题10-5 在图示的直齿圆柱齿轮传动中,齿轮1为主动齿轮,齿轮2为中间齿轮,齿轮 3为从动齿轮。已知齿轮3所受的扭矩T3=98N⋅m,其转速n3=180r/min,Z3=45,Z2=25, Z1=22,m=4mm。假设齿轮啮合效率及轴承效率均为1,试求:
（1） 啮合传动时,作用在各齿轮上的圆周力Ft和径向力Fr ,并将各力及齿轮转向标于图上；
（2）说明中间齿轮2在啮合时的应力性质和强度计算时应注意的问题；
（3）若把齿轮2作为主动齿轮,则在啮合传动时其应力性质有何变化,其强度计算与前面有何不同?
解答: 1．T2=T3
T1=T2
d2z
=T3⨯2=98⨯N⋅m=54.444N⋅m；
33dz
=T2⨯=54.444⨯N⋅m=47.911N⋅m
22
Ft2=Ft1=
2000T2000TN=1088==.9N11
Fr2=Fr1=Ft1tanα=Ft1tan200=396.3N
Fn2=Fn1=
Ft1.9N=1158=1088.8N； 由齿轮2受力平衡条件得：
coscos200
Fr'2=Fr2=396.3N,Ft'2=Ft2=1088.9N；
Fr3与Fr'2,Ft3与Ft'2是作用力与反作用力的关系, ∴Fr3=Fr'2,Ft3=Ft'2
2．齿轮2在啮合传动时,齿轮根部弯曲应力:对称循环,双向受载。齿面接触应力:脉动循环。在校核弯曲强度时，应将齿根弯曲疲劳极限值乘以0.7。
3．若齿轮2为主动,则其弯曲应力和接触应力都为脉动循环,但2轮每转一周时，轮齿同侧齿面啮合次数为2，则其应力循环次数增加2倍。
题10-5图 题解10-5图
题10-6 图示为二级斜齿圆柱齿轮减速器,第一级斜齿轮的螺旋角β1的旋向已给出。 （1）为使Ⅱ轴轴承所受轴向力较小,试确定第二级斜齿轮螺旋角β的旋向,并画出各轮轴向力 、径向力及圆周力的方向。
（2） 若已知第一级齿轮的参数为:Z1=19,Z2=85,mn=5mm,αn=200,a=265mm, 轮1
的传
动功率P=6.25kW,n1=275 r/min。试求轮1上所受各力的大小。
解答:
1．各力方向：见题解10-6图。
P
2．各力的大小：T1=9550⨯1=9550⨯N⋅m=217.045N⋅m
1
mzm(z1+z2)5⨯(19+85)0
=96.83mm； cosβ1===0.9811,β=11.148； d1=Ft1=
Ftanα2000T=4483N,Fr1==1663N,Fa1=Ft1tanβ1=883N；
11
题10-6图
题解10-6图
题10-7 图示为直齿圆锥齿轮-斜齿圆柱齿轮减速器,为使Ⅱ轴上的轴向力抵消一部分,试确定一对斜齿圆柱齿轮螺旋线的方向;并画出各齿轮轴向力、径向力及圆周力的方向。
解答：齿轮3为右旋，齿轮4为左旋; 力的方向见题解10-7图。
题10-7图
题解10-7图
题10-8 在题10-7图所示的减速器中,已知在高速级传动中，Z1= 19, Z2= 38, m = 3 mm,dm2 =99 mm, α=200;在低速级传动中，Z3 = 19,Z4 = 76,mn = 5 mm,αn=200。若
T1=100N⋅m,n1 = 800 r/min,齿轮与轴承效率取1,Ⅲ轴转向如图所示。
（1）试计算各轴的转矩与转速,并标出Ⅰ、Ⅱ轴的转向；
（2）当斜齿圆柱齿轮Z3的螺旋角β3为多少时,方能使大锥齿轮和小斜齿轮的轴向力
完全抵消;若要求斜齿圆柱齿轮传动的中心距达到圆整值时,β3的精确值应是多少?
