅａｒｅａ．ＧＰＳ
ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ
ｓｙｓｔｅｍ
ｗｉｌｌｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｗｅａｒｅｔｒｙｉｎｇｔｏｆｉｇｕｒｅｏｕｔ
ｔｌｌｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆａｃｃｕｒａｃｙｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌｏｎｇ・ｄｉｓｔａｎｃｅｂａｓｅｌｉｎｅｓ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓｏｆｔｈｏｓｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓＣａｌｌｂｅｕｓｅｄａｓｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｂａｓｅｌｉｎｅｓｅｔｔｉｎｇ－ｕｐｗｏｒｋ．１１１ｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｉｔｉｓｆｅａｓｉｂｌｅｔｏｕｓｅＧＰｓｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍｆｏｒ
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最小二乘配置的SVD分解解法
作者：作者单位：
鲁铁定， 宁津生， 周世健， 臧德彦， LU Tie-ding， NING Jin-sheng， ZHOU Shi-jian， ZANG De-yan
鲁铁定,LU Tie-ding(武汉大学测绘学院,武汉,430079;东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000)， 宁津生,NING Jin-sheng(武汉大学测绘学院,武汉,430079)， 周世健,ZHOU Shi-jian(东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000;江西省科学院,南昌,330029)， 臧德彦,ZANG De-yan(东华理工大学地球科学与测绘工程学院,江西抚州,344000)
测绘科学
SCIENCE OF SURVEYING AND MAPPING2008,33(3)
刊名：英文刊名：年，卷(期)：
参考文献(14条)
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1. 鲁铁定. 宁津生. 周世健. 张立亭. 赵煦. LU Tieding. NING Jinsheng. ZHOU Shijian. ZHANG Liting. ZHAO Xu 最小二乘配置的QR分解解法[期刊论文]-辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2009,28(4)
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