解答:
zz
1.T3=T2=T1=2T1=200N⋅m, T4=T3=4T3=800N⋅m;
13z
n3=n2=n1=⨯800r/min=400r/min,
2
z
n4=n3=⨯400r/min=100r/min;
4
Ⅰ、Ⅱ轴的转向见题解10-7图的nⅠ、nⅡ
z
2． δ2=2=63.430,
z1
δ1=900-δ2=26.570；
Ft1=Ft2=
2000T2
=4040.4N； Fa2=Fr1=Ft1tanαcosδ1=1315.3N； dm2
Ft3=
Fa3=Ft3tanβ3=
2000T32000T3cosβ3
； =
d3mnz3
2000T3cosβ3sinβ32000T3sinβ3
⨯=
mnz3cos3mnz3
当Fa3=Fa2时，轴向力可完全抵消，∴应有：
2000T3sinβ3
=1315.3， sinβ3=0.3124,
mnz3
β3=18.2040；
若要求中心距为圆整值：
a0=
mn(z3+z4)5⨯(19+76)
==250.01mm，取a=250mm，
2cos3
2⨯cos18.2040
m(z+z4)5⨯(19+76)
==0.95 则：cosβ3=n3
2a2⨯250
β3的精确值为：β3=18.1950
题10-9 设计一冶金机械上用的电动机驱动的闭式斜齿圆柱齿轮传动, 已知:P = 15 kW,n1 =730 r/min,n2 =130 r/min,齿轮按8级精度加工,载荷有严重冲击,工作时间t =10000h,齿轮相对于轴承为非对称布置,但轴的刚度较大,设备可靠度要求较高,体积要求较小。（建议两轮材料都选用硬齿面）
解题分析：选材料→确定许用应力→硬齿面，按轮齿的弯曲疲劳强度确定齿轮的模数→确定齿轮的参数和几何尺寸→校核齿轮的接触疲劳强度→校核齿轮的圆周速度
解答:根据题意,该对齿轮应该选用硬齿面,其失效形式以轮齿弯曲疲劳折断为主。 1. 选材料
大、小齿轮均选用20CrMnTi钢渗碳淬火（[1]表11-2），硬度为56～62HRC，由[1]图 11-12 和[1]图11-13查得：σFlim=430MPa,σHlim=1500MPa
2.按轮齿弯曲疲劳强度进行设计 （1）确定σFP
按[1]式（11-7 P227）计算，取YST=2,SFmin=1.6；齿轮的循环次数：
N1=60n1at=60⨯730⨯1⨯10000=4.38⨯108,取YN1=1,则:
σFP1=
σFlimYST
SFmin
YN1=⨯1MPa=538MPa
1.6
（2）计算小齿轮的名义转矩T1
P
T1=1=9550⨯N⋅m=196.23N⋅m
n1730
（3）选取载荷系数K
K=KAKVKβKα= 1.5× 1.02× 1.1× 1.0 = 1.68
（4)初步选定齿轮参数
选Z1=24,Z2=n1Z1/n2=730⨯24/130=134.769, 取Z2=135
取 ψd=0.6,
（5)确定复合齿形系数YFS
因两轮所选材料及热处理相同,则σFP相同,小齿轮齿根强度弱，故设计时按小齿轮的复合齿形系数YFS1代入即可。
Zv1=Z1/cos3β0=24/cos3120=25.645，由[1]图11-18查得YFS1=4.20
β0=120,
u=
Z2
=5.625 Z1
将上述参数代入求mn的式中，得：
mn=12.6⨯KT1YFS1
ψdZ12σFP1
23⨯4.20mm=2.461mm =12.6⨯.68⨯196.2
0.6⨯24⨯538
按[1]表4-1取标准模数mn=2.5mm，则中心距：
a=
cosβ=
mn(Z1+Z2)2.5⨯(24+135)
=mm=203.19mm， 取a=205mm，
2cosβ00
2⨯cos12
mn(Z1+Z2)2.5⨯(24+135)
==0.9695，β=14.18720=14°11′14″
2a2⨯205
（6)计算几何尺寸
mnZ1d1==mm=61.888mm,
cos0.9695 d2=2.5⨯135mm=348.176mm
0.9695
b=ψd⨯d1=0.6⨯61.888mm=37.133mm,取b2=b=38mm
b1=b2+(5~10)mm=43~48mm,取b1=45mm
3.校核齿面的接触强度
由[1]式（11-21）：σH=109ZE
KT1u+1
()，取ZE=189.8MPa 2
ubd1
5.625
MPa=1068.55MPa σH=109⨯189.8⨯⨯2
38⨯61.888
因可靠性要求较高，取SHmin=1.3,ZW=1，由[1]图11-15，取ZN1=1.04
σHP=
σHlim
SHmin
ZN1ZW=⨯1.04⨯1MPa=1200MPa
1.3
因为σH
4. 校核速度: v=
=m/s=2.364m/s
60⨯100060⨯1000
πd1n1
由[1]表11-4知，选8级精度合格。
题10-10 设计一对由电动机驱动的闭式直齿锥齿轮传动(∑ = 900 ),已知:P1 = 4 kW, n1 = 1440 r/min,i = 3.5,齿轮为8级精度,载荷有不大的冲击,单向转动工作,单班制,要求使用10年,可靠度要求一般。(小齿轮一般为悬臂布置)
解题分析：选材料→确定许用应力→软齿面，按齿面接触疲劳强度确定齿轮大端的分度圆直径→确定齿轮的参数和几何尺寸→校核齿轮的弯曲疲劳强度
解答: 根据题意，选用软齿面齿轮，其主要失效形式为齿面疲劳点蚀。 1. 选材料，定许用应力:
两轮均选用45号钢，小齿轮调质齿面硬度为229～286 HBS，大齿轮正火齿面硬度为169～217 HBS ，由[1]图11-12b查得：由[1]图11-13b， σFlim1=220MPa,σFlim2=210MPa；
查得： σHlim1=600MPa,
σHlim2=550MPa
SHmin=1,
ZW1=ZW2=1
SFmin=1.3,YST=2,
N1=60n1at=60⨯1440⨯1⨯(10⨯300⨯8)=2.28⨯1010 ；N2=N1/i=6.5⨯109
由[1]图11-14和[1]图11-15：取YN2=YN1=1,ZN2=1，所以：
σFP1=σFP2=σHP2=
σFlim1YST
SFmin
YN1=220⨯2⨯1MPa=338MPa
1.3YN2=⨯1MPa=323MPa
1.3
σFlim2YST
SFmin
σHlim2
SHmin
ZN2ZW=⨯1⨯1MPa=550MPa
1
2.接触疲劳强度设计: 由[1]式(5-57),一对齿轮为钢制时，有
d1≥（1).计算小齿轮的名义转矩
KT
(1-032460.5)u
2
1
R
HP
R
P
T1=1=9550⨯N⋅m=26.53N⋅m
n11440
（2).选取齿宽系数. 取ψR=0.3 （3).选取载荷系数.
因小齿轮悬臂布置,取K=1.25×1.06×1.08×1.05 = 1.5 （4).计算小齿轮大端分度圆直径 d1≥2
⨯mm=56.745mm
（5).确定齿数和模数. 取Z1=26,Z2=iZ1=91,
大端模数m=
d156.745=mm=2.183mm,查[1]表4-6,m=2.25mm Z126
（6).计算主要几何尺寸
d1=mZ1=58.5mm,d2=204.75mmR=(0.5d1)+(0.5d2)=106.47mm
2
2
,
,取b=32mm b=ψRR=0.3⨯106.47mm=31.94mm
3.校核齿根弯曲疲劳强度
由[1]式(11-25)可知:σF=
（1).确定YFS/σFP的大值
2360KT1
YFS
bm2Z1(1-0.5ψR)2
δ1=Z1
==15.950,δ2=900-δ1=74.050, Z291Z1Z2
=27.04,Zv2==331.15 cos1cos2
Zv1=
由[1]图11-18查得: YFS1=4.19,YFS2=3.9,
YFS1
FP1
==0.0124,338
YFS1
>YFS2
YFS2
FP2
==0.0121 323
因为
FP1FP2
,所以校核小齿轮即可。
（2).校核小齿轮的齿根弯曲强度
σF1=
⨯4.19MPa=129.31MPa
32⨯2.25⨯26⨯(1-0.5⨯0.3)
故齿根弯曲强度足够。
题10-5 在图示的直齿圆柱齿轮传动中,齿轮1为主动齿轮,齿轮2为中间齿轮,齿轮 3为从动齿轮。已知齿轮3所受的扭矩T3=98N⋅m,其转速n3=180r/min,Z3=45,Z2=25, Z1=22,m=4mm。假设齿轮啮合效率及轴承效率均为1,试求:
（1） 啮合传动时,作用在各齿轮上的圆周力Ft和径向力Fr ,并将各力及齿轮转向标于图上；
（2）说明中间齿轮2在啮合时的应力性质和强度计算时应注意的问题；
（3）若把齿轮2作为主动齿轮,则在啮合传动时其应力性质有何变化,其强度计算与前面有何不同?
解答: 1．T2=T3
T1=T2
d2z
=T3⨯2=98⨯N⋅m=54.444N⋅m；
33dz
=T2⨯=54.444⨯N⋅m=47.911N⋅m
22
Ft2=Ft1=
2000T2000TN=1088==.9N11
Fr2=Fr1=Ft1tanα=Ft1tan200=396.3N
Fn2=Fn1=
Ft1.9N=1158=1088.8N； 由齿轮2受力平衡条件得：
coscos200
Fr'2=Fr2=396.3N,Ft'2=Ft2=1088.9N；
Fr3与Fr'2,Ft3与Ft'2是作用力与反作用力的关系, ∴Fr3=Fr'2,Ft3=Ft'2
2．齿轮2在啮合传动时,齿轮根部弯曲应力:对称循环,双向受载。齿面接触应力:脉动循环。在校核弯曲强度时，应将齿根弯曲疲劳极限值乘以0.7。
3．若齿轮2为主动,则其弯曲应力和接触应力都为脉动循环,但2轮每转一周时，轮齿同侧齿面啮合次数为2，则其应力循环次数增加2倍。
题10-5图 题解10-5图
题10-6 图示为二级斜齿圆柱齿轮减速器,第一级斜齿轮的螺旋角β1的旋向已给出。 （1）为使Ⅱ轴轴承所受轴向力较小,试确定第二级斜齿轮螺旋角β的旋向,并画出各轮轴向力 、径向力及圆周力的方向。
（2） 若已知第一级齿轮的参数为:Z1=19,Z2=85,mn=5mm,αn=200,a=265mm, 轮1
的传
动功率P=6.25kW,n1=275 r/min。试求轮1上所受各力的大小。
解答:
1．各力方向：见题解10-6图。
P
2．各力的大小：T1=9550⨯1=9550⨯N⋅m=217.045N⋅m
1
mzm(z1+z2)5⨯(19+85)0
=96.83mm； cosβ1===0.9811,β=11.148； d1=Ft1=
Ftanα2000T=4483N,Fr1==1663N,Fa1=Ft1tanβ1=883N；
11
题10-6图
题解10-6图
题10-7 图示为直齿圆锥齿轮-斜齿圆柱齿轮减速器,为使Ⅱ轴上的轴向力抵消一部分,试确定一对斜齿圆柱齿轮螺旋线的方向;并画出各齿轮轴向力、径向力及圆周力的方向。
解答：齿轮3为右旋，齿轮4为左旋; 力的方向见题解10-7图。
题10-7图
题解10-7图
题10-8 在题10-7图所示的减速器中,已知在高速级传动中，Z1= 19, Z2= 38, m = 3 mm,dm2 =99 mm, α=200;在低速级传动中，Z3 = 19,Z4 = 76,mn = 5 mm,αn=200。若
T1=100N⋅m,n1 = 800 r/min,齿轮与轴承效率取1,Ⅲ轴转向如图所示。
（1）试计算各轴的转矩与转速,并标出Ⅰ、Ⅱ轴的转向；
（2）当斜齿圆柱齿轮Z3的螺旋角β3为多少时,方能使大锥齿轮和小斜齿轮的轴向力
完全抵消;若要求斜齿圆柱齿轮传动的中心距达到圆整值时,β3的精确值应是多少?
解答:
zz
1.T3=T2=T1=2T1=200N⋅m, T4=T3=4T3=800N⋅m;
13z
n3=n2=n1=⨯800r/min=400r/min,
2
z
n4=n3=⨯400r/min=100r/min;
4
Ⅰ、Ⅱ轴的转向见题解10-7图的nⅠ、nⅡ
z
2． δ2=2=63.430,
z1
δ1=900-δ2=26.570；
Ft1=Ft2=
2000T2
=4040.4N； Fa2=Fr1=Ft1tanαcosδ1=1315.3N； dm2
Ft3=
Fa3=Ft3tanβ3=
2000T32000T3cosβ3
； =
d3mnz3
2000T3cosβ3sinβ32000T3sinβ3
⨯=
mnz3cos3mnz3
当Fa3=Fa2时，轴向力可完全抵消，∴应有：
2000T3sinβ3
=1315.3， sinβ3=0.3124,
mnz3
β3=18.2040；
若要求中心距为圆整值：
a0=
mn(z3+z4)5⨯(19+76)
==250.01mm，取a=250mm，
2cos3
2⨯cos18.2040
m(z+z4)5⨯(19+76)
==0.95 则：cosβ3=n3
2a2⨯250
β3的精确值为：β3=18.1950
题10-9 设计一冶金机械上用的电动机驱动的闭式斜齿圆柱齿轮传动, 已知:P = 15 kW,n1 =730 r/min,n2 =130 r/min,齿轮按8级精度加工,载荷有严重冲击,工作时间t =10000h,齿轮相对于轴承为非对称布置,但轴的刚度较大,设备可靠度要求较高,体积要求较小。（建议两轮材料都选用硬齿面）
解题分析：选材料→确定许用应力→硬齿面，按轮齿的弯曲疲劳强度确定齿轮的模数→确定齿轮的参数和几何尺寸→校核齿轮的接触疲劳强度→校核齿轮的圆周速度
解答:根据题意,该对齿轮应该选用硬齿面,其失效形式以轮齿弯曲疲劳折断为主。 1. 选材料
大、小齿轮均选用20CrMnTi钢渗碳淬火（[1]表11-2），硬度为56～62HRC，由[1]图 11-12 和[1]图11-13查得：σFlim=430MPa,σHlim=1500MPa
2.按轮齿弯曲疲劳强度进行设计 （1）确定σFP
按[1]式（11-7 P227）计算，取YST=2,SFmin=1.6；齿轮的循环次数：
N1=60n1at=60⨯730⨯1⨯10000=4.38⨯108,取YN1=1,则:
σFP1=
σFlimYST
SFmin
YN1=⨯1MPa=538MPa
1.6
（2）计算小齿轮的名义转矩T1
P
T1=1=9550⨯N⋅m=196.23N⋅m
n1730
（3）选取载荷系数K
K=KAKVKβKα= 1.5× 1.02× 1.1× 1.0 = 1.68
（4)初步选定齿轮参数
选Z1=24,Z2=n1Z1/n2=730⨯24/130=134.769, 取Z2=135
取 ψd=0.6,
（5)确定复合齿形系数YFS
因两轮所选材料及热处理相同,则σFP相同,小齿轮齿根强度弱，故设计时按小齿轮的复合齿形系数YFS1代入即可。
Zv1=Z1/cos3β0=24/cos3120=25.645，由[1]图11-18查得YFS1=4.20
β0=120,
u=
Z2
=5.625 Z1
将上述参数代入求mn的式中，得：
mn=12.6⨯KT1YFS1
ψdZ12σFP1
23⨯4.20mm=2.461mm =12.6⨯.68⨯196.2
0.6⨯24⨯538
按[1]表4-1取标准模数mn=2.5mm，则中心距：
a=
cosβ=
mn(Z1+Z2)2.5⨯(24+135)
=mm=203.19mm， 取a=205mm，
2cosβ00
2⨯cos12
mn(Z1+Z2)2.5⨯(24+135)
==0.9695，β=14.18720=14°11′14″
2a2⨯205
（6)计算几何尺寸
mnZ1d1==mm=61.888mm,
cos0.9695 d2=2.5⨯135mm=348.176mm
0.9695
b=ψd⨯d1=0.6⨯61.888mm=37.133mm,取b2=b=38mm
b1=b2+(5~10)mm=43~48mm,取b1=45mm
3.校核齿面的接触强度
由[1]式（11-21）：σH=109ZE
KT1u+1
()，取ZE=189.8MPa 2
ubd1
5.625
MPa=1068.55MPa σH=109⨯189.8⨯⨯2
38⨯61.888
因可靠性要求较高，取SHmin=1.3,ZW=1，由[1]图11-15，取ZN1=1.04
σHP=
σHlim
SHmin
ZN1ZW=⨯1.04⨯1MPa=1200MPa
1.3
因为σH
4. 校核速度: v=
=m/s=2.364m/s
60⨯100060⨯1000
πd1n1
由[1]表11-4知，选8级精度合格。
题10-10 设计一对由电动机驱动的闭式直齿锥齿轮传动(∑ = 900 ),已知:P1 = 4 kW, n1 = 1440 r/min,i = 3.5,齿轮为8级精度,载荷有不大的冲击,单向转动工作,单班制,要求使用10年,可靠度要求一般。(小齿轮一般为悬臂布置)
解题分析：选材料→确定许用应力→软齿面，按齿面接触疲劳强度确定齿轮大端的分度圆直径→确定齿轮的参数和几何尺寸→校核齿轮的弯曲疲劳强度
解答: 根据题意，选用软齿面齿轮，其主要失效形式为齿面疲劳点蚀。 1. 选材料，定许用应力:
两轮均选用45号钢，小齿轮调质齿面硬度为229～286 HBS，大齿轮正火齿面硬度为169～217 HBS ，由[1]图11-12b查得：由[1]图11-13b， σFlim1=220MPa,σFlim2=210MPa；
查得： σHlim1=600MPa,
σHlim2=550MPa
SHmin=1,
ZW1=ZW2=1
SFmin=1.3,YST=2,
N1=60n1at=60⨯1440⨯1⨯(10⨯300⨯8)=2.28⨯1010 ；N2=N1/i=6.5⨯109
由[1]图11-14和[1]图11-15：取YN2=YN1=1,ZN2=1，所以：
σFP1=σFP2=σHP2=
σFlim1YST
SFmin
YN1=220⨯2⨯1MPa=338MPa
1.3YN2=⨯1MPa=323MPa
1.3
σFlim2YST
SFmin
σHlim2
SHmin
ZN2ZW=⨯1⨯1MPa=550MPa
1
2.接触疲劳强度设计: 由[1]式(5-57),一对齿轮为钢制时，有
d1≥（1).计算小齿轮的名义转矩
KT
(1-032460.5)u
2
1
R
HP
R
P
T1=1=9550⨯N⋅m=26.53N⋅m
n11440
（2).选取齿宽系数. 取ψR=0.3 （3).选取载荷系数.
因小齿轮悬臂布置,取K=1.25×1.06×1.08×1.05 = 1.5 （4).计算小齿轮大端分度圆直径 d1≥2
⨯mm=56.745mm
（5).确定齿数和模数. 取Z1=26,Z2=iZ1=91,
大端模数m=
d156.745=mm=2.183mm,查[1]表4-6,m=2.25mm Z126
（6).计算主要几何尺寸
d1=mZ1=58.5mm,d2=204.75mmR=(0.5d1)+(0.5d2)=106.47mm
2
2
,
,取b=32mm b=ψRR=0.3⨯106.47mm=31.94mm
3.校核齿根弯曲疲劳强度
由[1]式(11-25)可知:σF=
（1).确定YFS/σFP的大值
2360KT1
YFS
bm2Z1(1-0.5ψR)2
δ1=Z1
==15.950,δ2=900-δ1=74.050, Z291Z1Z2
=27.04,Zv2==331.15 cos1cos2
Zv1=
由[1]图11-18查得: YFS1=4.19,YFS2=3.9,
YFS1
FP1
==0.0124,338
YFS1
>YFS2
YFS2
FP2
==0.0121 323
因为
FP1FP2
,所以校核小齿轮即可。
（2).校核小齿轮的齿根弯曲强度
σF1=
⨯4.19MPa=129.31MPa
32⨯2.25⨯26⨯(1-0.5⨯0.3)
故齿根弯曲强度足够。